logo

Mulohazalar algebrasi. Mantiqiy bog‘lovchilar.

Загружено в:

08.08.2023

Скачано:

0

Размер:

323.5 KB
Mulo h azalar algebrasi.  Mantiqiy bog‘lovchilar.
Mulohaza.
Matematik  mantiqning mulohazalar   algebrasi    deb  atalgan  ushbu  bo‘limida
asosiy tekshirish ob’yektlari bo‘lib gaplar xizmat qiladi.   Mulohazalar algebrasida
ma’nosiga   ko‘ra   chin   (rost,   haqqoniy,   to‘g‘ri)   yoki   yolg‘on   (noto‘g‘ri)   bo‘lishi
mumkin bo‘lgan gaplar bilangina shug‘ullaniladi. 
Mulohazalar algebrasi mantiq algebrasi deb ham yuritiladi.
1-     m   i   s   o   l   .     “Toshkent     –     O‘zbekistonning   poytaxti.”,   “Oy   yer   atrofida
aylanadi.”   va   “Agar   fuqaro   oliy   ta’lim   muassasalaridan   birini   muvaffaqiyatli
tamomlasa, u holda unga oliy ma’lumotliligini tasdiqlovch diplom beriladi.” degan
gaplarning har biri chin, ammo “Yer oydan kichik.”, “ 5 <3”  va “Ot, qo‘y, echki, it
va mushuk uy hayvonlari emas.” degan gaplarning  har biri esa yolg‘ondir. ■
Shuni ham ta’kidlash kerakki, ko‘pchilik gaplarning chin yoki yolg‘onligini
darhol aniqlash qiyin. Masalan, “Bugungi tun kechagidan qorong‘iroq.” degan gap
qaysi   holda,   qachon   va   qaysi   joyda   aytilishiga   (tasdiqlanishiga)   qarab   chin   ham,
yolg‘on   ham   bo‘li   shi   mumkin.   Albatta,   chin   yoki   yolg‘onligini   aniqlash
imkoniyati   bo‘lmagan   gaplar   ham   bor.   Masalan,   “Oldimga   kel!”,   “Uyda
bo‘ldingmi?”, “Yangi  yil bilan tabriklayman!”, “Agar  oldin bilganimda…” degan
gaplar shunday gaplar jumlasira kiradi.
Bundan   keyin,  chin   qiymatni,  qisqacha,   ch,  yolg‘on  qiymatni   esa,   yo   bilan
belgilaymiz.   Yozuvni   ixchamlashtirish   maqsadida   chin   qiymat   1,   yolg‘on   qiymat
esa,   0   bilan   ham   belgilanishi   mumkin.   Bunday   belgilash   mantiqiy  qiymatni   sonli
qiymat   bilan,   aniqrog‘i,   sonning   ikkilik     sanoq   sistemasidagi   ifodalanishi   bilan
aloqasini o‘rnatishda yordam beradi.
1-   t a ’ r i f .    Ma’nosiga ko‘ra   faqat chin yoki yolg‘on qiymat qabul qila
oladigan darak gap mulohaza deb ataladi.
Bu   ta‘rifga   ko‘ra   har   bir   mulohaza   muayyan   holatda   chin   yoki   yolg‘on
bo‘lishi mumkin. Mulohazalarni belgilash uchun, asosan, lotin alifbosining kichik
harflari (ba’zan indekslari bilan) ishlatiladi:
. Shunday   mulohazalar   borki,   ular   mumkin   bo‘lgan   barcha   hollarda   (vaziyatlarda)
ch   (yoki   yo)   qiymat   qabul   qiladi.   Bunday   mulohazalar   absolyut   chin   (yolg‘on)
mulohazalar deb ataladi.
Mulohazalar   algebrasida,  odatda,  muayyan o‘zgarmas  mulohazalar   (ch,  yo)
bilangina   emas,   balki   istalgan   mulohazalar   bilan   ham   shug‘ullaniladi.   Bu   esa
o‘zgaruvchi   mulohaza     tushunchasiga   olib   keladi.   Agar   berilgan   mulohazani     x
deb   belgilasak,   u   holda     x       ch   yoki   yo   qiymat   qabul   qiladigan   o‘zgaruvchi
mulohazani   ifodalaydi.   Faqat   bitta   tasdiqni   ifodalovchi   mulohazani     elementar
(oddiy)   mulohaza     deb   hisoblaymiz.   Elementar   mulohazalar   qatoriga   ch,   yo
o‘zgarmas mulohazalar ham kiradi. 
O‘zbek   tilidagi   “emas”,   “yoki”,   “va”,   “agar   ...   bo‘lsa,   u   holda   …   bo‘ladi”,
“.... bo’ladi faqat va faqat .... bo’lsa”, shunda va faqat shundagina ...., qachonki ....”
so‘zlar   (bog‘lovchilar,   so‘zlar   majmuasi)     vositasida   mulohazalar   ustidagi
(orasidagi)     mantiqiy   amallar     deb   yuritiluvchi   amallar   ifodalanishi   mumkin.   Bu
amallar   yordamida   elementar   mulohazalardan   murakkab     mulohaza   tuziladi
(quriladi,   yasaladi).   1-     misolda   bayon   etilgan   1-,   2-,   4-va   5-     mulohazalar
elementar mulohazalarga, 3- va 6-mulohazalar esa murakkab mulohazalarga misol
bo‘la oladi.
Mulohazalar   ustidagi   mantiqiy   amallar   matematik   mantiqning   elementar
qismi   hisoblangan   mulohazalar   mantiqi,   ya’ni   mulohazalar   algebrasi   qismida
o‘rganiladi. Har ikkala atama (“mulohazalar mantiqi” va “mulohazalar algebrasi”)
sinonim   sifatida   ishlatiladi,   chunki   ular   mantiqning   muayyan   qismini   ikki   nuqtai
nazardan ifodalaydi: u ham mantiqdir (o‘z predmetiga ko‘ra), ham algebradir (o‘z
usuliga   ko‘ra).   Mulohazalar   algebrasidagi   mantiqiy   amallar   o‘ziga   xos
xususiyatlarga ega, chunki ularning tarkibiga kiruvchi mulohaza(lar) faqat ikki (ch,
yo) qiymatdan birini qabul qilishi mumkin. 
Mantiqiy   amallarni   o‘rganishdan   oldin   bu   amallarda   qatnashuvchi
o‘zgaruvchilar   qiymatlari   kombinatsiyalari   bilan   tanishamiz.   Berilgan   bitta
o‘zgaruvchi  elementar  mulohaza  uchun ikkita ( ) mumkin bo‘lgan
bir-biridan farqli qiymatlar satrlari  bor: ch.
yo,
Berilgan   ikkita   o‘zgaruvchi   elementar   mulohazalar   uchun   barcha   mumkin
bo‘lgan   bir-biridan   farqli   qiymatlar   satrlari   kombinatsiy   alari   to‘rtta   (
 ):
ch. ch,
yo, ch,
ch, yo,
yo, yo,
O‘zgaruvchi   elementar   mulohazalar   soni   3,   4   va   hokazo   bo‘lgan   hollarda
ham   yuqoridagidek   mumkin   bo‘lgan   qiymatlar   satrlari   kombinatsiyalarini   yozish
mumkin.   Umuman   olganda,   berilgan   n   ta   o‘zgaruvchi   elementar   mulohazalar
uchun barcha mumkin bo‘lgan bir-biridan farqli qiymatlar satrlari kombinatsiyalari
soni     bo‘lishini   osonlik   bilan   isbotlash   mumkin   (II
bobdagi   3-     paragrafga   qarang).   Agar   biror   amal   tarkibiga   kiruvchi   operandlar
(parametrlar, o‘zgaruvchi va hokazo) soni birga teng bo‘lsa, u holda bunday amal
unar     amal   deb,   operandlar   soni   ikkiga   teng   bo‘lganda   esa,   binar   amal   deb
yuritiladi
ch. , ch , ... ch, ch, ch,
. .......... .......... ..........
yo, yo, , ... yo, yo, ch,
. .......... .......... ..........
ch, ch, , yo,... yo, yo,
yo, ch, , yo,... yo, yo,
ch, yo, , yo,... yo, yo,
yo, yo, , ... yo, yo, yo,
Matematik   mantiqning   ko‘pchilik   bo‘limlarida     chinlik   jadvali     deb   ataluvchi
jadvallardan   foydalanish   qulay   hisoblanadi.   Quyida   unar   va   binar   mantiqiy
amallarning chinlik jadvallari keltiriladi.  Berilgan bitta   x     o‘zgaruvchi elementar mulohaza uchun bir-biridan farqli
qiymatlar   satrlari   ikkita   bo‘lgani   sababli   jami       ta   turli   unar   mantiqiy
amallar   bor.   Barcha   unar     mantiqiy   amallar     ( )   natijalari   1-
jadvalda (chinlik jadvalida) keltirilgan.
Berilgan ikkita   x      va   y      o‘zgaruvchi   elementar  mulohazalar   uchun jami
to‘rtta bir-biridan farqli qiymatlar satrlari kombinatsiyalari tuzish mumkin bo‘lgani
sababli   barcha   turli   binar   mantiqiy   amallar   soni     ga   teng.   Mumkin
bo‘lgan   barcha   turli   binar   mantiqiy   amallar   ( )   natijalari   2-
jadvalda (chinlik jadvalida) keltirilgan.
Mantiqiy amallarni yuqoridagi usul bilan o‘rganishni davom ettirib, berilgan
uchta     x   ,     y   ,     z     o‘zgaruvchi   elementar   mulohazalar   uchun   hammasi   bo‘lib
sakkizta   ( )   bir-biridan   farqli   qiymatlar   satrlari   kombinatsiyalari   tuzish
mumkinligini   va,   shu   sababli,   turli       ta   ternar   mantiqiy   amallar
borligini   ta’kidlaymiz.   Tarkibidagi   o‘zgaruvchi   elementar   mulohazalari   to‘rtta
bo‘lgan turli mantiqiy amallar esa    ta.
Mulohazalar ustida mantiqiy amallar.
Asosiy   mantiqiy   amallar     beshta   bo‘lib,   ulardan   biri   unar,   to‘rttasi   esa   binar   2-
jadval. amaldir. Ular quyida bayon etilgan.
1.     Inkor   amali.     Inkor   amali   mulohazalar   mantiqining   eng   sodda
amallaridan   biri   bo‘lib,   u   unar   amaldir,   ya’ni   inkor   amali   bitta   elementar
mulohazaga nisbatan qo‘llaniladi.
2-   t a ’ r i f .    Berilgan   x     elementar mulohaza chin bo‘lganda yo qiymat
qabul   qiluvchi   va,   aksincha,     x       yolg‘on   bo‘lganda   ch   qiymat   qabul   qiluvchi
murakkab mulohaza  x   mulohazaning inkori deb ataladi.
“Berilgan mulohazaning inkori unga inkor amalini qo‘llab hosil qilindi” deb
aytish   mumkin.   Inkor   amali   1-     jadvalda   ifodalangan       amalidan   iborat   bo‘lib,
unga o‘zbek tilidagi “emas” bog’lovchisi mos keladi. Berilgan   x     mulohazaning
inkori      kabi belgilanadi.     mulohaza “ x   emas” 
deb o‘qiladi. Inkor amalini belgilashda “   ” belgi ham qo‘llanilishi mumkin.  Bu
holda     mulohazaning   inkori         shaklda   yoziladi.     x       mulohazaning     inkori
uchun   chinlik   jadvali   3-     jadval   bo‘ladi   (1-     jadvalning     x       va       ustunlariga
qarang).   3-     jadvalni   inkor   amalining   ekvivalent   ta’rifi   sifatida   ham   qabul   qilish
mumkin. 
3-jadval
  yo ch
ch yo
2-  m i s o l .  “Bugun havo sovuq.” degan elementar mulohazasi  x   bilan 
belgilangan bo‘lsa, uning inkori  x   “Bugun havo sovuq emas.” ko‘rinishdagi 
murakkab mulohazadan iboratdir. ■ 
2.  Kon’yunksiya (mantiqiy ko‘paytma) amali.   Endi ikkita mulohazaga 
nisbatan   qo‘llanilishi   mumkin   bo‘lgan   binar   amallardan   biri   hisoblangan
kon’yunksiya (mantiqiy ko‘paytma) amalini o‘rganamiz. 0 1
1 0 3-  t a ’ r i f .   Berilgan  x   va  y   elementar mulohazalar chin bo‘lgandagina
ch   qiymat   qabul   qilib,   qolgan   hollarda   esa,   yo   qiymat   qabul   qiluvchi   murakkab
mulohaza  x   va  y   mulohazalarning kon’yunksiyasi deb ataladi.
“Berilgan   mulohazalarning     kon’yunksiyasi   bu   mulohazalarga     kon’yunksiya
amalini  qo‘llab hosil qilindi” deb aytish mumkin. Kon’yunksiya amali 2-  jadvalda
ifodalangan     amali   bo‘lub,   unga   o‘zbek   tilidagi   “va”   bog‘lovchisi   mos   keladi.
Berilgan     x       va     y       elementar   mulohazalar   ustida   bajariladigan   kon’yunksiya
(mantiqiy ko‘paytma) amalini belgilashda “   ” yoki “&” belgi qo‘llaniladi, ya’ni
bu   amal   natijasida   hosil   bo‘lgan   murakkab   mulohaza           (yoki     x&y   )
ko‘rinishda belgilanadi. Mantiqiy ko‘paytma amalini ifodalovchi “   ” yoki “ & ”
belgi   ba’zan   yozilmasligi   (masalan,     x       va     y       o‘zgaruvchi   mulohazalarning
mantiqiy ko‘paytmasi  xy   ko‘rinishda ifodalanishi), ba’zan esa, nuqta (   ) belgisi
bilan almashtirilishi (   ko‘rinishda yozilishi) mumkin,    ( x&y,  , xy)
mulohaza   “   x     va     y   ”   deb   o‘qiladi.     x   va     y       elementar   mulohazalarning  
kon’yunksiyasi uchun chinlik jadvali 4-  jadval bo‘ladi (2-jadvalning  x ,  y  va 
ustunlariga qarang).
4-jadval
y
yo yo yo
yo  ch yo
ch yo yo
ch ch ch
3-    m  i s o l .   “5 soni  toq va tubdir.” ko‘rinishdagi  murakkab mulohaza chindir,
chunki   berilgan   mulohaza   ikkita   “5   soni   toqdir.”   va   “5   soni   tubdir.”   elementar
mulohazalar kon’yunksiyasi  sifatida qaralishi  mumkin hamda bu ikkita elementar
mulohazalarning har biri chindir. ■
4-   m   i   s   o   l   .     “10   soni   5ga   qoldiqsiz   bo‘linadi   va   7>9.”   murakkab   mulohaza
yolg‘on,   chunki   bu   mulohaza   ikkita   “10   soni   5ga  qoldiqsiz   bo‘linadi.”  va   “7>9.”
elementar   mulohazalar   kon’yunksiyasi   sifatida   qaralsa,   bu   ikkita   elementar
mulohazalardan biri, aniqrog‘i, “7>9.” mulohaza yolg‘ondir. ■ y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1 3.     Diz’yunksiya   (mantiqiy   yig‘indi)   amali.     Mulohaza   mantiqida
ishlatiladigan yana bir binar   amal, diz’yunksiya (mantiqiy yig‘indi) amali bo‘lib,
unga     o‘zbek   tilidagi     “yoki”   bog‘lovchisi   mos   keladi.   Shuni   ta’kidlash   joizki,
“yoki”   bog‘lovchisidan   o‘zbek   tilida   ikki   xil   ma’noda   foydalaniladi.   Bu   so‘z,
birinchi   holda,   rad   etuvchi   “yoki”,   ikkinchi   holda   esa   rad   etmaydigan   “yoki”
ma’nosida   ishlatiladi.   “Yoki”   bog‘lovchisi   rad   etuvchi   ma’noda   ishlatilganda
bog‘lanayotganlardan   faqat   bittasi,   rad   etmaydigan   ma’noda   ishlatilganda   esa
bog‘lanayotganlarning   hech   bo‘lmaganda   biri   ro‘yobga   chiqishi   nazarda   tutiladi.
Masalan,   “Bugun   yakshanba   yoki   men   kinoga   boraman.”   murakkab   mulohazani
olaylik.   Agar   haqiqatdan   ham   bugun   yakshanba   bo‘lsa   va   men   kinoga   borsam,   u
holda   bu   mulohaza   chinmi,   yolg‘onmi?   Agar   yuqoridagi   mulohaza   yolg‘on   deb
hisoblansa,   u   holda   “yoki”   bog‘lovchisi   rad   etuvchi   ma’noda,   chin   deb
hisoblaganda   esa   “yoki”   rad   etmaydigan   ma’noda   ishlatilgan   bo‘ladi.   Lotincha
“conjunctio”   so‘zi   o‘zbek   tilida   “bog‘layman”   ma’nosini   beradi.   Lotincha
“dizjunctio” so‘zi o‘zbek tilida “ajrataman” ma’nosini beradi.
Agar   x   va   y     mulohazalarning ikkalasi  ham yolg‘on bo‘lsa, u holda “ x
yoki  y ” mulohazasi, shubhasiz, yolg‘on bo‘ladi.  x   chin va  y   yolg‘on bo‘lgan
holda yoki  x   yolg‘on va  y   chin bo‘lganda, “ x   yoki  y ” mulohazani chin deb
hisoblash   kerak,   bu   esa   o‘zbek   tilidagi   “yoki”   bog‘lovchisining   rad   etmaydigan
ma’nosiga   to‘g‘ri   keladi.   Tabiiyki,   har   ikkala     x       va     y       mulohazalar   chin
bo‘lganda “ x   yoki  y ” mulohaza chin bo‘ladi.
4-   t   a   ’   r   i   f   .   Berilgan     x     va     y     elementar   mulohazalar   yolg‘on
bo‘lgandagina yo qiymat qabul qilib, qolgan hollarda esa, ch qiymat qabul qiluvchi
murakkab  mulohaza  x   va  y mulohazalarning diz’yunksiyasi deb ataladi.
“Berilgan mulohazalarning   diz’yunksiyasi  bu mulohazalarga   diz’yunksiya
amalini  qo‘llab hosil qilindi” deb aytish mumkin. Diz’yunksiya amali 2-  jadvalda
ifodalangan       amali   bo‘lub,   unga   o‘zbek   tilidagi   rad   etmaydigan   ma’noda
ishlatiladigan “yoki” bog‘lovchisi mos keladi. Diz’yunksiya amalini belgilashda “
”   belgidan   foydalaniladi.   Berilgan     x       va     y       elementar   mulohazaning
diz’yunksiyasi “  ” kabi yoziladi va “ x  yoki  y ” deb o‘qiladi. Berilgan  x   va  y   elementar mulohazalarning   diz’yunksiyasi uchun chinlik
jadvali 5-jadval bo‘ladi (2- jadvalning  x ,  y  va   ustunlariga qarang).
5-jadval
y
yo yo yo
yo  ch ch
ch yo Ch
ch ch Ch
5-     m   i   s   o   l   .     “10   soni   5ga   qoldiqsiz   bo‘linadi   yoki   7>9.”   murakkab   mulohaza
chin, chunki berilgan mulohaza ikkita “10 soni 5ga qoldiqsiz bo‘linadi.” va “7>9.”
elementar   mulohazalar   diz’yunksiyasi   sifatida   qaralishi   mumkin   hamda   bu   ikkita
elementar   mulohazalardan   biri,   aniqrog‘i,   “10   soni   5ga   qoldiqsiz   bo‘linadi.”
mulohazasi chindir. ■
4. Implikatsiya amali.    Navbatdagi amalni o‘rganish maqsadida quyidagi misolni
qarab chiqamiz.
6- m i s o l . Quyidagi mulohazalarni ko‘raylik:
1) “Agar 2x5=10 bo‘lsa, u holda 6x7=42 bo‘ladi.”;
2) “Agar 30 soni 5 ga qoldiqsiz bo‘linsa, u holda 5 juft son bo‘ladi.”;
3) “Agar 3=5 bo‘lsa, u holda 15+2=17 bo‘ladi.”;
4) “Agar 4x3=13 bo‘lsa, u holda 9+3=13 bo‘ladi.”.
Bular   murakkab   mulohazalar   bo‘lib,   ularning   har   biri   ikkita   elementar
mulohazadan   “agar   ...   bo‘lsa,   u   holda   ...   bo‘ladi”   ko‘rinishdagi   qolip   (andoza,
bog‘lovchilar) asosida tuzilgan. ■
5-  t a ’ r i f .   Berilgan  x   va  y   elementar mulohazalarning birinchisi chin
va ikkinchisi yolg‘on bo‘lgandagina yo qiymat qabul qilib, qolgan hollarda esa, ch
qiymat   qabul   qiluvchi   murakkab   mulohaza     x     va     y     mulohazalarning
implikatsiyasi deb ataladi. y
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1 “Berilgan mulohazalarning  implikatsiyasi   bu mulohazalarga implikatsiya amalini
qo‘llab   hosil   qilindi”   deb   aytish   mumkin.   Implikatsiya   amali   2-     jadvalda
ifodalangan   binar amaldir.
Implikatsiya amalini belgilashda “ ” (yoki “   ”) belgidan foydalaniladi. Shuni
ta’kidlash   kerakki,   implikatsiya   amali   bajarilganda   berilgan   elementar
mulohazalarning     o‘rni,   ya’ni   ulardan   qaysi   birinchi   va   qaysi     ikkinchi   bo‘lishi
muhimdir. Berilgan   x     va   y     elementar mulohazaning implikatsiyasi “     ”
kabi   yoziladi   va   “agar     x       bo‘lsa,   u   holda     y       (bo‘ladi)”   deb   o‘qiladi.    
implikatsiyani   “ x  dan    y ga  implikatsiya”  deb  ham  yuritishadi.  So‘zlashuv  tilida
  implikatsiyani   “   x       bo‘lsa,     y       bo‘ladi”,   “agar     x       bo‘lsa,   u   vaqtda     y
bo‘ladi”,   “   x   dan     y       hosil   bo‘ladi”,   “   x   dan     y       kelib   chiqadi”,   “   y   ,   agar     x
bo‘lsa”, “ x   y   uchun yetarli shart” va boshqacha o‘qish holat lari ham uchraydi.
x       va     y   elementar   mulohazaning     implikatsiyasi     uchun     x       mulohaza
Lotincha   “implicatio”   so‘zi     o‘zbek   tilida     “o‘raman   (chirmashtiraman)”
ma’nosini,     “implico”     so‘zi     esa   “zich   o‘raman,   bog‘layman   (birlashtiraman)”
ma’nosini beradi.
6-jadval
y
yo yo ch
yo  ch ch
ch yo yo
ch ch ch
asos   (shart,   gipoteza,   dalil),     y       mulohaza   esa     x     asosning   oqibati   (natijasi,
xulosasi)   deb   ataladi.     x   va     y       mulohazalarning           implikatsiyasi   uchun
chinlik jadvali 6-  jadval bo‘ladi (2-  jadvalning x ,  y  va    ustunlariga qarang).
Implikatsiya   uchun   chinlik   jadvalining   dastlabki   ikkita   satri   yolg‘on   asosdan
yolg‘on   xulosa   ham,   chin   xulosa   ham   kelib   chishi   mumkinligini   anglatadi.
boshqacha qilib aytganda, “yolg‘ondan har bir narsani kutish mumkin”. y
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1 Implikatsiya uchun chinlik  jadvalidan  ko‘rinadiki, 2-  misoldagi  mulohazalarning
ikkinchisi yolg‘on bo‘lib, qolganlari chindir.
5.   Ekvivalensiya   amali.     Matematik   mantiqda   ko‘pchilik   murakkab   mulohazalar
berilgan   elementar   mulohazalardan   “…   zarur   va   yetarlidir”,   “…   zarur   va
kifoyadir”,   “faqat   va   faqat   …”,   “shunda   va   faqat   shundagina,   qachonki   …”,   “...
bajarilishi   yetarli   va   zarurdir”   kabi   qolip   (andoza,   bog‘lovchilar)   vositasida
tuziladi.
6-  t a ’ r i f .    Berilgan  x   va  y   elementar mulohazalarning ikkalasi ham
bir   xil   qiymat   qabul   qilgandagina   ch   qiymat   qabul   qilib,   ular   turli   qiymat   qabul
qilganda   esa   yo   qiymat   qabul   qiluvchi   murakkab   mulohaza     x     va     y
mulohazalarning ekvivalensiyasi deb ataladi.
“Berilgan   mulohazalarning     ekvivalensiyasi     bu   mulohazalarga     ekvivalensiya
amalini  qo‘llab hosil qilindi” deb aytish mumkin. Ekvivalensiya amali 2-  jadvalda
ifodalangan     binar amaldir. 
Ekvivalensiya     amalini   belgilashda   “     “   (yoki   “     ”)   belgidan  foydalaniladi.
Berilgan     x       va     y   elementar   mulohazaning   ekvivalensiyasi             (yoki
) kabi yoziladi va “ x   ekvivalent  y ” deb o‘qiladi.  x   va  y   mulohazaning
  ekvivalensiyasiga     “   x       bo‘lsa   (bajarilsa),     y       bo‘ladi   (bajariladi)   va     y
bo‘lsa,     x      bo‘ladi”   degan   mulohaza   mos   keladi.   Demak,     x       va    y      elementar
mulohazaning       ekvivalensiyasi   ikkita         va    
implikatsiyalarning     kon’yunksiyasi   ko‘rinishida   ham
ifodalanishi   mumkin.   Shuning   uchun   ekvivalensiya   ikki   tomonli   implikatsiyadir.
     ekvivalensiyaga “ x     dan   y     kelib chiqadi va   y dan   x     kelib chiqadi”
degan   mulohazani   ham   mos   qo‘yish   mumkin.   Boshqacha   so‘zlar   bilan   aytganda,
   ekvivalensiyaga matematikada zaruriy va yetarli shartni ifodalovchi tasdiq
mos keladi.
Berilgan     x       va     y       mulohazalarning   ekvivalensiyasi           uchun   chinlik
jadvali 7-  jadval bo‘ladi (2-  jadvalning  x ,  y  va   ustunlariga qarang). 7-jadval
y
yo yo ch
yo  ch yo
ch yo yo
ch ch ch
6-     m   i   s   o   l   .     Ushbu   tasdiqlarni   tekshiramiz:       ”Berilgan   natural   son   3ga
qoldiqsiz   bo‘linadi.”,       ”Berilgan   natural   sonning   o‘nli   sanoq   sistemasidagi
yozuvini tashkil etuvchi raqamlar yig‘indisi 3ga qoldiqsiz bo‘linadi.”. Bu  x   va  y
mulohazalarning   har   biri   elementar   mulohaza   bo‘lib,   ularning    
ekvivalensiyasi   murakkab   mulohaza   sifatida   quyidagicha   ifodalanishi   mumkin:
“Berilgan   natural   sonning   3ga   qoldiqsiz   bo‘linishi   uchun   uning   o‘nli   sanoq
sistemasidagi yozuvini tashkil etuvchi raqamlar yig‘indisi 3ga qoldiqsiz bo‘linishi 
yetarli va zarurdir.”. ■
Yuqorida keltirilgan inkor, kon’yunksiya, diz’yunksiya, implikatsiya va
ekvivalensiya   amallarining   chinlik   jadvallari   asosiy   chinlik   jadvallari   deb
yuritiladi.
6. Boshqa mantiqiy amallar. Yuqorida bayon etilgan asosiy mantiqiy 
amallar   20   ta   turli   unar   va   binar   amallarning   5   tasidir,   xolos.     Qolgan   15   ta
mantiqiy   amallarning   ham   matematik   mantiqda   o‘z   o‘rinlari   bo‘lib,   ularning
ba’zilariga olimlarning nomlari qo‘yilgan. 
Jumladan,         binar   mantiqiy   amal     Sheffer   amali     yoki     Sheffer   shtrixi
degan   nom   olgan.   Bu   amalni,   ba’zan,   antikon’yunksiya   amali   deb   ham   atashadi.
Sheffer   amalini   belgilashda   “   |   “   belgidan   foydalaniladi.   Berilgan     x       va     y
mulohazalarga   Sheffer   amalini   qo‘llab     x|y       murakkab   mulohaza   hosil   qilingan
bo‘lsa,   x|y     yozuv “ x     Sheffer  shtrixi    y ” deb o‘qiladi.   x     va   y     elementar
mulohazalarga   Sheffer   amalini   qo‘llash   natijasi     x|y       mulohaza     uchun   chinlik
jadvali 8-  jadval bo‘ladi (2-  jadvalning  x ,  y  va    ustunlariga qarang).y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1 8-jadval
y x|y
yo yo ch
yo  ch ch
ch yo ch
ch ch yo
Olimning nomi bilan atalgan yana bir mantiqiy amal   binar mantiqiy amal bo‘lib,
bu amal haqidagi dastlabki ma’lumotlarni Pirs e’lon qilgan. Bu amal  Pirs strelkasi
yoki   Pirs amali   degan nom olgan bo‘lib, uni, ba’zan, antidiz’yunksiya amali deb
ham atashadi.
Pirs   amalini   belgilashda   “     “   belgidan   foydalaniladi.     Berilgan     x       va     y
mulohazalarga   Pirs   amalini   qo‘llab       murakkab   mulohaza   hosil   qilingan
bo‘lsa,         yozuv “ x     Pirs strelkasi   y ” deb o‘qiladi.   x     va   y     elementar
mulohazalarga Pirs amalini qo‘llash natijasi    mulohaza uchun chinlik jadvali
9-  jadval bo‘ladi (2-  jadvalning  x ,  y   va   ustunlariga qarang).
8-jadval
y
yo yo ch
yo  ch yo
ch yo yo
ch ch yo
Qolgan 3 ta unar va 10 ta binar mantiqiy amallarga qisqacha to‘xtalib o‘tamiz. 
1. Unar amallar.  y x|y
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
y
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0 va     amallar   vositasida,   mos   ravishda,   absolyut   yolg‘on   va   absolyut   chinni
hosil   qilish   mumkin.     amali   esa     x   mulohazaning   qiymatini   o‘zgartirmaydi   (1-
jadvalga qarang).
2. Binar amallar. 
  va     amallar   vositasida,   mos     ravishda,   absolyut   yolg‘on   va   absolyut   chinni
hosil qilish mumkin.    amali  y dan  x ga implikatsiya amalini ifodalaydi.   va 
  amallari, mos ravishda,   y dan   x ga va   x dan   y ga implikatsiya   inversiyasi
amallaridir.       amallar   faqat   bitta   operandga   bog‘liqdir.     amaliga
ikki modulli qo‘shish  amali degan nom berilgan bo‘lib, bu amalni belgilashda   
belgidan foydalaniladi. Berilgan   x     va   y     mulohazalarga ikki modulli qo‘shish
amalini qo‘llab     murakkab mulohaza hosil qilinadi.
x|y     bu   amal   Ukrainada   tug‘ilgan   AQShlik   mantiqchi   Henry   Maurice   Sheffer
(1882-1964)   nomi   bilan   bog‘liq.     amali   esa   Pirs   Charlz   Sanders   (Charles
Sanders   Peirce,   1839-1914)   –   AQShlik   faylasuf,   mantiqchi   va   matematik   nomi
bilan   bog’liq.     Bu   amalni,   ba’zan,   Dagger   funksiyasi   yoki   Vebb   funksiyasi
deb ham atashadi.
XULOSA
1.     Matematik   mantiq   va   diskret   matematikasi   hozirki   zamon   elektron
qurilmalarining va 
informatikaning nazariy asosi hisoblanadi.
2.     “Matematik   mantiq   va   diskret   matematika”   faninnig   barcha   tushunchalari
mulohazalar va 
ular ustida bajariladigan amallar tushunchasiga tayanadi. 
№  Quyidagi Asosiy tushunchalarni ta’riflang?
1.  matematik mantiq 
2.  diskret matematika 
3.  diskret texnika 
4.  mulohaza  5.  inkor 
6.  dizyunksiya 
7.  konuynksiya 
8.  implikasiya 
9.  ekvivalensiya 
10.  Sheffer shtrixi 
11.  Pirs strelkasi
Sinov savollari
1.  Quyidagi gaplarning qaysilari mulohaza bo‘lishini aniqlang:
a)  “Qarshi shahri O‘zbekiston Respublikasida joylashgan.”;
b)  “Bir piyola suv bering.”; d) “ 303 >45 ”;
c)  “Oy Mars planetasining yo‘ldoshidir.”; f) “ 0 < a ”;
d)  “Yashasin ozodlik!”; h) “Soat necha bo‘ldi?”.
2.  Quyidagi mulohazalarning chin yoki yolg‘on ekanligini aniqlang:
a)  {0, 1, 3, 2,7} to’plam R haqiqiy sonlar to’plamining qismi bo’ladi ;  
b) “Yoshi o‘z otasining yoshidan katta odam yo‘q.”.
3.  Quyidagi implikatsiyalarning qaysi birlari chin?
a)  agar   2x2=4  bo‘lsa, u holda  3>2 bo‘ladi;
b)  agar  2x2=4  bo‘lsa, u holda  3<2  bo‘ladi;
c)  agar  2x2=4  bo‘lsa, u holda  3<2  bo‘ladi;
d)  agar   2x2=5  bo‘lsa, u holda  3>4  bo‘ladi.
4.     “Qodirova   talabadir.”   mulohazasi     a       bilan,   “Qodirova   ingliz   tilini   biladi.”
mulohazasi   esa     b   deb   belgilangan   bo‘lsin.   U   holda       ,     b   ,
  ko‘rinishdagi   murakkab   mulohazalarni   so‘zlar
vositasida ifodalang hamda mumkin 
bo‘lgan   barcha   vaziyatlarda   bu   mulohazalarning   chin   yoki   yolg‘on   bo‘lishini
tekshirib 
ko‘ring.
5.     Mulohaza   bo‘lishi   mumkin   bo‘lgan   va   mumkin   bo‘lmagan   gaplarga   10   tadan
misol keltiring. 6.     Quyidagi   murakkab   mulohazalarga   mos   elementar   mulohazalarni   qandaydir
harflar bilan 
belgilab, ularni mantiqiy algebra amallari vositasida ifodalang:
a)  “100 natural sondir va u 10ga qoldiqsiz bo‘linadi.”;
b)  “Botirning yoshi o‘z singlisining yoshidan katta emas.”;
c)     “Agar   fuqaro   o‘rta   ma’lumotga   ega   bo‘lsa,   u   holda   u   oliy   o‘quv
muassasalaridan 
birida o‘qishi mumkin.”.
7.     Quyidagi   mulohazalarni   elementar   va   murakkab   mulohazalarga     ajrating   va
murakkab 
mulohazalardagi bog‘lovchilarni toping:
a)     “Natural   son   10ga   qoldiqsiz   bo‘linishi   uchun   uning   o‘nli   sanoq   sistemasidagi
yozuvi 0 
raqami bilan tugashi zarur va yetarlidir.”;
b)  “Sanamning yoshi o‘z opasining yoshidan katta emas.”
c)  “O‘zbek alifbosida 38ta harf bor.”;
d)     “Agar   fuqaro   o‘rta   ma’lumotga   ega   bo‘lsa,   u   holda   u   oliy   o‘quv
muassasalaridan birida o‘qishi mumkin.”.
8.  Sheffer shtrixi ishtirok etgan mulohazaga misol keltiring.
9.  Pirs strelkasi ishtirok etgan mulohazaga misol keltiring.
10.     Ikkilik   sanoq   sistemasida   yozilgan   natural   sonlar   ustida   qo‘shish   va
ko‘paytirish amallarini mos ravishda mantiqiy yig‘indi (diz’yunksiya) va mantiqiy
ko‘paytma (kon’yunksiya) amallari bilan solishtiring.

Mulo h azalar algebrasi. Mantiqiy bog‘lovchilar. Mulohaza. Matematik mantiqning mulohazalar algebrasi deb atalgan ushbu bo‘limida asosiy tekshirish ob’yektlari bo‘lib gaplar xizmat qiladi. Mulohazalar algebrasida ma’nosiga ko‘ra chin (rost, haqqoniy, to‘g‘ri) yoki yolg‘on (noto‘g‘ri) bo‘lishi mumkin bo‘lgan gaplar bilangina shug‘ullaniladi. Mulohazalar algebrasi mantiq algebrasi deb ham yuritiladi. 1- m i s o l . “Toshkent – O‘zbekistonning poytaxti.”, “Oy yer atrofida aylanadi.” va “Agar fuqaro oliy ta’lim muassasalaridan birini muvaffaqiyatli tamomlasa, u holda unga oliy ma’lumotliligini tasdiqlovch diplom beriladi.” degan gaplarning har biri chin, ammo “Yer oydan kichik.”, “ 5 <3” va “Ot, qo‘y, echki, it va mushuk uy hayvonlari emas.” degan gaplarning har biri esa yolg‘ondir. ■ Shuni ham ta’kidlash kerakki, ko‘pchilik gaplarning chin yoki yolg‘onligini darhol aniqlash qiyin. Masalan, “Bugungi tun kechagidan qorong‘iroq.” degan gap qaysi holda, qachon va qaysi joyda aytilishiga (tasdiqlanishiga) qarab chin ham, yolg‘on ham bo‘li shi mumkin. Albatta, chin yoki yolg‘onligini aniqlash imkoniyati bo‘lmagan gaplar ham bor. Masalan, “Oldimga kel!”, “Uyda bo‘ldingmi?”, “Yangi yil bilan tabriklayman!”, “Agar oldin bilganimda…” degan gaplar shunday gaplar jumlasira kiradi. Bundan keyin, chin qiymatni, qisqacha, ch, yolg‘on qiymatni esa, yo bilan belgilaymiz. Yozuvni ixchamlashtirish maqsadida chin qiymat 1, yolg‘on qiymat esa, 0 bilan ham belgilanishi mumkin. Bunday belgilash mantiqiy qiymatni sonli qiymat bilan, aniqrog‘i, sonning ikkilik sanoq sistemasidagi ifodalanishi bilan aloqasini o‘rnatishda yordam beradi. 1- t a ’ r i f . Ma’nosiga ko‘ra faqat chin yoki yolg‘on qiymat qabul qila oladigan darak gap mulohaza deb ataladi. Bu ta‘rifga ko‘ra har bir mulohaza muayyan holatda chin yoki yolg‘on bo‘lishi mumkin. Mulohazalarni belgilash uchun, asosan, lotin alifbosining kichik harflari (ba’zan indekslari bilan) ishlatiladi: .

Shunday mulohazalar borki, ular mumkin bo‘lgan barcha hollarda (vaziyatlarda) ch (yoki yo) qiymat qabul qiladi. Bunday mulohazalar absolyut chin (yolg‘on) mulohazalar deb ataladi. Mulohazalar algebrasida, odatda, muayyan o‘zgarmas mulohazalar (ch, yo) bilangina emas, balki istalgan mulohazalar bilan ham shug‘ullaniladi. Bu esa o‘zgaruvchi mulohaza tushunchasiga olib keladi. Agar berilgan mulohazani x deb belgilasak, u holda x ch yoki yo qiymat qabul qiladigan o‘zgaruvchi mulohazani ifodalaydi. Faqat bitta tasdiqni ifodalovchi mulohazani elementar (oddiy) mulohaza deb hisoblaymiz. Elementar mulohazalar qatoriga ch, yo o‘zgarmas mulohazalar ham kiradi. O‘zbek tilidagi “emas”, “yoki”, “va”, “agar ... bo‘lsa, u holda … bo‘ladi”, “.... bo’ladi faqat va faqat .... bo’lsa”, shunda va faqat shundagina ...., qachonki ....” so‘zlar (bog‘lovchilar, so‘zlar majmuasi) vositasida mulohazalar ustidagi (orasidagi) mantiqiy amallar deb yuritiluvchi amallar ifodalanishi mumkin. Bu amallar yordamida elementar mulohazalardan murakkab mulohaza tuziladi (quriladi, yasaladi). 1- misolda bayon etilgan 1-, 2-, 4-va 5- mulohazalar elementar mulohazalarga, 3- va 6-mulohazalar esa murakkab mulohazalarga misol bo‘la oladi. Mulohazalar ustidagi mantiqiy amallar matematik mantiqning elementar qismi hisoblangan mulohazalar mantiqi, ya’ni mulohazalar algebrasi qismida o‘rganiladi. Har ikkala atama (“mulohazalar mantiqi” va “mulohazalar algebrasi”) sinonim sifatida ishlatiladi, chunki ular mantiqning muayyan qismini ikki nuqtai nazardan ifodalaydi: u ham mantiqdir (o‘z predmetiga ko‘ra), ham algebradir (o‘z usuliga ko‘ra). Mulohazalar algebrasidagi mantiqiy amallar o‘ziga xos xususiyatlarga ega, chunki ularning tarkibiga kiruvchi mulohaza(lar) faqat ikki (ch, yo) qiymatdan birini qabul qilishi mumkin. Mantiqiy amallarni o‘rganishdan oldin bu amallarda qatnashuvchi o‘zgaruvchilar qiymatlari kombinatsiyalari bilan tanishamiz. Berilgan bitta o‘zgaruvchi elementar mulohaza uchun ikkita ( ) mumkin bo‘lgan bir-biridan farqli qiymatlar satrlari bor:

ch. yo, Berilgan ikkita o‘zgaruvchi elementar mulohazalar uchun barcha mumkin bo‘lgan bir-biridan farqli qiymatlar satrlari kombinatsiy alari to‘rtta ( ): ch. ch, yo, ch, ch, yo, yo, yo, O‘zgaruvchi elementar mulohazalar soni 3, 4 va hokazo bo‘lgan hollarda ham yuqoridagidek mumkin bo‘lgan qiymatlar satrlari kombinatsiyalarini yozish mumkin. Umuman olganda, berilgan n ta o‘zgaruvchi elementar mulohazalar uchun barcha mumkin bo‘lgan bir-biridan farqli qiymatlar satrlari kombinatsiyalari soni bo‘lishini osonlik bilan isbotlash mumkin (II bobdagi 3- paragrafga qarang). Agar biror amal tarkibiga kiruvchi operandlar (parametrlar, o‘zgaruvchi va hokazo) soni birga teng bo‘lsa, u holda bunday amal unar amal deb, operandlar soni ikkiga teng bo‘lganda esa, binar amal deb yuritiladi ch. , ch , ... ch, ch, ch, . .......... .......... .......... yo, yo, , ... yo, yo, ch, . .......... .......... .......... ch, ch, , yo,... yo, yo, yo, ch, , yo,... yo, yo, ch, yo, , yo,... yo, yo, yo, yo, , ... yo, yo, yo, Matematik mantiqning ko‘pchilik bo‘limlarida chinlik jadvali deb ataluvchi jadvallardan foydalanish qulay hisoblanadi. Quyida unar va binar mantiqiy amallarning chinlik jadvallari keltiriladi.

Berilgan bitta x o‘zgaruvchi elementar mulohaza uchun bir-biridan farqli qiymatlar satrlari ikkita bo‘lgani sababli jami ta turli unar mantiqiy amallar bor. Barcha unar mantiqiy amallar ( ) natijalari 1- jadvalda (chinlik jadvalida) keltirilgan. Berilgan ikkita x va y o‘zgaruvchi elementar mulohazalar uchun jami to‘rtta bir-biridan farqli qiymatlar satrlari kombinatsiyalari tuzish mumkin bo‘lgani sababli barcha turli binar mantiqiy amallar soni ga teng. Mumkin bo‘lgan barcha turli binar mantiqiy amallar ( ) natijalari 2- jadvalda (chinlik jadvalida) keltirilgan. Mantiqiy amallarni yuqoridagi usul bilan o‘rganishni davom ettirib, berilgan uchta x , y , z o‘zgaruvchi elementar mulohazalar uchun hammasi bo‘lib sakkizta ( ) bir-biridan farqli qiymatlar satrlari kombinatsiyalari tuzish mumkinligini va, shu sababli, turli ta ternar mantiqiy amallar borligini ta’kidlaymiz. Tarkibidagi o‘zgaruvchi elementar mulohazalari to‘rtta bo‘lgan turli mantiqiy amallar esa ta. Mulohazalar ustida mantiqiy amallar. Asosiy mantiqiy amallar beshta bo‘lib, ulardan biri unar, to‘rttasi esa binar 2- jadval.

amaldir. Ular quyida bayon etilgan. 1. Inkor amali. Inkor amali mulohazalar mantiqining eng sodda amallaridan biri bo‘lib, u unar amaldir, ya’ni inkor amali bitta elementar mulohazaga nisbatan qo‘llaniladi. 2- t a ’ r i f . Berilgan x elementar mulohaza chin bo‘lganda yo qiymat qabul qiluvchi va, aksincha, x yolg‘on bo‘lganda ch qiymat qabul qiluvchi murakkab mulohaza x mulohazaning inkori deb ataladi. “Berilgan mulohazaning inkori unga inkor amalini qo‘llab hosil qilindi” deb aytish mumkin. Inkor amali 1- jadvalda ifodalangan amalidan iborat bo‘lib, unga o‘zbek tilidagi “emas” bog’lovchisi mos keladi. Berilgan x mulohazaning inkori kabi belgilanadi. mulohaza “ x emas” deb o‘qiladi. Inkor amalini belgilashda “ ” belgi ham qo‘llanilishi mumkin. Bu holda mulohazaning inkori shaklda yoziladi. x mulohazaning inkori uchun chinlik jadvali 3- jadval bo‘ladi (1- jadvalning x va ustunlariga qarang). 3- jadvalni inkor amalining ekvivalent ta’rifi sifatida ham qabul qilish mumkin. 3-jadval yo ch ch yo 2- m i s o l . “Bugun havo sovuq.” degan elementar mulohazasi x bilan belgilangan bo‘lsa, uning inkori x “Bugun havo sovuq emas.” ko‘rinishdagi murakkab mulohazadan iboratdir. ■ 2. Kon’yunksiya (mantiqiy ko‘paytma) amali. Endi ikkita mulohazaga nisbatan qo‘llanilishi mumkin bo‘lgan binar amallardan biri hisoblangan kon’yunksiya (mantiqiy ko‘paytma) amalini o‘rganamiz. 0 1 1 0