logo
Русский O'zbekcha
  1. Главная страница
  2. Дипломные работы
  3. Общий
  4. CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI

CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI

Загружено в:

12.08.2023

Скачано:

0

Размер:

1.5 MB
Условия скачивания
CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI MUNDARIJA KIRISH ……………………………………… …………….. ………… … … .. . 3 I-BOB. PLASTINKALAR NAZARIYASINING ASOSIY MUNO- SABATLARI VA TENGLAMALARI.…………………….….. 8 1.1- §. Plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishlar bo’yicha o’tkazilgan ba’zi tadqiqotlar qisqacha sharhi............................... 8 1.2- §. Plastinkalar klassik nazariyasining asosiy gipotezalari va munosabatlari..………………………………………………… . 13 1.3- §. Ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishida plastinka qatlamlarida yuzaga keladigan ichki zo’riqish kuchlari…...…. .. 24 II-BOB. IKKI QATLAMLI CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN PLASTINKANING NOSTATSIONAR SIMMETRIK TEBRANISHLARI...................................................................... 28 2.1- §. Ikki qatlamli plastinka chetlari turlicha mahkamlanganda chegaraviy shartlarning qo’yilishi................................................ 28 2.2 - §. Qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning tebranish- lari haqidagi ayrim tadqiqotlar sharhi.... ………..……………… 29 2.3 - §. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik tebranishlari haqidagi masalaning qo’yilishi... 33 III - BOB . CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALARI…………………………….…………... 49 3.1- § Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik tebranishlari haqidagi masalaning yechimi...... 49 3.2- § Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalari................... 54 3.3 - § Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik erkin tebranishlari............................................ 61 XULOSA …... ……………… …………….. ……………………….…… ….... 67 ADABIYOTLAR RO’YXATI ……………………..……………..………..... 69 1 KIRISH Mavzuning dolzarbligi Qatlamli plastinkalar masalan ikki qatlamli va uch qatlamli plastinkalar texnikada va qurilishning xar xil sohalarida keng miqyosda ishlatiladi. Shu sababli bunday plastinkalar turli xil dinamik va statik tashqi yuklanishlar ta’siri ostida bo’ladilar. Shuning uchun ularning ko’ndalang kesimlarida turli shakldagi yuklanishlar yuzaga keladilar. Bunday holda plastinkaning ko’ndalang kesimlarida yuzaga keladigan ko’chish, kuchlanish, deformatsiya va egilishlarni aniqlash masalasi deformatsiyalanuvchi qattiq jism mexanikasi dolzarb masalalaridir. Praktik masalalarda bunday turdagi yuklanishlar ta’siri ostidagi plastinkalarda kuchlangan- deformatsiyalangan holatini aniqlash muhim ahamiyat kasb etadi. Dissertatsiya ishida tadqiqot ob’ekti va predmeti . Ushbu magistrlik dissertatsiya ishda ilmiy izlanishlar ob’ekti sifatida, yuqoridagilardan kelib chiqgan holda, tomonlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qaralgan. Ikki qatlamli elastik plastinka simmetrik tebranishlarida yuzaga keladigan ko’chish vektori komponentalarini, kuchlanish va deformatsiya tenzori komponentalarini plastinka ikki qatlamli va bir jinslimas ekanligini hisobga olgan holda hisoblash mumkin. Maskur magistlik dissertatsiyasida tekshirish predmeti ikki qatlamli plastinkada, berilgan tashqi yuklanishlar ta’siri ostida yuzaga keladigan tebranishlarni hisoblashdan hamda nostatsionar harakterga ega tebranishlar bo’lgan hollarida bunday elementlarda yuzaga keladigan nostatsionar to’lqin tarqalish jarayonini, ularning xususiyatlarini hisobga olgan holda tadqiq qilishdan iborat. Qatlamli plastinka va qatlamli sterjenlarning vaqtga bog’liq tebranishlarini hisoblashda ularning simmetrik tebranish tenglamalarini hisoblab chiqarish, ularning xususiy xususiy amplitudalarini topish, chastotalarini aniqlash va tebranish shakllarini olish masalalarini yechish ularni xal qilish va ular ustida ilmiy xulosalar chiqarish muammolari, aynan ushbu izlanishlarni ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinka uchun amalga oshirish, erkin tebranishlarning topilgan fizik-mexanik xarakteristikalaridan nostatsionar tebranishlar biror vaqt davomida ta’sir etuvchi tashqi dinamik ta’sir natijasida uyg’otilgan hollar uchun 2 tadbiq etish, ulardan foydalana bilish ham dissertatsiya ishining predmetini tashkil etadi. Ishning maqsad va vazifalari. Mazkur magistrlik dissertatsiya ishining asosiy maqsadi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranish tenglamalarini keltirib chiqarish, tadqiq qilish va ular asosida qaralayotgan plastinkaning simmetrik bo’ylama tebranishlari taqribiy tenglamalarini ishlab chiqishdan iboratdir. Bunda tadqiqotni klassik va aniqlashtirilgan tebranish tenglamalariga mos ravishda plastinka qatlamlaridagi kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatini aniqlashga imkon beruvchi algoritm yaratish talab etiladi. Ana shulardan kelib chiqqan holda dissertatsiya ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar belgilangan: 1. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishlari uchun umumiy tenglamalarni keltirib chiqarish; 2. Kuchlanish va deformatsiya tenzorlari hamda ko’chish vektori komponentalari uchun plastinka qatlamlari nuqtalaridagi kuchlanganlik- deformatsiyalanganlik holatini talab etilgan aniqlikda aniqlashga imkon beruvchi algoritm yaratish; 3. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishlari umumiy tenglamalaridan amaliy masalalarni yechish uchun yaroqli bo’lgan texnik yoki boshqacha aytganda taqribiy tenglamalarini hosil qilish; 4. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalar garmonik tebranishlari uchun chastota tenglamalarini olish va tadqiq qilish; Olingan natijalar asosida ilmiy xulosalar chiqarish va amaliy tavsiyalar ishlab chiqish. Tadqiqotning ilmiy yangiligi. ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostatsionar tebranishlari aksariyat hollarda sodda yechimlar asosida tadqiq qilingan. 3 Shu sababli ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostatsionar tebranishlari haqidagi masalalarni yangicha yo’nalishda tadqiq etish masalasi keyingi vaqtlarda katta ilmiy va amaliy ahamiyatga ega bo’lmoqda. Shu nuqtai nazardan qaraganda dissertatsiya ishida qaralgan va yechilishi uchun tadqiq etilgan tenglamalarning ilmiy ahamiyati -birinchidan ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning xususiyatlari hisobga olinganligi va ikkinchidan masalani yechish uchun yangi usullarning qo’llanilishi bilan xarakterlanadi. Tadqiqotning asosiy masalalari va vazifalari. Dissertatsiya ishida tadqiqotning asosiy masalalari va vazifalari etib chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishi hisobining, tashqi dinamik yuklar ta sirini hisobga oluvchi matematik modelini ishlab chiqish,ʼ chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning ixtiyoriy ko ndalang kesimi nuqtalarining kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlash ʻ algoritmini yaratish, dinamik yuklanishlar ta siri ostidagi ikki qatlamli plastinka ʼ tebranishlari uchun yangi amaliy masalalar qo yish va mos hisob usulini ishlab ʻ chiqish, har xil chegaraviy shartlarda ikki qatlamli plastinkaning garmonik tebranishlari va dinamik yuklar ta siridagi majburiy tebranishlari haqidagi xususiy ʼ masalalarni yechish usullarini yaratish, chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning qatlamlari geometrik va fizik-mexanik harakteristikalarining ko ndalang kesim ixtiyoriy nuqtasidagi kuchlanish tenzori va ko chish vektori ʻ ʻ komponentalarining koordinata va vaqtdan bog lanish qonuniyatlariga ta sirini ʻ ʼ tadqiq qilish belgilangan. Tadqiqot mavzusi bo yicha adabiyotlar sharhi (tahlili). ʼ Plastinkalar hisoobi ko’pincha Kirxgoff gipotezalariga va farazlariga asoslangan klassik nazariya yordamida bajariladi. Lekin klassik nazariya ikki qatlamli plastinka qatlamlari nuqtalaridagi kuchlanish va deformatsiya tenzori komponentalarini to liq hisoblash imkoniyatini bermaydi. Buning uchun ushbu nazariyani bundanda ʻ rivojlantirish lozimligi uchun ko plab olimlar ushbu ish ustida ilmiy ishlar olib ʻ borishgan. Qatlamli konstruksiyalar ya’ni plastinka va qobiqlar ustida klassik nazariyaning rivojlanishiga dastlab S.G.Lexniskiy, E.Reysner keyinchalik 4 S.A.Ambarsumyan undan so’ng V.P.Shevchenko, M.V.Fomenko, I.G.Filippov, X.Altenbax, E.I.Grigolyuk va o’zbek olimlaridan Mirsaidov M., Xalmuradov R.I., Xudoynazarov X.X., O sarov M.K., Axmedov A.B., Abdukarimov R. hamdaʻ boshqa qator yetuk izlanuvchilar tomonidan amalga oshirilmoqda. Plastinkalar va qobiqlar dinamik va statik hisobi yoki o’zgacha aytganda tebranishlar aniqlashtirilgan nazariyasini rivojlantirish bo yicha olib borilayotgan izlanishlar ʻ ikkita katta yo nalishlarga ajraladi. Bulardan birinchisi Timoshenko va Reyssner ʻ tipidagi asimptotik nazariya va ikkinchisi o’tgan asrning keyingi yillarida elastiklik nazariyasi uch parametrli masalalarining aniq yechimidan foydalanishga tayangan plastinka tebranishlari yangi nazariyalarini rivojlantirishdan iborat. Ikkinchi metodning qatlamli bir jinsli elastik plastinkalar uchun yaroqli xar xil ko’rinishlari professor I.G.Filippov va uning izdoshlari tarafidan yaratilgan. Keltirilgan usul bilan professor G.I.Petrashen va professor I.G.Filippovlar, hamda ularning o quvchilari tomonidan bir qatlamli va uch qatlamli qovushoq-elastik elastik ʻ plastinkalarning tebranish tenglamalarini keltirib chiqarish nazariyalari taklif etilgan. Ushbu yangi taklif qilinayotgan nazariyalarni keltirib chiqarishda qatlamli plastinka ichki qatlamlari birining o rta sirti nuqtalari ko chishlari bosh qismlariga ʻ ʻ nisbatan chegaraviy shartlar shakllantiriladi. Aytilgan fikrlardan kelib chiqgan holda aytish lozimki, hozirgi kunda elastik va qovushoqlik xususiyatlari hisobga olingan va xar xil tashqi dinamik yuklanish ta siri ostida bo’lgan qatlamli ʼ elementlarning, xususan, ikki qatlamli, uch qatlamli elastik va qovushoq-elastik plastinkaning vaqtga bog’liq bo’lmagan tebranishlari nazariyasi, ustuvorlik masalalarini va tebranish masalalarini yechish metodlarini ishlab chiqishdagi masalalar hozirgacha yetarli darajada o rganilmagan. ʻ Tadqiqotda qo llanilgan metodikaning tavsifi. ʼ Ushbu izlanishlar paytida asosiy tadqiqot metori o’rnida G.I.Petrashen va I.G.Filippovning aksioma va gipotezalarni qo llamasdan tebranish tenglamalarini ishlab chiqish metodi, Fure va ʼ Laplas integral almashtirishlar metodi, hamda ko’plab izlanuvchilar tarafidan bir necha marotaba takror va takror sinalgan analitik va sonli hisoblash metodlaridan foydalanilgan. 5 Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati. Tadqiqot o’tkazish natijalari ilmiy va amaliy ahamiyati ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan elastik plastinka bo’ylama simmetrik tebranishlari aniqlashtirilgan taqribiy tebranish tenglamasini keltirib chiqarish usulini ishlab chiqarish va yanada rivojlantirish; dinamik va statik yuklanishlar ta siri ostidagi chetlari bikrʼ mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari xaqidagi amaliy masalalarni yechish hamda ishlab chiqilgan usullarni chetlari bikr mahkamlangan plastinka va xususan ikki qatlamli va bir jinsli plastinkalar uchun umumlashtirish imkoniyati bilan izohlanadi. Izlanishlar natijalarining amaliy ahamiyati shundaki tashqi dinamik yuklanishlar ta siri ostidagi ikki qatlamli ʼ plastinkaning simmetrik tebranishlarida kuchlangan deformatsiyalangan holat parametrlarini aniqlash amaliy masalalarini taqribiy sonli yechish uchun analitik- sonli taqribiy hisoblash algoritmini yaratish; olingan ushbu natijalar umumiy turdagi harakterga ega bo lib ularni shu turdagi matematik fizik masalalar uchun ʻ umumlashtirish; masalan xususiy hollarda, ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan bir jinsli plastinkalar reologik, anizotropik va boshqa xususiyatlarini etiborga olgan holda qo llash mumkinligi bilan izohlanadi. ʻ Dissertatsiya ishining tuzilishi. Magistrlik dissertatsiya ishi kirish, uchta bob, xulosa hamda foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’lib 74 kompyuter sahifasida bayon qilingan. 6 I BOB PLASTINKALAR NAZARIYASINING ASOSIY MUNOSABATLARI VA TENGLAMALARI Bugungi kunda fan va texnikaning turli sohalarining rivoji, muhandislik amaliyoti ehtiyojlari hamda yangi texnologiyalar kontakt yo’li bilan o’zaro ta’sirlashuv mexanikasi oldiga yangidan-yangi nazariy va amaliy masalalarni qo’ymoqda. Husisiy holda, bunday masalar qatoriga plastina tipidagi qurilish va texnikaning turli sohalarida ko’p qo’llaniladigan konstruktiv elementlarning dinamik yuklanish ta’siri ostidagi nostatsionar tebranishlari haqidagi masalalar ham kiradi. Bunday masalalar qatoriga qaralayotgan muhandislik konstruksiyasini o’rab turgan yoki uning ichida joylashgan tutash muhitda tarqaluvchi akustik va nostatsionar to’lqinlar ta’siri ostidagi muhandislik konstruksiyalari elementlarning hisobi ham kiradi. Bunday masalalar umuman olganda tashqi dinamik yuklar ixtiyoriy bo’lgan holning hususiy holidir. Amalda tashqi yuklar faqat akustik yoki nostatsionar to’lqinlar ta’siridangina iborat bo’lmaydi. Ko’p qatlamli plastinkalarning nostatsionar tebranishlarining optimallashgan modellarini, ularga har xil yuklanishlar ta’sirini, shuningdek plastinka qatlamlarining turli fizik-mexanik hususiyatlarini hisobga olgan holda yaratish ham yuqoridagi masalalar sinfiga tegishli muammolardir. Yuqorida aytib o’tilgan muammolarni hal qilishga bag’ishlangan juda ko’plab ilmiy ishlar ochiq matbuotda chop etilgan. Bunday ilmiy ishlar hozirgi kunda ham bizning mahalliy olimlarimiz, shuningdek yaqin va uzoq chet el olimlari tomonidan bajarilmoqda. Qatlamli plastinka dinamikasi vaqtga bog’liq bo’lgan masalalarini tadbiq qilishning xar xil eksperimental va nazariy metodlari, shuningdek deformatsiyalanuvchi absolyut qattiq jism plastinka va qobiqlarning deformasiyalanuvchi muhit bilan o’zaro ta’siri bilan bog’liq ko’plab masalalar, hamda hodisa va voqealarning matematik modelini yaratish bilan bog’liq fundamental masalalar Bo’riyev T., Bobomurodov K.Sh., Qobulov V.Q., 7 Beloserkovskiy S.M., Volmir A.S., Guz A.N., Kubenko V.D., Babayev A.N., Mamatqulov Sh., Mirsaidov M, Rahmatullin X.A., Rashidov T.R., Fillipov I.G., Markus S., Xudoynazarov X., Shirinqulov T.Sh.larning monografiyalarida va ilmiy ishlarida yoritilgan. Tuproqli yoki suyuq muhit bilan o’zaro vaqtga bog’liq ta’sirlashuvchi deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar plastinkalar, qobiqlar va h.k.larning tebranishlari haqidagi masalalarni yechishda fundamental tadqiqotlar qatoriga Guz A.N., Petrashen I.G., Filippov I.G., Xudoynazarov X. va boshqa olimlarning ishlarini keltirish mumkin. 1.1. Plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishlar bo’yicha o’tkazilgan ba’zi tatqiqotlar qisqacha sharhi Dinamik yuklanishlar ta’siri ostidagi deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar tebranishlari ta’siri haqidagi masalalarni yechishda, xususan, deformatsiyalanuvchi muhitlar bilan ta’sirlashuvchi ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkalar tebranishlarini o’rganishda ikki qatlamli plastinka uchun hal qiluvchi tebranish tenglamalari sifatida aynan taqribiy tebranish tenglamalarini qabul qilamiz. Yuqorida aytilgan avtorlarning ko’pchiligida xar xil farazlarga tayanib chiqarilgan taqribiy tenglamalar ishlatilgan. Ushbu farazlar va Krixgoff-Lyav gipotezalari harakat tenglamalarini sezilarli darajada soddalashtiradi. Aniqlashtirilgan S.P.Timoshenko tipidagi tebranish tenglamalari keltirilib chiqarilishida ham geometrik va fizik turdagi tushunchalardan foydalaniladi. Shu sababli ham ishlatishga qabul qilinayotgan nazariyalarga bog’liq olib borilayotgan ilmiy izlanishlarning xar xil yo’nalishlari paydobo’lmoqda. Deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar tebranish tenglamalarini keltirib chiqarishga hamda tebranish tenglamalari uchun aniqlashtirilgan nazariyalarni keltirib chiqishda, yoki qatlamli plastinkalar tebranish tenglamalari nazariyalarini keltirib chiqarishga bag’ishlangan ilmiy izlanishlar tahlili hamda bu masalalarning xar xil yo’nalishlari batafsil bayon [17,20] etilgan. 8 Aytish lozimki, qatlamli plastinkalar va sterjenlar tipidagi muhandislik qurilmalari deformatsiyalanuvchi muhit bilan ta’sirlashuvi ko’p sonli muammolari ko’plab izlanuvchilar tomonidan tadqiq etilgan. Tebranish tenglamalari taqribiy nazariyalarini hamda muhandislik konstruksiyalari elementlarining taqribiy tebranish tenglamalarini ishlab chiqishda prof. I.Flippov va uning taniqli shogirdlari tomonidan chop etilgan ilmiy ishlar [14,15,19] asos bo’lib hizmat qiladi. Ushbu ilmiy ishlarda qovushoq-elastiklik nazariyasi uch o’lchovli masalalari ya’ni qovushoq-elastik qatlamli plastina, sterjen va qatlamli qobiqlarning ko’ndalang va bo’ylama tebranish tenglamalari ishlab chiqarilgan. Bunday tenglamalar qatlamli plastina, sterjen va qatlamli qobiqlarni o’rab turuvchi muhitlar deformatsiyalanuvchi muhit bo’lgan holda ham chiqarilgan. Bunda sterjen va plastinkalarning izotroplik, anizotropik xossalari va harorat ta’siri ham hisobga olingan. Keltirib chiqarilgan umumiy tebranish tenglamalari asosida Krihgoff-Love va S.P.Timoshenko tipidagi hamda boshqa vaqt va koordinata o’zgaruvchilariga nisbatan o’z tarkibida yanada yuqoriroq hosilalarni saqlovchi yuqori tartibli tebranish tenglamalarii sistemasi keltirib chiqarilgan. Keltirib chiqarilgan taqribiy va umumlashtirilgan tenglamalar, tenglamalar sistemasi asosida amaliy ahamiyatga ega masalalar yechilgan. Ushbu masalalar bir qatlamli qobiqlar, ikkin va uch qatlamli qobiqlar va plastinalar hamda turli xildagi sterjenlar majburiy va erkin tebranishlarini tadqiq etishga bag’ishlangan. Terma- qovushoq-elastik va chiziqli qovushoq-elastik hamda dinamik impulsli tashqi yuklanishlar ta’siri ostidagi muhit dinamikasini turlixil analitik metodlar bilan tadqiq etish natijalari keltirilgan. Olingan natijalar fizik fazoning turli nuqtalarida to’lqin maydoni asosiy parametrlarini vaqtning xar xil payti uchun aniqlashga imkon beradilar. Bunday yo’nalishdagi ilmiy ishlarga misol qilib [11] maqolani alohida ko’rsatib lozim. Chunki ushbu ish aynan ushbu magistrlik disertatsiya ishida qaralayotgan masalaga to’g’ridan-to’g’ri aloqadordir va unda qatlamli plastinkalarning tebranishlari nazariyalari keng yoritilgan. Avvalo shuni aytish 9 lozimki, ushbu monografiya ishida keltirib chiqarilgan metod prof. I.G.Flippov tomonidan [15] monografiya aynan doiraviy plastina va qobiqlar uchun keltirib chiqarilgan. Ushbu metod plastinka va qobiqlar uchun professor X.Xudoynazarov tomonidan rivojlantirildi. Yuqoridagi bayon etilgan ishlarda birinchi marotaba qatlamning tebranishlari xossalarini o’zida saqlab qoluvchi va xossalarni tashuvchi asosiy sirt sifatida klassik nazariyadagi kabi plastinka o’rtasirti emas, balki plastinka va qobiq o’rta oraliq sirti olingan. Maskur oraliq sirt, kiritilgan yangi χ parametrning turli qiymatlarida qatlamning tashqi va ichki sirtiga, yoki oraliq sirtiga o’tishi mumkin. Spektri uzluksiz bo’lgan χ parametrning qiymatlari quyidan va yuqoridan chegaralangan. Olingan tenglamalar bu yerda, S.P.Timoshenko tipidagi aniqlashtirilgan tenglamalardan yoki klassik tenglamalardan tubdan farq qiladi. Chunki bu tenglamalarda ko’ndalang siljish deformatsiyasi va aylanish inersiyasi effektlari avtomatik tarzda tenglamalar ichida hisobga olinadi. Aytish lozimki, bu yerda asosiy sirt sifatida ko’p qatlamli, uch qatlamli va ikki qatlamli plastinka o’rta sirti qabul qilinishi lozim degan fikrdan voz kechish, bizga avvaldan ma’lum bo’lgan nazariyalarga qaraganda juda keng aniqlikda dinamik va kinematiik kontakt shartlarni ifodalashga imkoniyat yaratadi. Bizga ma’lumki, bunday turdagi dinamik va kinematik kontakt shartlar ko’p qatlamli plastinkalar qatlamlari orasida yoki plastinkaning tashqi deformatsiyalanuvchi muhit bilan o’zaro ta’sirlashuvi muammolarida yuzaga keladi. To’g’ri burchakli to’rtburchakli cheksiz uzunlikdagi qovushoq-elastik ko’p qatlamli yoki xususan uch va ikki qatlamli plastinkaning sirtlariga vaqtning t = 0 onida vaqtga oshkor holda bog’liq bo’lgan zo’riqish kuchlari ta’sir etadi va bu zo’riqish kuchlari ikki qatlamli plastinkaning simmetrik bo’ylama ko’ndalang tebranishlarini yuzaga keltiradilar deb hisoblanadi. Qatlamli plastinka xususan uch va ikki qatlamli plastinka harakat tenglamalari sifatida elastik va qovushoq-elastik nazariyasining uch harakat tenglamalarining Φ - bo’ylama to’lqin potensiali va ⃗Ψ - ko’ndalang to’lqinlar potensiali orqali ifodalangan ko’rinishlaridan foydalaniladi: 10 L (ΔΦ )= ρ ∂2Φ ∂ t2 ; M (Δ ⃗Ψ )= ρ ∂2⃗Ψ ∂ t2 , (1.1) bu yerda Ψ 1,Ψ 2,Ψ 3 lar ⃗Ψ vektorning komponentalari, ushbu vektor maydonning solenoidlik sharti qanoatlantirilishi kerak; L,M - qovushoq-elastiklik operatorlari. U, V, W qatlamli plastinka qatlamlari nuqtalari ko’chish vektori komponentalari. Ular ushbu Φ va Ψ j potensiallar yordamida quyidagicha ifodalanadi : U r= ∂ ∂ r (Φ +∂ ∂ z Ψ 2)+ 1 r ∂ Φ 1 ∂ θ ; U z= ∂Φ ∂ r − ( 1 r ∂ ∂ r +∂2 ∂ r2+1 r2 ∂2 ∂θ2)Ψ 2; U θ= 1 r ∂Φ ∂θ − ∂Ψ 2 ∂r + 1 r ∂2Ψ 2 ∂ z∂θ . (1.2) Xuddi yuqoridagi qatori ikki qatlamli plastinka qatlamlari nuqtalaridagi σij kuchlanishlar ham Φ va Ψ j potensiallar yordamida ifodalanadilar. Qovushoq-elastik ikki qatlamli plastinkaning qatlamlari tebranishlari uning tashqi sirtiga ta’sir etuvchi zo’riqish kuchlarining teng ta’sir etuvchilari natijasida qo’zg’atiladi deb hisoblanadi. Boshqacha aytganda qo’yilgan uch o’lchovli masalaning chegaraviy shartlari quyidagicha ko’rinishda bo’ladi: σij(r,z,t)|r=rk= fij(k)(z,t); (i=r; j=θ,r,z; k=0,1 .) (1.3) Bundan tashqari ikki qatlamli plastinka qatlamlari orasida va ikki qatlamli plastinkani o’rab turuvchi deformatsiyalanuvchi turli xildagi muhitlar orasida kontakt sirtlarda ko’chishlar tengligi sharti qanoatlantirilishi kerak. Ikki qatlamli plastinka qatlam nuqtalari uchun potensiallarga nisbatan boshlang’ich shartlar nol deb qaraladi, ya’ni t<0 paytda ikki qatlamli plastinka tinch holatda bo’lgan uning ko’chishlari va tezligi bo’lmagan deb hisoblanadi. Ushbu magistlik ishida ham [12] ishdagi kabi tashqi uyg’otuvchi kuchlar fkj (i)(z,t)=∫ 0 ∞ sin qz − cos qz }dq ∫ (l) fkj (io)eptdp , (i=1,2 ;) (k,j= r,θ,z) (1.4) 11 ko’rinishda qabul qilinadi. Bunda fkj (io)(p,q) (i=1,2 ;) (k,j= r,θ,z) funksiyalar fkj (i)(z,t) tashqi zo’riqish kuchlarining funksiyalari bo’lib ularning tasviri quyidagicha ifodalanadi: |q|≤ q0; |sin p|≤ w 0 (1.5) Chunki tashqi kuchlarni ushbu sohadan tashqarida yetarli darajasida kichik deb hisobga olmaslik mumkin deb qabul qilinadi; p - tekislikdagi mavhum o’qning (− iω 0,iω 0) qismiga o’ngdan yondosh ochiq kontur. (1.1) - (1.3) tenglamalar bilan ifodalanuvchi qo’yilgan masalalarni yechish uchun Φ va Ψ j potensiallarni ham (4) ko’rinishda ifodalaymiz. Potensiallarning yuqorida aytilgan ifodalarini (1.1) harakat tenglamalari sistemasiga qo’yib, Besselning differensial tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Hosil qilingan Bessel tenglamalari aniq yechimini topish esa unchalik qiyinchilik tug’dirmaydi. So’ngra yangi izlanuvchi funksiyalar sifatida qatlam nuqtalari ko’chishlarining bosh qismlari bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlarini kiritib, hamda p va q parametrlar bo’yicha teskari almashtirishlarni bajarib, silindrik qatlamning yangi kiritilgan fungsiyalarga nisbatan tebranish tenglamalari olingan. Aytish kerakki, olingan bu tenglamalar tuzilishida t vaqt hamda bo’ylama va radial koordinatalar bo’yicha cheksiz kichik hosilalarga ega hadlar qatnashadi. Tabiyki bu cheksiz kichik hosilalarga ega hadlar olingan tenglamalarga doir amaliy masalalar yechish uchun imkonini bermaydi. Shuning uchun tenglamalar tarkibiga kiruvchi darajali cheksiz qatorning yaqinlashish sohasini aniqlash asosida qatorlarning chekli sondagi hadlarini olish bilan chegaralanish mumkinligi haqida xulosa chiqarilgan. Tenglamalar tarkibiga kiruvchi darajali cheksiz qatorlar nolinchi, birinchi va hokazo (n=0,1 va hokazo) yaqinlashishlar bilan chegaralanilgan va natijada tebranishlar taqribiy tenglamalari keltirib chiqarilgan. Bu tenglamalar taqribiy bo’lishlariga qaramasdan klassik va S.P.Timoshenko tipidagi tenglamalarga 12 nisbatan aniqlashtirilgan bo’lib, aylanish inertsiyasi va ko’ndalang siljish diformatsiyasi kabi effektlarni avtomatik tarzda hisobga oladilar. Tebranish tenglamalarini olishning yuqoridagi keltirilgan usulining boshqa usullarga nisbatan yana bir afzalligi shundaki, bu usul yordamida tebranish tenglamalari bilan bir qatorda kuchlanish va ko’chishlar maydonlarining hamma komponentalari uchun analitik formulalarni chiqarish mumkin. Silindrik qatlamning ixtiyoriy ravishda tanlangan nuqtadagi kuchlanganlik-deformatsiya- langanlik holatini vaqtning istalgan payti uchun ushbu formulalar yordamida aniqlash mumkin. S.P.Timoshenko tipidagi klassik va aniqlashtirilgan nazariyalar asosida bunday ishni bajarish mushkul. Professorlar X.Xudoynazarov va A. Abdurashidovlarning [20] monografiyasi ham xuddi shunday masalalarni yechishga bag’ishlangan. Bu ilmiy ishlar majmuasida deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar va konstruksiyalarning qobiqsimon elementlarining muhit bilan xususan suyuqlik bilan konstruksiyaga tashqi impulsli gidrodinamik va seysmik zo’riqishlar ta’siri davomidagi o’zaro ta’sirlashuviga oid masalalar tadqiqotlari natijalari keltirilgan. Bu masalalarning har biri muhandislik konstruksiyalari va inshoatlari elementlarining mustahkamligini ta’minlash bilan bog’liq. Deformatsiyalanuvchi qattiq va buzuluvchi qobiqsimon muhandislik konstruksiyalari elementlarining yuqori darajada qizdirilgan kriogen hamda pufakchali suyuqliklar bilan o’zaro nostatsionar ta’sirlashuviga oid ba’zi bir holatlar o’rganilgan. Prizmatik brus, plastinka va qobiq ko’rinishdagi konstruksiya elementlarining elastoplastik deformatsiyalanishi, ularning suyuq muhit bilan o’zaro ta’sirlashuviga qanday ta’sir ko’rsatishi taxlil qilingan. Gidrodinamik effektlarni hisobga olgan holda uch muhit ( qattiq, suyuq va gaz ) o’zaro nostatsionar ta’sirlashuviga oid dinamik masalalarni yechishning sonli usuli ishlab chiqilgan. Umuman olganda plastinka o’rta sirt tebranishlarini ular simmetrikligidan bizga ma’lum bo’lgan sodda approksimatsiyalangan. Bunda tekis kuchlanganlik holati paydo bo’ladi. Bu yengil approksimatsiyadan keyin elastiklik nazariyasining 13 uchtalik tenglamasi hosil bo’ladi. Plastinka tanlanayotganda uni to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida deb qaraymiz. U holda∂σx ∂x + ∂τxy ∂y + ∂τxz ∂z = ρ∂2u ∂t2 ∂τxy ∂x + ∂σy ∂y + ∂τyz ∂z = ρ∂2υ ∂t2 (1.6) ∂τxz ∂x + ∂τyz ∂ y + ∂σz ∂z= ρ∂2w ∂t2 Bunga mos normal va urinma kuchlanishlar quyidagicha yoziladi σx= λ( ∂u ∂x +∂υ ∂y +∂w ∂z)+2μ∂u ∂x σy= λ( ∂u ∂x +∂υ ∂y +∂w ∂z)+2μ∂υ ∂y ( 1. 7) σz= λ( ∂u ∂x +∂υ ∂y +∂w ∂z)+2μ∂w ∂z τxy= μ( ∂u ∂y +∂υ ∂x) τyz= μ( ∂υ ∂z +∂w ∂y) τzx= μ( ∂w ∂x+∂u ∂z) (1.8) Plastinkaning hamma joyida b u σz kuchlanish no’lga teng bo’ladi, ya’ni σz≡ 0 . τxy va τyz urinma kuchlanishlar plastinka chegarasida no’lga teng τxy|±h=0;τyz|±h=0.(1.9 ) Plastinka yupqa deb faraz qilinadi va shuning uchun qalinligi bo’yicha ko’chish va kuchlanishlarni quyidagi fo’rmula ko’rinishda kiritish mumkin. f¿= 1 2h∫ −h h fdz (1.10) (1.9) shartdan va kuchlar simmetrikligidan (1.6) sistemani (1.10) funksiya uchun z –h dan +h gacha o’zgarganda quyidagini xosil qilamiz ∂σx ∂x +∂τxy ∂y= ρ∂2u ∂t2 ∂τxy ∂x +∂σy ∂y= ρ∂2υ ∂t2 (1.11 ) xuddi shunday (1.7) va (1.8) formulalar ko’rinishi quyidagicha bo’ladi 14 σx= λ( ∂u ∂x +∂υ ∂y)+2μ∂u ∂x σy= λ( ∂u ∂x +∂υ ∂y)+2μ∂υ ∂y ( 1. 12) τxy= μ( ∂u ∂y +∂υ ∂x) Ushbu (1.12) orqali tasvirlangan ifodalarni (1.11) tenglamalar sistemasidagi kuchlanishlarni o’rniga olib borib qo’yilsa masalaning ko’chishlardagi vektor ko’rinishi xosil bo’ladi G ∇ 2u+(λ'+G )graddivu = ρ ∂2u ∂t2 (1.13) T.R. Kane va R.D. Mindlin o’zlarining [21] ishlarida plastinkaning simmetrik tebranishlari aniqlashtirilgan nazariyasini yaratganlar. Bunda umumlashgan tekis kuchlanganlik xolatning kengayishi deb qaralishi mumkin bo’lgan approksimatsiya kiritilgan va ko’chishlar komponentalari hamda V potensial energiya quyidagi ifoda bilan approksimatsiyalangan. U x=U x ¿(x,y,t) , U y= U y ¿(x,y,t) , U z= zh −1U z ¿(x,y,t) 2 V = λ ¿ ¿ Natijada quyidagi tenglamalar olingan. G ∇ 2u ¿ + (λ+G)graddiv u ¿ + hλ h graddiv uz¿+ 1 2hF= ρ∂2U ¿ ∂t2 G ∇ 2u ¿ − 3 kλ h2 div u ¿ − 3k2 h2 (λ+2G )U z¿+32hFz=ρ∂2U¿ ∂t2 Bu yerda grad, div va ∇2 operatorlari ikki o’lchovli; k-korreksiyalovchi koeffitsiyent; ⃗F - sirt kuchlariga mos keladi. (Fx,Fy,Fz)=(τzx,τzy,σz)z=h−(τzx,τzy,σz)z=−h R.D Mindlin va M.A.Medick o’zlarining [7] ishlarida plastinka simmetrik tebranishlarining aniqlashtirilgan tenglamalarini qalinlik bo’yicha siljish 15 deformatsiyasi hamda delatatsion deformatsiyalarning bog’liqligini hisobga olgan holda chiqarganlar. Ular ko’chish vektori komponentalarini Lejandr ko’bhadlari bo’yicha qatorlarga yoyishdan kelib chiqarganlar. V.V.Bolotin [5] tomonidan plastinkaning bo’ylama tebranishlari tenglamalari keltirib chiqarilgan. Tekis deformatsiya o’rinli bo’lgan hol uchun simmetrik bo’ylama tebranishlar uchun 1-yaqinlashishda umumlashgan tekis kuchlangan holat tenglamasi kelib chiqadi(− a1 ∂2 ∂x2+a2 ∂2 ∂t2)U = 0 (1.14) 2-yaqinlashish ikki modalik aproksimasiyani beradi. (−a1∂2 ∂x2+a2∂2 ∂t2+b1∂4 ∂x4−b2 ∂4 ∂t2∂x2+b3∂4 ∂t4)U=0 (1.15) 3-yaqinlashish uch modalik aproksimasiyani beradi. (− a1 ∂2 ∂x2+a2 ∂2 ∂t2+b1 ∂4 ∂x4− b2 ∂4 ∂t2∂x2+b3 ∂4 ∂t4− −d1 ∂6 ∂x6+¿d2 ∂6 ∂t2∂x4−¿d3 ∂6 ∂t4∂x2+¿d4 ∂6 ∂t6)U=0¿¿¿ (1.16) Bu yerda d 1 , d 2 , d 3 larning qiymatlari quyidagiga teng. d1=32 1−2ν ξ5 5! ; d2= ( 40 1− 2ν +83− ν 1− ν +16 1− ν 1− 2ν) ξ5 5! ; d3= (4 1− ν 1− 2ν+55− 2ν 1− ν +(1− 2ν)(4− 3ν) (1− ν)2 +28 1− ν 1− 2ν) ξ5 5!; d4= (10 +2 1− ν 1− 2ν +5 2 ⋅1− 2ν 1− ν ) ξ5 5! . D.C.Gazis va R.D. Mindln [7] ishlarida aniqlashtirilgan nazariya yordamida tekis deformatsiyaning umumlashgan tekis kuchlangan holatga jarayonini tekshirganlar. Bu narsa eni 2h qalinligi 2a bo’lgan plastinaning eni 2h va balandligi 2a bo’lgan balka-devorga o’tishiga mos keladi. Katta to’lqin uzunliklari uchun, qaysiki ko’ndalang va simmetrik tebranishlarning kichik modalariga mos keluvchi 16 to’lqin uzunligida fazoviy tezlikning limitik qiymatlari xisoblangan. Bu qiymatlar balka-devorning ko’ndalang tebranishlarida c c1 =ηa {1+ 6ν2 π2(1+ν)( h a) 2 [1− 2h πa √ 1−ν 2 ]} 1 2 (1.17) c c1 = ηa (1−ν2) 1 2[1− π2ν2 10 (1−ν)( a h) 2 ] 1 2 (1.18) I.T. Selezov va Yu. G. Krivonov [7] elastik plastinada “bo’ylama” yuguruvchi to’lqinlarning tarqalishini 3 ta nazariyalar asosida tekshirganlar. Yechim U=U0exp [i(sx−wt )] ko’rinishda izlanadi. Bu yerda s= 2π l ; ω= 2πc l ; l - to’lqin uzunligi; c -fazaviy tezlik. Yuqoridagi tenglamalardan kelib chiqgan holda dispersion tenglamalar olingan. 1-yaqinlashishda c2= a1 a2 (1.19) 2-yaqinlashishda c4− [ a2 b3( l 2π ) 2 + b2 b3]c2+[ a1 b3( l 2π) 2 + b1 b3]= 0 (1.20) 3-yaqinlashishda c6− [ b3 d4( l 2π ) 2 + d3 d4]c4+[ a2 d4( l 2π ) 4 + b2 d4( l 2π) 2 + d2 d4]c2− −[ a1 d4( l 2π) 4 + b1 d4( l 2π) 2 + d1 d4]= 0 (1.21) Xar xil limitik va xususiy xollar tekshirib chiqilgan. Mos guruhiy tezliklar taqqoslangan. 17 1.2. Plastinkalar klassik nazariyasining asosiy gipotezalari va munosabatlari. Hozirgi vaqtda plastinkalar texnikaning ko’pgina sohalarida, qurilishda, aviyasozlikda, mashinasozlikda, va boshqa xalq xo’jaligining turli sohalarida keng foydalaniladi. Bu esa ishlatilayatgan konstruksiyalarni engil, ishlatishga qulay qilib, tejamkorligi va yaxshi qurilishi zaruratiga olib keladi. Shu maqsadda biz to’g’riburchakli plastinkalarni hisoblashga doir jarayonlarni qarab chiqamiz. Plastinka deb bir o’lchami qolgan ikkita o’lchamidan yetarlicha kichik bo’lgan jismga aytiladi. Bu kichik o’lcham plastinkaning qalinligi deb ataladi. Plastinka o’rta sirti deb uning qalinligini teng ikkiga bo’luvchi sirtga aytiladi. O’rta sirtni chegarasidagi chiziqqa plastinka konturi deyiladi. x va y o’qlarini plastinka o’rta sirti bo’yicha z o’qini esa o’rta sirtga perpendikulyar qalinlik bo’yicha olamiz. Bu esa plastinka o’rta sirti nuqtalari asosiy ko’chishlari vertikal ko’chishlar bo’lib w orqali ifodalanishini bildiradi. Sirt egilishlarini o’rta sirt ko’chishlari w = w ( x , y ) orqali ifodalash mumkin va bu ko’chish plastinka o’rta sirti egilishi deyiladi. Plastinka qalinligi uni egilish xossasiga muhim ta’sir qiladi. Plastinkalarni a/h−¿ xarakterlovchi o’lchamiga qarab uchta turga ajratiladi. a − ¿ plastinkaning eni yoki uzunligi o’lcham i h−¿ plastinka qalinligi. Birinchi tur a/h≥80 bo’lganda plastinka membranaga aylanadi. Ular bilan ishlash ularning chetlarini mahkamlanishiga bog’liq bo’lib qoladi. Bunday plastinkalarning egilishga qarshiligi juda kam va uning o’rta sirti cho’zilishida qo’yilgan ko’ndalang yuk ta’siri muhim rol o’ynaydi. Bu ta’sir mambranaviy ta’sir 18 o’rta sirt tekisligi 1-rasm. Plastinka deyiladi va membrana har bir elementiga qo’yilgan ko’ndalang yuklanishni z o’qiga proeksiyasidan tashkil topadi. Juda ko’p ishlatiladigan o’rta 10 ≤a/h<80 oraliqdagi plastinkalar yupqa plastinkalar deb nomlanadi. Yupqa plastinkalar ikki sinfga ajratiladi: qattiq yupqa plastinkalar va egiluvchan yupqa plastinkalar. Agar yupqa pastinkalarda w / h ≤ 0.2 bo’lsa bunday kichik ko’chishlarda asosiy rolni egishda kuch faktori o’ynaydi. (O’rta sirt deformasiyasini va membranaviy zo’riqish kuchlarini hisobga olmaslik mumkin) Bu turdagi plastinkalar qattiq yupqa plastinkalar sinfiga kiradi. Agar 0.2 < w / h bo’lsa va o’rta sirt deformasiyasi hisobga olinadigan bo’lsa bunday plastinkalar egiluvchan yupqa plastinkalar deyiladi. Masalan: temirbeton plitalar qattiq plastinkalarga oddiy misol bo’sa, yupqa temir list (tunuka) egilishi qo’yilgan yukka bog’liq qattiq ham egiluvchan. Biz quyida yupqa qattiq plastinkalar egilishi hisobini qaraymiz. Bunday plastinkalar uchun o’rinli gipotezalar oddiy va chiziqli differensial tenglamalar bilan ifodalanadi. Egiluvchan plastinka (qobiq va membrana) tenglamalarining nochiziqli ekanligi masalani qiyinlashtiradi. Qattiq yupqa plastinkalar nazariyasi gipotezalari quyidagicha ifodalanadi: 1. O’rta sirtga normal mn kesma deformatsiyalangandan keyin ham o’rta sirtga normal va to’g’ri chiziqli element bo’lib qoladi. Bu holat “normal to’g’ri chiziq” gipotezasi deb nomlanadi. Ixtiyoriy to’g’ri chiziqli element o’rta sirt normali z o’qi bo’ylab yo’nalgan va gipoteza bo’yicha bu element bilan x,y o’qlar orasidagi to’g’ri burchak o’zgarmaydi, ya’ni; γxz=0,γyz=0(1.22 ) Gipotezaga ko’ra mn kesma deformatsiyalangandan keyin ham o’z uzunligini o’zgartirmaydi ya’ni plastinkaning qalinligi boyicha deformasiya yo’q, bundan εz=0(1.23 ) 19 2. O’rta sirt tekisligida cho’zilish, siqilish va buralish deformasiyalarining yo’qligi o’rta sirt neytral va unda ko’chishlar yo’q ekanligini bildiradi, ya’ni; u o ' r . sirt = υ o ' r . sirt = 0 ( 1.24 ) 3. Plastinka gorizontal qatlamlarida σ z kuchlanishni hisobga olmasa ham bo’ladi σx va σy kuchlanishlar esa teng bo’ladi. Bu ikki faraz adabiyotlarda Kirxgof gipotezasi deb nomlanadi, qobiqlar uchun qo’llanilganda Kirxgof-Lyav gipotezasi deyiladi. Plastinka egilishini o’rganishda ko’chish va deformasiyalarni ifodalashdan boshlaymiz. Plastinka o’rta sirti normali bo’yicha qo’yilgan yuklanishlar ta’sirini qaraymiz. Bunday kuchllanish ta’sirida plastinka ko’chishlarini qabul qilingan gipotezalar bo’yicha ifodalaymiz. Birinchi gipotezadan ( 1. 23) shartga ko’ra; εz= ∂w ∂z= 0 Bundan plastinka egilishlari w z kordinatadan bog’liq emasligi kelib chiqadi, ya’ni; w= w(x,y) Bu esa plastinka o’rta sirti egilishi hamma nuqtalari vertikal ko’shishlar w bilan ifodalanishini bildiradi. Siljsh uchun ( 1. 22) shartlarni quyidagicha olamiz; γyz= ∂v ∂z +∂w ∂y =0; γzx= ∂w ∂x+∂u ∂z= 0; bu sartlardan quyidagilarni olamiz: ∂u ∂z=− ∂w ∂x. ∂v ∂z =− ∂w ∂y ; Bu tenglamalarni z bo’yicha integrallasab, quyidagilarni olamiz, u=− z∂w ∂x + f1(x,y); v= − z∂w ∂ y + f2(x,y); ( 1. 25) f1(x,y) va f2(x,y) xususiy hosilalarni integrallashdan hosil bo’lgan funksiyalarni topish uchun o’ta sirtning deformasiyalanmaslik gipotezasidan foydalanamiz. ( 1. 24) shartga ko’ra ( 1. 25) formula z=0 uchun quyidagi ko’rinishni oladi: 20 u0= f1(x,y)= 0; v0= f2(x,y)=0; bunga ko’ra (25) quyidagi ko’rinishni oladi: u=− z∂w ∂x ; v= − z∂ w ∂ y . (1.26) Bu esa plastinka nuqalarining x va y o’qi yonalishida ko’chishlari, plastinka orta sirti egilishi funksiyasi orqali ifodalanishini bildiradi. Plastinkani noldan farqli deformasiyalari (1.26) ga ko’ra quyidagicha ifodalanadi: εx= ∂u ∂x =− z∂2w ∂x2; εy= ∂v ∂ y = − z∂2w ∂ y2; γxy= ∂u ∂y +∂v ∂x =−2z ∂2w ∂x∂y ( 1. 27) Demak, plastinka o’rta sirti egilishida deformasiyalar va ko’chishlar bitta funksiya bilan ifodalanadi. Normal kuchlanishlardan σx va σy noldan farqli uchinchi gipoteza ko’ra σz= 0 . Gukk qonunidan εx= 1 E(σx− νσ y), εy= 1 E (σy− νσ x) ( 1. 27) ga ko’ra bu ifodadan σx va σy larni quyidagicha yozish mumkin σx=−Ez 1−ν2( ∂2w ∂x2+∂2w ∂y2); σy=−Ez 1−ν2( ∂2w ∂y2+∂2w ∂x2). Guk qonunida γxy= τxy G , G= E 2(1+ν) ekanligidan τxy= E 2(1+ν) va γxy=− Ez (1+ν) ∂2w ∂x∂y. Urinma kuchlanishlar boshqa ikkita tekislik bo’yicha ( 1. 22) tenglikka asosan nolga tenglashtiriladi. 21 τzy= E 2(1+ν) ,γzy= 0 τzx= E 2(1+ν) ,γzx= 0.Bu natija faqatgina qabul qilingan gipotezaga muvofiq shunday olindi. Urinma kuchlanishlar noldan farqli ekanligini muvozanat tenglamalarida ko’rishimiz mumkin. Agar hajmiy kuchlarni hisobga olmasak ∂τxz ∂z=− ∂σx ∂x− ∂τxy ∂y Bunga ( 1. 22) va ( 1. 23) formuladagi kuchlanishlarni qo’ysak ∂τxz ∂z= Ez (1−ν2) (∂3w ∂x3+ν ∂3w ∂x∂y2)+ Ez 1+ν ∂3w ∂x∂y2 Soddalashtirishlardan keyin ∂τxz ∂z = Ez 1−ν2 ∂ ∂x(∂2w ∂x2+∂2w ∂y2), ∂τxz ∂z= Ez 1−ν2 ∂ ∂xΔ2w . Yoki z bo’yicha integrallasak σxz=τzx= Ez 2 2(1−ν2) ∂ ∂x∇2w+f3(x,y) f3(x,y) ixtiyoriy funksiyani ifodalash uchun chegaraviy shartlardan foydalanamiz. Yuqori va pastki plastinka tekisliklarida urinma kuchlar yo’q z=± h 2 τzx= 0 . Bu shartni ( 1. 24) fo’rmulaga qo’ysak Eh 2 8(1−ν2) ∂ ∂x∇ 2w+f3(x,y)=0 Bundan f3(x,y)=− Eh 2 8(1−ν2) ∂ ∂x∇2w Keltirilgan (1.24) formula ko’rinishi quyidagicha bo’ladi τzx=− E 2(1−ν2) (h2 4− z2)∂ ∂x∇2w (1.28) Xuddi shunday muvozanat tenglamalarining ikkinchisiga ko’ra 22 τyz=− E 2(1−ν2) (h2 4−z2)∂ ∂y∇2w (1.29) (1.22) (1.23) (1.28) va (1.29) formulalar plastinkaning o’rta sirtiga perpendikulyar kesimida hosil bo’ladigan kuchlanishlarni beradi σ x =− Ez 1−ν 2 ( ∂ 2 w ∂x 2 + ∂ 2 w ∂y 2 )¿ } σ y =− Ez 1−ν 2 ( ∂ 2 w ∂y 2 + ∂ 2 w ∂x 2 )¿ } γ xy =− Ez (1+ν) ∂ 2 w ∂x∂y ¿ } τ zx =− E 2(1−ν 2 ) ( h 2 4 −z 2 ) ∂ ∂x ∇ 2 w¿ } ¿¿¿ (1.30) 1.3. Ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishida plastinka qatlamlarida yuzaga keladigan ichki zo’riqish kuchlari Plastinkadan cheksiz kichik dxdydz element olamiz va uni rasmdagidek tasvirlaymiz. Tekislik normal x o’qiga parallel bo’lgan tekislikda σx , τyx va τzx kuchlanishlar joylashgan, σx kesimni tashqi normali bo’ylab yo’nalgan urinma kuchlanishlar koordinata o’qlari musbat y’onalishiga, kesim tashqi normali yo’nalishi esa x o’qining musbat yo’nalishiga mos keladi. Qaralayotgan kesim eni birligiga to’g’ri keluvchi normal ichki kuchni Nx bilan belgilaymiz. Bu x o’qiga parallel bo’lgan kesimga normal ichki kuchlar teng ta’sir etuvchisini x o’qdagi proeksiyasiga teng. Bu o’qga faqatgina σx kuchlanish proyeksiyalanadi. Cheksiz kichik yuza dxdz dagi ichki kuchlar dxdydz ga teng kesim birlik yuzasiga σxdz kuch to’g’ri keladi. Bunday elementar kuchlarlarning plastinka qalinligidagi yig’indisi normal kuchni ifodalaydi. 23 Nx= ∫ −h2 h 2 σxdtNormal kuchlanish σx ni o’rniga (30) formulani qo’yib integral belgisidan z ga bog’liq bo’lmagan kattaliklarni chiqarsak Nx=− E 1−ν2(∂2w ∂x2+ν∂2w ∂y2)∫ −h2 h 2 zdt Bundan N x= 0 ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday egiluvchan moment M x ni σxdz ⋅z elementar momentlar yig’indisi shaklida yozsak M z= ∫ −h 2 h 2 σxzdt = − E 1− ν2(∂2w ∂x2+ν∂2w ∂ y2)∫ −h 2 h 2 z2dt Bundan M x=− D (∂2w ∂x2+ν∂2w ∂y2) Bu yerda D= Eh 3 12 (1−ν2) (1.31) (1.31) kattalik silindrik bikrlik deb ataladi. U plastinka fizik geometrik xarakteristikalaridan iborat. Kesimda ko’ndalang kuch quyidagi ko’rinishda bo’ladi Qx=∫ −h2 h 2 τzxdx (1.30) formulaga ko’ra Qx=− E 2(1−ν2) ∂ ∂x∇ 2w∫ −h2 h 2 (h2 4−z2)dx Integrallashdan keyin 24 Qx=−D∂ ∂x ∇2wSiljish kuchlari sifatida Sx olsak u ichki kuchlarni z o’qdagi pro y eksiyalari yig’indisi hisoblanadi. (1.30) formulaga ko’ra Sx= 0 ekanligini ko’rish mumkin. Burovchi moment M yx= ∫ =h 2 h 2 τyxzdz =−D(1−ν) ∂2w ∂x∂y (1.32) Xuddi shunday y o’q bo’yicha M y=−D(∂2w ∂y2+ν∂2w ∂x2) M xy=−D(1−ν)∂2w ∂x∂y (1.33) Qy=−D ∂ ∂y ∇2w (1.32) va (1.33) fo’rmulalarda M xy= M yx= H desak plastinka o’rta sirtiga perpendikulyar kesimda ko’ndalang yuk ta’sirida hosil bo’ladigan ichki kuchlar: Eguvchi momentlar Mx=−D( ∂ 2 w ∂x 2+ν ∂ 2 w ∂y 2)¿ } ¿¿¿ (1.34) Burovchi moment H =− D(1−ν) ∂2w ∂x∂y (1.35) Ko’ndalang kuchlar 25 Q x =−D ∂ ∂x ∇ 2 w¿} ¿¿¿ (1.36) Biz yuqorida plasrinka o’rta sirti nuqtasida momentlar ko’ndalang kuchlar ifodasini qarab chiqdik. Shuningdek plastinka ixtiyoriy nuqtasi kuchlanishlarini ko’rib chiqdik. Ular orasidagi bog’lanishni quyidagicha ifodalash (1.32) va (1.34) formulalar bajariladi. { σx=12 Mx z h 3¿¿¿¿ Birlik enli to’g’ri to’rtburchakli kesim inersiya momenti J= h3 2 ekanligidan ‘materiallar qarshiligi’ kursidan ma’lumki σx= M x z J ; σy= M y z J . Normal kuchlanish maksimal qiymati z= ± h 2 da hosil bo’ladi {max σx= M x W ¿¿¿¿ Bu yerda W = 7 h/2= h2 6 endi bir to’g’ri to’rtburchakli kesim qarshilik momenti yuqoridagi (1.32) va (1.36) fo’rmuladan τxy urinma kuchlanishni H burovchi moment orqali ifodalash mumkin. τxy=12 Hz h3 maksimal urinma kuchlanish z=± h 2 da hosil bo’ladi max τxy= 6H h2 Vertikal urinma kuchlanish (1.32) va (1.35) dan qirquvchi kuchlar orqali quyidagicha ifodalanadi. τzx=6Qx ( h2 4− z2) h3 ; τyz= 6Q y ( h2 4− z2) h3 . Plastinka o’rta sirtida urinma kuchlanish z=0 da maksimal qiymatga erishadi. 26 max τzx= 3Qx 2h , max τyz= 3Qy 2h . 27 II-BOB IKKI QATLAMLI CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN PLASTINKANING NOSTATSIONAR SIMMETRIK TEBRANISHLARI 2.1. Ikki qatlamli plastinka chetlari turlicha mahkamlanganda chegaraviy shartlarning qo’yilishi Tekis taqsimlangan q= q(x,y) ko’rinishidagi ko’ndalang kuch ta’sirida plastinka o’rta qatlami egiladi, hosil bo’lgan egrilanish sirtining egilishi w= w(x,y) kabi belgilanadi. Plastinkada eguvchi va burovchi momentlardan tashqari τxy va τyz urinma kuchlanishlar natijasi sifatida Qx va Qy ko’ndalang kuchlar paydo bo’ladi. 1- rasmdan ko’rinadiki ko’ndalang kuchlar Qx va Qy lar quyidagi ko’rinishda tasvirlash mumkin. x va y o’qi bo’yicha hamma mometlar proyeksiyalari yig’indisini nolga teng desak, ∂M x ∂x dxdy + ∂M xy ∂y dydx −Qxdxdy =0 (2.1) bundan Qx= ∂M x ∂x + ∂M xy ∂y ; Qy= ∂M y ∂y + ∂M xy ∂x (2.2) Xuddi shunday z o’qqa nisbatan momentlar yig’indisi nol desak, дQ x дx dxdy + дQ x дy dydx − qdxdy = 0 bundan 28 q= ∂Qx ∂x + ∂Qy ∂y ( 2.3 ) bu yerda q ko’ndalang yuklanish. ( 2.3 ) ifodaga (1.36) ni qo’ysak, ∂2M x ∂x2 +2∂2M xy ∂x∂y+∂2M y ∂y2 =q (2.4) tenglikka kelamiz. Bu ifoda (1.24) ga ko’ra quyidagi ko’rinishni oladi. D( ∂4w ∂x4+2 ∂4w ∂x2∂y2+∂4w ∂y4)=q yoki qisqacha, ∇2∇2w= q D ( 2.5 ) ( 2.5 ) tenglama plastinka egilishi differensial tenglamasi deyiladi. (1.24) va ( 2.1 ) ga asosan plastinkada eguvchi moment ifodasi uchun quyidagini olamiz ; M x+M y=− D (1+μ)( ∂2w ∂x2+∂2w ∂y2) yoki ∇2w=− M x+M y D(1+μ) ; ( 2.6 ) bundan 29 ∇2∇ 2w=− ∇ 2(M x+M y) D(1+μ) ( 2.7 ) (2.5) tenglamaga bu ifodani qo’ysak ∇ 2(M x+M y)=−(1+μ)q ; (2.8) Bu tenglama (2.5) tenglamaga teskari tenglama bo’lib plastinkaning materialining fizik xususiyatidan bog’liq emas bu esa elastik izotrop plastinka uchun to’ri keladi. (2.5) tenglama elastik plastinka uchun asosiy tenglama hisoblanadi. Plastinka egilishlari, o’rta sirt burilish burchagi, eguvchi va burovchi momentlar, ko’ndalang kuchlar uning tomonlarining qanday mahkamlanishiga bog’liq. Chegaradagi ko’chishlar, egilish va o’rta sirt burilish burchagi berilishi shartlari geometrik shartlar deyiladi. Chegaradagi kuchlar, eguvchi va burovchi momentlar, ko’ndalang kuchlarni berilish shartlari statik shartlar deyiladi. Agarda bir vaqtda ham ko’chishlar uchun, ham kuchlar uchun shartlar berilgan bo’lsa, bunday chegaraviy shart aralash chegaraviy shart deyiladi. Har bir tomon uchun 2 ta chegaraviy shart beriladi. Plastinka chetlari turli shaklda mahkamlanganda chegaraviy shartlarni berilishi qaraymiz. 1) Qistirib mahkamlanganlik sharti. y o’qdagi x= 0 tomon qattiq mahkamlangan bo’lsin. Bu tomonda ko’chish va y o’qqa nisbatan burilishlar yo’q ya’ni x=0 da w=0, ∂w ∂ y = 0. ( 2.9 ) 2) Sharnirli mahkamlanganlik sharti. Sharnirli mahkamlangan tomon uchun, w=0 , va M x=0 , ( 2.10 ) yoki, bu esa ko’chishlar orqali, 30 w=0, ∂2w ∂x2+μ∂2w ∂y2= 0 bu tomonda y= const bo’lganidan ∂2w ∂y2=0 ekanligi ma’lum, bundan chegaraviy shart quyidagicha bo’lishi kelib chiqadi. w=0 , ∂2w ∂x2=0 . 3) Erkin tayangan chet uchun chegaraviy shartlar . Bu holda eguvchi moment M y , ko’ndalang kuch Qy burovchi moment M xy nolga aylanadi. Bu 2 ta shart emas 3 ta shartdir. Masala echishda chegaraviy shart 2ta berilishi shart. Bu ziddiyatni yo’qotish uchun oxirgi ikkita shartni bitta shartga keltiramiz. Chegarada burovchi moment va ko’ndalang kuch bittakuch bilan ifodalanishini ko’rsatamiz. Bu kuchlar statik jihatdan ekvivalent burovchi moment M xy x o’qqanisbatan parallel joylashgan dx uzunlikda burovchi moment M xydx gat eng M xy ni yo’nalishi bo’yicha vertikal ravishda dx ga ko’chganda qarasak dx cheksiz kichik uzoqlashganda burovchi moment (M xy+ ∂M xy ∂x dx )dx ga teng. Har bir dx cheksiz kichik qismga ∂M xy ∂x dx mos keladi. Demak har bir taqsimlanishda kuch ∂M xy ∂x ga teng. C va B nuqtalarda hosil bo’lgan kuchlar, vertikal yuk ko’ndalang kuchga kuchsizlantiriladi. CB tomonda keltirilgan ko’ndalang kuch; Qyk=Q y+ ∂M xy ∂x va Qxk=Qx+ ∂M xy ∂y (2.11) (2.1) ning uchinchi tenglamasini x va y bo’yicha differensiyallab ko’chishlar orqali ifodalasak; 31 ∂M xy ∂x =D(1−μ)∂3w ∂x2∂y ; ∂M xy ∂y =D(1−μ)∂3w ∂y2∂x . (2.12) (2.11) ifodalarni (2.2) ga ko’ra (2.12)ni hisobga olib yozsak quyidagiga kelamiz: x= 0 tomon erkin bo’lsin, u holda bu tomon uchun chegaraviy shart quyidagicha olinadi. Qyk=D[ ∂3w ∂x3+(2−μ) ∂3w ∂y2∂x]; Qxk=D[ ∂3w ∂y3+(2− μ) ∂3w ∂x2∂y]. Xuddi shunday plastinkaning chetlarida uchta shart, eguvchi moment,burovchi moment va ko’ndalang kuch faqat ikkita eguvchi moment va keltirilgan ko’ndalang kuch sifatida qaraladi. M y=0 va Q yk= 0 bu munosabat ko’chishlar orqali quyidagicha yoziladi: ∂2w ∂x2+μ∂2w ∂y2= 0 , ∂3w ∂x3+(2− μ) ∂3w ∂x∂y2=0. Bu yerdan ko’rinadiki plastinkaning chetlari erkin tayangan holda chegaraviy shartlar oldingilariga nisdbatan ancha murakkab bo’lar ekan. 2.2. Qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning tebranishlari haqidagi ayrim tadqiqotlar sharhi. Texnika va qurilishning turli sohalarida, ko’p qatlamli, xususan ikki qatlamli kompozit plastinkalar keng qo’llaniladi. Bunday hollarda plastinkalar dinamik hisobi Kirxgoff gipotezalariga asoslangan klassik nazariyaga tayangan holda olib boriladi [1]. Bunday ilmiy ishlarni to’plamiga juda ko’plab ilmiy maqolalarni kiritish mumkin. Kirxgoff gipotezalariga asoslangan klassik nazariyaning bundan keyingi rivojiga ko’plab avtorlar o’zlarining ilmiy ishlari bilan xissa qo’shishdi. Ularning tadqiqotlarini quyidagi ikki yo’nalishga bo’linadi. Asimtotiklik nazariya hamda 32 Timoshenko va Reyssner tipidagi nazariyalar. Keyingi bir necha o’n yilliklarda G.M.Petrashenning aniq yechimlar usuliga asoslangan plastinka tebranishlari nazariyalari ishlab chiqilgan. I.G.Filippov va uning o’quvchilari ushbu aniq yechimlar metodi bilan simmetrik strukturaga ega bir jinsli va uch qatlamli plastinkalarning turli xildagi tebranish nazariyalari ishlab chiqildi. Maskur ilmiy ishlarda, tebranish tenglamalarini ishlab chiqishda, izlanuvchi kattaliklar sifatida plastinka to’ldiruvchi qatlami o’rta sirti ko’chishlarining komponentalari bosh qismlari olingan. Taklif etilayotgan nazariya bo’yicha bunday noma’lum izlanuvchilarning umumiy soni oltiga teng. Nazariyani ishlab chiqishda quyidagi kamchiliklarga yo’l qo’yilgan: 1. faqat simmetrik strukturaga ega bo’lgan uch qatlamli plastinkalar qaralgan yoki boshqacha aytganda tadqiq qilingan; 2. plastinka to’ldiruvchi qatlami o’rta sirti ko’chishlari komponentalarining bosh qismlari izlanuvchi kattaliklar sifatida qabul qilingan. Bunday noma’lum izlanuvchilarning umumiy soni taklif etilgan nazariya bo’yicha oltiga teng. Agar chegaraviy shartlar aniq shakllantiriladigan bo’lsa bunday noma’lum izlanuvchilar soni, avtorlarning o’zlarining tan olishlariga ko’ra, 12 (o’n ikki) taga yetadi; 3. chegaraviy shartlar to’diruvchi qatlam o’rta sirti ko’chishlarining bosh qismlariga nisbatan shakllantirilganki, umuman olganda bu narsa prinsipial noto’g’ri; 4. yuqorida aytilgan mulohazalar, oxir-oqibat mualliflarni muhim soddalashtirishlar qilishga majbur etgan. Bu esa o’z navbatida uch qatlamli plastinkaning olingan natijaviy tebranish tenglamalarini bir jinsli plastinkaning tebranish tenglamalariga juda yaqin holatga keltirib qo’ygan; 5) uch qatlamli plastinkaning ishlab chiqilgan tebranish tenglamalari, xususiy holda, ikki qatlamli plastinkaning tebranish tenglamalariga o’tmaydi, chunki qaralayotgan uch qatlamli plastinkaning strukturasi simmetrikligi uchun, plastinka tashqi qatlamlaridan birining olib tashlanishi avtomatik tarzda ikkinchi tashqi qatlamning yo’qotilishiga olib keladi. Xuddi shunday, agar to’ldiruvchi 33 qatlam olib tashlansa ikki chetki qatlamlar birlashib yana bir jinsli yagona qatlamga aylanadi. Ushbu magistrlik dissertatsiya ishida yuqoridagi aniq yechimlar usuli bilan, ammo masalani tekis masala sifatida qarab ikki qatlamli kompozit elastik plastinkaning statsionar bo’lmagan tebranishlari tenglamalari keltirib chiqarilgan. Ammo, bu yerda yuqorida sanab o’tilgan kamchiliklar chetlab o’tilgan. Xususan tadqiqot ishida: 1) qaralayotgan ikki qatlamli plastinkalar simmetrik strukturaga ega emas; 2) izlanuvchi kattaliklar sifatida plastinka to’ldiruvchi qatlami o’rta sirti emas balki “oraliq sirti”: ko’chishlari komponentalarining bosh qismlari qabul qilingan. Bunda noma’lum izlanuvchilarning umumiy soni faqat ikkitaga teng. 3) chegaraviy shartlar to’diruvchi qatlam va chetki qatlamlar kontakt sirtlari ko’chishlarining bosh qismlariga nisbatan shakllantirilgan; 4) ushbu ikki qatlamli plastinkaning ishlab chiqilgan tebranish tenglamalari , xususiy holda, bir qatlamli plastinkaning tebranish tenglamalariga o’tadi; 5) Sanab o’tilgan afzalliklardan eng asosiysi bo’lib qaralayotgan ikki qatlamli kompozit plastinkaning simmetrik strukturaga ega emasligi hisdoblanadi. 2.3. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostatsionar tebranishlari haqidagi masalaning qo’yilishi To’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida cheksiz o’lchamdagi ikki qatlamli plastinkani qaraymiz . Plastinkaning ratsoinal konstruksiyasi, uning egilishga ishlashi nuqtai nazaridan shunday bo’lishi kerakki bunda ikkala qatlam ham yetarli darajada bikr moddaning asosiy massasi shu yoki boshqa moddadan tashkil topgan ikkinchi qatlam yordamida ma’lum masofaga siljitilgan. Agar plastinkaning sof egilishi haqidagi masaladan boshqa masalalar qaralayotgan bo’lsa, u holda, tushunish qiyin emaski, yuqori 34 1-rasm qatlamning birgalikdagi ishi quyi qatlamning sijishga qarshilik ko’rsatish xususiyatidan bog’liq bo’ladi. Shundan kelib chiqqan holda, ikki qatlamlar orasidagi kontaktni bikr deb hisoblaymiz. Plastinka qatlamlari o’lchamlari chegaralanmaganligini e’tiborga olib, bundan keyin plastinka tekis deformatsiya holatida bo’ladi deb hisoblaymiz, va unga Оxyz to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini joylashtiramiz (1-rasm) . Bunda Оx va Оy o’qlarini Оxz ko’ndalang kesimning o’rta chizig’i bo’ylab yo’naltiramiz Оz o’qini esa yuqoriga qarab yo’naltiramiz. Ikki qatlamli plastinka qatlamlarini xuddi 1-rasmdagidek qilib raqamlaymiz, ya’ni yuqori qatlamni - birinchi qatlam deb, quyi pastki qatlamni - ikkinchi qatlam deb ataymiz. Faraz qilaylik h1 , va 2h2 - birinchi va ikkinchi qatlamlar qalinliklari; - qatlamlar moddalarining Lame koeffitsiyentlari yoki elastik o’zgarmaslari; - qatlamlarning hajmiy zichliklari bo’lsinlar. Ikki qatlamli plastinka qatlamlaridagi nuqtalar deformatsiyasi va kuchlanishlari orasidagi boglanishlar Guk qonuni munosabatlari ko’rinishida berilgan [20]: σii (m)= λ ε(m)+2 μmεii (m) (i,j= x,z) σij(m)= μmεij(m), (i≠ j),(m = 0,1,2 ). ( 2.13 ) Ma’lumki dekart koordinatalar sistemasida plastinka qatlamlari ixtiyoriy nuqtasining harakat tenglamalari quyidagicha aniqlanadi σij,j (m)= ρm ¨Ui (m), (m=0,1,2 ) ( 2.14 ) Bu harakat tenglamalari agar bo’ylama Φm va ko’ndalang ψm to’lqin potensial funksiyalarini quyidagi ⃗U(m)= grad Φm+rot { ⃗ψm¿ ( 2.15 ) formula yordamida kiritilsa [21], quyidagi to’lqin tenglamalariga keladi 35 { (λm+2μm)ΔΦ m= ρm ¨Φm; μmΔ⃗ψm= ρm⃗¨ψm; ( 2.16 ) bu yerda Δ - Laplas differensial operatori. Tekis deformatsiya holatida qatlam nuqtalari ko’chish vektori quyidagiga teng ⃗U m= U m⋅⃗i+W m⋅⃗k , Um=Um(x,z,t) ; W m=W m(x,z,t) , ( 2.17 ) bu yerda ⃗i , ⃗k – koordinata o’qlarining birlik ortlari ⃗Φm=ϕm(x,z,t) ; ⃗ψm=ψm(x,z,t)⃗j ( 2.18 ) bu yerda ⃗j – Oy o’qi birlik orti, plastinka qatlamidagi nuqtalar harakat tenglamalari quyidagi ko’rinishga ega Δϕm(x,z,t)= ρm λm+μm ¨ϕm(x,z,t); Δψ m(x,z,t)= ρm μm ¨ψm(x,z,t), ( 2.19 ) bu yerda Δ=∂2/∂х2+∂2/∂х2. ( 2.20 ) Gelmgols teoremasiga ko’ra ichki manbalar bo’lmaganida ko’ndalang to’lqinlarning ⃗ψm - vektor potensiallari vektor maydonlarning quyidagi solenoidallik shartni qanoatlantirishi kerak div { ⃗ψm=0¿ , m= 0,1,2 . Ushbu shart ( 2.15 ) o’rinli bo’lganida avtomatik tarzda bajariladi. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli p lastinka vaqtning t<0 paytlari uchun tinch holatda bo’lgan va t=0 paytda uning chegaraviy sirtlariga dinamik yuklar ta’sir qila boshlagan deb hisoblaymiz 36 σxz (1)(x,z,t)|z=h2+h1=Fx (1)(x,t); σxz (2)(x,z,t)|z=−h2=Fx (2)(x,t); σzz (1)(x,z,t)|z=h2+h1=Fz (1)(x,t); σzz (2)(x,z,t)|z=−h2=Fz(2)(x,t); ( 2.21 ) Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka q atlamlarning kontakt z=h2 sirtida bundan tashqari quyidagi kinematik va dinamik shartlar o’rinli σzz (2)(x,z,t)|z=h2=σzz (1)(x,z,t)|z=h2; σxz (2)(x,z,t)|z=h2=σxz (1)(x,z,t)|z=h2. ( 2.22 ) va U2(x,z,t)|z=h2=U1(x,z,t)|z=h2; W 2(x,z,t)|z=h2=W 1(x,z,t)|z=h2. ( 2.23 ) t= 0 paytda boshlang’ich shartlar nolga teng deb hisoblanadi. ϕm= ψm= 0, ∂ϕm ∂t = ∂ψm ∂t = 0. ( 2.24 ) Shunday qilib chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlari haqidagi masalani ( 2.20 )-differensial tenglamalar sistemasini ( 2.22 ), ( 2.23 ), ( 2.24 ), chegaraviy va kontakt shartlar hamda nolga teng boshlang’ich shartlarda yechishga keltiriladi. Endi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlarida plastinka qatlamlari nuqtalari ko’chish vektori komponentalarini hamda kuchlanish va deformatsiya tenzori komponentalarini ( 2.15 ) ko’rinishdagi potensial funksiyalar orqali yozamiz. Yuqoridagi ( 2.18 ) ifoda va ( 2.17 ) formuladan U m= ∂ϕm ∂x − ∂ψm ∂z ; W m= ∂ϕm ∂z + ∂ψm ∂x ,(m= 1,2 ), ( 2.25 ) ifodalar osongina hosil bo’ladi 37 Shunga o’xshab chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlarida plastinka qatlamlari nuqtalari deformatsiya tenzori komponentalari uchun ham εxx(m)= ∂2ϕm ∂x2 − ∂2ψm ∂x∂z ; εzz(m)= ∂2ϕm ∂z2 +∂2ψ m ∂ x∂z ; εxz(m)= 2∂2ϕm ∂ x∂ z− ∂2ψm ∂z2 +∂2ψ m ∂ x2 . ( 2.26 ) kuchlanish tenzori komponentalari uchun ham σxx(m)= λm(Δϕm)+2μm( ∂2ϕm ∂x2 + ∂2ψm ∂x∂z); σxz (m)= μm(2∂2ϕm ∂x∂z− ∂2ψm ∂z2 +∂2ψm ∂x;2); σzz (m)= λm(Δϕm)+2μm( ∂2ϕm ∂z2 + ∂2ψm ∂x∂z). ( 2.27 ) qiyinchiliksiz chiqadi. Deformatsiya tenzori komponentalarining ham kuchlanish tenzori komponentalarining ham qolganlari nolga teng bo’ladi. 38 III-BOB CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALARI 3.1. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostatsionar simmetrik tebranishlari haqidagi masalaning yechimi Elastiklik nazariyasiga ko’ra chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlarida plastinka qatlamlari nuqtalarining umumiy siljishini alohida simmetrik va antisimmetrik siljishlar yig’indisi ko’rinishida tasvirlash mumkin. [16]⃗U m= ⃗U m s+⃗U m a , (3.1) bu yerda ⃗Um s - chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlarida plastinka qatlamlari ko’chishlar maydonlari simmetrik (bo’ylama) qismlari, ⃗Um a - chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlarida plastinka qatlamlari ko’chishlar maydonlari antisimmetrik (egilishdagi) qismlari. Bu yerda (3.1) у ig’indi maydon (2.18) chegaraviy shartni qanoatlantiradi, uning simmetrik qismi esa (2.21) shartni quyidagi tengliklar o’rinli bo’lganida qanoatlantirishi zarur fx(1)(x,t)=− fx(2)(x,t)=1 2(Fx(1)+Fx(2)) fz (1)(x,t)= fz (2)(x,t)=1 2(Fz (1)+Fz (2)) (3.2) Ya’ni masaladagi (2.21) chegaraviy shart bu holda ushbu ko’rinishni oladi σxz (1)(x,z,t)|z=h2+h1= fx (1)(x,t); σxz (2)(x,z,t)|z=−h2= fx (2)(x,t); σzz (1)(x,z,t)|z=h2+h1= fz (1)(x,t); σzz (2)(x,z,t)|z=−h2= fz(2)(x,t); (3.3) 39 Shunday qilib, chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlari masalasi (2.19) tenglamalarni (3.3) – chegaraviy, (2.22), (2.23) – kontakt va (2.24) – boshlang’ich shartlarda yechishga keltiriladii. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlari masalani yechish uchun chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka sirtiga qo’yilayotgan tashqi ta’sirlarning (3.3) funksiyalari fx(1,2)(x,t) va fz(1,2)(x,t) larning ifodalarini aniqlash zarur. Bu funksiyalarni aniqlashda ularga quyidagi shartlarni qanoatlantirishlarini talab qilish zarur bo’ladi [ 17]: 1) ko’rsatilgan funksiyalar yetarli darajada umumiy bo’lgan biror (G) funksional sinfga tegishli bo’lishi kerakki, bu sinf plastinkaga ta’sir qilishi mumkin bo’lgan real tashqi ta’sirlarni xarakterlay olsin yoki bunday ta’sirlarni (G) sinfdan olingan funksiyalarni qo’shish natijasida olish imkoniyatini yarata olsin; 2) tadqiqotlar ahamiyatsiz matematik almashtirishlar bilan qiyinlashtirilmasligi uchun bu funksiyalar yetarli darajada soda strukturaga ega bo’lishlari zarur; 3) Ushbu mulohazalardan kelib chiqqan holda tashqi ta’sirlar funksiyalarini quyidagi ko’rinishlarda tasvirlash mumkin fx (1,2 )(x,t)=∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~fx (1,2 )(k,p)eptdp , fx (1,2 )(x,t)=∫ 0 ∞sin kx − cos kx }dk ∫ (l) ~fx (1,2 )(k,p)eptdp , (3.4) bu yerda fx(1,2 )(k,p) , fz(1,2 )(k,p) - Re p≥ 0 sohada chekli sondagi qutb nuqtalariga ega bo’lgan hamda o’zida mavhum o’qning (−iω 0,iω 0) oralig’ini saqlovchi biror Ω(k,p) sohaning ichida ixtiyoriy qiymatlarni qabul qiluvchi, p→∓ i∞ bo’lganda |p| −n0 , bunda n0>> 1 ga nisbatan tezroq kamayuvchi, va nihoyat Ω (k,p) sohadan tashqarida hisobga olmaslik mumkin bo’lgan darajada kichik bo’lgan regulyar funksiyalar. Bundan tashq1ari ~fx (1,2 )(k,p) va ~fz (1,2 )(k,p) funksiyalar - (0,k0) 40 oraliqda ixtiyoriy qiymatlarni qabul qiluvchi, k→ ∞ bo’lganda xuddi k−n0 kabi kamayuvchi va k>k0 bo’lganda esa hisobga olmaslik mumkin bo’lgan darajada kichik bo’lgan analitik funksiyalar; (l) – (p) ко mpleks tekislikdagi Ω (k,p) на sohani o’zidan o’ngda qoldiruvchi Re p= ν>0 kontur. Tashqi ta’sir (3.4) funksiyalar uchun qabul qilingan mulohazalarga mos holda (2.19) (3.3), (2.22), (2.23) va (2.24) masalaning yechimini quyidagi ko’rinishda izlaymiz ϕm(x,z,t)=∫ 0 ∞ sin kx −cos kx }dk ∫ (l) ~ϕm(z,k,p)eptdp , ψm(x,z,t)=∫ 0 ∞ cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~ψm(z,k,p)eptdp (m=1,2 ) (3.5) Ushbu (3.5) almashtirishlarni (2.19) tenglamalar sistemasiga qo’yib quyidagini hosil qilamiz d 2 ~ φ m d x 2 − α m2 ~ φ m = 0 ; d 2 ~ ψ m d x 2 − β m2 ~ ψ m = 0 ; (m=0,1,2 ) (3.6) bu yerda αm2= k2+ρmp2(λm+2μm)−1; βm2= k2+ρmp2μm−1; Olingan (3.6) tenglamalar sistemasining umumiy yechimlari ko’rinishlari quyidagicha bo’lishi ma’lum ~ϕm(z,k,p)= A1(m)(k,p)ch (αmz)+A2(m)(k,p)sh (αmz); ~ψm(z,k,p)=B1(m)(k,p)sh (βmz)+B2(m)(k,p)ch (βmz),(m=0,1,2 ). (3.7) Tebranishlar simmetrik bo’lgan holda (3.2) munosabatlar asosida quyidagi faktlarni o’rnatish qiyin emas fx(2)=− fx(1) va fz(2)=− fz(1). Bu tengliklar (3.7) umumiy yechimlarda A2(m)= 0, B2(m)= 0, (m = 0,1,2 ) deb olish zarurligini ko’rsatadi. 41 Shunday qilib plastinkaning bo’ylama tebranish tenglamalar bo’lgan (3.6) tenglamalar sistemasining umumiy yechimini quyidagi ko’rinishda tanlaymiz va qabul qilamiz~ϕm(z,k,p)=A1 (m)(k,p)ch(αmz); {     ~ψ m (z,k,p)=B1 (m)(k,p)sh(βmz),(m=0,1,2 ).¿ (3.8) Qaralayotgan plastinka qatlamlarining bo’ylama Um va ko’ndalang Wm ko’chishlarni xuddi (3.5) dek ko’rinishda tasvirlaymiz, ya’ni Um(x,z,t)=∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~Um(z,k,p)eptdp , W m(x,z,t)=∫ 0 ∞sin kx −cos kx }dk ∫ (l) ~W m(z,k,p)eptdp . (3.9) Keltirilgan (3.5) va (3.9) ifodalarnilarni ko’chishlarning (2.25) ifodasiga qo’yib, ~Um va ~Wm almashtirilgan ko’chishlar uchun quyidagilarni hosil qilamiz ~Um=k~ϕm−∂ ∂z ~ψm, ~W m=∂ ∂z ~ϕm−k~ψm (3.10) Potensial funksiyalarning (3.8) ifodalarini almashtirilgan ko’chishlarning (3.10) ifodalariga qo’yamiz ~U m=kA 1(m)ch (αmz)− βmB1(m)ch (βmz); ~W m=αmA1(m)sh (αmz)−kB 1(m)sh (βmz). (3.11) Oxirgi (3.11) ifodalarning o’ng tomonlarini αz va βz larning darajalari bo’yicha darajali qatorlarfa yoyamiz. Buning uchun bu ifodalarning o’ng tomonlaridagi ifodalar tarkibiga kiruvchi giperbolik funksiyalarning darajali qatorlarga standart yoyilmalaridan foydalanamiz sh (αz )= ∑ n=0 ∞ (αz )2n+1 (2n+1)! ; ch (βz )= ∑ n=0 ∞ (βz )2n (2n)! ; ( 3.12 ) 42 Usbu ( 3.12 ) formulalarni ( 3.11 ) ifodalarga qo’ysak ~U m= ∑ n=0 ∞ [kα m2n⋅A1 (m)− βm2n+1B1 (m)]z2n (2n)! ; ~W m= ∑ n=0 ∞ [αm2n+2⋅A1 (m)− kβ m2n+1B1 (m)]z2n+1 (2n)! (3.13) Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlari tenglamalaridagi asosiy izlanuvchi funksiyalar sifatida nolinchi qatlamning shunday sirti nuqtasining almashtirilgan ~U2 va ~W2 kochishlarining bosh qismlarini qabul qilamizki, bu sirtning o’zi z=0 tekislikdan quyidagi formula bilan aniqlanuvchi masofada yotadi ξ= χ⋅h2 − 1≤ χ<0 ; 0≤ χ<1 (3.14) Bu yerda χ - о ’zgarmas son bo’lib −1≤ χ≤1 tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu ishni bajarish uchun (3.13) ifodalarda z=ξ, m=0 и n=0 deb olamiz. U holda ~U2 (0) va ~W 2 (0) belgilashlarni kiritib ushbu ikki noma’lumli ikki tenglama sistemasiga ega bo’lamiz ~U 2(0)= kA 1(2)− β2B1(2), ~W 2(0)=[α22A1(2)−kβ 2B1(2)]ξ. (3.15) Bu sistemani yechib A1(2) va β2B1(2) larni topamiz A1(2)= 1 ξ ~W 2(2)− k~U 2(2) α22− k2 β2B1 (2)= k ξ ~W 2 (2)− α22~U 2 (2) α22− k2 (3.16) quyidagicha belgilash kiritamiz Qm(n)= αm2n− βm2n αm2− βm2 ; qm=1− LmM m−1 (3.17) bu yerda Qm(0)= 0 , Qm(1)=1 , Qm(n)= αm2+βm2 , m=1,2 ; n=0,1,2 ,... 43 Nihoyat, ( 3.16 ) qiymatlarni ( 3.13 ) ifodalarga qo’yib ya’ni m=0 da ( 3.17 ) ni hisobga olgan holda quyidagilarni hosil qilamiz ~ Um=∑ n=0 ∞ [ kq 2Q2 (n) ( 1 ξ ~ W 2 (2) −k ~ U2 (2) ) −β2 2n~ U2 (2) ] z 2n (2n)! ;¿ } ¿¿ −h2≤z≤h2, ¿ ( 3.18 ) Olingan ( 3.11 ) yechimni (2.22) kontakt shartga qo’yib ya’ni z=h2 da ushbu sistemaga ega bo’lamizi kA 1 (2)ch α2h2−β2B1 (2)ch β2h2=kA 1 (1)ch α1h2− β1B1 (1)ch β1h2; α2A1(2)sh α2h2−kB 1(2)sh β2h2=α1A1(1)sh α1h2−kB 1(1)sh β1h2. (3.19) Olingan sistema ikki A1(1) va B1(1) noma’lumlarga nisbatan ikkita algebraic tenglamalar sistemasidan iboratdir. Bu sistema asosiy determinantining qiymati Δ 1 0= ¿ |kch α 1 h 2 − β 1 ch β 1 h 2 ¿| ¿ ¿ ¿ ¿ (3.20) ga, yordamchi determinantlar qitmatlari esa Δ A1 (1) 0 =¿ |kA 1 (2) ch (α2h2)−β2B1 (2) ch β(¿2h2) −β1ch (β1h2)¿|¿ ¿ ¿¿¿ ¿ ¿ (3.21) va Δ B1 (1) 0 =¿ |kch (α1h2) kA 1 (2) ch (α2h2)− β2B1 (2) ch β(¿2h2)¿|¿ ¿ ¿¿¿ ¿ ¿ (3.22) larga teng. Quyidagicha belgilashlarni kiritamiz: 44 Δ110=α2β1sh (α2h2)ch (β1h2)−k2sh (β1h2)ch (α2h2), Δ120=k[β2ch (β2h2)sh (β1h2)− β1sh (β2h2)ch (β1h2)], Δ210=k[α2sh (α2h2)ch (α1h2)−α1sh (α1h2)ch (α2h2)], Δ220=α1β2ch (β2h2)sh (α1h2)− k2sh (β2h2)ch (α1h2). (3.23) Oxirgi (3.23) hamda (3.20) – (3.22) formulalarni hisobga olib, Kramer qoidasiga binoan izlanuvchi o’zgarmaslar uchun quyidagilarni topamiz A1(1)=1 Δ10[Δ110A1(2)+Δ120B1(2)]; B1(1)=1 Δ10[Δ210 A1(2)+Δ220B1(2)]; (3.24) Agar A1(2) va B1(2) ozgarmaslarning (3.16) ifodalarini (3.24) formuladagi o’z orinlariga qo’ysak A1(1) va B1(1) o’zgarmaslarni plastinka nolinchi qatlami bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlarning bosh qismlari orqali bir qiymatli ifodalovchi quyidagi analitik ifodalarga ega bo’lamiz A1(1)= 1 (α22− k2)Δ10[ 1 ξ (Δ110+k β2 Δ120 ) ~W 2(1)− (kΔ 110+α22 β2 Δ120 ) ~U 2(1) ]; B1(1)= 1 (α22− k2)Δ10[ 1 ξ (Δ210+k β2 Δ220 ) ~W 2(1)− (kΔ 210+α22 β2 Δ220 ) ~U 2(1) ]; (3.25) Plas tinka qatlamlari nuqtalarining ixtiyoriy nuqtasidagi kuchlanishlarni toppish uchun ularni ham yuqoidagidek almashtirish kerak, ya’ni noldan farqli σxz(m) , σzz(m) kuchlanishlar quyidagicha ifodalanishlari kerak, ya’ni σxz (m)(x,z,t)=∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ~σxz (m)(z,k,p)eptdp (3.29) almashtirilgan ~σxz(m) ifoda uchun mos ravishda (2.25) kuchlanishlar uchun yozilgan formula quyidagicha ~σxz(m)= ~M m(2k∂~ϕ ∂z− ∂2~ψm ∂z2 −k2~ψm), (m= 0,1,2 ) ( 3.30 ) 45 ( 3.8 ) ko’rinishdagi yechimni ( 3.30 ) ifodaga olib kelamiz~σxz(m)= ~M m[2kα mA1(m)sh (αmz)− βm2B1(m)sh (βmz)− k2B1(m)sh (βmz)]= = ~M m[2kα mA1(m)sh (αmz)−(βm2+k2)B1(m)sh (βmz)]. (3.31) Kuchlanish ~σxz(m) ning keltirilgan ( 3.29 ) tasviridan hamda , ( 3.31 ) va ( 3.2 ) dan foydalanib ( 3.3 ) - chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin ~M m(2kα mA1(m)sh (αmz)−(βm2+k2)B1(m)sh (βmz))=~fx(m)(k,p); ~L1m(αm2−k2)A1(m)ch (αmz)+2~M m(αm2A1(m)ch (αmz)− kβ mB1(m)ch (βmz))=~fz(m)(k,p); ( 3.32 ) bu yerda {αm 2 =k 2 +ρmp 2 Lm −1 ¿¿¿¿ {sh(αmz)=αmz¿¿¿¿ {ch (αmz)=1+ αm 2z2 2 ¿¿¿¿ ( 3.33 ) ekanligini hisobga olsak ( 3.32 ) tenglamalar sistemasining 1-si m=1 da va 2-si m= 2 da quyidagiga keladi. ~M 1(2kα 1A1(1)sh (α1(h0+h1))−(β12+k2)B1(1)sh (β1(h0+h1)))=~fx(1)(k,p); ~L12(α22−k2)A1(2)ch (α2(h0+h2))+2~M 2(α22A1(2)ch (α2z)− kβ 2B1(2)ch (β2(h0+h2)))=~fz(2)(k,p). ( 49 ) 3. 2 . Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat-sionar simmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalari Yuqoridagi (3.34) tenglamalar ularning tarkibidagi integrallash o’zgarmaslari o’rniga o’zlarining (3.25) va (3.27) ifodalar bilan aniqlanuvchi qiymatlari qo’yilganidan keyin almashtirilgan ko’chishlarga nisbatan ikki noma’lumli ikki tenglalar sistemasiga aylanadilar. Ana shu tenglamalarning taqribiy ko’rinishlarini topamiz. Buning uchun integrallash noma’lumlari tarkibiga kiruvchi quyidagi ifodalarni hisoblaymiz va bu yerda oxirgi natijalarnigina keltiramiz 46 Δ11 0+ k β Δ12 0= β1(α0 2− k2)h0+1 6k2(α0 2− β0 2)β1h0 3+1 6α0 2(α0 2− k2)β1h0 3+h0 3+ +1 2(α02− k2)β13+1 2k2(β02− α02)β1h03+ 1 12 α02(α02− k2)β13h05; kΔ 110+α02 β Δ120= k(α02− k2)β1h0+1 6kα 02(α02− β02)β1h03+1 6k(α02− k2)β13h03+ + 1 2 k (β02− k2)α02β1h03+ 1 12 kα 02(α02− k2)β13h05; Δ21 0+ k β Δ22 0= k(α0 2− k2)h0+1 6kα 0 2(α0 2− k2)h0 3+1 6k3(α0 2− β0 2)h0 3+ + 1 2 kα 12(β02− k2)h03+ 1 12 k(α12− k2)(β02− α02)α12h03+ 1 12 kα 02(α02− k2)α12h05; kΔ 210 + α02 β Δ220 = α12(α02− k2)h0+1 6 α14(α02− k2)h03+ 1 6 k2α02(α02− β02)h03+ + 1 2α02α12(β02− k2)h03+ 1 12 k2α02α12(α02− β02)h05+ 1 12 α02α14(β02− k2)h05; Δ1 0= β1(α1 2− k2)h0+ β1 1 6 (α1 2(α1 2− k)+ k2(α1 2− β1 2))+1 2 α1 2(β1 2− k2)β1h0 3+ + 1 12 α1 2β1 3(α1 2− k2)h0 5. Xuddi shunday Δ310+ k β0 Δ320=(α02− k2)β2h0+1 6k2(α02− β02)β2h03+1 6α02(α02− k2)β2h03+1 2(α02− k2)β23h03+ +1 2k2(β02− α02)β2h03+ 1 12 α02(α02− k2)β23h05; kΔ 310+α02 β Δ320= k(α02− k2)β2h0+1 6kα 02(α02− β02)β2h03+1 6k(α02− k2)β23h03+1 2k(β02− k2)׿¿ ¿α02β2h03+ 1 12 kα 02(α02− k2)β23h05; Δ41 0+ k β Δ42 0= k(α0 2− k2)h0+1 6kα 0 2(α0 2− k2)h0 3+1 6k3(α0 2− β0 2)h0 3+1 2kα 2 2(β0 2− k2)h0 3+ + 1 12 k(α22− k2)(β02− α02)α22h03+ 1 12 kα 02(α02− k2)α22h05; 47 kΔ 410+α02 β Δ420= α22(α02− k2)h0+1 6α24(α02− k2)h03+1 6k2α02(α02− β02)h03+1 2α02α22(β02− k2)h03+ + 1 12 k2α02α22(α02− β02)h05+ 1 12 α02α24(β02− k2)h05; Δ20= β2(α22− k2)h0+β2 1 6 (α22(α22− k)+k2(α22− β22))+1 2 α22(β22− k2)β2h03+ +1 12 α2 2β2 3(α2 2− k2)h0 5.Topilgan bu ifodalarda αm 2= k2+ρmp2~Lm −1 , βm 2= k2+ρmp2~M m −1 ekanligini va qm=1− ~M m −1Lm (m=0,1,2 ) bo’lishini hisobga olib A1(1),B1(1),A1(2),B1(2) larni quyidagicha yozamiz. A1(1)= h0+1 6α02h03+1 6k2~q0h03+1 2(β12− k2~q0)h03+ 1 12 α02β12h05 Δ10 ⋅β1 ξ ~W 0− − h0+1 6(α02~q0+β12)h03+1 2α02(1−~q0)h03+ 1 12 α02β12h05 Δ10 ⋅kβ 1~U 0, B1(1)= h0+1 6α02h03+1 6k2~q0h03+1 2α12(1−~q0)h03+ 1 12 (k2~q0− α12~q0+α02)α12h05 Δ10 ⋅k ξ ~W 0− − α12h0+1 6α14h03+1 6k2α02q0h03+1 2α02α12(1−~q0)h03+ 1 12 α02(k2~q0− α12~q0+α12)α12h05 Δ10 ⋅~U 0, A1(2)= h0+1 6α02h03+1 6k2~q0h03+1 2(β22− k2~q0)h03+ 1 12 α02β22h05 Δ20 ⋅β2 ξ ~W 0− − h0+1 6(α02~q0+β22)h03+1 2α02(1−~q0)h03+ 1 12 α02β22h05 Δ20 ⋅kβ 2~U 0, B1(2)= h0+1 6α02h03+1 6k2~q0h03+1 2α22(1−~q0)h03+ 1 12 (k2~q0− α22~q0+α02)α22h05 Δ20 ⋅k ξ ~W 0− − α22h0+1 6α24h03+1 6k2α02q0h03+1 2α02α22(1−~q0)h03+ 1 12 α02(k2~q0− α22~q0+α22)α22h05 Δ20 ⋅~U 0, 48 o’zgarmaslarning topilgan bu qiymatlarini ~M 1(2kα 1A1(1) (α1z+α13z3 6 )− (β12+k2)B1(1) (β1z+ β13z3 6 ))= ~fx(1)(k,p); (~L2(α22−k2)+2~M 2k2)A1(2) (1+ α22z2 2 )− 2~M 2kβ 2B1(2) (1+ β22z2 2 )=~fz(2)(k,p). tenglamalarga yoki {[2kα 1 2 A 1 (1) −β 1(β 1 2 +k 2 )B 1 (1) ]z+[2kα 1 4 A 1 (1) −β 1 3 (β 1 2 +k 2 )B 1 (1) ] z 3 6 = ~ M 1 −1~ f x (1) (k,p);¿ {[( ~ L 2(α 2 2 −k 2 )+2 ~ M 2 k 2 )A 1 (2) −2 ~ M 2 kβ 2 B 1 (2) ]+[( ~ L 2(α 2 2 −k 2 )+2 ~ M 2 k 2 )A 1 (2) −¿¿¿¿ (3.35) tenglamalar sistemasiga qo’yamiz va hosil bo’lgan sistemani soddalashtirib quyidagiga ega bo’lamiz β1 Δ10{[(2α12− β12− k2)h0+1 6(2α12− β12− k2)(α02+k2q0)h03+1 2α12(β12− k2)(1+q0)h03+ 1 12 α12× ¿¿ ¿(k2(α1 2− β1 2)q0+α0 2(β1 2− k2)+α1 2(β1 2− k2)q0+k2(α1 2− k2)q0)h0 5]k ξ ~W 0+[1 6(k2α0 2(β1 2− − α12+k2− α12)q0+α12(β12− k2)h0+α12β12(α12− k2)+k2α12(α12− β12))h03++ 1 2(β12− k2)α02× ¿¿ ¿α1 2(1− q0)h0 3+ 1 12 α0 2α1 2(β1 2(α1 2− k2)+k2(α1 2− β1 2)− (β1 2+k2)(α1 2− k2)q0)h0 5]~U 0}z+ + β 1 Δ 10 ¿ ¿ ¿(β12− k2))h03+1 2(α12β12(2α12− β12− k2)+2α12(α12+β12)(β12− α12)q0+2α14(α12− k2)q0− − α1 2β1 2(β1 2− k2)q0)h0 3+ 1 12 α1 2β1 2(α0 2(2α1 2− β1 2− k2)+(α1 2− k2)(β1 2+k2)q0)h0 5]k ξ ~W 0+ 49 +[(β1 2(β1 2− k2)+2k2(β1 2− α1 2))h0+1 6(α1 4β1 2(β1 2− k2)+k2(α0 2β1 2+α0 2α1 2+k2α0 2)q0(β1 2− − α12)q0− k2α02α12(α12− k2)q0)h03+1 2(β12(β12+k2)+2k2(β12− α12))α02α12(1− q0)h03+ + 1 12 α0 2α1 2β1 2(α1 2(β1 2− k2)−(β1 2+k2)(α1 2− k2)q0)h0 5]~U 0} z3 6= ~M 1 −1~fx (1)(k,p);Bu yerda ham αm 2= k2+ρmp2(λm+2μm)−1 , βm2= k2+ρmp2μm−1 ekanligini hisobga olsak tenglamamiz yanada soddalashadi {[(1+~q1)h0+1 6(α02+k2~q0)(1+~q1)h03+1 2(1+~q0)(1−~q1)α12h03+ 1 12 α12(k2~q0(1+~q1)+(α12~q0+ +α0 2)(1−~q1)h0 5]k ξ ~W 0+[α1 2(1−~q1)h0+ 1 6(k2α0 2~q1~q0− k2α0 2~q0+α1 2β1 2− k2α1 2~q1)h0 3+1 2α0 2× ¿¿ ¿α12(1−~q0)(1−~q1)h03+ 1 12 α02α12(β12+k2~q1−(β12+k2)~q0)h05]~U 0}z+{[(β12+(β12+2α12)~q1)׿¿ ¿h0+1 6(α02+k2~q0)(β12+ β12~q1+2α12~q1)h03+1 2α12((2α12− β12)~q0+β12+(β12− 2α12~q0)~q1− − β1 2~q0~q1)h0 3+ 1 12 α1 2β1 2(α0 2+α0 2~q1+β1 2~q0+k2~q0)h0 5]k ξ ~W 0+[(β1 2− β1 2~q1−2k2~q1)h0+ +1 6(α14β12(1−~q1)+k2α02(k2+β12)~q0− k2α02(k2+α12+β12)~q0~q1)h03+1 2(β12−(β12+2k2)~q1)׿¿ ¿α0 2α1 2(1− ~q0)h0 3+ 1 12 α0 2α1 2β1 2(α1 2− α1 2~q1− β1 2~q0− k2~q0)h0 5]~U 0} z3 6 = ¿¿ ¿h03+1 2α12(1−~q1)h03+ 1 12 α12β12h05 } ~M 1−1~fx (1)(k,p); Bu tenglamaga ∫ 0 ∞cos kx sin kx }dk ∫ (l) ........eptdp integral operatorni ta’sir ettiramiz {−[(1+q1)h0+1 6(γ0− ∂2 ∂x2q0)(1+q1)h0 3+1 2(1+q0)(1−q1)γ1h0 3+ 1 12 ((1−q1)γ0γ1+(1−q1)q0γ1 2− −γ1 2(1+q1)∂2 ∂x2q0)h0 5]1 ξ ∂ ∂x W 0+[(1−q1)γ1h0− 1 6 (q1γ1 ∂2 ∂x2−γ1λ1− q0(1+q1)∂2 ∂x2γ0)h0 3+1 2 γ0׿¿ ¿γ1(1−q0)(1−q1)h0 3+ 1 12 γ0γ1(λ1− q1 ∂2 ∂x2− λ1q0− ∂2 ∂x2q0)h0 5]U 0}z+{−[1 6(γ0− ∂2 ∂x2q0)(λ1(1+ 50 +q1)+2γ1q1)h03+(λ1+λ1q1+2γ1q1)h0+1 2(2q0γ12− λ1γ1q0+λ1γ1+q1λ1γ1−2q0q1γ12− q0q1λ1γ1)׿¿ ¿h0 3+ 1 12 (γ0γ1λ1(1+q1)+~q0γ1λ1 2−γ1λ1 ∂2 ∂x2q0)h0 5]k ξ ∂ ∂x W 0+[(λ1− λ1q1+2 ∂2 ∂x2q1)h0+1 6 (γ1 2λ1׿¿ ¿(1−~q1)+q0γ0 ∂4 ∂x4−γ0λ1q0 ∂2 ∂x2−q0q1γ0 ∂4 ∂x4+q0q1(γ1+λ1)∂2 ∂x2γ0)h03+1 2(1−~q0)(γ0γ1λ1− γ0׿¿ ¿γ1λ1q1+2q1 ∂2 ∂ x2γ0γ1)h0 3+ 1 12 γ0γ1λ1(γ1(1− q1)− λ1q0+ ∂2 ∂x2q0)h0 5]U 0} z3 6 = ¿¿ ¿q1)h03+1 2γ1(1− q1)h03+ 1 12 γ1λ1h05 }M 1−1fx (1)(k,p); {−[(1+q1)h0+1 6(1+q1)(ρ0L0 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2(1+q0))h0 3+1 2(1+q0)(1−q1)(ρ1L1 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)h0 3+ +1 12 ((1−q1)(ρ0L0 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)(ρ1L1 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)+(1− q1)q0(ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) 2 −(ρ1L1 −1∂2 ∂t2− −∂2 ∂x2)(1+q1)q0∂2 ∂x2)h0 5]1 ξ ∂ ∂xW 0+[(1−q1)(ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)h0− 1 6(q1(ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) ∂2 ∂x2− −(ρ1L1−1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(ρ1M 1−1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)− q0(1+q1)(ρ0L0−1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) ∂2 ∂x2)h03+1 2(1−q0)(1−q1)× ¿ ( ρ0L0 −1∂ 2 ∂t 2 − ∂ 2 ∂x 2)( ρ1L1 −1∂ 2 ∂t 2 − ∂ 2 ∂x 2) h0 3 + 1 12( ρ0L0 −1∂ 2 ∂t 2 − ∂ 2 ∂x 2)( ρ1L1 −1∂ 2 ∂t 2 − ∂ 2 ∂x 2) ((1−q0)ρ1 ∂ 2 ∂t 2 ׿¿¿M1 −1 q0+(2q0−q1−1) ∂ 2 ∂x 2 )h0 5 ]U0} z+ { −[(1+q1)ρ1M1 −1∂ 2 ∂t 2 +2q1ρ1L1 −1∂ 2 ∂t 2 −(1+3q1) ∂ 2 ∂x 2 )h0+ + 1 6(ρ0L0 −1∂2 ∂t2−(1+q0) ∂2 ∂x2)((1+q1)ρ1M1 −1∂2 ∂t2+2q1ρ1L1 −1∂2 ∂t2−(1+3q1) ∂2 ∂x2)h0 3+ 1 2 (2q0(ρ1 ∂2 ∂t2׿¿×L1 −1−∂2 ∂x2)2−(ρ1M1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)q0+(ρ1M1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)+ +q1(ρ1M1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)−2q0q1(ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) 2 −q0q1(ρ1M1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)× ¿ ( ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) h0 3+ 1 12 ( ( ρ0L0 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( ρ1M1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(1+q1)+q0×51 ¿(ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(ρ1M 1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) 2 −q0(ρ1L1 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)(ρ1M 1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2))∂2 ∂x2h0 5] k ξ ∂ ∂x W 0+ +[((1−q1)(ρ1M 1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)+2q1 ∂2 ∂x2)h0+ 1 6 ((1− q1)(ρ1M 1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) 2 + +q0(ρ0L0 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2) ∂4 ∂x4− q0(ρ0L0 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(ρ1M 1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) ∂2 ∂x2− q0q1(ρ0L0 −1∂2 ∂t2− −∂2 ∂x2)∂4 ∂x4+q0q1(ρ1L1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2+ρ1M 1 −1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(ρ0L0 −1∂4 ∂x2∂t2−∂4 ∂x4))h0 3+1 2((ρ0∂2 ∂t2× ¿L0−1−∂2 ∂x2)(1− q1)(ρ1L1−1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)(ρ1M 1−1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)+2q1(ρ0L0−1∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(ρ1L1−1∂2 ∂t2− −∂2 ∂x2)∂2 ∂x2)(1−q0)h0 3+1 12 (ρ0L0 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)(ρ1L1 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)(ρ1M 1 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)((ρ1L1 −1∂2 ∂t2− −∂2 ∂x2)(1−q1)− q0(ρ1M 1 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)+q0 ∂2 ∂x2)h0 5]U 0} z3 6 ={h0+1 6 (ρ1L1 −1∂2 ∂t2− (1+q1)∂2 ∂x2)h0 3+ +1 2(1−q1)(ρ1L1 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)h0 3+ 1 12 (ρ1L1 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)(ρ1M 1 −1∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)h0 5 }M 1 −1fx (1)(k,p);Bu yerda ρm(λm+2μm)−1= 1 am2 va ρmμm−1= 1 bm2 ekanligidan yuqoridagi tenglama quyidagi ko’rinishga keladi {−[(1+q1)h0+1 6(1+q1)(1 a0 2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2(1+q0))h0 3+1 2(1+q0)(1− q1)(1 a1 2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)h0 3+ +1 12 ((1−q1)( 1 a0 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) +(1− q1)q0( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) 2 −(1 a1 2 ∂2 ∂t2− −∂2 ∂x2)(1+q1)q0 ∂2 ∂x2)h0 5]1 ξ ∂ ∂xW 0+[(1−q1)( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) h0−1 6(q1( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) ∂2 ∂x2− −( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 b1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)−q0(1+q1)( 1 a0 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) ∂2 ∂x2)h0 3+1 2(1− q0)(1− q1)× 52 ¿( 1 a02 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 a12 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)h03+1 12 ( 1 a02 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 a12 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)((1− q0)1 b12 ∂2 ∂t2+ +(2q0−q1−1)∂2 ∂x2)h05]U 0}z+{−[(1+q1)1 b12 ∂2 ∂t2+2q1 1 a12 ∂2 ∂t2−(1+3q1)∂2 ∂x2)h0+ +1 6( 1 a0 2 ∂2 ∂t2−(1+q0)∂2 ∂x2)((1+q1)1 b1 2 ∂2 ∂t2+2q1 1 a1 2 ∂2 ∂t2−(1+3q1)∂2 ∂x2)h03+1 2(2q0(1 a1 2 ∂2 ∂t2− −∂2 ∂x2)2−( 1 b1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 a1 2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)q0+( 1 b1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)+ +q1( 1 b1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)−2q0q1( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) 2 − q0q1( 1 b1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)× ¿( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)h0 3+1 12 (( 1 a0 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 b1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(1+q1)+q0× ¿ ( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 b1 2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2) 2 −q0( 1 a1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 b1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) )∂2 ∂x2h0 5]k ξ ∂ ∂x W 0+ +[((1−q1)( 1 b1 2 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) +2q1 ∂2 ∂x2)h0+1 6 ((1−q1)( 1 b1 2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)( 1 a1 2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2) 2 + +q0( 1 a02 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) ∂4 ∂x4− q0( 1 a02 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)( 1 b12 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2) ∂2 ∂x2− q0q1(1 a02 ∂2 ∂t2− −∂2 ∂x2)∂4 ∂x4+q0q1( 1 a12 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2+1 b12 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)( 1 a02 ∂4 ∂x2∂t2−∂4 ∂x4))h03+1 2((1 a02 ∂2 ∂t2− −∂2 ∂x2)(1−q1)( 1 a12 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)( 1 b12 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)+2q1( 1 a02 ∂2 ∂t2−∂2 ∂x2)(1 a12 ∂2 ∂t2− −∂2 ∂x2)∂2 ∂x2)(1− q0)h0 3+1 12 (1 a0 2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)(1 a1 2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)(1 b1 2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)((1 a1 2 ∂2 ∂t2− −∂2 ∂x2)(1−q1)− q0(1 b1 2 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)+q0 ∂2 ∂x2)h0 5]U 0} z3 6 = { h0+1 6 (1 a1 2 ∂2 ∂t2− (1+q1)∂2 ∂x2)h0 3+ +1 2(1−q1)(1 a12 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)h03+ 1 12 (1 a12 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)(1 b12 ∂2 ∂t2− ∂2 ∂x2)h05 }M 1−1fx(1)(k,p);Hosil qilingan bu tenglamani hosilalar tartibi bo’yicha soddalashtiramiz. Hosil bo’lgan tenglamadagi to’rtinchi tartibdan yuqori tartibli hosilalarni tashlab h0 ga qisqartirib ularni quyidagicha yozamiz. 53 {[ q1−1 a12 (1 a02− q0 a12) h04 12 ∂4 ∂t4+( 1− q1 a02 + 1−q1+q0−3q0q1 a12 ) h04 12 ∂4 ∂x2∂t2−(1−q1+2q0) h04 12 ∂4 ∂x4− −( 1+q1 3a02 +(1− q1)(1+q0) a12 ) h02 2 ∂2 ∂t2+(1+q0)(2− q1) h02 3 ∂2 ∂x2+(1+q1)]1 ξ ∂ ∂xW 0+[1 a12( 1 3b12+ +(1− q0)(1− q1) a02 )h03 2 ∂4 ∂t4−(q1+1 3a12+ 1 3b12+(1− q0)(1− q1) a02 +(1− q0)(1− q1) a12 + q0(q1+1) 3a02 )h03 2׿¿ ¿ ∂4 ∂x2∂t2+(2− q1−2q0+2q1q0) h03 3 ∂4 ∂x4+1− q1 a12 h0∂2 ∂t2−(1−q1)h0 ∂2 ∂x2]U0}(h0+h1)+ +{[( 2q0(q1− 1) a14 − 2q1 3a02a12− 1+q1 3a02b12− 1− q0+q1+q0q1 a12b12 )h02 2 ∂4 ∂t4+(1+3q1 3a02 +1+q0+q1+q0q1 3b12 + + 2q1(2+q0) 3a12 +1−5q0+q1−3q0q1 a12 +1− q0+q1+q0q1 b12 )h02 2 ∂4 ∂x2∂t2−(2+2q0+3q1) h02 3 ∂4 ∂x4− −( 1+q1 b12 +2q1 a12) ∂2 ∂t2+(1+3q1)∂2 ∂x2]1 ξ ∂ ∂xW 0+[1− q1 b12 h0∂2 ∂t2+(3q1−1)h0 ∂2 ∂x2]U 0} (h0+h1)3 6 = ={ h04 12 a12b12 ∂4 ∂t4−(1 a12+ 1 b12)h04 12 ∂4 ∂x2∂t2+h04 12 ∂4 ∂x4+4−3q1 a12 h02 2 ∂2 ∂t2− 2− q1 a12 h02 3 ∂2 ∂x2+1}μ1−1fx−1(k,p)Yuqoridagi tenglamani t= h b τ va x= hζ belgilashlar orqali o’lchovsiz holatga keltiramiz. {[q1−1 a12 (1 a02− q0 a12)b04 12 h02∂4 ∂τ4+( 1−q1 a02 +1−q1+q0−3q0q1 a12 ) b02 12 h02 ∂4 ∂ζ2∂τ2− 1− q1+2q0 12 ׿¿ ¿h02 ∂4 ∂ζ4− ( 1+q1 3a02+(1− q1)(1+q0) a12 ) b02 2 h02 ∂2 ∂τ2+(1+q0)(2− q1) 3 h02 ∂2 ∂ζ2+(1+q1)h02]× ¿¿ ¿1 ξ ∂ ∂ζW 0+[1 a12( 1 3b12+(1−q0)(1−q1) a02 )b04 2 h02 ∂4 ∂τ4− b02 2(q1+1 3a12+ 1 3b12+(1−q0)(1− q1) a02 + +(1− q0)(1− q1) a12 + q0(q1+1) 3a02 )h02 ∂4 ∂ζ2∂τ2+ 2− q1−2q0+2q1q0 3 h02 ∂4 ∂ζ4+(1− q1)b02 a12 h02 ∂2 ∂τ2− − (1 − q 1 ) h 0 2 ∂ 2 ∂ ζ 2 ] U 0 } (h 0 + h 1 )+ ¿ ¿ 54 ¿ ∂4 ∂τ4+(1+3q1 3a02 +1+q0+q1+q0q1 3b12 + 2q1(2+q0) 3a12 +1− 5q0+q1−3q0q1 a12 +1− q0+q1+q0q1 b12 )׿¿ ¿b02 2 ∂4 ∂ζ2∂τ2− 2+2q0+3q1 3 ∂4 ∂ζ4− ( 1+q1 b12 +2q1 a12)b02 ∂2 ∂τ2+(1+3q1)∂2 ∂ζ2]1 ξ ∂ ∂ζW 0+ +[(1− q1)b02 b12 h02∂2 ∂τ2+(3q1−1)h02 ∂2 ∂ζ2]U 0} (h0+h1)3 6 ={ b04 12 a12b12h03 ∂4 ∂τ4−(1 a12+ 1 b12)b02 12 ׿¿ ¿h03 ∂4 ∂ζ2∂τ2+ 1 12 h03 ∂4 ∂ζ4+ 4− 3q1 a12 b02 2 h03 ∂2 ∂τ2− 2− q1 3 h03 ∂2 ∂ζ2+h03 }μ1−1fx(1)(k,p)Bu tenglamani quyidagicha ham yozish mumkin {[с11h0 2∂4 ∂τ4+с12h0 2 ∂4 ∂ζ2∂τ2+с13h0 2 ∂4 ∂ζ4+с14h0 2∂2 ∂τ2+с15h0 2 ∂2 ∂ζ2+с16h0 2]1 ξ ∂ ∂ζW 0+[d11h0 2∂4 ∂τ4+ +d12 h0 2 ∂4 ∂ζ2∂τ2+d13h0 2 ∂4 ∂ζ4+d14 h0 2 ∂2 ∂τ2+d15 h0 2 ∂2 ∂ζ2]U 0}(h0+h1)++ {[с17 ∂4 ∂τ4+с18 ∂4 ∂ζ2∂τ2+ +с19 ∂4 ∂ζ4+с110 ∂2 ∂τ2+с111 ∂2 ∂ζ2]1 ξ ∂ ∂ζW 0+[d16 h02∂2 ∂τ2+ d17 h02 ∂2 ∂ζ2]U 0} (h0+h1)3 6 = ={s11h0 3 ∂4 ∂τ4+s12h0 3 ∂4 ∂ζ2∂τ2+s13h0 3 ∂4 ∂ζ4+s14 h0 3∂2 ∂τ2+s15h0 3 ∂2 ∂ζ2+s16}μ1 −1fx (1)(k,p) Bu yerda сkl,dkl,skl o’zgarmaslar quyidagiga teng. с11= q1− 1 a12 (1 a02− q0 a12)b04 12 h02; с12=( 1− q1 a02 +1− q1+q0− 3q0q1 a12 ) b02 12 ; с13=− 1− q1+2q0 12 ; с14=− ( 1+q1 3a02 +(1− q1)(1+q0) a12 ) b02 2 ; с15= (1+q0)(2− q1) 3 ; с16= (1+q1) с17=( 2q0(q1− 1) a14 − 2q1 3a02a12− 1+q1 3a02b12− 1− q0+q1+q0q1 a12b12 )b04 2 ; с18=(1+3q1 3a02 +1+q0+q1+q0q1 3b12 + 2q1(2+q0) 3a12 +1− 5q0+q1− 3q0q1 a12 +1− q0+q1+q0q1 b12 )b02 2 ; с11=− 2+2q0+3q1 3 ; с110 =− ( 1+q1 b12 +2q1 a12 )b02; с111 = (1+3q1); 55 d11= 1 a12(1 3b12+(1− q0)(1− q1) a02 )b04 2 ; d16= (1− q1)b02 b12 ; d17=+ (3q1− 1); d12=−(q1+1 3a12 +1 3b12+(1− q0)(1− q1) a02 +(1− q0)(1− q1) a12 + q0(q1+1) 3a02 )b02 2 ; d13= 2− q1− 2q0+2q1q0 3 ; d14= (1− q1)b02 a12 ; d15=− (1− q1); s11= b04 12 a12b12; s12=− (1 a12+1 b12)b02 12 ; s13= 1 12 ; s14= 4− 3q1 a12 b02 2 ; s15=− 2− q1 3 ; s16= h03yoki bu tenglamani hosilalar tartiblari bo’yicha yanada soddalashtirsak quyidagiga kelamiz. [(с11h02(h0+h1)+с17 (h0+h1)3 6 ) ∂4 ∂τ4+(h0+h1)(с12h02+с18 (h0+h1)2 6 ) ∂4 ∂ζ2∂τ2+(с13 h02(h0+h1)+ +(h0+h1)3 6 с19) ∂4 ∂ζ4+(с14 h02(h0+h1)+с110 (h0+h1)3 6 ) ∂2 ∂τ2+(с15 h02(h0+h1)+с111 (h0+h1)3 6 )× ¿¿ ¿ ∂2 ∂ζ2+с16 h0 2(h0+h1)]1 ξ ∂ ∂ζ W 0+[d11h0 2(h0+h1)∂4 ∂τ4+h0 2(h0+h1)(d12 ∂4 ∂ζ2∂τ2+d13 ∂4 ∂ζ4)+ +(d14h0 2(h0+h1)+d16 h0 2(h0+h1)3 6 ) ∂2 ∂τ2+(d15 h0 2(h0+h1)+d17 h0 2(h0+h1)3 6 ) ∂2 ∂ζ2]U 0= ={s11h0 3 ∂4 ∂τ4+s12h0 3 ∂4 ∂ζ2∂τ2+s13h0 3 ∂4 ∂ζ4+s14 h0 3∂2 ∂τ2+s15h0 3 ∂2 ∂ζ2+s16}μ1 −1fx (1)(k,p) yoki bu tenglamani soddaroq ko ’ rinishda yana quyidagicha yozish mumkin [с1 '∂4 ∂τ4+с2 '∂4 ∂ζ2∂τ2+с3 '∂4 ∂ζ4+с4 '∂2 ∂τ2+с5 '∂2 ∂ζ2+с6 ']1 ξ ∂ ∂ζ W 0+ +[d1 '∂4 ∂τ4+d2 '∂4 ∂ζ2∂τ2+∂4 ∂ζ4d3 '+d4 '∂2 ∂τ2+d5 '∂2 ∂ζ2]U 0= ¿{s1 '∂4 ∂τ4+s2 '∂4 ∂ζ2∂τ2+s3 '∂4 ∂ζ4+s4 '∂2 ∂τ2+s5 '∂2 ∂ζ2+s6 ' }μ1 −1fx (1)(k,p) (51) Bu yerda сk'',dk'',sk'' o’zgarmaslar quyidagiga teng. 56 с1 '= (с11 h02(h0+h1)+с17 (h0+h1)3 6 ); с2 '= (с12 h02(h0+h1)+с18 (h0+h1)3 6 ); с3 '=(с13 h02(h0+h1)+с19 (h0+h1)3 6 ); с5 '=(с15h02(h0+h1)+с111 (h0+h1)3 6 ); с6'=с16h02(h0+h1); d1'= d11h02(h0+h1); d2'=d12h02(h0+h1); d3'=d13h02(h0+h1); d4 '=(d14h02(h0+h1)+d16 h02(h0+h1)3 6 ); d5 '=(d15h02(h0+h1)+d17 h02(h0+h1)3 6 ); s1'= s11h03; s2'= s12 h03; s3'= s13 h03; s4'= s14 h03; s5'= s15 h03; s6'= s16 ;Xuddi shunday (50) tenglamalar sistemasining ikkinchi tenglamasini ham keltirib chiqaramiz {[c21h0 3∂4 ∂τ4+c22h0 3 ∂4 ∂ζ2∂τ2+c23h0 3 ∂4 ∂ζ4+c24h0 3 ∂2 ∂τ2+c25h0 3 ∂2 ∂ζ2+c26h0 3]1 ξW 0− −[d21 h0 2 ∂4 ∂τ4+d22 h0 2 ∂4 ∂ζ2∂τ2+d23 h0 2 ∂4 ∂ζ4+d24 h0 2 ∂2 ∂τ2+d25h0 2 ∂2 ∂ζ2+d26 h0 2] ∂ ∂ζ U 0}+ +{[c27h0 3∂4 ∂τ4+c28 h0 3 ∂4 ∂ζ2∂τ2+c29 h0 3 ∂4 ∂ζ4+c210 h0 3 ∂2 ∂τ2+c211 h0 3 ∂2 ∂ζ2]1 ξW 0− (52) −[d27 ∂4 ∂τ4+d28 ∂4 ∂ζ2∂τ2+d29 ∂4 ∂ζ4+d210 ∂2 ∂τ2+d211 ∂2 ∂ζ2] ∂ ∂ζ U 0} (h0+h2)2 2 = = {s21 ∂4 ∂τ4+s22 h0 3 ∂4 ∂ζ2∂τ2+s23 h0 3 ∂4 ∂ζ4+s24 h0 3 ∂2 ∂τ2+s25 h0 3 ∂2 ∂ζ2+s26}μ2 −1fz (2)(k,p) Bu yerda сkl,dkl,skl o’zgarmaslar quyidagiga teng c21=(1−q2)b04 12 a02b22 ; c22=−( 5−3q2 a02 +1− q2 b22 − 2q0 a22 ) b02 12 ; c23=5−3q2−2q0 12 ; c24=(1−q2 3a02 +1−q2 b22 )b02 2 ; c25=− 2+2q0+5q2− q0q2 3 ; c26=(1−q2);c27=(1−q2 3a02a22+1−q2 a22b22 )b02 2 ; c28=−( (1+q0)(1− q2) 3a22 +1−3q2 3a02 +(1+q0)(1− q2) a02 +1−q2 b22 ) b02 2 ; c29=(1+q0)(2−3q2) 6 ; c210 = (1− q2)b02 a22 ; c211 =−(1− 3q2); 57 d21=( 1+q2 a02b22+2q2− 2q0 a02a22 ) b04 12 ; d22=− (1+q2 a02 +1+q2 b22 )b02 12 ; d23= 1− 2q0+3q2 12 ; d24= (3− 4q0+3q2− 2q0q2 a02 +1+q2 b22 +2q2 a22 )b02 6 ; d25= 4q0+2q0q2− 4− 3q2 6 ; d26= (1+q2); d27= (− (1− 7q0)(1− q2) a02a22 − 1+q2 a22b22 )b04 6 ; d28=− (7− 5q2− 7q0 a22 +7q0q2 a22 +6− 6q2− 7q0+9q0q2 6a02 +1− q2 6a02a22)b02 6 ; d29= 7− 5q2− 7q0+9q0q2 6 ; d210 = (1− q2)b02 a22 ; d211 =− (1− q2); s21= b04 12 a22b22h03; s22= −(1 a22+1 b22)b02 12 ; s23= 1 12 ; s24= (4− 3q2)b02 2a22 ; s25= − 2− q2 3 ; s26= 1.yoki bu tenglamani hosilalar tartiblari bo’yicha yanada soddalashtirsak quyidagiga kelamiz. [(c21 h03+c27 h03(h0+h2)2 2 ) ∂4 ∂τ4+(c22 h03+c28 h03(h0+h2)2 2 ) ∂4 ∂ζ2∂τ2+(c29 h03(h0+h2)2 2 + + c23 h0 3 1 ) ∂4 ∂ζ4+(c24 h0 3+c210 h0 3(h0+h2)2 2 ) ∂2 ∂τ2+(c25 h0 3+c211 h0 3(h0+h2)2 2 ) ∂2 ∂ζ2+c26 h0 3]1 ξW 0− −[(d21h02+d27 (h0+h2)2 2 ) ∂4 ∂τ4+(d22 h02+d28 (h0+h2)2 2 ) ∂4 ∂ζ2∂τ2+(d29 (h0+h2)2 2 + + d23h0 2 1 ) ∂4 ∂ζ4+(d24 h0 2+d210 (h0+h2)2 2 ) ∂2 ∂τ2+(d25 h0 2+d211 (h0+h2)2 2 ) ∂2 ∂ζ2+d26h0 2] ∂ ∂ζ U 0= = {s21 ∂4 ∂τ4+s22h0 3 ∂4 ∂ζ2∂τ2+s23h0 3 ∂4 ∂ζ4+s24 h0 3 ∂2 ∂τ2+s25 h0 3 ∂2 ∂ζ2+s26}μ2 −1fz (2)(k,p); yoki bu tenglamani soddaroq ko’rinishda yana quyidagicha yozish mumkin 58 [с1 ''∂4 ∂τ4+с2 ''∂4 ∂ζ2∂τ2+с3 ''∂4 ∂ζ4+с4 ''∂2 ∂τ2+с5 ''∂2 ∂ζ2+с6 '']1 ξ W 0− −[d1 ''∂4 ∂τ4+d2 ''∂4 ∂ζ2∂τ2+d3 ''∂4 ∂ζ4+d4 ''∂2 ∂τ2+d5 ''∂2 ∂ζ2+d6 '']∂ ∂ζ U 0= ¿{s1 ''∂4 ∂τ4+s2 ''∂4 ∂ζ2∂τ2+s3 ''∂4 ∂ζ4+s4 ''∂2 ∂τ2+s5 ''∂2 ∂ζ2+s6 '' }M 2 −1fz (2)(k,p) (53) Bu yerda сk'',dk'',sk'' o’zgarmaslar quyidagiga teng. с1 ''=(c21h03+c27 h03(h0+h2)2 2 );с2 ''=(c22h03+c28 h03(h0+h2)2 2 );с3 ''=(c29 h03(h0+h2)2 2 +c23h03 ); с4 ''=(c24h03+c210 h03(h0+h2)2 2 );с5 ''=(c25h03+c211 h03(h0+h2)2 2 );с6 ''=c26h03; d1''=(d21h02+d27 (h0+h2)2 2 );d2''=(d22h02+d28 (h0+h2)2 2 );d3''=(d29 (h0+h2)2 2 +d23h02 ); d4 ''=(d24h02+d210 (h0+h2)2 2 );d5 ''=(d25h02+d211 (h0+h2)2 2 );d6 ''= d26h02 s1 ''= s21h03;s2 ''= s22h03;s3 ''= s23h03;s4 ''= s24h03;s5 ''= s25h03;s6 ''= s26 Olingan (51) va (53) tenglamalar uch qatlamli kompozit elastik plastinkaning nostatsionar tebranishlar taqribiy tenlamalaridan iboratdir. 3.3. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostatsionar simmetrik erkin tebranishlari Endi keltirib chiqarilgan (51) va (53) tenglamalar asosida uch qatlamli elastic plastinkaning erkin tebranishlarini tadqiq qilamiz. Buning uchun bu tenglamalarning o’ng tomonlarini nolga tenglashtiramiz, ya’ni plastinkaga hech qanday tashqi kuch ta’sir etmayapti deb hisoblaymiz. Hosil bo’lgan tenglamalarning yechimlarini W 0= ¯W ei(ωτ+kζ) , U0= ¯U ei(ωτ+kζ) 59 ko’rinishda izlaymiz. Bu ifodalarni (51) va (53) tenglamalarda o’rinlariga qo’yib quyidagi chastota tenglamalariga ega bo’lamiz1 ξ [с1 'ω4+с2 'ω2k2+с3 'k4− с4 'ω2− с5 'k2+с6 ']kiW 0+ +[d1 'ω4+d2 'ω2k2+d3 'k4− d4 'ω2− d5 'k2]U 0= 0 ; 1 ξ [с1 ''ω4+с2 ''ω2k2+с3 ''k4−с4 ''ω2−с5 ''k2+с6 '']¯W − −[d1 ''ω4+d2 ''ω2k2+d3 ''k4− d4 ''ω2− d5 ''k2+d6 '']ki { ¯U = 0 ,¿ bu yerdagi koeffitsiyentlar plastinkaning geometric va qatlamlarning fizik-mexanik xususiyatlaridan bog’liq o’zgarmaslar dan iborat. Ushbu chastota tenglamalari matematik “Maple-12” dasturi yordamida plastinka tashuvchi qatlamlarining quyidafi mexanik xarakteristikalari uchun yechildi: po’lat ρ1=7810 kg /m3, E1=Epo'lat=2,2 ⋅10 11 Pa ;ν1=0,25 ; alyuminiy ν2=0,33 ; ρ2=2700 kg /m3, E2=0,71⋅10 11 Pa . To’ldiruvchi qatlam uchun: voloknitlar (paxta ko’ragi qavachaqlari) ρ0=1650 kg /m3, ν0=0,42 , E0=0,09⋅10 11 Pa . Bunda h0=0,1 m ; h1=0,001 m ; h2=0,002 m ; ξ=0,05 . Olingan natijalar 1,2-rasmlarda keltirilgan. 60 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k w 1-с лойная 2-х с лойная 3-х с лойнаяРис.1. Tashuvchi qatlamlar alyuminiy to’ldiruvchi qatlam qavachaq bo’lganda ning dan bog’liqligi -10 0 10 20 30 40 50 60 70 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k w 1-с лойная 2-х с лойная 3-х с лойная Рис.2. Tashuvchi qatlamlar po’lat to’ldiruvchi qatlam qavachaq bo’lganda ning dan bog’liqligi волокнитовом заполнителе. Bir qatlamli plastinkaning tebranish chastotasi hamma vaqt ikki va uch qatlamli plastinkalarning tebranish chastotalaridan doimo yuqori. Bunda qatlam materiali qancha yumshoq bo’lsa, tebranish chastotasi shuncha yuqori. Plastinka uch qatlamli bo’lsa uning tebranish chastotasi juda qat’iy va katta pasayadi va nolga yaqinlashadi. Uzunligi chеgaralanmagan, eni esa l ga tеng bo’lgan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkani simmetrik tebranishlari haqidagi masalani yеchamiz. Masalani plastinkaning uzunligi chеgaralanmagan bo’lganligi uchun tеkis shakllantirish mumkin. Plastinkaning eni bo’yicha chеtlari bikr mahkamlangan dеb hisоblaymiz. Plastinkaning simmеtrik tеbranishlari uning tashqi z= ± (h0+hi),i= 1,2 tеkisliklarida bеrilgan fx (1)(x,t)= fx (2)(x,t)= 1 2(Fxz (1)− Fxz (2)) va fz (1)(x,t)= − fz (2)(x,t)= 1 2(Fz (1)− Fz (2)) kuchlar vоsitasida qo’zg’atilgan dеb hisоblaymiz. Ushbu fx(1,2 )(x,t) va fz(1,2)(x,t) funksiyalarning aniq ko’rinishlari masalani sоnli yеchish vaqtida оldindan bеriladi. Hоzircha, masalani yеchish mеtоdini ishlab chiqish jarayonida bu funksiyalarni 1.2 paragrafda shakllantirilgan shartlarga bo’ysinuvchi, ixtiyoriy funksiyalar dеb hisоblaymiz. Masalani ikkinchi bоbida ishlab chiqilgan ikki qatlamli plastinka simmеtrik tеbranishlari aniqlashtirilgan tеnglamalari va plastinka kеsimlaridagi KDH (kuchlangan- dеfоrmatsiyalangan hоlat) ni aniqlash algоritmi asоsida yеchamiz. Yuqorida keltirilgan chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlari diffеrеnsial tеnglamalari sistеmasini «Maple 17» amaliy dasturlar to’plami yordamida yеchish natijalari bo’yicha plastinka o’rta qatlamlarining tanlangan nuqtalarining ko’ndalang va bo’ylama ko’chishlari kооrdinata va vaqtdan bоg’liq hоlda hisоblandi. Оlingan natijalar 3.9-3.17-rasmlarda aks ettirilgan. Taqdim etilgan grafiklarda plastinka tashqi qatlamlari qalinliklari bir xil (simmеtrik strukturali plastinka) va h 1 = h 2 = 0,001 ga tеng hamda o’rta qatlam qalinligi uchun hamma hоllarda bir xil h 0 = 0,05 qiymat qabul qilingan. Har bir 61 rasmdagi grafiklar vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun hisоblangan va bitta kооrdinat sistеmasiga jоylashtirilgan. 3-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun birinchi qatlam po’lat , ikkinchi qatlami mis bo’lgan ikki qatlamli plastinka ikkinchi qatlami nuqtalarining bo’ylama U 0 ko’shishlari grafiklari 4-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun birinchi qatlam po’lat , ikkinchi qatlami mis bo’lgan ikki qatlamli plastinka ikkinchi qatlami nuqtalarining bo’ylama W 0 ko’shishlari grafiklari 5-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun birinchi qatlam mis , ikkinchi qatlami po’lat bo’lgan ikki qatlamli plastinka ikkinchi qatlami nuqtalarining bo’ylama U 0 ko’shishlari grafiklari 6-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun birinchi qatlam mis , ikkinchi qatlami po’lat bo’lgan ikki qatlamli plastinka ikkinchi qatlami nuqtalarining bo’ylama W 0 ko’shishlari grafiklari 62 XULOSALAR Disertatsiya ishida olingan natijalar asosida quyidagicha xulosalar chiqarish mumkin: 1. Turli xil bir jinsli va qatlamli plastinkalarning nostatsionar tebranishlari haqidagi masalalar o’rganib chiqildi. Xususan, bunday plastinkalarning nostatsionar, parametrik va garmonik tebranishlari haqidagi masalalarning Kirxgoff-Love tipidagi klassik va S.P.Timoshenko tipidagi aniqlashtirilgan tenglamalar asosida yechilish natijalari o’rganildi; 2. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning simmetrik tebranishlari aniqlashtirilgan taqribiy tenglamalarini keltirib chiqarish va ular asosida amaliy masalalar yechish muammolari bo’yicha R.D.Mindlin, I.G.Filippov, O.A.Egorichev, N.Mirzakobilov va boshqalarning ishlari tahlil qilindi; 3. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning simmetrik tebranishlari haqidagi masalani tekis masala shartlaridan kelib chiqqan holda yechish usuli ijodiy rivojlantirildi; 4. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning simmetrik tebranishlari simmetrik ko’rinishdagi ya’ni, bo’ylama tebranishlari umumiy, taqribiy va aniqlashtirilgan tenglamalari keltirib chiqarildi. 5. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinka erkin tebranishlari tadqiq qilindi. Xususan quyidagi xulosalar olindi: bir qatlamli plastinkaning tebranish chastotasi hamma vaqt ikki va uch qatlamli plastinkalarning tebranish chastotalaridan doimo yuqori. Bunda qatlam materiali qancha yumshoq bo’lsa, tebranish chastotasi shuncha yuqori. Plastinka ikki qatlamli bo’lsa uning tebranish chastotasi juda qat’iy va katta pasayadi va nolga yaqinlashadi. 63 ADABIYOTLAR RO ’ YXATI 1. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев; «Штиинца», 1988. 2. Carrera E., Brischetto S. A Survey with Numerical Assesment of Classical and Refined Theories for the Analysis of Sandwich Plates // Z. Appl. Mech. Rew. V.62, 2009. – 010803 – 1 – 17 pp. 3. Altenbach H. Modelling of viscoelastic behaviour of plates // in M. 7. yczkowski (ed.), Greep in Structures, Springer, Berlin, 1990. – 531 – 537. pp. 4. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев; «Штиинца», 1988. – 190 с. 5. Болотин В.В. Прочност , Устойчивостъ и колебания многослойн ы х пластин // Расчет ы на прочностъ-М., 1995. Вып. 11. 6. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. К теории колебания трехслойных пластин // Приклад. Мех., – Киев. – 1998. – Т.34, №3. – С. 20 – 26. 7. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear in flexural motions of isotropic elastic plates // ASME, Z. Appl. Mech. 18, 1951 – 1031 – 1036 pp. 8. Д.С.Газис , Mindlin R . D . Взаимодействие цилиндрических слоев и оболочек со связанными полями. // ASME, Z. Appl. Mech. 1963 . – 336 с . 9. И.Т.Селезов , Ю.Г.Кривонов К теории изгиба и устойчивости трехслойных пластин с ортотропным трехмерным заполнителем. Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 23-29 август, 2001. - С.458-459. 10. Мирзакобилов Н.Х. Колебания трехслойных пластин частного вида // Дисс.на соис.уч.степ. канд. наук. – М.: 1992. – 139 с. 11. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырожденных систем // Исследование по теории упругости и пластичности. – Л.: Изд. ЛГУ, 1966. - №5. – С. 3-33. 12. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Нестационарные колебания слоистых упругих и вязкоупругих пластин и пологих сферических и цилиндрических оболочек. – М.: ОЗОП.ГИ., 2012 – 240 с. 64 13. Богданов А.В., Поддаева О.А. Вывод частотного уравнения собственных колебаний упругой трехслойной пластины, два противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других жестко // Вестник МГСУ, 4, 2010. - С. 219-224. 14. Филиппов И.Г.,Филиппов С.И. Уравнения колебания кусочно – однородной вязкоупругой пластинки переменной жесткости // МТТ АН СССР. – 1989. – №5. – С. 149 – 157. 15. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев; «Штиинца», 1988. – 190 с. 16. Шевченко В.П., Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца // ISSN 1025-6415. Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 9. 2011. -70-77 pp. 17. Шевченко В.П., Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Упругие колебания трехслойных пластин в случае плоского торца // ISSN 1025-6415. Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 8. 2012. -61-66 pp. 18. Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Упругие колебания трехслойных пластин симметричного строения. // ISSN 1683-4720.Труды ИПММ НАН Украины, том 18, 2009. – С.3-10. 19. Худойназаров Х.Х.Нестационарное взаимодействие цилиндрических оболочек и стержней с деформируемой средой. – Ташкент, Изд – во Мед. Литературы имени Ибн Сино. 2003 – 350 с. 20. Худойназаров Х.Х Абдурашидов А. Нестационарное взаимодействие упругопластически деформируем ы х элементов конструкций с жидкостъю.-Ташкент: «ФАН» , 2005-220 65 MUALLIFNING CHOP QILINGAN ILMIY ISHLARI RO‘YXATI 1. Z.B.Khudayberdiyev, Sh.R.Yaxshiboyev & M.A.Muhammadiyeva. (2021). Transverse vibrations of a t hree-layere plate . ISJ Theoretical & Applied Science, 10 (102), 975-980. Soi: http://s-o-i.org/1.1/TAS-10-102-111 Doi: https://dx.doi.org/10.15863/TAS 2. Z.B.Khudayberdiyev, Sh.X.Muhiddinov M.A.Muhammadiyeva & S.A.Israilov. (2022). Transverse vibrations of a t wo-layer plate . ISJ Theoretical & Applied Science, 05 (109), 277-282. Soi: http://s-o-i.org/1.1/TAS-05-109-25 Doi: https://dx.doi.org/10.15863/TAS 66

CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI MUNDARIJA KIRISH ……………………………………… …………….. ………… … … .. . 3 I-BOB. PLASTINKALAR NAZARIYASINING ASOSIY MUNO- SABATLARI VA TENGLAMALARI.…………………….….. 8 1.1- §. Plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishlar bo’yicha o’tkazilgan ba’zi tadqiqotlar qisqacha sharhi............................... 8 1.2- §. Plastinkalar klassik nazariyasining asosiy gipotezalari va munosabatlari..………………………………………………… . 13 1.3- §. Ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishida plastinka qatlamlarida yuzaga keladigan ichki zo’riqish kuchlari…...…. .. 24 II-BOB. IKKI QATLAMLI CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN PLASTINKANING NOSTATSIONAR SIMMETRIK TEBRANISHLARI...................................................................... 28 2.1- §. Ikki qatlamli plastinka chetlari turlicha mahkamlanganda chegaraviy shartlarning qo’yilishi................................................ 28 2.2 - §. Qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning tebranish- lari haqidagi ayrim tadqiqotlar sharhi.... ………..……………… 29 2.3 - §. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik tebranishlari haqidagi masalaning qo’yilishi... 33 III - BOB . CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALARI…………………………….…………... 49 3.1- § Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik tebranishlari haqidagi masalaning yechimi...... 49 3.2- § Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalari................... 54 3.3 - § Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik erkin tebranishlari............................................ 61 XULOSA …... ……………… …………….. ……………………….…… ….... 67 ADABIYOTLAR RO’YXATI ……………………..……………..………..... 69 1

KIRISH Mavzuning dolzarbligi Qatlamli plastinkalar masalan ikki qatlamli va uch qatlamli plastinkalar texnikada va qurilishning xar xil sohalarida keng miqyosda ishlatiladi. Shu sababli bunday plastinkalar turli xil dinamik va statik tashqi yuklanishlar ta’siri ostida bo’ladilar. Shuning uchun ularning ko’ndalang kesimlarida turli shakldagi yuklanishlar yuzaga keladilar. Bunday holda plastinkaning ko’ndalang kesimlarida yuzaga keladigan ko’chish, kuchlanish, deformatsiya va egilishlarni aniqlash masalasi deformatsiyalanuvchi qattiq jism mexanikasi dolzarb masalalaridir. Praktik masalalarda bunday turdagi yuklanishlar ta’siri ostidagi plastinkalarda kuchlangan- deformatsiyalangan holatini aniqlash muhim ahamiyat kasb etadi. Dissertatsiya ishida tadqiqot ob’ekti va predmeti . Ushbu magistrlik dissertatsiya ishda ilmiy izlanishlar ob’ekti sifatida, yuqoridagilardan kelib chiqgan holda, tomonlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qaralgan. Ikki qatlamli elastik plastinka simmetrik tebranishlarida yuzaga keladigan ko’chish vektori komponentalarini, kuchlanish va deformatsiya tenzori komponentalarini plastinka ikki qatlamli va bir jinslimas ekanligini hisobga olgan holda hisoblash mumkin. Maskur magistlik dissertatsiyasida tekshirish predmeti ikki qatlamli plastinkada, berilgan tashqi yuklanishlar ta’siri ostida yuzaga keladigan tebranishlarni hisoblashdan hamda nostatsionar harakterga ega tebranishlar bo’lgan hollarida bunday elementlarda yuzaga keladigan nostatsionar to’lqin tarqalish jarayonini, ularning xususiyatlarini hisobga olgan holda tadqiq qilishdan iborat. Qatlamli plastinka va qatlamli sterjenlarning vaqtga bog’liq tebranishlarini hisoblashda ularning simmetrik tebranish tenglamalarini hisoblab chiqarish, ularning xususiy xususiy amplitudalarini topish, chastotalarini aniqlash va tebranish shakllarini olish masalalarini yechish ularni xal qilish va ular ustida ilmiy xulosalar chiqarish muammolari, aynan ushbu izlanishlarni ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinka uchun amalga oshirish, erkin tebranishlarning topilgan fizik-mexanik xarakteristikalaridan nostatsionar tebranishlar biror vaqt davomida ta’sir etuvchi tashqi dinamik ta’sir natijasida uyg’otilgan hollar uchun 2

tadbiq etish, ulardan foydalana bilish ham dissertatsiya ishining predmetini tashkil etadi. Ishning maqsad va vazifalari. Mazkur magistrlik dissertatsiya ishining asosiy maqsadi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranish tenglamalarini keltirib chiqarish, tadqiq qilish va ular asosida qaralayotgan plastinkaning simmetrik bo’ylama tebranishlari taqribiy tenglamalarini ishlab chiqishdan iboratdir. Bunda tadqiqotni klassik va aniqlashtirilgan tebranish tenglamalariga mos ravishda plastinka qatlamlaridagi kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatini aniqlashga imkon beruvchi algoritm yaratish talab etiladi. Ana shulardan kelib chiqqan holda dissertatsiya ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar belgilangan: 1. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishlari uchun umumiy tenglamalarni keltirib chiqarish; 2. Kuchlanish va deformatsiya tenzorlari hamda ko’chish vektori komponentalari uchun plastinka qatlamlari nuqtalaridagi kuchlanganlik- deformatsiyalanganlik holatini talab etilgan aniqlikda aniqlashga imkon beruvchi algoritm yaratish; 3. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishlari umumiy tenglamalaridan amaliy masalalarni yechish uchun yaroqli bo’lgan texnik yoki boshqacha aytganda taqribiy tenglamalarini hosil qilish; 4. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalar garmonik tebranishlari uchun chastota tenglamalarini olish va tadqiq qilish; Olingan natijalar asosida ilmiy xulosalar chiqarish va amaliy tavsiyalar ishlab chiqish. Tadqiqotning ilmiy yangiligi. ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostatsionar tebranishlari aksariyat hollarda sodda yechimlar asosida tadqiq qilingan. 3

Shu sababli ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostatsionar tebranishlari haqidagi masalalarni yangicha yo’nalishda tadqiq etish masalasi keyingi vaqtlarda katta ilmiy va amaliy ahamiyatga ega bo’lmoqda. Shu nuqtai nazardan qaraganda dissertatsiya ishida qaralgan va yechilishi uchun tadqiq etilgan tenglamalarning ilmiy ahamiyati -birinchidan ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning xususiyatlari hisobga olinganligi va ikkinchidan masalani yechish uchun yangi usullarning qo’llanilishi bilan xarakterlanadi. Tadqiqotning asosiy masalalari va vazifalari. Dissertatsiya ishida tadqiqotning asosiy masalalari va vazifalari etib chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishi hisobining, tashqi dinamik yuklar ta sirini hisobga oluvchi matematik modelini ishlab chiqish,ʼ chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning ixtiyoriy ko ndalang kesimi nuqtalarining kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlash ʻ algoritmini yaratish, dinamik yuklanishlar ta siri ostidagi ikki qatlamli plastinka ʼ tebranishlari uchun yangi amaliy masalalar qo yish va mos hisob usulini ishlab ʻ chiqish, har xil chegaraviy shartlarda ikki qatlamli plastinkaning garmonik tebranishlari va dinamik yuklar ta siridagi majburiy tebranishlari haqidagi xususiy ʼ masalalarni yechish usullarini yaratish, chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning qatlamlari geometrik va fizik-mexanik harakteristikalarining ko ndalang kesim ixtiyoriy nuqtasidagi kuchlanish tenzori va ko chish vektori ʻ ʻ komponentalarining koordinata va vaqtdan bog lanish qonuniyatlariga ta sirini ʻ ʼ tadqiq qilish belgilangan. Tadqiqot mavzusi bo yicha adabiyotlar sharhi (tahlili). ʼ Plastinkalar hisoobi ko’pincha Kirxgoff gipotezalariga va farazlariga asoslangan klassik nazariya yordamida bajariladi. Lekin klassik nazariya ikki qatlamli plastinka qatlamlari nuqtalaridagi kuchlanish va deformatsiya tenzori komponentalarini to liq hisoblash imkoniyatini bermaydi. Buning uchun ushbu nazariyani bundanda ʻ rivojlantirish lozimligi uchun ko plab olimlar ushbu ish ustida ilmiy ishlar olib ʻ borishgan. Qatlamli konstruksiyalar ya’ni plastinka va qobiqlar ustida klassik nazariyaning rivojlanishiga dastlab S.G.Lexniskiy, E.Reysner keyinchalik 4

Загрузите документ, чтобы увидеть его полностью.

Похожие

CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANSIMMETRIK TEBRANISHLARI
BIR CHETI BIKR MAHKAMLANGAN IKKINCHISI SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI
CHETLARI SHARNIRLI MAHKAMLANGAN UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHI
SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI
TEBRANISHLARDAN HIMOYALANUVCHI ELASTIK PLASTINKANING DINAMIKASINI VA USTIVORLIGINI TEKSHIRISH MASALALARI