CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI
![Beloserkovskiy S.M., Volmir A.S., Guz A.N., Kubenko V.D., Babayev A.N.,
Mamatqulov Sh., Mirsaidov M, Rahmatullin X.A., Rashidov T.R., Fillipov I.G.,
Markus S., Xudoynazarov X., Shirinqulov T.Sh.larning monografiyalarida va ilmiy
ishlarida yoritilgan.
Tuproqli yoki suyuq muhit bilan o’zaro vaqtga bog’liq ta’sirlashuvchi
deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar plastinkalar, qobiqlar va h.k.larning
tebranishlari haqidagi masalalarni yechishda fundamental tadqiqotlar qatoriga Guz
A.N., Petrashen I.G., Filippov I.G., Xudoynazarov X. va boshqa olimlarning
ishlarini keltirish mumkin.
1.1. Plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishlar bo’yicha
o’tkazilgan ba’zi tatqiqotlar qisqacha sharhi
Dinamik yuklanishlar ta’siri ostidagi deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar
tebranishlari ta’siri haqidagi masalalarni yechishda, xususan, deformatsiyalanuvchi
muhitlar bilan ta’sirlashuvchi ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan
plastinkalar tebranishlarini o’rganishda ikki qatlamli plastinka uchun hal qiluvchi
tebranish tenglamalari sifatida aynan taqribiy tebranish tenglamalarini qabul
qilamiz. Yuqorida aytilgan avtorlarning ko’pchiligida xar xil farazlarga tayanib
chiqarilgan taqribiy tenglamalar ishlatilgan. Ushbu farazlar va Krixgoff-Lyav
gipotezalari harakat tenglamalarini sezilarli darajada soddalashtiradi.
Aniqlashtirilgan S.P.Timoshenko tipidagi tebranish tenglamalari keltirilib
chiqarilishida ham geometrik va fizik turdagi tushunchalardan foydalaniladi. Shu
sababli ham ishlatishga qabul qilinayotgan nazariyalarga bog’liq olib borilayotgan
ilmiy izlanishlarning xar xil yo’nalishlari paydobo’lmoqda.
Deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar tebranish tenglamalarini keltirib
chiqarishga hamda tebranish tenglamalari uchun aniqlashtirilgan nazariyalarni
keltirib chiqishda, yoki qatlamli plastinkalar tebranish tenglamalari nazariyalarini
keltirib chiqarishga bag’ishlangan ilmiy izlanishlar tahlili hamda bu masalalarning
xar xil yo’nalishlari batafsil bayon [17,20] etilgan.
8](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_8.png)
![Aytish lozimki, qatlamli plastinkalar va sterjenlar tipidagi muhandislik
qurilmalari deformatsiyalanuvchi muhit bilan ta’sirlashuvi ko’p sonli muammolari
ko’plab izlanuvchilar tomonidan tadqiq etilgan.
Tebranish tenglamalari taqribiy nazariyalarini hamda muhandislik
konstruksiyalari elementlarining taqribiy tebranish tenglamalarini ishlab chiqishda
prof. I.Flippov va uning taniqli shogirdlari tomonidan chop etilgan ilmiy ishlar
[14,15,19] asos bo’lib hizmat qiladi. Ushbu ilmiy ishlarda qovushoq-elastiklik
nazariyasi uch o’lchovli masalalari ya’ni qovushoq-elastik qatlamli plastina,
sterjen va qatlamli qobiqlarning ko’ndalang va bo’ylama tebranish tenglamalari
ishlab chiqarilgan.
Bunday tenglamalar qatlamli plastina, sterjen va qatlamli qobiqlarni o’rab
turuvchi muhitlar deformatsiyalanuvchi muhit bo’lgan holda ham chiqarilgan.
Bunda sterjen va plastinkalarning izotroplik, anizotropik xossalari va harorat ta’siri
ham hisobga olingan. Keltirib chiqarilgan umumiy tebranish tenglamalari asosida
Krihgoff-Love va S.P.Timoshenko tipidagi hamda boshqa vaqt va koordinata
o’zgaruvchilariga nisbatan o’z tarkibida yanada yuqoriroq hosilalarni saqlovchi
yuqori tartibli tebranish tenglamalarii sistemasi keltirib chiqarilgan.
Keltirib chiqarilgan taqribiy va umumlashtirilgan tenglamalar, tenglamalar
sistemasi asosida amaliy ahamiyatga ega masalalar yechilgan. Ushbu masalalar bir
qatlamli qobiqlar, ikkin va uch qatlamli qobiqlar va plastinalar hamda turli xildagi
sterjenlar majburiy va erkin tebranishlarini tadqiq etishga bag’ishlangan. Terma-
qovushoq-elastik va chiziqli qovushoq-elastik hamda dinamik impulsli tashqi
yuklanishlar ta’siri ostidagi muhit dinamikasini turlixil analitik metodlar bilan
tadqiq etish natijalari keltirilgan. Olingan natijalar fizik fazoning turli nuqtalarida
to’lqin maydoni asosiy parametrlarini vaqtning xar xil payti uchun aniqlashga
imkon beradilar.
Bunday yo’nalishdagi ilmiy ishlarga misol qilib [11] maqolani alohida
ko’rsatib lozim. Chunki ushbu ish aynan ushbu magistrlik disertatsiya ishida
qaralayotgan masalaga to’g’ridan-to’g’ri aloqadordir va unda qatlamli
plastinkalarning tebranishlari nazariyalari keng yoritilgan. Avvalo shuni aytish
9](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_9.png)
![lozimki, ushbu monografiya ishida keltirib chiqarilgan metod prof. I.G.Flippov
tomonidan [15] monografiya aynan doiraviy plastina va qobiqlar uchun keltirib
chiqarilgan. Ushbu metod plastinka va qobiqlar uchun professor X.Xudoynazarov
tomonidan rivojlantirildi.
Yuqoridagi bayon etilgan ishlarda birinchi marotaba qatlamning tebranishlari
xossalarini o’zida saqlab qoluvchi va xossalarni tashuvchi asosiy sirt sifatida
klassik nazariyadagi kabi plastinka o’rtasirti emas, balki plastinka va qobiq o’rta
oraliq sirti olingan. Maskur oraliq sirt, kiritilgan yangi χ parametrning turli
qiymatlarida qatlamning tashqi va ichki sirtiga, yoki oraliq sirtiga o’tishi mumkin.
Spektri uzluksiz bo’lgan χ parametrning qiymatlari quyidan va yuqoridan
chegaralangan. Olingan tenglamalar bu yerda, S.P.Timoshenko tipidagi
aniqlashtirilgan tenglamalardan yoki klassik tenglamalardan tubdan farq qiladi.
Chunki bu tenglamalarda ko’ndalang siljish deformatsiyasi va aylanish inersiyasi
effektlari avtomatik tarzda tenglamalar ichida hisobga olinadi.
Aytish lozimki, bu yerda asosiy sirt sifatida ko’p qatlamli, uch qatlamli va
ikki qatlamli plastinka o’rta sirti qabul qilinishi lozim degan fikrdan voz kechish,
bizga avvaldan ma’lum bo’lgan nazariyalarga qaraganda juda keng aniqlikda
dinamik va kinematiik kontakt shartlarni ifodalashga imkoniyat yaratadi. Bizga
ma’lumki, bunday turdagi dinamik va kinematik kontakt shartlar ko’p qatlamli
plastinkalar qatlamlari orasida yoki plastinkaning tashqi deformatsiyalanuvchi
muhit bilan o’zaro ta’sirlashuvi muammolarida yuzaga keladi.
To’g’ri burchakli to’rtburchakli cheksiz uzunlikdagi qovushoq-elastik ko’p
qatlamli yoki xususan uch va ikki qatlamli plastinkaning sirtlariga vaqtning t = 0
onida vaqtga oshkor holda bog’liq bo’lgan zo’riqish kuchlari ta’sir etadi va bu
zo’riqish kuchlari ikki qatlamli plastinkaning simmetrik bo’ylama ko’ndalang
tebranishlarini yuzaga keltiradilar deb hisoblanadi. Qatlamli plastinka xususan uch
va ikki qatlamli plastinka harakat tenglamalari sifatida elastik va qovushoq-elastik
nazariyasining uch harakat tenglamalarining Φ - bo’ylama to’lqin potensiali va ⃗Ψ -
ko’ndalang to’lqinlar potensiali orqali ifodalangan ko’rinishlaridan foydalaniladi:
10](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_10.png)
![L (ΔΦ )= ρ ∂2Φ
∂ t2 ; M (Δ ⃗Ψ )= ρ ∂2⃗Ψ
∂ t2 , (1.1)
bu yerda
Ψ 1,Ψ 2,Ψ 3 lar ⃗Ψ vektorning komponentalari, ushbu vektor maydonning
solenoidlik sharti qanoatlantirilishi kerak; L,M - qovushoq-elastiklik operatorlari.
U, V, W qatlamli plastinka qatlamlari nuqtalari ko’chish vektori komponentalari.
Ular ushbu
Φ va Ψ j potensiallar yordamida quyidagicha ifodalanadi :
U r= ∂
∂ r (Φ +∂
∂ z Ψ 2)+ 1
r
∂ Φ 1
∂ θ ;
U z= ∂Φ
∂ r − (
1
r
∂
∂ r +∂2
∂ r2+1
r2 ∂2
∂θ2)Ψ 2;
U θ= 1
r
∂Φ
∂θ − ∂Ψ 2
∂r + 1
r
∂2Ψ 2
∂ z∂θ .
(1.2)
Xuddi yuqoridagi qatori ikki qatlamli plastinka qatlamlari nuqtalaridagi
σij
kuchlanishlar ham
Φ va Ψ j potensiallar yordamida ifodalanadilar.
Qovushoq-elastik ikki qatlamli plastinkaning qatlamlari tebranishlari uning
tashqi sirtiga ta’sir etuvchi zo’riqish kuchlarining teng ta’sir etuvchilari natijasida
qo’zg’atiladi deb hisoblanadi. Boshqacha aytganda qo’yilgan uch o’lchovli
masalaning chegaraviy shartlari quyidagicha ko’rinishda bo’ladi:
σij(r,z,t)|r=rk= fij(k)(z,t);
(i=r; j=θ,r,z; k=0,1 .) (1.3)
Bundan tashqari ikki qatlamli plastinka qatlamlari orasida va ikki qatlamli
plastinkani o’rab turuvchi deformatsiyalanuvchi turli xildagi muhitlar orasida
kontakt sirtlarda ko’chishlar tengligi sharti qanoatlantirilishi kerak. Ikki qatlamli
plastinka qatlam nuqtalari uchun potensiallarga nisbatan boshlang’ich shartlar nol
deb qaraladi, ya’ni t<0 paytda ikki qatlamli plastinka tinch holatda bo’lgan uning
ko’chishlari va tezligi bo’lmagan deb hisoblanadi.
Ushbu magistlik ishida ham [12] ishdagi kabi tashqi uyg’otuvchi kuchlar
fkj
(i)(z,t)=∫
0
∞ sin qz
− cos qz }dq ∫
(l)
fkj
(io)eptdp ,
(i=1,2 ;) (k,j= r,θ,z) (1.4)
11](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_11.png)
![nisbatan aniqlashtirilgan bo’lib, aylanish inertsiyasi va ko’ndalang siljish
diformatsiyasi kabi effektlarni avtomatik tarzda hisobga oladilar.
Tebranish tenglamalarini olishning yuqoridagi keltirilgan usulining boshqa
usullarga nisbatan yana bir afzalligi shundaki, bu usul yordamida tebranish
tenglamalari bilan bir qatorda kuchlanish va ko’chishlar maydonlarining hamma
komponentalari uchun analitik formulalarni chiqarish mumkin. Silindrik
qatlamning ixtiyoriy ravishda tanlangan nuqtadagi kuchlanganlik-deformatsiya-
langanlik holatini vaqtning istalgan payti uchun ushbu formulalar yordamida
aniqlash mumkin. S.P.Timoshenko tipidagi klassik va aniqlashtirilgan nazariyalar
asosida bunday ishni bajarish mushkul.
Professorlar X.Xudoynazarov va A. Abdurashidovlarning [20] monografiyasi
ham xuddi shunday masalalarni yechishga bag’ishlangan. Bu ilmiy ishlar
majmuasida deformatsiyalanuvchi qattiq jismlar va konstruksiyalarning
qobiqsimon elementlarining muhit bilan xususan suyuqlik bilan konstruksiyaga
tashqi impulsli gidrodinamik va seysmik zo’riqishlar ta’siri davomidagi o’zaro
ta’sirlashuviga oid masalalar tadqiqotlari natijalari keltirilgan. Bu masalalarning
har biri muhandislik konstruksiyalari va inshoatlari elementlarining
mustahkamligini ta’minlash bilan bog’liq.
Deformatsiyalanuvchi qattiq va buzuluvchi qobiqsimon muhandislik
konstruksiyalari elementlarining yuqori darajada qizdirilgan kriogen hamda
pufakchali suyuqliklar bilan o’zaro nostatsionar ta’sirlashuviga oid ba’zi bir
holatlar o’rganilgan. Prizmatik brus, plastinka va qobiq ko’rinishdagi konstruksiya
elementlarining elastoplastik deformatsiyalanishi, ularning suyuq muhit bilan
o’zaro ta’sirlashuviga qanday ta’sir ko’rsatishi taxlil qilingan. Gidrodinamik
effektlarni hisobga olgan holda uch muhit ( qattiq, suyuq va gaz ) o’zaro
nostatsionar ta’sirlashuviga oid dinamik masalalarni yechishning sonli usuli ishlab
chiqilgan.
Umuman olganda plastinka o’rta sirt tebranishlarini ular simmetrikligidan
bizga ma’lum bo’lgan sodda approksimatsiyalangan. Bunda tekis kuchlanganlik
holati paydo bo’ladi. Bu yengil approksimatsiyadan keyin elastiklik nazariyasining
13](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_13.png)
![σx= λ(
∂u
∂x
+∂υ
∂y)+2μ∂u
∂x
σy= λ(
∂u
∂x
+∂υ
∂y)+2μ∂υ
∂y ( 1. 12)
τxy= μ(
∂u
∂y
+∂υ
∂x)
Ushbu (1.12) orqali tasvirlangan ifodalarni (1.11) tenglamalar sistemasidagi
kuchlanishlarni o’rniga olib borib qo’yilsa masalaning ko’chishlardagi vektor
ko’rinishi xosil bo’ladi
G ∇ 2u+(λ'+G )graddivu = ρ ∂2u
∂t2
(1.13)
T.R. Kane va R.D. Mindlin o’zlarining [21] ishlarida plastinkaning
simmetrik tebranishlari aniqlashtirilgan nazariyasini yaratganlar. Bunda
umumlashgan tekis kuchlanganlik xolatning kengayishi deb qaralishi mumkin
bo’lgan approksimatsiya kiritilgan va ko’chishlar komponentalari hamda V
potensial energiya quyidagi ifoda bilan approksimatsiyalangan.
U x=U x
¿(x,y,t)
, U y= U y
¿(x,y,t) , U z= zh −1U z
¿(x,y,t)
2 V = λ ¿ ¿
Natijada quyidagi tenglamalar olingan.
G ∇ 2u
¿
+ (λ+G)graddiv u
¿
+
hλ
h graddiv uz¿+ 1
2hF= ρ∂2U ¿
∂t2
G ∇ 2u
¿
− 3 kλ
h2 div u
¿
− 3k2
h2 (λ+2G )U z¿+32hFz=ρ∂2U¿
∂t2
Bu yerda grad, div va
∇2 operatorlari ikki o’lchovli; k-korreksiyalovchi
koeffitsiyent;
⃗F - sirt kuchlariga mos keladi.
(Fx,Fy,Fz)=(τzx,τzy,σz)z=h−(τzx,τzy,σz)z=−h
R.D Mindlin va M.A.Medick o’zlarining [7] ishlarida plastinka simmetrik
tebranishlarining aniqlashtirilgan tenglamalarini qalinlik bo’yicha siljish
15](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_15.png)
![deformatsiyasi hamda delatatsion deformatsiyalarning bog’liqligini hisobga olgan
holda chiqarganlar. Ular ko’chish vektori komponentalarini Lejandr ko’bhadlari
bo’yicha qatorlarga yoyishdan kelib chiqarganlar.
V.V.Bolotin [5] tomonidan plastinkaning bo’ylama tebranishlari
tenglamalari keltirib chiqarilgan. Tekis deformatsiya o’rinli bo’lgan hol uchun
simmetrik bo’ylama tebranishlar uchun 1-yaqinlashishda umumlashgan tekis
kuchlangan holat tenglamasi kelib chiqadi(− a1
∂2
∂x2+a2
∂2
∂t2)U = 0
(1.14)
2-yaqinlashish ikki modalik aproksimasiyani beradi.
(−a1∂2
∂x2+a2∂2
∂t2+b1∂4
∂x4−b2 ∂4
∂t2∂x2+b3∂4
∂t4)U=0
(1.15)
3-yaqinlashish uch modalik aproksimasiyani beradi.
(− a1
∂2
∂x2+a2
∂2
∂t2+b1
∂4
∂x4− b2
∂4
∂t2∂x2+b3
∂4
∂t4−
−d1
∂6
∂x6+¿d2
∂6
∂t2∂x4−¿d3
∂6
∂t4∂x2+¿d4
∂6
∂t6)U=0¿¿¿
(1.16)
Bu yerda d
1 , d
2 , d
3 larning qiymatlari quyidagiga teng.
d1=32
1−2ν
ξ5
5!
;
d2= (
40
1− 2ν
+83− ν
1− ν
+16 1− ν
1− 2ν)
ξ5
5!
;
d3= (4 1− ν
1− 2ν+55− 2ν
1− ν +(1− 2ν)(4− 3ν)
(1− ν)2 +28 1− ν
1− 2ν)
ξ5
5!;
d4= (10 +2 1− ν
1− 2ν
+5
2
⋅1− 2ν
1− ν )
ξ5
5!
.
D.C.Gazis va R.D. Mindln [7] ishlarida aniqlashtirilgan nazariya yordamida
tekis deformatsiyaning umumlashgan tekis kuchlangan holatga jarayonini
tekshirganlar. Bu narsa eni 2h qalinligi 2a bo’lgan plastinaning eni 2h va balandligi
2a bo’lgan balka-devorga o’tishiga mos keladi. Katta to’lqin uzunliklari uchun,
qaysiki ko’ndalang va simmetrik tebranishlarning kichik modalariga mos keluvchi
16](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_16.png)
![to’lqin uzunligida fazoviy tezlikning limitik qiymatlari xisoblangan. Bu qiymatlar
balka-devorning ko’ndalang tebranishlarida c
c1
=ηa {1+ 6ν2
π2(1+ν)(
h
a)
2
[1− 2h
πa √
1−ν
2 ]}
1
2
(1.17)
c
c1
= ηa
(1−ν2)
1
2[1− π2ν2
10 (1−ν)(
a
h)
2
]
1
2
(1.18)
I.T. Selezov va Yu. G. Krivonov [7] elastik plastinada “bo’ylama” yuguruvchi
to’lqinlarning tarqalishini 3 ta nazariyalar asosida tekshirganlar. Yechim
U=U0exp [i(sx−wt )]
ko’rinishda izlanadi.
Bu yerda
s= 2π
l ;
ω= 2πc
l ; l - to’lqin uzunligi; c -fazaviy tezlik.
Yuqoridagi tenglamalardan kelib chiqgan holda dispersion tenglamalar
olingan. 1-yaqinlashishda
c2= a1
a2
(1.19)
2-yaqinlashishda
c4− [
a2
b3(
l
2π )
2
+
b2
b3]c2+[
a1
b3(
l
2π)
2
+
b1
b3]= 0
(1.20)
3-yaqinlashishda
c6− [
b3
d4(
l
2π )
2
+
d3
d4]c4+[
a2
d4(
l
2π )
4
+
b2
d4(
l
2π)
2
+
d2
d4]c2−
−[
a1
d4(
l
2π)
4
+
b1
d4(
l
2π)
2
+
d1
d4]= 0
(1.21)
Xar xil limitik va xususiy xollar tekshirib chiqilgan. Mos guruhiy tezliklar
taqqoslangan.
17](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_17.png)
![∂M xy
∂x =D(1−μ)∂3w
∂x2∂y
;
∂M xy
∂y =D(1−μ)∂3w
∂y2∂x
. (2.12)
(2.11) ifodalarni (2.2) ga ko’ra (2.12)ni hisobga olib yozsak quyidagiga
kelamiz:
x= 0
tomon erkin bo’lsin, u holda bu tomon uchun chegaraviy shart
quyidagicha olinadi.
Qyk=D[
∂3w
∂x3+(2−μ) ∂3w
∂y2∂x];
Qxk=D[
∂3w
∂y3+(2− μ) ∂3w
∂x2∂y].
Xuddi shunday plastinkaning chetlarida uchta shart, eguvchi
moment,burovchi moment va ko’ndalang kuch faqat ikkita eguvchi moment va
keltirilgan ko’ndalang kuch sifatida qaraladi.
M y=0
va Q yk= 0
bu munosabat ko’chishlar orqali quyidagicha yoziladi:
∂2w
∂x2+μ∂2w
∂y2= 0 , ∂3w
∂x3+(2− μ) ∂3w
∂x∂y2=0.
Bu yerdan ko’rinadiki plastinkaning chetlari erkin tayangan holda chegaraviy
shartlar oldingilariga nisdbatan ancha murakkab bo’lar ekan.
2.2. Qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning tebranishlari
haqidagi ayrim tadqiqotlar sharhi.
Texnika va qurilishning turli sohalarida, ko’p qatlamli, xususan ikki qatlamli
kompozit plastinkalar keng qo’llaniladi. Bunday hollarda plastinkalar dinamik
hisobi Kirxgoff gipotezalariga asoslangan klassik nazariyaga tayangan holda olib
boriladi [1]. Bunday ilmiy ishlarni to’plamiga juda ko’plab ilmiy maqolalarni
kiritish mumkin.
Kirxgoff gipotezalariga asoslangan klassik nazariyaning bundan keyingi
rivojiga ko’plab avtorlar o’zlarining ilmiy ishlari bilan xissa qo’shishdi. Ularning
tadqiqotlarini quyidagi ikki yo’nalishga bo’linadi. Asimtotiklik nazariya hamda
32](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_32.png)
![qatlamning birgalikdagi ishi quyi qatlamning sijishga qarshilik ko’rsatish
xususiyatidan bog’liq bo’ladi. Shundan kelib chiqqan holda, ikki qatlamlar
orasidagi kontaktni bikr deb hisoblaymiz.
Plastinka qatlamlari o’lchamlari chegaralanmaganligini e’tiborga olib, bundan
keyin plastinka tekis deformatsiya holatida bo’ladi deb hisoblaymiz, va unga Оxyz
to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasini joylashtiramiz (1-rasm) . Bunda
Оx va
Оy
o’qlarini Оxz ko’ndalang kesimning o’rta chizig’i bo’ylab yo’naltiramiz Оz
o’qini esa yuqoriga qarab yo’naltiramiz. Ikki qatlamli plastinka qatlamlarini xuddi
1-rasmdagidek qilib raqamlaymiz, ya’ni yuqori qatlamni - birinchi qatlam deb,
quyi pastki qatlamni - ikkinchi qatlam deb ataymiz. Faraz qilaylik
h1 , va 2h2 -
birinchi va ikkinchi qatlamlar qalinliklari; - qatlamlar moddalarining Lame
koeffitsiyentlari yoki elastik o’zgarmaslari; - qatlamlarning hajmiy zichliklari
bo’lsinlar.
Ikki qatlamli plastinka qatlamlaridagi nuqtalar deformatsiyasi va
kuchlanishlari orasidagi boglanishlar Guk qonuni munosabatlari ko’rinishida
berilgan [20]:
σii
(m)= λ ε(m)+2 μmεii
(m) (i,j= x,z)
σij(m)= μmεij(m), (i≠ j),(m = 0,1,2 ).
( 2.13 )
Ma’lumki dekart koordinatalar sistemasida plastinka qatlamlari ixtiyoriy
nuqtasining harakat tenglamalari quyidagicha aniqlanadi
σij,j
(m)= ρm ¨Ui
(m), (m=0,1,2 )
( 2.14 )
Bu harakat tenglamalari agar bo’ylama
Φm va ko’ndalang ψm to’lqin
potensial funksiyalarini quyidagi
⃗U(m)= grad Φm+rot { ⃗ψm¿
( 2.15 )
formula yordamida kiritilsa [21], quyidagi to’lqin tenglamalariga keladi
35](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_35.png)
![III-BOB
CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI
PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY
MASALARI
3.1. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostatsionar
simmetrik tebranishlari haqidagi masalaning yechimi
Elastiklik nazariyasiga ko’ra chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli
plastinkaning simmetrik tebranishlarida plastinka qatlamlari nuqtalarining umumiy
siljishini alohida simmetrik va antisimmetrik siljishlar yig’indisi ko’rinishida
tasvirlash mumkin. [16]⃗U m= ⃗U m
s+⃗U m
a
, (3.1)
bu yerda
⃗Um
s - chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik
tebranishlarida plastinka qatlamlari ko’chishlar maydonlari simmetrik (bo’ylama)
qismlari,
⃗Um
a - chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik
tebranishlarida plastinka qatlamlari ko’chishlar maydonlari antisimmetrik
(egilishdagi) qismlari. Bu yerda (3.1) у ig’indi maydon (2.18) chegaraviy shartni
qanoatlantiradi, uning simmetrik qismi esa (2.21) shartni quyidagi tengliklar o’rinli
bo’lganida qanoatlantirishi zarur
fx(1)(x,t)=− fx(2)(x,t)=1
2(Fx(1)+Fx(2))
fz
(1)(x,t)= fz
(2)(x,t)=1
2(Fz
(1)+Fz
(2))
(3.2)
Ya’ni masaladagi (2.21) chegaraviy shart bu holda ushbu ko’rinishni oladi
σxz
(1)(x,z,t)|z=h2+h1= fx
(1)(x,t);
σxz
(2)(x,z,t)|z=−h2= fx
(2)(x,t);
σzz
(1)(x,z,t)|z=h2+h1= fz
(1)(x,t);
σzz
(2)(x,z,t)|z=−h2= fz(2)(x,t);
(3.3)
39](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_39.png)
![Shunday qilib, chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning
simmetrik tebranishlari masalasi (2.19) tenglamalarni (3.3) – chegaraviy, (2.22),
(2.23) – kontakt va (2.24) – boshlang’ich shartlarda yechishga keltiriladii. Chetlari
bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishlari masalani
yechish uchun chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinka sirtiga
qo’yilayotgan tashqi ta’sirlarning (3.3) funksiyalari fx(1,2)(x,t) va fz(1,2)(x,t) larning
ifodalarini aniqlash zarur. Bu funksiyalarni aniqlashda ularga quyidagi shartlarni
qanoatlantirishlarini talab qilish zarur bo’ladi [ 17]:
1) ko’rsatilgan funksiyalar yetarli darajada umumiy bo’lgan biror (G)
funksional sinfga tegishli bo’lishi kerakki, bu sinf plastinkaga ta’sir qilishi mumkin
bo’lgan real tashqi ta’sirlarni xarakterlay olsin yoki bunday ta’sirlarni (G) sinfdan
olingan funksiyalarni qo’shish natijasida olish imkoniyatini yarata olsin;
2) tadqiqotlar ahamiyatsiz matematik almashtirishlar bilan
qiyinlashtirilmasligi uchun bu funksiyalar yetarli darajada soda strukturaga ega
bo’lishlari zarur;
3) Ushbu mulohazalardan kelib chiqqan holda tashqi ta’sirlar funksiyalarini
quyidagi ko’rinishlarda tasvirlash mumkin
fx
(1,2 )(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~fx
(1,2 )(k,p)eptdp ,
fx
(1,2 )(x,t)=∫
0
∞sin kx
− cos kx }dk ∫
(l)
~fx
(1,2 )(k,p)eptdp , (3.4)
bu yerda
fx(1,2 )(k,p) , fz(1,2 )(k,p) - Re p≥ 0 sohada chekli sondagi qutb nuqtalariga
ega bo’lgan hamda o’zida mavhum o’qning
(−iω 0,iω 0) oralig’ini saqlovchi biror
Ω(k,p)
sohaning ichida ixtiyoriy qiymatlarni qabul qiluvchi, p→∓ i∞ bo’lganda
|p|
−n0
, bunda n0>> 1
ga nisbatan tezroq kamayuvchi, va nihoyat Ω (k,p) sohadan
tashqarida hisobga olmaslik mumkin bo’lgan darajada kichik bo’lgan regulyar
funksiyalar. Bundan tashq1ari
~fx
(1,2 )(k,p) va ~fz
(1,2 )(k,p) funksiyalar - (0,k0)
40](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_40.png)
![Usbu ( 3.12 ) formulalarni ( 3.11 ) ifodalarga qo’ysak ~U m= ∑
n=0
∞
[kα m2n⋅A1
(m)− βm2n+1B1
(m)]z2n
(2n)! ;
~W m= ∑
n=0
∞
[αm2n+2⋅A1
(m)− kβ m2n+1B1
(m)]z2n+1
(2n)!
(3.13)
Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli plastinkaning simmetrik
tebranishlari tenglamalaridagi asosiy izlanuvchi funksiyalar sifatida nolinchi
qatlamning shunday sirti nuqtasining almashtirilgan
~U2 va
~W2 kochishlarining bosh
qismlarini qabul qilamizki, bu sirtning o’zi
z=0 tekislikdan quyidagi formula
bilan aniqlanuvchi masofada yotadi
ξ= χ⋅h2
− 1≤ χ<0 ; 0≤ χ<1 (3.14)
Bu yerda
χ - о ’zgarmas son bo’lib −1≤ χ≤1 tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu ishni
bajarish uchun (3.13) ifodalarda
z=ξ, m=0 и n=0 deb olamiz. U holda ~U2
(0) va
~W 2
(0)
belgilashlarni kiritib ushbu ikki noma’lumli ikki tenglama sistemasiga ega
bo’lamiz
~U 2(0)= kA 1(2)− β2B1(2),
~W 2(0)=[α22A1(2)−kβ 2B1(2)]ξ.
(3.15)
Bu sistemani yechib
A1(2) va β2B1(2) larni topamiz
A1(2)=
1
ξ
~W 2(2)− k~U 2(2)
α22− k2
β2B1
(2)=
k
ξ
~W 2
(2)− α22~U 2
(2)
α22− k2
(3.16)
quyidagicha belgilash kiritamiz
Qm(n)= αm2n− βm2n
αm2− βm2
; qm=1− LmM m−1 (3.17)
bu yerda
Qm(0)= 0 , Qm(1)=1 , Qm(n)= αm2+βm2 , m=1,2 ; n=0,1,2 ,...
43](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_43.png)
![Nihoyat, ( 3.16 ) qiymatlarni ( 3.13 ) ifodalarga qo’yib ya’ni m=0 da ( 3.17 ) ni
hisobga olgan holda quyidagilarni hosil qilamiz
~
Um=∑
n=0
∞
[
kq 2Q2
(n)
(
1
ξ
~
W 2
(2)
−k
~
U2
(2)
)
−β2
2n~
U2
(2)
]
z
2n
(2n)!
;¿
}
¿¿ −h2≤z≤h2, ¿
( 3.18 )
Olingan ( 3.11 ) yechimni (2.22) kontakt shartga qo’yib ya’ni
z=h2 da ushbu
sistemaga ega bo’lamizi
kA 1
(2)ch α2h2−β2B1
(2)ch β2h2=kA 1
(1)ch α1h2− β1B1
(1)ch β1h2;
α2A1(2)sh α2h2−kB 1(2)sh β2h2=α1A1(1)sh α1h2−kB 1(1)sh β1h2.
(3.19)
Olingan sistema ikki
A1(1) va B1(1) noma’lumlarga nisbatan ikkita algebraic
tenglamalar sistemasidan iboratdir. Bu sistema asosiy determinantining qiymati
Δ 1
0= ¿ |kch α 1 h 2 − β 1 ch β 1 h 2 ¿| ¿
¿
¿ ¿
(3.20)
ga, yordamchi determinantlar qitmatlari esa
Δ
A1
(1)
0
=¿
|kA 1
(2)
ch (α2h2)−β2B1
(2)
ch β(¿2h2) −β1ch (β1h2)¿|¿
¿
¿¿¿
¿
¿
(3.21)
va
Δ
B1
(1)
0
=¿
|kch (α1h2) kA 1
(2)
ch (α2h2)− β2B1
(2)
ch β(¿2h2)¿|¿
¿
¿¿¿
¿
¿
(3.22)
larga teng. Quyidagicha belgilashlarni kiritamiz:
44](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_44.png)
![Δ110=α2β1sh (α2h2)ch (β1h2)−k2sh (β1h2)ch (α2h2),
Δ120=k[β2ch (β2h2)sh (β1h2)− β1sh (β2h2)ch (β1h2)],
Δ210=k[α2sh (α2h2)ch (α1h2)−α1sh (α1h2)ch (α2h2)],
Δ220=α1β2ch (β2h2)sh (α1h2)− k2sh (β2h2)ch (α1h2). (3.23)
Oxirgi (3.23) hamda (3.20) – (3.22) formulalarni hisobga olib, Kramer
qoidasiga binoan izlanuvchi o’zgarmaslar uchun quyidagilarni topamiz
A1(1)=1
Δ10[Δ110A1(2)+Δ120B1(2)];
B1(1)=1
Δ10[Δ210 A1(2)+Δ220B1(2)];
(3.24)
Agar
A1(2) va B1(2) ozgarmaslarning (3.16) ifodalarini (3.24) formuladagi o’z
orinlariga qo’ysak
A1(1) va B1(1) o’zgarmaslarni plastinka nolinchi qatlami bo’ylama
va ko’ndalang ko’chishlarning bosh qismlari orqali bir qiymatli ifodalovchi
quyidagi analitik ifodalarga ega bo’lamiz
A1(1)= 1
(α22− k2)Δ10[
1
ξ (Δ110+k
β2
Δ120
)
~W 2(1)− (kΔ 110+α22
β2
Δ120
)
~U 2(1)
];
B1(1)= 1
(α22− k2)Δ10[
1
ξ (Δ210+k
β2
Δ220
)
~W 2(1)− (kΔ 210+α22
β2
Δ220
)
~U 2(1)
];
(3.25)
Plas tinka qatlamlari nuqtalarining ixtiyoriy nuqtasidagi kuchlanishlarni
toppish uchun ularni ham yuqoidagidek almashtirish kerak, ya’ni noldan farqli
σxz(m)
, σzz(m)
kuchlanishlar quyidagicha ifodalanishlari kerak, ya’ni
σxz
(m)(x,z,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~σxz
(m)(z,k,p)eptdp
(3.29)
almashtirilgan
~σxz(m) ifoda uchun mos ravishda (2.25) kuchlanishlar uchun yozilgan
formula quyidagicha
~σxz(m)= ~M m(2k∂~ϕ
∂z− ∂2~ψm
∂z2 −k2~ψm), (m= 0,1,2 )
( 3.30 )
45](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_45.png)
![( 3.8 ) ko’rinishdagi yechimni ( 3.30 ) ifodaga olib kelamiz~σxz(m)= ~M m[2kα mA1(m)sh (αmz)− βm2B1(m)sh (βmz)− k2B1(m)sh (βmz)]=
= ~M m[2kα mA1(m)sh (αmz)−(βm2+k2)B1(m)sh (βmz)].
(3.31)
Kuchlanish
~σxz(m) ning keltirilgan ( 3.29 ) tasviridan hamda , ( 3.31 ) va ( 3.2 )
dan foydalanib ( 3.3 ) - chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin
~M m(2kα mA1(m)sh (αmz)−(βm2+k2)B1(m)sh (βmz))=~fx(m)(k,p);
~L1m(αm2−k2)A1(m)ch (αmz)+2~M m(αm2A1(m)ch (αmz)− kβ mB1(m)ch (βmz))=~fz(m)(k,p);
( 3.32 )
bu yerda
{αm
2
=k
2
+ρmp
2
Lm
−1
¿¿¿¿
{sh(αmz)=αmz¿¿¿¿
{ch (αmz)=1+
αm
2z2
2
¿¿¿¿ ( 3.33 )
ekanligini hisobga olsak ( 3.32 ) tenglamalar sistemasining 1-si
m=1 da va 2-si
m= 2
da quyidagiga keladi.
~M 1(2kα 1A1(1)sh (α1(h0+h1))−(β12+k2)B1(1)sh (β1(h0+h1)))=~fx(1)(k,p);
~L12(α22−k2)A1(2)ch (α2(h0+h2))+2~M 2(α22A1(2)ch (α2z)− kβ 2B1(2)ch (β2(h0+h2)))=~fz(2)(k,p).
( 49 )
3. 2 . Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat-sionar
simmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalari
Yuqoridagi (3.34) tenglamalar ularning tarkibidagi integrallash
o’zgarmaslari o’rniga o’zlarining (3.25) va (3.27) ifodalar bilan aniqlanuvchi
qiymatlari qo’yilganidan keyin almashtirilgan ko’chishlarga nisbatan ikki
noma’lumli ikki tenglalar sistemasiga aylanadilar. Ana shu tenglamalarning
taqribiy ko’rinishlarini topamiz. Buning uchun integrallash noma’lumlari
tarkibiga kiruvchi quyidagi ifodalarni hisoblaymiz va bu yerda oxirgi
natijalarnigina keltiramiz
46](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_46.png)
![o’zgarmaslarning topilgan bu qiymatlarini ~M 1(2kα 1A1(1)
(α1z+α13z3
6 )− (β12+k2)B1(1)
(β1z+ β13z3
6 ))= ~fx(1)(k,p);
(~L2(α22−k2)+2~M 2k2)A1(2)
(1+
α22z2
2 )− 2~M 2kβ 2B1(2)
(1+
β22z2
2 )=~fz(2)(k,p).
tenglamalarga yoki
{[2kα
1
2
A
1
(1)
−β
1(β
1
2
+k
2
)B
1
(1)
]z+[2kα
1
4
A
1
(1)
−β
1
3
(β
1
2
+k
2
)B
1
(1)
]
z
3
6
=
~
M
1
−1~
f
x
(1)
(k,p);¿
{[(
~
L
2(α
2
2
−k
2
)+2
~
M
2
k
2
)A
1
(2)
−2
~
M
2
kβ
2
B
1
(2)
]+[(
~
L
2(α
2
2
−k
2
)+2
~
M
2
k
2
)A
1
(2)
−¿¿¿¿
(3.35)
tenglamalar sistemasiga qo’yamiz va hosil bo’lgan sistemani soddalashtirib
quyidagiga ega bo’lamiz
β1
Δ10{[(2α12− β12− k2)h0+1
6(2α12− β12− k2)(α02+k2q0)h03+1
2α12(β12− k2)(1+q0)h03+ 1
12 α12× ¿¿
¿(k2(α1
2− β1
2)q0+α0
2(β1
2− k2)+α1
2(β1
2− k2)q0+k2(α1
2− k2)q0)h0
5]k
ξ
~W 0+[1
6(k2α0
2(β1
2−
− α12+k2− α12)q0+α12(β12− k2)h0+α12β12(α12− k2)+k2α12(α12− β12))h03++ 1
2(β12− k2)α02× ¿¿
¿α1
2(1− q0)h0
3+ 1
12 α0
2α1
2(β1
2(α1
2− k2)+k2(α1
2− β1
2)− (β1
2+k2)(α1
2− k2)q0)h0
5]~U 0}z+
+
β 1
Δ 10 ¿ ¿
¿(β12− k2))h03+1
2(α12β12(2α12− β12− k2)+2α12(α12+β12)(β12− α12)q0+2α14(α12− k2)q0−
− α1
2β1
2(β1
2− k2)q0)h0
3+ 1
12 α1
2β1
2(α0
2(2α1
2− β1
2− k2)+(α1
2− k2)(β1
2+k2)q0)h0
5]k
ξ
~W 0+
49](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_49.png)
![+[(β1
2(β1
2− k2)+2k2(β1
2− α1
2))h0+1
6(α1
4β1
2(β1
2− k2)+k2(α0
2β1
2+α0
2α1
2+k2α0
2)q0(β1
2−
− α12)q0− k2α02α12(α12− k2)q0)h03+1
2(β12(β12+k2)+2k2(β12− α12))α02α12(1− q0)h03+
+ 1
12 α0
2α1
2β1
2(α1
2(β1
2− k2)−(β1
2+k2)(α1
2− k2)q0)h0
5]~U 0}
z3
6= ~M 1
−1~fx
(1)(k,p);Bu yerda ham
αm
2= k2+ρmp2(λm+2μm)−1 , βm2= k2+ρmp2μm−1 ekanligini hisobga
olsak tenglamamiz yanada soddalashadi
{[(1+~q1)h0+1
6(α02+k2~q0)(1+~q1)h03+1
2(1+~q0)(1−~q1)α12h03+ 1
12 α12(k2~q0(1+~q1)+(α12~q0+
+α0
2)(1−~q1)h0
5]k
ξ
~W 0+[α1
2(1−~q1)h0+ 1
6(k2α0
2~q1~q0− k2α0
2~q0+α1
2β1
2− k2α1
2~q1)h0
3+1
2α0
2× ¿¿
¿α12(1−~q0)(1−~q1)h03+ 1
12 α02α12(β12+k2~q1−(β12+k2)~q0)h05]~U 0}z+{[(β12+(β12+2α12)~q1)׿¿
¿h0+1
6(α02+k2~q0)(β12+ β12~q1+2α12~q1)h03+1
2α12((2α12− β12)~q0+β12+(β12− 2α12~q0)~q1−
− β1
2~q0~q1)h0
3+ 1
12 α1
2β1
2(α0
2+α0
2~q1+β1
2~q0+k2~q0)h0
5]k
ξ
~W 0+[(β1
2− β1
2~q1−2k2~q1)h0+
+1
6(α14β12(1−~q1)+k2α02(k2+β12)~q0− k2α02(k2+α12+β12)~q0~q1)h03+1
2(β12−(β12+2k2)~q1)׿¿
¿α0
2α1
2(1− ~q0)h0
3+ 1
12 α0
2α1
2β1
2(α1
2− α1
2~q1− β1
2~q0− k2~q0)h0
5]~U 0}
z3
6 = ¿¿
¿h03+1
2α12(1−~q1)h03+ 1
12 α12β12h05
}
~M 1−1~fx
(1)(k,p);
Bu tenglamaga
∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
........eptdp integral operatorni ta’sir ettiramiz
{−[(1+q1)h0+1
6(γ0− ∂2
∂x2q0)(1+q1)h0
3+1
2(1+q0)(1−q1)γ1h0
3+ 1
12 ((1−q1)γ0γ1+(1−q1)q0γ1
2−
−γ1
2(1+q1)∂2
∂x2q0)h0
5]1
ξ
∂
∂x
W 0+[(1−q1)γ1h0− 1
6
(q1γ1
∂2
∂x2−γ1λ1− q0(1+q1)∂2
∂x2γ0)h0
3+1
2
γ0׿¿
¿γ1(1−q0)(1−q1)h0
3+ 1
12 γ0γ1(λ1− q1 ∂2
∂x2− λ1q0− ∂2
∂x2q0)h0
5]U 0}z+{−[1
6(γ0− ∂2
∂x2q0)(λ1(1+
50](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_50.png)
![+q1)+2γ1q1)h03+(λ1+λ1q1+2γ1q1)h0+1
2(2q0γ12− λ1γ1q0+λ1γ1+q1λ1γ1−2q0q1γ12− q0q1λ1γ1)׿¿
¿h0
3+ 1
12
(γ0γ1λ1(1+q1)+~q0γ1λ1
2−γ1λ1
∂2
∂x2q0)h0
5]k
ξ
∂
∂x
W 0+[(λ1− λ1q1+2 ∂2
∂x2q1)h0+1
6
(γ1
2λ1׿¿
¿(1−~q1)+q0γ0 ∂4
∂x4−γ0λ1q0 ∂2
∂x2−q0q1γ0 ∂4
∂x4+q0q1(γ1+λ1)∂2
∂x2γ0)h03+1
2(1−~q0)(γ0γ1λ1− γ0׿¿
¿γ1λ1q1+2q1
∂2
∂ x2γ0γ1)h0
3+ 1
12 γ0γ1λ1(γ1(1− q1)− λ1q0+ ∂2
∂x2q0)h0
5]U 0}
z3
6 = ¿¿
¿q1)h03+1
2γ1(1− q1)h03+ 1
12 γ1λ1h05
}M 1−1fx
(1)(k,p);
{−[(1+q1)h0+1
6(1+q1)(ρ0L0
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2(1+q0))h0
3+1
2(1+q0)(1−q1)(ρ1L1
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)h0
3+
+1
12 ((1−q1)(ρ0L0
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(ρ1L1
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+(1− q1)q0(ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)
2
−(ρ1L1
−1∂2
∂t2−
−∂2
∂x2)(1+q1)q0∂2
∂x2)h0
5]1
ξ
∂
∂xW 0+[(1−q1)(ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)h0− 1
6(q1(ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)
∂2
∂x2−
−(ρ1L1−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(ρ1M 1−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)− q0(1+q1)(ρ0L0−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)
∂2
∂x2)h03+1
2(1−q0)(1−q1)×
¿
(
ρ0L0
−1∂
2
∂t
2
−
∂
2
∂x
2)(
ρ1L1
−1∂
2
∂t
2
−
∂
2
∂x
2)
h0
3
+
1
12(
ρ0L0
−1∂
2
∂t
2
−
∂
2
∂x
2)(
ρ1L1
−1∂
2
∂t
2
−
∂
2
∂x
2)
((1−q0)ρ1
∂
2
∂t
2
׿¿¿M1
−1
q0+(2q0−q1−1)
∂
2
∂x
2
)h0
5
]U0}
z+
{
−[(1+q1)ρ1M1
−1∂
2
∂t
2
+2q1ρ1L1
−1∂
2
∂t
2
−(1+3q1)
∂
2
∂x
2
)h0+
+
1
6(ρ0L0
−1∂2
∂t2−(1+q0)
∂2
∂x2)((1+q1)ρ1M1
−1∂2
∂t2+2q1ρ1L1
−1∂2
∂t2−(1+3q1)
∂2
∂x2)h0
3+
1
2
(2q0(ρ1
∂2
∂t2׿¿×L1
−1−∂2
∂x2)2−(ρ1M1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)q0+(ρ1M1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)+
+q1(ρ1M1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)−2q0q1(ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)
2
−q0q1(ρ1M1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)×
¿
(
ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)
h0
3+
1
12
(
(
ρ0L0
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
ρ1M1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(1+q1)+q0×51](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_51.png)
![¿(ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(ρ1M 1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)
2
−q0(ρ1L1
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(ρ1M 1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2))∂2
∂x2h0
5]
k
ξ
∂
∂x
W 0+
+[((1−q1)(ρ1M 1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)+2q1
∂2
∂x2)h0+
1
6
((1− q1)(ρ1M 1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)
2
+
+q0(ρ0L0
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂4
∂x4− q0(ρ0L0
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(ρ1M 1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)
∂2
∂x2− q0q1(ρ0L0
−1∂2
∂t2−
−∂2
∂x2)∂4
∂x4+q0q1(ρ1L1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2+ρ1M 1
−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(ρ0L0
−1∂4
∂x2∂t2−∂4
∂x4))h0
3+1
2((ρ0∂2
∂t2×
¿L0−1−∂2
∂x2)(1− q1)(ρ1L1−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(ρ1M 1−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)+2q1(ρ0L0−1∂2
∂t2−∂2
∂x2)(ρ1L1−1∂2
∂t2−
−∂2
∂x2)∂2
∂x2)(1−q0)h0
3+1
12 (ρ0L0
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(ρ1L1
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(ρ1M 1
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)((ρ1L1
−1∂2
∂t2−
−∂2
∂x2)(1−q1)− q0(ρ1M 1
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+q0
∂2
∂x2)h0
5]U 0}
z3
6
={h0+1
6
(ρ1L1
−1∂2
∂t2− (1+q1)∂2
∂x2)h0
3+
+1
2(1−q1)(ρ1L1
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)h0
3+ 1
12 (ρ1L1
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(ρ1M 1
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)h0
5
}M 1
−1fx
(1)(k,p);Bu yerda
ρm(λm+2μm)−1= 1
am2
va ρmμm−1= 1
bm2
ekanligidan yuqoridagi tenglama quyidagi ko’rinishga keladi
{−[(1+q1)h0+1
6(1+q1)(1
a0
2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2(1+q0))h0
3+1
2(1+q0)(1− q1)(1
a1
2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)h0
3+
+1
12 ((1−q1)(
1
a0
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)
+(1− q1)q0(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)
2
−(1
a1
2
∂2
∂t2−
−∂2
∂x2)(1+q1)q0
∂2
∂x2)h0
5]1
ξ
∂
∂xW 0+[(1−q1)(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)
h0−1
6(q1(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)
∂2
∂x2−
−(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
b1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)−q0(1+q1)(
1
a0
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)
∂2
∂x2)h0
3+1
2(1− q0)(1− q1)×
52](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_52.png)
![¿(
1
a02
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
a12
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)h03+1
12 (
1
a02
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
a12
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)((1− q0)1
b12
∂2
∂t2+
+(2q0−q1−1)∂2
∂x2)h05]U 0}z+{−[(1+q1)1
b12
∂2
∂t2+2q1
1
a12
∂2
∂t2−(1+3q1)∂2
∂x2)h0+
+1
6(
1
a0
2
∂2
∂t2−(1+q0)∂2
∂x2)((1+q1)1
b1
2
∂2
∂t2+2q1
1
a1
2
∂2
∂t2−(1+3q1)∂2
∂x2)h03+1
2(2q0(1
a1
2
∂2
∂t2−
−∂2
∂x2)2−(
1
b1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
a1
2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)q0+(
1
b1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)+
+q1(
1
b1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)−2q0q1(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)
2
− q0q1(
1
b1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)×
¿(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)h0
3+1
12 ((
1
a0
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
b1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(1+q1)+q0×
¿
(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
b1
2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
2
−q0(
1
a1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
b1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)
)∂2
∂x2h0
5]k
ξ
∂
∂x
W 0+
+[((1−q1)(
1
b1
2
∂2
∂t2−∂2
∂x2)
+2q1
∂2
∂x2)h0+1
6
((1−q1)(
1
b1
2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(
1
a1
2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
2
+
+q0(
1
a02
∂2
∂t2−∂2
∂x2)
∂4
∂x4− q0(
1
a02
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(
1
b12
∂2
∂t2−∂2
∂x2)
∂2
∂x2− q0q1(1
a02
∂2
∂t2−
−∂2
∂x2)∂4
∂x4+q0q1(
1
a12
∂2
∂t2−∂2
∂x2+1
b12
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(
1
a02
∂4
∂x2∂t2−∂4
∂x4))h03+1
2((1
a02
∂2
∂t2−
−∂2
∂x2)(1−q1)(
1
a12
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(
1
b12
∂2
∂t2−∂2
∂x2)+2q1(
1
a02
∂2
∂t2−∂2
∂x2)(1
a12
∂2
∂t2−
−∂2
∂x2)∂2
∂x2)(1− q0)h0
3+1
12 (1
a0
2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(1
a1
2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(1
b1
2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)((1
a1
2
∂2
∂t2−
−∂2
∂x2)(1−q1)− q0(1
b1
2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+q0
∂2
∂x2)h0
5]U 0}
z3
6
=
{
h0+1
6
(1
a1
2
∂2
∂t2− (1+q1)∂2
∂x2)h0
3+
+1
2(1−q1)(1
a12
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)h03+ 1
12 (1
a12
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)(1
b12
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)h05
}M 1−1fx(1)(k,p);Hosil qilingan bu tenglamani hosilalar tartibi bo’yicha soddalashtiramiz.
Hosil bo’lgan tenglamadagi to’rtinchi tartibdan yuqori tartibli hosilalarni tashlab
h0
ga qisqartirib ularni quyidagicha yozamiz.
53](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_53.png)
![{[
q1−1
a12 (1
a02−
q0
a12)
h04
12
∂4
∂t4+(
1− q1
a02 +
1−q1+q0−3q0q1
a12 )
h04
12
∂4
∂x2∂t2−(1−q1+2q0)
h04
12
∂4
∂x4−
−(
1+q1
3a02 +(1− q1)(1+q0)
a12 )
h02
2
∂2
∂t2+(1+q0)(2− q1)
h02
3
∂2
∂x2+(1+q1)]1
ξ
∂
∂xW 0+[1
a12( 1
3b12+
+(1− q0)(1− q1)
a02 )h03
2
∂4
∂t4−(q1+1
3a12+ 1
3b12+(1− q0)(1− q1)
a02 +(1− q0)(1− q1)
a12 +
q0(q1+1)
3a02 )h03
2׿¿
¿ ∂4
∂x2∂t2+(2− q1−2q0+2q1q0)
h03
3
∂4
∂x4+1− q1
a12 h0∂2
∂t2−(1−q1)h0 ∂2
∂x2]U0}(h0+h1)+
+{[(
2q0(q1− 1)
a14 − 2q1
3a02a12− 1+q1
3a02b12− 1− q0+q1+q0q1
a12b12 )h02
2
∂4
∂t4+(1+3q1
3a02 +1+q0+q1+q0q1
3b12 +
+
2q1(2+q0)
3a12 +1−5q0+q1−3q0q1
a12 +1− q0+q1+q0q1
b12 )h02
2
∂4
∂x2∂t2−(2+2q0+3q1)
h02
3
∂4
∂x4−
−(
1+q1
b12 +2q1
a12)
∂2
∂t2+(1+3q1)∂2
∂x2]1
ξ
∂
∂xW 0+[1− q1
b12 h0∂2
∂t2+(3q1−1)h0 ∂2
∂x2]U 0}
(h0+h1)3
6 =
={
h04
12 a12b12 ∂4
∂t4−(1
a12+ 1
b12)h04
12
∂4
∂x2∂t2+h04
12
∂4
∂x4+4−3q1
a12
h02
2
∂2
∂t2− 2− q1
a12
h02
3
∂2
∂x2+1}μ1−1fx−1(k,p)Yuqoridagi tenglamani
t= h
b τ va x= hζ belgilashlar orqali o’lchovsiz holatga
keltiramiz.
{[q1−1
a12 (1
a02− q0
a12)b04
12 h02∂4
∂τ4+(
1−q1
a02 +1−q1+q0−3q0q1
a12 )
b02
12 h02 ∂4
∂ζ2∂τ2− 1− q1+2q0
12 ׿¿
¿h02 ∂4
∂ζ4− (
1+q1
3a02+(1− q1)(1+q0)
a12 )
b02
2 h02 ∂2
∂τ2+(1+q0)(2− q1)
3 h02 ∂2
∂ζ2+(1+q1)h02]× ¿¿
¿1
ξ
∂
∂ζW 0+[1
a12( 1
3b12+(1−q0)(1−q1)
a02 )b04
2 h02 ∂4
∂τ4− b02
2(q1+1
3a12+ 1
3b12+(1−q0)(1− q1)
a02 +
+(1− q0)(1− q1)
a12 +
q0(q1+1)
3a02 )h02 ∂4
∂ζ2∂τ2+
2− q1−2q0+2q1q0
3 h02 ∂4
∂ζ4+(1− q1)b02
a12 h02 ∂2
∂τ2−
− (1 − q 1 ) h 0
2 ∂ 2
∂ ζ 2 ] U 0 } (h 0 + h 1 )+ ¿ ¿
54](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_54.png)
![¿ ∂4
∂τ4+(1+3q1
3a02 +1+q0+q1+q0q1
3b12 +
2q1(2+q0)
3a12 +1− 5q0+q1−3q0q1
a12 +1− q0+q1+q0q1
b12 )׿¿
¿b02
2
∂4
∂ζ2∂τ2− 2+2q0+3q1
3
∂4
∂ζ4− (
1+q1
b12 +2q1
a12)b02 ∂2
∂τ2+(1+3q1)∂2
∂ζ2]1
ξ
∂
∂ζW 0+
+[(1− q1)b02
b12 h02∂2
∂τ2+(3q1−1)h02 ∂2
∂ζ2]U 0}
(h0+h1)3
6 ={
b04
12 a12b12h03 ∂4
∂τ4−(1
a12+ 1
b12)b02
12 ׿¿
¿h03 ∂4
∂ζ2∂τ2+ 1
12 h03 ∂4
∂ζ4+ 4− 3q1
a12
b02
2 h03 ∂2
∂τ2− 2− q1
3 h03 ∂2
∂ζ2+h03
}μ1−1fx(1)(k,p)Bu tenglamani quyidagicha ham yozish mumkin
{[с11h0
2∂4
∂τ4+с12h0
2 ∂4
∂ζ2∂τ2+с13h0
2 ∂4
∂ζ4+с14h0
2∂2
∂τ2+с15h0
2 ∂2
∂ζ2+с16h0
2]1
ξ
∂
∂ζW 0+[d11h0
2∂4
∂τ4+
+d12 h0
2 ∂4
∂ζ2∂τ2+d13h0
2 ∂4
∂ζ4+d14 h0
2 ∂2
∂τ2+d15 h0
2 ∂2
∂ζ2]U 0}(h0+h1)++ {[с17 ∂4
∂τ4+с18 ∂4
∂ζ2∂τ2+
+с19 ∂4
∂ζ4+с110 ∂2
∂τ2+с111 ∂2
∂ζ2]1
ξ
∂
∂ζW 0+[d16 h02∂2
∂τ2+ d17 h02 ∂2
∂ζ2]U 0}
(h0+h1)3
6 =
={s11h0
3 ∂4
∂τ4+s12h0
3 ∂4
∂ζ2∂τ2+s13h0
3 ∂4
∂ζ4+s14 h0
3∂2
∂τ2+s15h0
3 ∂2
∂ζ2+s16}μ1
−1fx
(1)(k,p)
Bu yerda
сkl,dkl,skl o’zgarmaslar quyidagiga teng.
с11= q1− 1
a12 (1
a02− q0
a12)b04
12 h02; с12=(
1− q1
a02 +1− q1+q0− 3q0q1
a12 )
b02
12 ; с13=− 1− q1+2q0
12 ;
с14=− (
1+q1
3a02 +(1− q1)(1+q0)
a12 )
b02
2 ; с15= (1+q0)(2− q1)
3 ; с16= (1+q1)
с17=(
2q0(q1− 1)
a14 − 2q1
3a02a12− 1+q1
3a02b12− 1− q0+q1+q0q1
a12b12 )b04
2 ;
с18=(1+3q1
3a02 +1+q0+q1+q0q1
3b12 +
2q1(2+q0)
3a12 +1− 5q0+q1− 3q0q1
a12 +1− q0+q1+q0q1
b12 )b02
2 ;
с11=− 2+2q0+3q1
3 ; с110 =− (
1+q1
b12 +2q1
a12 )b02; с111 = (1+3q1);
55](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_55.png)
![d11= 1
a12(1
3b12+(1− q0)(1− q1)
a02 )b04
2 ; d16= (1− q1)b02
b12 ; d17=+ (3q1− 1);
d12=−(q1+1
3a12 +1
3b12+(1− q0)(1− q1)
a02 +(1− q0)(1− q1)
a12 +
q0(q1+1)
3a02 )b02
2 ;
d13= 2− q1− 2q0+2q1q0
3 ; d14= (1− q1)b02
a12 ; d15=− (1− q1);
s11= b04
12 a12b12; s12=− (1
a12+1
b12)b02
12 ; s13= 1
12 ; s14= 4− 3q1
a12
b02
2 ;
s15=− 2− q1
3 ; s16= h03yoki bu tenglamani hosilalar tartiblari bo’yicha yanada soddalashtirsak quyidagiga
kelamiz.
[(с11h02(h0+h1)+с17
(h0+h1)3
6 )
∂4
∂τ4+(h0+h1)(с12h02+с18
(h0+h1)2
6 )
∂4
∂ζ2∂τ2+(с13 h02(h0+h1)+
+(h0+h1)3
6 с19) ∂4
∂ζ4+(с14 h02(h0+h1)+с110
(h0+h1)3
6 )
∂2
∂τ2+(с15 h02(h0+h1)+с111
(h0+h1)3
6 )× ¿¿
¿ ∂2
∂ζ2+с16 h0
2(h0+h1)]1
ξ
∂
∂ζ W 0+[d11h0
2(h0+h1)∂4
∂τ4+h0
2(h0+h1)(d12 ∂4
∂ζ2∂τ2+d13 ∂4
∂ζ4)+
+(d14h0
2(h0+h1)+d16
h0
2(h0+h1)3
6 )
∂2
∂τ2+(d15 h0
2(h0+h1)+d17
h0
2(h0+h1)3
6 )
∂2
∂ζ2]U 0=
={s11h0
3 ∂4
∂τ4+s12h0
3 ∂4
∂ζ2∂τ2+s13h0
3 ∂4
∂ζ4+s14 h0
3∂2
∂τ2+s15h0
3 ∂2
∂ζ2+s16}μ1
−1fx
(1)(k,p)
yoki bu tenglamani soddaroq ko ’ rinishda yana quyidagicha yozish mumkin
[с1
'∂4
∂τ4+с2
'∂4
∂ζ2∂τ2+с3
'∂4
∂ζ4+с4
'∂2
∂τ2+с5
'∂2
∂ζ2+с6
']1
ξ
∂
∂ζ W 0+
+[d1
'∂4
∂τ4+d2
'∂4
∂ζ2∂τ2+∂4
∂ζ4d3
'+d4
'∂2
∂τ2+d5
'∂2
∂ζ2]U 0=
¿{s1
'∂4
∂τ4+s2
'∂4
∂ζ2∂τ2+s3
'∂4
∂ζ4+s4
'∂2
∂τ2+s5
'∂2
∂ζ2+s6
'
}μ1
−1fx
(1)(k,p)
(51)
Bu yerda
сk'',dk'',sk'' o’zgarmaslar quyidagiga teng.
56](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_56.png)
![с1
'= (с11 h02(h0+h1)+с17
(h0+h1)3
6 ); с2
'= (с12 h02(h0+h1)+с18
(h0+h1)3
6 );
с3
'=(с13 h02(h0+h1)+с19
(h0+h1)3
6 ); с5
'=(с15h02(h0+h1)+с111
(h0+h1)3
6 );
с6'=с16h02(h0+h1); d1'= d11h02(h0+h1); d2'=d12h02(h0+h1); d3'=d13h02(h0+h1);
d4
'=(d14h02(h0+h1)+d16
h02(h0+h1)3
6 ); d5
'=(d15h02(h0+h1)+d17
h02(h0+h1)3
6 );
s1'= s11h03; s2'= s12 h03; s3'= s13 h03; s4'= s14 h03; s5'= s15 h03; s6'= s16 ;Xuddi shunday (50) tenglamalar sistemasining ikkinchi tenglamasini ham keltirib
chiqaramiz
{[c21h0
3∂4
∂τ4+c22h0
3 ∂4
∂ζ2∂τ2+c23h0
3 ∂4
∂ζ4+c24h0
3 ∂2
∂τ2+c25h0
3 ∂2
∂ζ2+c26h0
3]1
ξW 0−
−[d21 h0
2 ∂4
∂τ4+d22 h0
2 ∂4
∂ζ2∂τ2+d23 h0
2 ∂4
∂ζ4+d24 h0
2 ∂2
∂τ2+d25h0
2 ∂2
∂ζ2+d26 h0
2] ∂
∂ζ
U 0}+
+{[c27h0
3∂4
∂τ4+c28 h0
3 ∂4
∂ζ2∂τ2+c29 h0
3 ∂4
∂ζ4+c210 h0
3 ∂2
∂τ2+c211 h0
3 ∂2
∂ζ2]1
ξW 0−
(52)
−[d27 ∂4
∂τ4+d28 ∂4
∂ζ2∂τ2+d29 ∂4
∂ζ4+d210 ∂2
∂τ2+d211 ∂2
∂ζ2] ∂
∂ζ U 0}
(h0+h2)2
2 =
= {s21 ∂4
∂τ4+s22 h0
3 ∂4
∂ζ2∂τ2+s23 h0
3 ∂4
∂ζ4+s24 h0
3 ∂2
∂τ2+s25 h0
3 ∂2
∂ζ2+s26}μ2
−1fz
(2)(k,p)
Bu yerda
сkl,dkl,skl o’zgarmaslar quyidagiga teng
c21=(1−q2)b04
12 a02b22 ; c22=−(
5−3q2
a02 +1− q2
b22 − 2q0
a22 )
b02
12 ; c23=5−3q2−2q0
12 ;
c24=(1−q2
3a02 +1−q2
b22 )b02
2 ; c25=− 2+2q0+5q2− q0q2
3 ; c26=(1−q2);c27=(1−q2
3a02a22+1−q2
a22b22 )b02
2 ;
c28=−(
(1+q0)(1− q2)
3a22 +1−3q2
3a02 +(1+q0)(1− q2)
a02 +1−q2
b22 )
b02
2 ;
c29=(1+q0)(2−3q2)
6 ; c210 = (1− q2)b02
a22 ; c211 =−(1− 3q2);
57](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_57.png)
![d21=(
1+q2
a02b22+2q2− 2q0
a02a22 )
b04
12 ; d22=− (1+q2
a02 +1+q2
b22 )b02
12 ; d23= 1− 2q0+3q2
12 ;
d24= (3− 4q0+3q2− 2q0q2
a02 +1+q2
b22 +2q2
a22 )b02
6 ; d25= 4q0+2q0q2− 4− 3q2
6 ;
d26= (1+q2); d27= (− (1− 7q0)(1− q2)
a02a22 − 1+q2
a22b22 )b04
6 ;
d28=− (7− 5q2− 7q0
a22 +7q0q2
a22 +6− 6q2− 7q0+9q0q2
6a02 +1− q2
6a02a22)b02
6 ;
d29= 7− 5q2− 7q0+9q0q2
6 ; d210 = (1− q2)b02
a22 ; d211 =− (1− q2);
s21= b04
12 a22b22h03; s22= −(1
a22+1
b22)b02
12 ; s23= 1
12 ;
s24= (4− 3q2)b02
2a22 ; s25= − 2− q2
3 ; s26= 1.yoki bu tenglamani hosilalar tartiblari bo’yicha yanada soddalashtirsak quyidagiga
kelamiz.
[(c21 h03+c27
h03(h0+h2)2
2 )
∂4
∂τ4+(c22 h03+c28
h03(h0+h2)2
2 )
∂4
∂ζ2∂τ2+(c29
h03(h0+h2)2
2 +
+
c23 h0
3
1 ) ∂4
∂ζ4+(c24 h0
3+c210
h0
3(h0+h2)2
2 )
∂2
∂τ2+(c25 h0
3+c211
h0
3(h0+h2)2
2 )
∂2
∂ζ2+c26 h0
3]1
ξW 0−
−[(d21h02+d27
(h0+h2)2
2 )
∂4
∂τ4+(d22 h02+d28
(h0+h2)2
2 )
∂4
∂ζ2∂τ2+(d29
(h0+h2)2
2 +
+
d23h0
2
1 ) ∂4
∂ζ4+(d24 h0
2+d210
(h0+h2)2
2 )
∂2
∂τ2+(d25 h0
2+d211
(h0+h2)2
2 )
∂2
∂ζ2+d26h0
2] ∂
∂ζ U 0=
= {s21 ∂4
∂τ4+s22h0
3 ∂4
∂ζ2∂τ2+s23h0
3 ∂4
∂ζ4+s24 h0
3 ∂2
∂τ2+s25 h0
3 ∂2
∂ζ2+s26}μ2
−1fz
(2)(k,p);
yoki bu tenglamani soddaroq ko’rinishda yana quyidagicha yozish mumkin
58](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_58.png)
![[с1
''∂4
∂τ4+с2
''∂4
∂ζ2∂τ2+с3
''∂4
∂ζ4+с4
''∂2
∂τ2+с5
''∂2
∂ζ2+с6
'']1
ξ W 0−
−[d1
''∂4
∂τ4+d2
''∂4
∂ζ2∂τ2+d3
''∂4
∂ζ4+d4
''∂2
∂τ2+d5
''∂2
∂ζ2+d6
'']∂
∂ζ U 0=
¿{s1
''∂4
∂τ4+s2
''∂4
∂ζ2∂τ2+s3
''∂4
∂ζ4+s4
''∂2
∂τ2+s5
''∂2
∂ζ2+s6
''
}M 2
−1fz
(2)(k,p) (53)
Bu yerda
сk'',dk'',sk'' o’zgarmaslar quyidagiga teng.
с1
''=(c21h03+c27
h03(h0+h2)2
2 );с2
''=(c22h03+c28
h03(h0+h2)2
2 );с3
''=(c29
h03(h0+h2)2
2 +c23h03
);
с4
''=(c24h03+c210
h03(h0+h2)2
2 );с5
''=(c25h03+c211
h03(h0+h2)2
2 );с6
''=c26h03;
d1''=(d21h02+d27
(h0+h2)2
2 );d2''=(d22h02+d28
(h0+h2)2
2 );d3''=(d29
(h0+h2)2
2 +d23h02
);
d4
''=(d24h02+d210
(h0+h2)2
2 );d5
''=(d25h02+d211
(h0+h2)2
2 );d6
''= d26h02
s1
''= s21h03;s2
''= s22h03;s3
''= s23h03;s4
''= s24h03;s5
''= s25h03;s6
''= s26
Olingan (51) va (53) tenglamalar uch qatlamli kompozit elastik plastinkaning
nostatsionar tebranishlar taqribiy tenlamalaridan iboratdir.
3.3. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostatsionar
simmetrik erkin tebranishlari
Endi keltirib chiqarilgan (51) va (53) tenglamalar asosida uch qatlamli elastic
plastinkaning erkin tebranishlarini tadqiq qilamiz. Buning uchun bu
tenglamalarning o’ng tomonlarini nolga tenglashtiramiz, ya’ni plastinkaga hech
qanday tashqi kuch ta’sir etmayapti deb hisoblaymiz. Hosil bo’lgan
tenglamalarning yechimlarini
W 0= ¯W ei(ωτ+kζ)
, U0= ¯U ei(ωτ+kζ)
59](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_59.png)
![ko’rinishda izlaymiz. Bu ifodalarni (51) va (53) tenglamalarda o’rinlariga qo’yib
quyidagi chastota tenglamalariga ega bo’lamiz1
ξ
[с1
'ω4+с2
'ω2k2+с3
'k4− с4
'ω2− с5
'k2+с6
']kiW 0+
+[d1
'ω4+d2
'ω2k2+d3
'k4− d4
'ω2− d5
'k2]U 0= 0 ;
1
ξ
[с1
''ω4+с2
''ω2k2+с3
''k4−с4
''ω2−с5
''k2+с6
'']¯W −
−[d1
''ω4+d2
''ω2k2+d3
''k4− d4
''ω2− d5
''k2+d6
'']ki { ¯U
= 0 ,¿
bu yerdagi koeffitsiyentlar plastinkaning geometric va qatlamlarning fizik-mexanik
xususiyatlaridan bog’liq o’zgarmaslar dan iborat. Ushbu chastota tenglamalari
matematik “Maple-12” dasturi yordamida plastinka tashuvchi qatlamlarining
quyidafi mexanik xarakteristikalari uchun yechildi: po’lat
ρ1=7810 kg /m3,
E1=Epo'lat=2,2 ⋅10 11 Pa ;ν1=0,25 ;
alyuminiy ν2=0,33 ; ρ2=2700 kg /m3,
E2=0,71⋅10 11 Pa .
To’ldiruvchi qatlam uchun: voloknitlar (paxta ko’ragi
qavachaqlari)
ρ0=1650 kg /m3, ν0=0,42 , E0=0,09⋅10 11 Pa . Bunda h0=0,1 m ;
h1=0,001 m
; h2=0,002 m ; ξ=0,05 .
Olingan natijalar 1,2-rasmlarda keltirilgan.
60
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k
w
1-с лойная
2-х с лойная
3-х с лойнаяРис.1. Tashuvchi qatlamlar alyuminiy
to’ldiruvchi qatlam qavachaq bo’lganda
ning dan bog’liqligi
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
k
w
1-с лойная
2-х с лойная
3-х с лойная Рис.2. Tashuvchi qatlamlar po’lat
to’ldiruvchi qatlam qavachaq
bo’lganda ning dan bog’liqligi
волокнитовом заполнителе.](/data/documents/4e19b06b-fd38-4d24-b2f8-046bb12fb1e9/page_60.png)
CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI MUNDARIJA KIRISH ……………………………………… …………….. ………… … … .. . 3 I-BOB. PLASTINKALAR NAZARIYASINING ASOSIY MUNO- SABATLARI VA TENGLAMALARI.…………………….….. 8 1.1- §. Plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishlar bo’yicha o’tkazilgan ba’zi tadqiqotlar qisqacha sharhi............................... 8 1.2- §. Plastinkalar klassik nazariyasining asosiy gipotezalari va munosabatlari..………………………………………………… . 13 1.3- §. Ikki qatlamli plastinkaning simmetrik tebranishida plastinka qatlamlarida yuzaga keladigan ichki zo’riqish kuchlari…...…. .. 24 II-BOB. IKKI QATLAMLI CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN PLASTINKANING NOSTATSIONAR SIMMETRIK TEBRANISHLARI...................................................................... 28 2.1- §. Ikki qatlamli plastinka chetlari turlicha mahkamlanganda chegaraviy shartlarning qo’yilishi................................................ 28 2.2 - §. Qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning tebranish- lari haqidagi ayrim tadqiqotlar sharhi.... ………..……………… 29 2.3 - §. Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik tebranishlari haqidagi masalaning qo’yilishi... 33 III - BOB . CHETLARI BIKR MAHKAMLANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALARI…………………………….…………... 49 3.1- § Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik tebranishlari haqidagi masalaning yechimi...... 49 3.2- § Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalari................... 54 3.3 - § Ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostat- sionar simmetrik erkin tebranishlari............................................ 61 XULOSA …... ……………… …………….. ……………………….…… ….... 67 ADABIYOTLAR RO’YXATI ……………………..……………..………..... 69 1
KIRISH Mavzuning dolzarbligi Qatlamli plastinkalar masalan ikki qatlamli va uch qatlamli plastinkalar texnikada va qurilishning xar xil sohalarida keng miqyosda ishlatiladi. Shu sababli bunday plastinkalar turli xil dinamik va statik tashqi yuklanishlar ta’siri ostida bo’ladilar. Shuning uchun ularning ko’ndalang kesimlarida turli shakldagi yuklanishlar yuzaga keladilar. Bunday holda plastinkaning ko’ndalang kesimlarida yuzaga keladigan ko’chish, kuchlanish, deformatsiya va egilishlarni aniqlash masalasi deformatsiyalanuvchi qattiq jism mexanikasi dolzarb masalalaridir. Praktik masalalarda bunday turdagi yuklanishlar ta’siri ostidagi plastinkalarda kuchlangan- deformatsiyalangan holatini aniqlash muhim ahamiyat kasb etadi. Dissertatsiya ishida tadqiqot ob’ekti va predmeti . Ushbu magistrlik dissertatsiya ishda ilmiy izlanishlar ob’ekti sifatida, yuqoridagilardan kelib chiqgan holda, tomonlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinka qaralgan. Ikki qatlamli elastik plastinka simmetrik tebranishlarida yuzaga keladigan ko’chish vektori komponentalarini, kuchlanish va deformatsiya tenzori komponentalarini plastinka ikki qatlamli va bir jinslimas ekanligini hisobga olgan holda hisoblash mumkin. Maskur magistlik dissertatsiyasida tekshirish predmeti ikki qatlamli plastinkada, berilgan tashqi yuklanishlar ta’siri ostida yuzaga keladigan tebranishlarni hisoblashdan hamda nostatsionar harakterga ega tebranishlar bo’lgan hollarida bunday elementlarda yuzaga keladigan nostatsionar to’lqin tarqalish jarayonini, ularning xususiyatlarini hisobga olgan holda tadqiq qilishdan iborat. Qatlamli plastinka va qatlamli sterjenlarning vaqtga bog’liq tebranishlarini hisoblashda ularning simmetrik tebranish tenglamalarini hisoblab chiqarish, ularning xususiy xususiy amplitudalarini topish, chastotalarini aniqlash va tebranish shakllarini olish masalalarini yechish ularni xal qilish va ular ustida ilmiy xulosalar chiqarish muammolari, aynan ushbu izlanishlarni ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinka uchun amalga oshirish, erkin tebranishlarning topilgan fizik-mexanik xarakteristikalaridan nostatsionar tebranishlar biror vaqt davomida ta’sir etuvchi tashqi dinamik ta’sir natijasida uyg’otilgan hollar uchun 2
tadbiq etish, ulardan foydalana bilish ham dissertatsiya ishining predmetini tashkil etadi. Ishning maqsad va vazifalari. Mazkur magistrlik dissertatsiya ishining asosiy maqsadi chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranish tenglamalarini keltirib chiqarish, tadqiq qilish va ular asosida qaralayotgan plastinkaning simmetrik bo’ylama tebranishlari taqribiy tenglamalarini ishlab chiqishdan iboratdir. Bunda tadqiqotni klassik va aniqlashtirilgan tebranish tenglamalariga mos ravishda plastinka qatlamlaridagi kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatini aniqlashga imkon beruvchi algoritm yaratish talab etiladi. Ana shulardan kelib chiqqan holda dissertatsiya ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar belgilangan: 1. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishlari uchun umumiy tenglamalarni keltirib chiqarish; 2. Kuchlanish va deformatsiya tenzorlari hamda ko’chish vektori komponentalari uchun plastinka qatlamlari nuqtalaridagi kuchlanganlik- deformatsiyalanganlik holatini talab etilgan aniqlikda aniqlashga imkon beruvchi algoritm yaratish; 3. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishlari umumiy tenglamalaridan amaliy masalalarni yechish uchun yaroqli bo’lgan texnik yoki boshqacha aytganda taqribiy tenglamalarini hosil qilish; 4. Chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalar garmonik tebranishlari uchun chastota tenglamalarini olish va tadqiq qilish; Olingan natijalar asosida ilmiy xulosalar chiqarish va amaliy tavsiyalar ishlab chiqish. Tadqiqotning ilmiy yangiligi. ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostatsionar tebranishlari aksariyat hollarda sodda yechimlar asosida tadqiq qilingan. 3
Shu sababli ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning nostatsionar tebranishlari haqidagi masalalarni yangicha yo’nalishda tadqiq etish masalasi keyingi vaqtlarda katta ilmiy va amaliy ahamiyatga ega bo’lmoqda. Shu nuqtai nazardan qaraganda dissertatsiya ishida qaralgan va yechilishi uchun tadqiq etilgan tenglamalarning ilmiy ahamiyati -birinchidan ikki qatlamli chetlari bikr mahkamlangan plastinkaning xususiyatlari hisobga olinganligi va ikkinchidan masalani yechish uchun yangi usullarning qo’llanilishi bilan xarakterlanadi. Tadqiqotning asosiy masalalari va vazifalari. Dissertatsiya ishida tadqiqotning asosiy masalalari va vazifalari etib chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkalarning nostatsionar simmetrik tebranishi hisobining, tashqi dinamik yuklar ta sirini hisobga oluvchi matematik modelini ishlab chiqish,ʼ chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning ixtiyoriy ko ndalang kesimi nuqtalarining kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlash ʻ algoritmini yaratish, dinamik yuklanishlar ta siri ostidagi ikki qatlamli plastinka ʼ tebranishlari uchun yangi amaliy masalalar qo yish va mos hisob usulini ishlab ʻ chiqish, har xil chegaraviy shartlarda ikki qatlamli plastinkaning garmonik tebranishlari va dinamik yuklar ta siridagi majburiy tebranishlari haqidagi xususiy ʼ masalalarni yechish usullarini yaratish, chetlari bikr mahkamlangan ikki qatlamli elastik plastinkaning qatlamlari geometrik va fizik-mexanik harakteristikalarining ko ndalang kesim ixtiyoriy nuqtasidagi kuchlanish tenzori va ko chish vektori ʻ ʻ komponentalarining koordinata va vaqtdan bog lanish qonuniyatlariga ta sirini ʻ ʼ tadqiq qilish belgilangan. Tadqiqot mavzusi bo yicha adabiyotlar sharhi (tahlili). ʼ Plastinkalar hisoobi ko’pincha Kirxgoff gipotezalariga va farazlariga asoslangan klassik nazariya yordamida bajariladi. Lekin klassik nazariya ikki qatlamli plastinka qatlamlari nuqtalaridagi kuchlanish va deformatsiya tenzori komponentalarini to liq hisoblash imkoniyatini bermaydi. Buning uchun ushbu nazariyani bundanda ʻ rivojlantirish lozimligi uchun ko plab olimlar ushbu ish ustida ilmiy ishlar olib ʻ borishgan. Qatlamli konstruksiyalar ya’ni plastinka va qobiqlar ustida klassik nazariyaning rivojlanishiga dastlab S.G.Lexniskiy, E.Reysner keyinchalik 4
S.A.Ambarsumyan undan so’ng V.P.Shevchenko, M.V.Fomenko, I.G.Filippov, X.Altenbax, E.I.Grigolyuk va o’zbek olimlaridan Mirsaidov M., Xalmuradov R.I., Xudoynazarov X.X., O sarov M.K., Axmedov A.B., Abdukarimov R. hamdaʻ boshqa qator yetuk izlanuvchilar tomonidan amalga oshirilmoqda. Plastinkalar va qobiqlar dinamik va statik hisobi yoki o’zgacha aytganda tebranishlar aniqlashtirilgan nazariyasini rivojlantirish bo yicha olib borilayotgan izlanishlar ʻ ikkita katta yo nalishlarga ajraladi. Bulardan birinchisi Timoshenko va Reyssner ʻ tipidagi asimptotik nazariya va ikkinchisi o’tgan asrning keyingi yillarida elastiklik nazariyasi uch parametrli masalalarining aniq yechimidan foydalanishga tayangan plastinka tebranishlari yangi nazariyalarini rivojlantirishdan iborat. Ikkinchi metodning qatlamli bir jinsli elastik plastinkalar uchun yaroqli xar xil ko’rinishlari professor I.G.Filippov va uning izdoshlari tarafidan yaratilgan. Keltirilgan usul bilan professor G.I.Petrashen va professor I.G.Filippovlar, hamda ularning o quvchilari tomonidan bir qatlamli va uch qatlamli qovushoq-elastik elastik ʻ plastinkalarning tebranish tenglamalarini keltirib chiqarish nazariyalari taklif etilgan. Ushbu yangi taklif qilinayotgan nazariyalarni keltirib chiqarishda qatlamli plastinka ichki qatlamlari birining o rta sirti nuqtalari ko chishlari bosh qismlariga ʻ ʻ nisbatan chegaraviy shartlar shakllantiriladi. Aytilgan fikrlardan kelib chiqgan holda aytish lozimki, hozirgi kunda elastik va qovushoqlik xususiyatlari hisobga olingan va xar xil tashqi dinamik yuklanish ta siri ostida bo’lgan qatlamli ʼ elementlarning, xususan, ikki qatlamli, uch qatlamli elastik va qovushoq-elastik plastinkaning vaqtga bog’liq bo’lmagan tebranishlari nazariyasi, ustuvorlik masalalarini va tebranish masalalarini yechish metodlarini ishlab chiqishdagi masalalar hozirgacha yetarli darajada o rganilmagan. ʻ Tadqiqotda qo llanilgan metodikaning tavsifi. ʼ Ushbu izlanishlar paytida asosiy tadqiqot metori o’rnida G.I.Petrashen va I.G.Filippovning aksioma va gipotezalarni qo llamasdan tebranish tenglamalarini ishlab chiqish metodi, Fure va ʼ Laplas integral almashtirishlar metodi, hamda ko’plab izlanuvchilar tarafidan bir necha marotaba takror va takror sinalgan analitik va sonli hisoblash metodlaridan foydalanilgan. 5