CHETLARI SHARNIRLI MAHKAMLANGAN UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHI
![plastinkalar tebranishlarini tadqiq etishda plastinka uchun hal qiluvchi
tenglamalar sifatida asosan tebranish taqribiy tenglamalari qabul qilinadi.
Yuqorida sanab o’tilgan avtorlar ishlarning aksariyat ko’pchiligida turli xil
gipotezalarga asoslanib chiqarilgan taqribiy tenglamalar ishlatilgan. Bunday
gipotezalar xususan Krixgoff-Lyav gipotezalari, harakat tenglamalari
strukturalarini sezilarli darajada soddalashtirishga olib keladi.
S.P.Timoshenko tipidagi aniqlashtirilgan tebranish tenglamalarini keltirib
chiqarishda ham fizik va geometrik harakterdagi turli xil gipoteza va farazlardan
foydalaniladi.Shuning uchun ham ishlatishga qabul qilingan tebranish nazariyasiga
bog’liq ravishda olib borilayotgan tadqiqotlarning turli xil yo’nalishlari paydo
bo’ldi.
Tebranish tenglamalarini keltirib chiqarishga hamda deformatsiyalanuvchi
qattiq jismlar tebranishlari uchun aniqlashtirilgan nazariyalarini ishlab chiqishda,
xususan plastinkalarning tebranish nazariyalarini ishlab chiqishga bag’ishlangan
ilmiy tadqiqotlar tahlili hamda bu muammolarning turli yo’nalishlari batafsil tahlili
[1,2] ishlarda keltirilgan.
Shuni ta’kidlash lozimki, plastina va sterjen tipidagi muhandislik
konstruksiyalari elementlarining o’zaro va tutash muhit bilan ta’sirlashuvining
ko’p sonli muammolari juda ko’p tadqiqotchilar tomonidan o’rganilgan.
Muhandislik konstruksiyalari elementlarining tebranishlar nazariyalari hamda
taqribiy tenglamalarini keltirib chiqarish masalalari prof. I.G.Flippov va uning
o’quvchilari [3,4,5] tomonidan ishlab chiqilgan. Bu ishlarda qovushoq-elastiklik
nazariyasining masalalarini uch o’lchovli asosda qo’yish yo’li bilan qovushoq-
elastik plastina va doiraviy sterjenlarning ko’ndalang erkin tebranish tenglamalari
keltirib chiqarilgan.
Shuningdek bunday tenglamalar o’rab turuvchi muhit va ishqalanish kuchini
hisobga olgan holda ham chiqarilgan. Bunda plastina va sterjenlarning anizotropik
xossalari va harorat ta’siri ham (bog’liq nazariya) hisobga olingan. Olingan
umumiy tenglamalar asosida klassik (Krihgoff-Love) va aniqlashtirilgan
S.P.Timoshenko tipida hamda boshqa koordinata va vaqt o’zgaruvchilariga
10](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_10.png)
![nisbatan yanada yuqoriroq hosilalarni o’z tarkibida saqlovchi yanada yuqori tartibli
tenglamalar chiqarilgan.
Ishlab chiqarilgan umumiy va aniqlashtirilgan tenglamalar asosida amaliy
ahamiyatga ega masalalar yechilgan. Bu masalalar qobiqlar, plastinalar va
sterjenlarning erkin va majburiy tebranishlarini tadqiq etishga bag’ishlangan.
Dinamik impulsli tashqi yuklar ta’siri ostidagi chiziqli qovushoq-elastik va terma-
qovushoq-elastik muhit dinamikasini har xil analitik usullar bilan tadqiq etish
natijalari keltirilgan. Bunday natijalar to’lqin maydoni asosiy parametrlarini fizik
fazoning turli nuqtalarida vaqtning istalgan payti uchun aniqlashga imkon beradi.
Ushbu yo’nalishda [6] maqolani alohida ko’rsatib o’tish lozim. Chunki bu ish
mazkur magistrlik dissertatsiyasida qaralgan masalalarga to’g’ridan-to’g’ri
aloqador va unda silindrik qatlam, qobiq, sterjenlarning tebranishlari nazariyalari
yoritilgan. Avvalo shuni ta’kidlash lozimki, ushbu monografiyada ishlab chiqilgan
usul prof. I.G.Flippov tomonidan [4] monografiya doirasida plastina va sterjenlar
uchun ishlab chiqilgan edi. Professor X.Xudoynazarov tomonidan ushbu usul
plastinka va qobiqlar uchun rivojlantirildi.
Ko’rsatilgan ishda birinchi marta qatlamning tebranishlari haqidagi
ma’lumotlarni ( informatsiyani ) o’zida saqlovchi va tashuvchi asosiy sirt sifatida
qatlamning, klassik nazariyalardagi kabi o’rta sirti emas, balki oraliq sirti
kiritilgan. Ushbu oraliq sirt, kiritilgan χ parametrning ma’lum bir qiymatlarida
qatlamning ichki va tashqi, yoki o’rta sirtiga o’tishi mumkin. Bunda χ
parametrning qiymatlari spektri uzluksiz bo’lib yuqoridan va pastdan
chegaralangan. Bu yerda olingan tenglamalar, klassik yoki S.P.Timoshenko
tipidagi tenglamalardan farqli ravishda aylanish inertsiyasi va ko’ndalang erkin
siljish deformatsiyasi effektlarini avtomatik tarzda hisobga oladi.
Shuni takidlash lozimki, asosiy sirt sifatida silindrik qatlamning o’rta sirti
qabul qilinishi zarur degan davodan voz kechish, bundan oldingi ma’lum bo’lgan
nazariyalarga nisbatan ancha katta aniqlikda kinematiik va dinamik kontakt
shartlarini ifodalashga imkon beradi. Ma’lumki, bunday kontakt shartlari silindrik
11](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_11.png)
![qatlam, qobiq va sterjenlarning deformatsiyalanuvchi muhit bilan o’zaro
ta’sirlashuvi masalalarida paydo bo’ladi.
Plastinka va qobiqlar nazariyasining har xil tenglamalari mavjud bo’lib,
ularning farqi boshlang‘ish geometrik va fizik gipotezalar asosida qurilgan xususiy
nazariyalardan, ularning qo’llanilish sohasi, ularning geometrik shakli va
foydalanilayotgan koordinatalar sistemasidan bog‘liq bo’ladi. Elastiklik
nazariyasining ba’zi chiziqli va nochiziqli effektlarini aniqlash va tahlil qilish
uchun qobiq yoki plastinkaning kichik egilishlarini qarash ba’zida yetarli bo’ladi,
boshqa hollarda esa qobiqning geometrik va fizik nochiziqlilik xossalarini hisobga
olgan holda muhitning juda katta shakl o’zgarishlarini qarash zarur bo’ladi.
Mavjud barcha variantlar ichidan quyida faqat plastinkalar nochiziqli
nazariyasining tenglamalarini va o’qqa nisbatan simmetrik doiraviy tenglamalarini
keltirib o’tamiz.
Ma’lumki, q=q(x,y) - tekis taqsimlangan ko’ndalang erkin kuch ta’sirida
plastinka o’rta qatlami egiladi, hosil bo’lgan egrilanish sirtining egilishi
w=w(x,y)
kabi belgilanadi.
Plastinkada eguvchi va burovchi momentlardan tashqari
τxy
va τyz urinma
kuchlanishlar natijasi sifatida
Qx va Qy ko’ndalang erkin kuchlar paydo bo’ladi.
1.3. Plastinkaga qo’yiladigan tashqi kuchlar
Dinamik yuklanish deb shu yuklanish ta’sirida ko’chish olgan jismning
inertsiya kuchi sezilarli qiymatga erishib, qurilmaga ta’sir etayotgan boshqa
kuchlar bilan bir qatorda hisob jarayonida e’tiborga olinishi zarur bo’lgan
yuklanishga aytiladi. Dinamik yuklanishlar ta’sir etish xarakteriga qarab davriy
yoki nodavriy bo’lishi mumkin [7].
Davriy yuklanish qurilmaga ko’p marta ta’sir qiladi va ko’pincha garmonik
qonuniyat bilan o’zgaradi. Bunday yuklanishlar inshootning ishida yoki uning
yaqinida turgan har xil mexanizmlar (masalan, mashinalar, stanoklar va shu
kabilar)ning ta’siri natijasida yuzaga keladi. Bunday yuklanish ta’siridagi
12](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_12.png)
![II-BOB.
UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKANING
SIMMETRIK TEBRANISHLARI
2.1. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari
Zamonaviy texnikalarda va qurilish sohasida uch qatlamli plastinkalar keng
qo’llaniladi. Bunda juda ko’p hollarda plastinkalar tashqi dinamik va statik yuklar
ta’siri ostida ishlaydi va ularni hisoblash Kirxgoff gipotezalariga asoslangan
klassik nazariyaga tayangan holda olib boriladi [8].
Plastinkalar nazariyasining rivojlanishida ko’plab olimlar o’z ishlari orqali
katta xissalarini qo’shishgan. Bajarilgan barcha tadqiqot ishlarini ikki yo’nalishga
ajratish mumkin. Bular asimtotiklik nazariyasi hamda Timoshenko va Reyssner
tipidagi nazariyalardir. Oxirgi bir necha o’n yilliklarda aniq yechimlar usuliga
asoslangan ko’plab plastinka tebranishlari nazariyalari ishlab chiqildi.
Bu aniq yechimlar usuli bilan professor I.G.Filippov va uning o’quvchilari
professor X.X.Xudoynazarov, N.Mirzaqobilov, O.A.Egorchevlar o’z tadqiqot
ishlarini olib borishgan.Ularning tadqiqot ishlarida simmetrik strukturaga ega bir
jinsli va uch qatlamli plastinkalarning turli xildagi tebranish nazariyalari ishlab
chiqilgan. Bu tadqiqot ishlaridagi tebranish tenglamalarini ishlab chiqishda,
izlanuvchi kattaliklar sifatida plastinka to’ldiruvchi qatlami o’rta sirti ko’chishlari
komponentalarining bosh qismlari qabul qilingan. Bunda noma’lum
izlanuvchilarga nisbatan taqribiy tenglamalar olingan. Taqribiy tebranish
tenglamalarini olishda quyidagi farazlarga tayanilgan:
1) qaralgan uch qatlamli plastinkalar faqat simmetrik strukturaga ega deb
tadqiq qilingan;
2) plastinka to’ldiruvchi qatlami o’rta sirti ko’chishlari komponentalarining
bosh qismlari izlanuvchi kattaliklar sifatida qabul qilingan;
3) to’diruvchi qatlam o’rta sirti ko’chishlarining bosh qismlariga nisbatan
chegaraviy shartlar shakllantirilgan;
4) bir qancha hadlarni hisobga olmaslik orqali muhim soddalashtirishlar
amalga oshirilgan. Bu esa o’z navbatida uch qatlamli plastinkaning olingan
17](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_17.png)
![~U
m ( z , k , p ) =
∑
n = ∞∞ [
k α
m2 n
A
m ( 1)(
k , p ) − β
m2 n + 1
B
m ( 1)(
k , p )] z 2 n(
2 n ) ! ;
~
W
m ( z , k , p ) =
∑
n = ∞∞ [
α
m2 n + 2
A
m ( 1)(
k , p ) − k β
m2 n + 1
B
m ( 1)(
k , p )] z 2 n + 1(
2 n + 1 ) ! . ( 2.26 )
Tashqi dinamik yuklar ta’siridagi uch qatlamli plastinkaning tebranish
tenglamalaridagi asosiy izlanuvchi funksiyalar sifatida nolinchi qatlamning
shunday sirti nuqtasining almashtirilgan
~U 0(0)(z,k,p) va ~W 0(0)(z,k,p) kochishlarining
bosh qismlarini qabul qilamiz.
(2.26) ifodalarda
z=ξ,m=0 va n=0 deb olamiz. U holda ~U0
(0) va ~V0
(0)
belgilashlarni kiritib ikki noma’lumli ikki tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz.
Bu sistemani yechib
C1(0) va β0C2(0) larni topamiz.
y=h0
da kontakt shartlardan foydalanib (2.26) ifoda orqali C1(1) va C2(1)
noma’lumlarga nisbatan ikkita algebraik tenglamalar sistemasini hosil qilib uni
yechib
C1(1) va C2(1) noma’lumlarni ham C1(0) va C2(0) lar orqali topib olamiz.
Agar
C1(0) va C2(0) o’zgarmaslarning ifodalarini C1(1) va C2(1) larning ifodalariga
qo’ysak
C1(1) va C2(1) o’zgarmaslarni plastinka o’rta qatlami bo’ylama va ko’ndalang
ko’chishlarning bosh qismlari orqali bir qiymatli ifodalovchi analitik ifodalarga
ega bo’lamiz.
Uch qatlamli tashqi dinamik yuklar ta’siridagi plastinka qatlamlari
nuqtalarining ixtiyoriy nuqtasidagi kuchlanishlarni topish uchun ularni ham
yuqoridagidek almashtirish kerak, ya’ni noldan farqli
σxx(l) , σxz(l) , σzz(l) kuchlanishlar
ham almashtirilgan kuchlanishlar orqali ifodalanishlari kerak.Masalan,
~σxx
(m)(k,p)=~L1m(− k2~ϕm(k,p)+ ∂2
∂z2
~ϕm(k,p))−2~M m(k2~ϕm(k,p)− k ∂
∂z
~ψm(k,p))
~σzz
(m)(k,p)=~L1m(− k2~ϕm(k,p)+ ∂2
∂z2
~ϕm(k,p))+2~M m(
∂2
∂z2
~ϕm(k,p)−k ∂
∂z
~ψm(k,p))
(2.28)
~σxz
(m)(k,p)= ~M m(2k ∂
∂z
~ϕm(k,p)− ∂2
∂z2~ψm(k,p)− k2~ψm(k,p)), (m=0,1,2 )
ko’rinishdagi yechimni (2.28) ifodaga olib kelamiz
24](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_24.png)
![~σxx(m)(k,p)=[~Lm(αm2−k2)− 2~M mαm2]Am(1)(k,p)ch (αmz)+2~M mkβ mBm(1)(k,p)ch (βmz);
~σzz(m)(k,p)=[~Lm(αm2−k2)+2~M mk2]Am(1)(k,p)ch (αmz)−2~M mkβ mBm(1)(k,p)ch (βmz);
~σxz(m)(k,p)= ~M m(2kα mAm(1)(k,p)sh (αmz)−(βm2+k2)Bm(1)(k,p)sh (βmz)). (2.29)
Kuchlanish
~σxx(l) ning keltirilgan (2.27) tasviridan hamda, (2.29) va (2.16) dan
foydalanib (2.9) - chegaraviy shartlarni quyidagicha yozish mumkin
~M m(2kα mAm(1)(k,p)sh (αmz)−(βm2+k2)Bm(1)(k,p)sh (βmz))=~fx(m)(k,p);
[~Lm(αm2− k2)+2~M mk2]Am(1)(k,p)ch (αmz)− 2~M mkβ mBm(1)(k,p)ch (βmz)=~fz(m)(k,p).
(2.30)
bu yerda
αm2= q2+ρmp2Lm−1;βm2=q2+ρmp2M m−1 .
sh (αmy)=αmy; sh (βmy)= βmy ;ch (αmy)=1+αm2y2
2 ;ch (βmy)=1+βm2y2
2 .
(2.31)
ekanligini hisobga olsak (2.30) tenglamalar sistemasining 1-si
l=1 da va 2-si s=2
da quyidagiga keladi.
~M 1(2kα 1A1(1)(k,p)sh (α1z)−(β12+k2)B1(1)(k,p)sh (β1z))=~fx(1)(k,p);
[~L2(α22− k2)+2~M 2k2]A2(1)(k,p)ch (α2z)−2~M 2kβ 2B2(1)(k,p)ch (β2z)=~fz(2)(k,p).
o’zgarmaslarning topilgan bu qiymatlarini
2kα 12A1(1)(k,p)((h0+h1)+
α12(h0+h1)3
6 )−(β12+k2)β1B1(1)(k,p)((h0+h1)+
β12(h0+h1)3
6 )= ~M 1−1~fx(1)(k,p)
(2.32)
[~L2(α22−k2)+2~M 2k2]A2(1)(k,p)(1+
α22(h0+h2)2
2 )−2~M2kβ 2B2(1)(k,p)(1+
β22(h0+h2)2
2 )=~fz(2)(k,p).
tenglamalar sistemasiga qo’yamiz va hosil bo’lgan sistemani soddalashtirib
quyidagiga ega bo’lamiz
β1{{[(2α1
2− β1
2− k2)(h0+h1)+(2α1
4− β1
4− β1
2k2)((h0+h1)3/6)]h0+ 1
6[(2α1
2β0
2+
+6α12β12+2α12α02~q0− 6α12k2~q0− (β02β12+ β02k2+3α12β12+ 3α12k2+ α02β12~q0+
+α02k2~q0− 3α12β12~q0− 3α12k2~q0))(h0+h1)+(2α14β02+6α14β12+2α14α02~q0− 6α14k2~q0−
−(β02β14+β02β12k2+3α12β14+3α12β12k2+α02β14~q0+α02β12k2~q0−3α12β14~q0− 3α12β12k2~q0))׿¿
¿((h0+h1)3/6)]h0
3+ 1
12 [(2α0
2α1
2β1
2− (α0
2α1
2β1
2+α0
2α1
2k2− α1
4β1
2~q0− α1
4k2~q0+
+ α12β12k2~q0+ α12k4~q 0))(h0+ h1)+ (2 α02α14β12− (α02α12β14+ α02α12β12k2−
25](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_25.png)
![− α1
4β1
4~q0− α1
4β1
2k2~q0+α1
2β1
4k2~q0+α1
2β1
2k4~q0)((h0+h1)3/6)]
h0
5
1 }
k
ξ
~W 0
(0)(k ,p)−
− {[(2k2α12− α12β12− α12k2)(h0+h1)+(2k2α14− α12β14− α12β12k2)((h0+h1)3/6)]
h0
1 +
+ 1
6[(2k2α1
2β1
2+ 6k2α0
2α1
2− 4k2α0
2α1
2~q0− (α1
4β1
2+k2α1
4+3α0
2α1
2β1
2+3α0
2α1
2k2+
+(k2α02β12+k4α02− 3α02α12β12− 3α02α12k2)~q0)(h0+ h1)+(2k2α14β12+6k2α02α14−
− 4k2α02α14~q0− (α14β14+k2α14β12+ 3α02α12β14+3α02α12β12k2+(k2α02β14+k4α02β12−
− 3α0
2α1
2β1
4− 3α0
2α1
2β1
2k2)~q0))((h0+h1)3/6)]h0
3+ 1
12 [(2k2α0
2α1
2β1
2− (α0
2α1
4β1
2+
+α02α14k2− α02α14β12~q0− α02α14k2~q0+α02α12β12k2~q0+α02α12k4~q0))(h0+ h1)+
+(2 k2α02α14β12− (α02α14β14+ α02α14β12k2− α02α14β14~q0− α02α14k2β12~q 0+
+α0
2α1
2β1
4k2~q0+α0
2α1
2β1
2k4~q0))((h0+h1)3/6)]
h0
5
1 }
~U 0
(0)(k,p)= ~M 1Δ 1
0~fx
(1)(k,p);
+2~M 2((α0
2α2
2β2
2k2−α0
2α2
4β2
2)+α0
2α2
2β2
2(α2
2−k2)~q0))
(h0+h2)2
2
)h0
5]k~U 0
(0)(k,p)}= Δ2
0~fz
(2)(k,p). b
u yerda
n0=−1− λ
μ
Bu yerda ham
αm2= q2+ρmp2Lm−1;βm2=q2+ρmp2M m−1 ekanligini hisobga olsak
tenglamamiz yanada soddalashadi
− {[(q1+1)(h0+h1)+(2q1γ1+(1+q1)λ1)
(h0+h1)3
6 ]h0+1
6[1
1((1+q1)λ0+3(1− q1)(1+q0)γ1+
+(1+q1)q0γ0)(h0+h1)+(2q1γ1λ0+(1+q1)λ0λ1+3(1+q1− q0q1)γ1λ1+ 2q0q1γ0γ1+
+q0(1+q1)γ0λ1+3q0(1− q1)γ12+3 ∂2
∂x2q0q1γ1)(h0+h1)3
6 ]h03+ 1
12 [(q0γ1λ1− q0γ1 ∂2
∂x2+
+(1−q1)γ0γ1)(h0+h1)+((q1+1)γ0γ1λ1+q0γ1λ12− ∂2
∂x2q0γ1λ1)(h0+h1)3
6 ]h05
}
1
ξ
∂
∂xW 0
(0)(x,t)−
−{[(q1−1)γ1(h0+h1)+((q1−1)γ1γ1+q1γ1λ1− ∂2
∂x2q1γ1)(h0+h1)3
6 ]h0+1
6[1
1((1−q1)(q0−3)γ0γ1+
+q1γ1∂2
∂x2−(1−q1)q0γ0 ∂2
∂x2−γ1λ1+2q0γ0λ1)(h0+h1)+((q1−1)γ12λ1+(3q1−3+q0−q0q1)γ0γ12+
−3(1−q0)q1γ0γ1∂2
∂x2+(3−q0)q1γ0γ1λ1+2q0γ0λ1λ1−(1−q1)q0γ0λ1∂2
∂x2)(h0+h1)3
6 ]h03+1
12 [1
1((q0−1)γ0γ1׿¿
26](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_26.png)
![¿λ1+(q1−q0)∂2
∂x2γ0γ1)(h0+h1)+((q1−1)γ0γ12λ1+(λ1− ∂2
∂x2)q0γ0γ1λ1)(h0+h1)3
6 ]h05
}U0(0)(x,t)=
= {h0+1
6((3− 2q1)γ1+λ1)h03+ 1
12 γ1λ1h05
}M 1−1fx
(1)(x,t);
Endi bu tenglamalar sistemasida
γm= ρmN m
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2
; λm= ρmM m
−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2
ifodalardan foydalanamiz ya’ni bu ifodalarni yuqoridagi tenglamalar sistemasiga
kiritib quyidagi tenglamalar sistemasini olamiz va so ’ ngra quyidagi tenglamalar
sistemasiga ega bo ’ lamiz .
Bu tenglamalar sistemasida
h0 ga bo ’ lib so ’ ngra bu tenglamalar sistemasini
yuqori tartibli hosilalardan boshlab yozish orqali quyidagilarga ega bo ’ lamiz .
{c11 ∂4
∂t4+c12 ∂4
∂x2∂t2+c13 ∂4
∂x4+c14 ∂2
∂t2+c15 ∂2
∂x2+c16}
∂
∂xW 0
(0)(x,t)+
+{d11 ∂4
∂t4+d12 ∂4
∂x2∂t2+d13 ∂4
∂x4+d14 ∂2
∂t2+d15 ∂2
∂x2}U 0
(0)(x,t)=
={s11 ∂4
∂t4+s12 ∂4
∂x2∂t2+s13 ∂4
∂x4+s14 ∂2
∂t2+s15 ∂2
∂x2+s16}fx
(1)(x,t)
;
(2.33)
{c21 ∂4
∂t4+c22 ∂4
∂x2∂t2+c23 ∂4
∂x4+c24 ∂2
∂t2+c25 ∂2
∂x2+c26}W 0
(0)(x,t)+
+{d21 ∂4
∂t4+d22 ∂4
∂x2∂t2+d23 ∂4
∂x4+d24 ∂2
∂t2+d25 ∂2
∂x2+d26}
∂
∂xU 0
(0)(x,t)=
={s21 ∂4
∂t4+s22 ∂4
∂x2∂t2+s23 ∂4
∂x4+s24 ∂2
∂t2+s25 ∂2
∂x2+s26}fz
(2)(x,t)
,
bu yerda
сij,dij,sij koeffitsiyentlar quyidagi formulalar orqali topiladi
с11=− 1
ξ[(q0ρ1M 1
−1+(1−q1)ρ0L0
−1)ρ1L1
−1(h0+h1)h0
4
12 +((2q1ρ0M 0
−1+3(1+q1−q0q1)ρ1M 1
−1+
+2q0q1ρ0L0−1)ρ1L1−1+((1+q1)ρ0M0−1+(1+q1)q0ρ0L0−1)ρ1M1−1+3q0(1−q1)ρ1L1−1ρ1L1−1)(h0+h1)3h02
36 ]
;
27](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_27.png)
![с12=1
ξ[((1−q1+2q0)ρ1L1−1+q0ρ1M 1−1+(1−q1)ρ0L0−1)
(h0+h1)h04
12 +((3+5q1+6q0−10 q0q1)ρ1L1−1+
+(1+3q1)ρ0M 0
−1+(1+3q1)q0ρ0L0
−1+(4+4q1+q0−2q0q1)ρ1M 1
−1)(h0+h1)3h0
2
36 ];
с13=− 1
ξ[(1+q1)
(h0+h1)h04
12 +(4− 4q1+4q0− 4q0q1)
(h0+h1)3h02
36 ];
с14=−1
ξ[((1−q1)ρ0M0
−1+3(1+q0)(1−q1)ρ1L1
−1+2q0(1+q1)ρ0L0
−1)
(h0+h1)h0
2
6 +(2q1ρ1L1
−1+(1+q1)ρ1M1
−1)
(h0+h1)3
6 ]
;
c15= 1
ξ[(4− 2q1+4q0− 2q0q1)
(h0+h1)h02
6 +(1+3q1)
(h0+h1)3
6 ]
;
c16=− 1
ξ(1−q1)(h0+h1)
;
с21= 1
ξ[(1−q2)ρ0L0−1ρ2M 2−1h04
12 +((1−q2)ρ0M 0−1+3(1−q2)ρ2M 2−1+(1−q2)q0ρ0L0−1)ρ2L2−1h02(h0+h2)2
12 ]
;
с22=− 1
ξ[((1−q2)ρ0L0
−1+2q0ρ2L2
−1+(1−q2)ρ2M 2
−1)
h0
4
12 +(4(1+q0)(1−q2)ρ2L2
−1+
+(1−q2)ρ0M 0
−1+3(1−q2)ρ2M 2
−1+q0(1− q2)ρ0L0
−1)
h0
2(h0+h2)2
12 ]
;
с23= 1
ξ[(1− 3q2− 2q0)
h04
12 +(4− 2q2+4q0− 2q0q2)
h02(h0+h2)2
12 ]
; (2.34)
с24= 1
ξ[(1− q2)(3ρ2M 2−1+ρ0M 0−1+q0ρ2L2−1)
h02
6 +(1−q2)ρ2L2−1(h0+h2)2
2 ]
;
с25=− 1
ξ[(4−10 q2−4q0+2q0q2)
h02
6+(1+q2)
(h0+h2)2
2 ]
; с26=1
ξ(1−q2) ;
d11=−[((1−q1)(q0−3)ρ0L0
−1ρ1L1
−1− ρ1M 1
−1ρ1L1
−1+2q0ρ0L0
−1ρ1M 1
−1)
(h0+h1)h0
2
6 +
+((q1−1)ρ1L1
−1+q1ρ1M 1
−1)ρ1L1
−1(h0+h1)
3
6
]
;
d12=[((2q0−2q0q1−3+3q1)ρ0L0−1+(q0−4−q0q1+2q1)ρ1L1−1+(2q0−1)ρ1M 1−1)
(h0+h1)h02
6 +
28](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_28.png)
![+((4q1− 2)ρ1L1
−1+q1ρ1M 1
−1)
(h0+h1)3
6
];
d13=−[(2− 2q1)(q0− 1)
(h0+h1)h02
6 − (3q1− 1)
(h0+h1)3
6 ]
;
d14=−(q1−1)ρ0M 0−1(h0+h1)
; d15=(q1+1)(h0+h1) ;
d21=[(2(q0−q2)ρ2L2−1−(1+q2)ρ2M 2−1)ρ0L0−1h04
12 +((3−4q0)(q2−1)ρ0L0−1−(1+q2)ρ2M 2−1)ρ2L2−1h02(h0+h2)2
12 ]
;
d22=−[((2q0+3q2−1)ρ0L0
−1+2(q0−q2)ρ2L2
−1−(1+q2)ρ2M 2
−1)
h0
4
12 +
+((3q2+2q0q2− 4q0−3)ρ0L0
−1+(2q2+4q0−4− 4q0q2)ρ2L2
−1−(1+q2)ρ2M 2
−1)
h0
2(h0+h2)2
12 ]
;
d23=(2q0− 3q2−3)
h04
12 +(2q2+4q0+4− 6q0q2)
h02(h0+h2)2
12
;
d24=((2q0q2−2q0−3q2+3)ρ0L0−1−2q2ρ2L2−1−(1+q2)ρ2M 2−1)
h02
6+(q2−1)ρ2L2−1(h0+h2)2
2
;
d25=−((−4+2q0q2−2q0+4q2)
h02
6−(q2−1)(h0+h2)2
2 )
; d26= (1+q2) ;
s11=ρ1L1−1ρ1M 1−1M 1−1h04
12
; s12=−(ρ1L1−1+ρ1M1−1)M 1−1h04
12 ; s13= M 1−1h04
12 ;
s14=((3−2q1)ρ1L1−1+ρ1M 1−1)M 1−1h02
6
; s15=−(2−2q1)M1−1 ; s16=M1−1 ; s21=ρ2L2−1ρ2M 2−1M2−1h04
12 ;
s22=−(ρ2L2−1+ρ2M 2−1)M 2−1h04
12
; s23=M 2−1h04
12 ; s24=((3− 2q2)ρ2L2−1+ρ2M 2−1)M 2−1h02
6 ;
s25=−(2−2q2)M2−1
; s26=M 2−1 .
29](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_29.png)
![M xy x o’qqanisbatan parallel joylashgan dx uzunlikda burovchi moment M xydx gat
eng
M xy ni yo’nalishi bo’yicha vertikal ravishda dx ga ko’chganda qarasak dx
cheksiz kichik uzoqlashganda burovchi moment
(M xy+
∂M xy
∂x dx )dx ga teng.
Har bir dx cheksiz kichik qismga
∂M xy
∂x dx mos keladi. Demak har bir
taqsimlanishda kuch
∂M xy
∂x ga teng. C va B nuqtalarda hosil bo’lgan kuchlar,
vertikal yuk ko’ndalang erkin kuchga kuchsizlantiriladi. CB tomonda keltirilgan
ko’ndalang erkin kuch;
Qyk=Q y+
∂M xy
∂x
va Qxk=Qx+
∂M xy
∂y (3.3)
Muvozanat tenglamasining uchinchi tenglamasini x va y bo’yicha differensiyallab
ko’chishlar orqali ifodalasak;
∂M xy
∂x =D(1−μ) ∂3w
∂x2∂y
;
∂M xy
∂y =D(1−μ) ∂3w
∂y2∂x
,
(3.4)
(3.4) ni hisobga olib yozsak quyidagiga kelamiz
x= 0
tomon erkin bo’lsin, u holda bu tomon uchun chegaraviy shart quyidagicha
olinadi.
Qyk=D[
∂3w
∂x3+(2−μ) ∂3w
∂y2∂x]; Qxk=D[
∂3w
∂y3+(2− μ) ∂3w
∂x2∂y].
Xuddi shunday plastinkaning chetlarida uchta shart, eguvchi
moment,burovchi moment va ko’ndalang erkin kuch faqat ikkita eguvchi moment
va keltirilgan ko’ndalang erkin kuch sifatida qaraladi.
M y=0
va Qyk=0
bu munosabat ko’chishlar orqali quyidagicha yoziladi:
∂2w
∂x2+μ∂2w
∂y2= 0
, ∂3w
∂x3+(2− μ) ∂3w
∂x∂y2=0.
32](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_32.png)
![3.2. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinka uchun erkin tebranishlar
chastotasini aniqlash
Endi keltirib chiqarilgan (2.33) tenglamalar sistemasi asosida uch qatlamli
qovushoq-elastik plastinkaning erkin nostatsionar simmetrik tebranishlarini tadqiq
qilamiz. Buning uchun bu tenglamalarning o’ng tomonlarini nolga tenglashtiramiz,
ya’ni plastinkaga hech qanday tashqi kuch ta’sir etmayapti deb hisoblaymiz. Hosil
bo’lgan tenglamalarning yechimlarini W0= ⃗W0ei(ωt+kz)
, U0= ¯U ei(ωt+kz)
ko’rinishda izlaymiz. Bu ifodalarni (2.33) tenglamalar sistemasidagi o’rinlariga
qo’yib quyidagi uch qatlamli qovuushoq-elastik plastinka chastota tenglamalariga
ega bo’lamiz
1
ξ
[с
11
'
ω
4
+с
12
'
ω
2
k
2
+с
13
'
k
4
−с
14
'
ω
2
−с
15
'
k
2
+с
16
'
]ki {¯W
0
+¿+[d
11
'
ω
4
+d
12
'
ω
2
k
2
+d
13
'
k
4
−d
14
'
ω
2
−d
15
'
k
2
]¯U
0
=0;¿[с
21
'
ω
4
+с
22
'
ω
2
k
2
+с
23
'
k
4
−с
24
'
ω
2
−с
25
'
k
2
+с
26
'
]¯W
0
+¿+
1
ξ
[d
21
'
ω
4
+d
22
'
ω
2
k
2
+d
23
'
k
4
−d
24
'
ω
2
−d
25
'
k
2
+d
26
'
]ki {¯U¿
0
=0;¿¿
(3.5)
bu yerdagi koeffitsiyentlar plastinkaning geometrik va qatlamlarning fizik-
mexanik xususiyatlaridan bog’liq o’zgarmaslardan iborat. Ushbu chastota
tenglamalari sistemasini matematik “Maple-12” dasturi yordamida yechamiz.
Bu tenglamalar sistemasini yechish uchun qatlamlar materiallari fizik
xususiyatlarini quyidagicha kiritamiz:
Plastinka uzunligi
l=0.4m , o’rta to’ldiruvchi qatlam qalinligi h0=0.02 m ,
yuqori qatlam qalinligi
h1=0.001 m , pastki qatlam qalinligi h2=0.001 m , To’ldiruvchi
qatlam uchun: voloknitlar (paxta ko’ragi qavachaqlari)ni olishimiz mumkin. O’rta
qatlam materiali zichligi
ρ0=1650 kg /m3, yuqori va pastki qatlamlar materiali
zichliklari
ρ1=2700 kg /m3 va ρ2=2700 kg /m3 , uchta qatlam materiallari uchun
Yung moduli qiymatlari
E0=0,09 ⋅10 11 Pa , E1=69⋅10 9Pa , E2=69 ⋅10 9Pa , uchta
34](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_34.png)
![Shuning uchun bu holda izlanuvchi funksiyalar ko’rinishini quyidagicha
tanlaymiz .[U 1,fx]= ∑
m=1
∞
[U m(t),fxm (t)]sin mπx
l
; [W 1,fy]=∑
m=1
∞
[W m(t),fym(t)]cos mπx
l ; (3.7)
Bu ifodalarni (3.5) tenglamalar sistemasiga qo’yib quyidagini hosil qilamiz.
∑
т=1
∞ mπ
l {− c11
' ∂4
∂t4−(c14
'−c12
'
(
mπ
l )
2
)
∂2
∂t2− c13
'
(
mπ
l )
4
+c15
'
(
mπ
l )
2
− c16
'
}W m(t)sin mπx
l +
+ ∑
m=1
∞
{d11
' ∂4
∂t4+(d14
'− d12
'
(
mπ
l )
2
)
∂2
∂t2+d13
'
(
mπ
l )
4
− d15
'
(
mπ
l )
2
}U m(t)sin mπx
l =
= ∑
m=1
∞
{s11
' ∂4
∂t4+(s14
'− s12
'
(
mπ
l )
2
)
∂2
∂t2+s13
'
(
mπ
l )
4
− s15
'
(
mπ
l )
2
+s16
'
}fxm (t)sin mπx
l
;
(3.8)
∑
m=1
∞
{c21
'' ∂4
∂t4+(c24
''− c22
''
(
mπ
l )
2
)
∂2
∂t2+c23
''
(
mπ
l )
4
− c25
''
(
mπ
l )
2
+c26
''
}W m(t)cos mπx
l +
+∑
m=1
∞ mπ
l {d21
'' ∂4
∂t4+(d24
''− d22
''
(
mπ
l )
2
)
∂2
∂t2+d23
''
(
mπ
l )
4
− d25
''
(
mπ
l )
2
+d26
''
}U m(t)cos mπx
l =
= ∑
m=1
∞
{s21
'' ∂4
∂t4+(s24
''− s22
''
(
mπ
l )
2
)
∂2
∂t2+s23
''
(
mπ
l )
4
− s25
''
(
mπ
l )
2
+s26
''
}fzm (t)cos mπx
l
.
Bu tenglamalar sistemasining birinchisini
sin mπx
l ga ikkinchisini cos mπx
l ga
bo’lib ba’zi belgilashlardan so’ng quyidagi ifodaga ega bo’lamiz:
{Т 11
∂4
∂t4+Т12
∂2
∂t2+Т 13}W m(t)+{L11
∂4
∂t4+L12
∂2
∂t2+L13 }U m(t)= J11 ;
{Т 21
∂4
∂t4+Т 22
∂2
∂t2+Т 23}W m(t)+{L21
∂4
∂t4+L22
∂2
∂t2+ L23 }U m(t)= J21 .
(3.9)
bu yerda
36](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_36.png)
![T11=−c11
'π
l;
T12=−c14
' π
l+c12
'
(
π
l)
3 ;
T13=− c13
'
(
π
l)
5
+c15
'
(
π
l)
3
− c16
' π
l ; T21=c21'' ;
T22= c24
''− c22
''
(
π
l)
2
;
T23= c23
''
(
π
l)
4
− c25
''
(
π
l)
2
+c26
'' ;
L11=d11' ; L12= d14
'−d12
'
(
π
l)
2 ;
L13= d13
'
(
π
l)
4
− d15
'
(
π
l)
2
;
L21=d21
''π
l ;
L22=d24
''π
l−d22
''
(
π
l)
3 ;
J11= [s11
' ∂4
∂t4+(s14
'− s12
'
(
π
l)
2
)
∂2
∂t2+s13
'
(
π
l)
4
− s15
'
(
π
l)
2
+ s16
'
]fxm (t)
;
J21= [s21
'' ∂4
∂t4+(s24
''− s22
''
(
π
l)
2
)
∂2
∂t2+s23
''
(
π
l)
4
− s25
''
(
π
l)
2
+s26
''
]fzm (t)
;
Um(t) va Wm(t) izlanuvchi funksiyalarga nisbatan boshlang’ich shartlar quyidagicha
U m(x,t)= ∂U m(x,t)
∂t = ∂2U m(x,t)
∂t2 = ∂3U m(x,t)
∂t3 = 0;
W m(x,t)= ∂W m(x,t)
∂t = ∂2W m(x,t)
∂t2 = ∂3W m(x,t)
∂t3 = 0.
(3.10)
Bu (3.10) boshlang’ich shartlar orqali (3.9) tenglamani Maple 12 dasturi
yordamida yechamiz.
Bu tenglamalar sistemasini “Maple-12” dasturi yordamida yechish uchun
qatlamlar materiallari fizik xususiyatlarini quyidagicha kiritamiz:
Plastinka uzunligi
l=0.4m , o’rta to’ldiruvchi qatlam qalinligi h0=0.02 m ,
yuqori qatlam qalinligi
h1=0.001 m , pastki qatlam qalinligi h2=0.001 m , o’rta
to’ldiruvchi qatlam materiali zichligi
ρ0=30 kg /m3 , yuqori va pastki qatlamlar
materiali zichliklari
ρ1= 2700 kg /m3 va ρ2=2700 kg /m3 , uchta qatlam materiallari
uchun Yung moduli qiymatlari
E0=0.165 ⋅10 9Pa , E1=69⋅10 9Pa , E2=69 ⋅10 9Pa ,
uchta qatlam materiallari uchun Puasson koeffitsiyenti qiymatlari
ν0=0.03125 ,
ν1=0.33
, ν2=0.33 va (3.5) tenglama koeffitsiyentlarida qatnashgan ξ kattalik
ξ=0.3h0
;
Plastinkaga ta’sir etayotgan tashqi kuchlar
fx=5N , fz=5N ;
37](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_37.png)
![Kiritilgan bu ifodalardan foydalanib (3.10) boshlang’ich shartlar orqali (3.5)
tenglamani “Maple-12” dasturi yordamida yechib U(t) va W(t) larning grafik
ko’rinishini topamiz.
So’ngra grafigi
Uт(t) va W m(t) lar grafigi bilan ustma-ust tushadigan Umт (t)
va
W mm (t) funksiyalarni quramiz.
Bu qurilgan
Umт (t) va W mm (t) funksiyalarni izlanuvchi funksiyalarning
ifodasiga qo’yib ularning vaqtga va koordinataga bog’liq ifodalarini hosil qilamiz.
Topilgan izlanuvchi funksiyalarni
U (x,t)=[(1−q0)
y2
2
∂2
∂ t2−(1−q0)
y2
2
∂2
∂x2+1]U 1(x,t)− 1
ξq0
y2
2
∂
∂xW 1(x,t);
W (x,t)= 1
ξ[(
1
b02+q0)
y3
6
∂2
∂t2−(1+q0)y3
6
∂2
∂ x2+y
]
W 1(x,t)+q0
y3
6 [
∂3
∂t2∂x− ∂3
∂x3]U 1(x,t).
shu ifodalarga qo’yib uch qatlamli plastinkaning tashqi dinamik yuklar ta’siridagi
tebranishlarida qatlam nuqtalari ko’chishlarini topamiz.
3-Rasm. Plastinka qatlamida hosil bo‘ladigan
U(x,t) ko‘chishning vaqtning turli qiymatlarida
koordinataga bog’liq holda o‘zgarish grafiklari 4-Rasm. Plastinka qatlamida hosil bo‘ladigan
W(x,t) ko‘chishning vaqtning turli qiymatlarida
koordinataga bog’liq holda o‘zgarish grafiklari
3 -rasmda uch qatlamli plastinkaning tashqi dinamik yuklar ta’siridagi
tebranishlarida plastinka qatlamlari nuqtalarining x o’qi bo’yicha ko’chishi U(x,t)
39](/data/documents/246fa370-00a7-4cc8-a73e-2e8b8c83e6f2/page_39.png)
CHETLARI SHARNIRLI MAHKAMLANGAN UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKANING SIMMETRIK TEBRANISHI MUNDARIJA KIRISH …………………………………………..………………............. 3 I-Bob. PLASTINKALARNI HISOBLASH NAZARIYALARI ......……. 5 1.1-§. P lastinkalar tebranishlari to’g’risida o’tkazilgan tadqiqotlar sharhi …………………………………………………………….. 5 1.2-§. Plastinkalar nazariyasining asosiy munosabatlari va tenglamalari 10 1.3-§. Plastinkalarga qo’yiladigan tashqi kuchlar …… ......................... .. 13 I-bob bo’yicha xulosa…..………………………………………... 17 II-Bob. UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKA- NING SIMMETRIK TEBRANISHLARI...................................... 18 2.1-§. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari.................................................................................... 18 2.2-§. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari haqidagi masalaning qo’yilishi................................. 19 2.3-§. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalari................................................ 23 I I -bob bo’yicha xulosa………………………………………… . 31 III-Bob. UCH QATLAMLI QOVUSHOQ-ELASTIK PLASTINKA- NING SIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALALARI............................................................................. 32 3.1-§. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinka uchun chegaraviy shartlarning qo’yilishi.................................................................... 32 3.2-§. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinka uchun erkin tebranishlar chastotasini aniqlash.................................................. 34 3.3-§. Chetlari s harnirli mahkamlangan uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlariga doir amaliy masalalar..... 35 I II -bob bo’yicha xulosa …………………………………..……… 40 ASOSIY XULOSALAR............................................................................. 45 ADABIYOTLAR RO’YXATI.................................................................... 46 1
KIRISH Bitiruv malakaviy ishida masalaning qo’yilishi . Ushbu bitiruv malakaviy ishida chetlari sharnirli mahkamlangan uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranishlari masalasi qo’yilgan. Bunda uch qatlamli plastinka nostatsionar simmetrik tebranishlarida vujudga keladigan kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatini plastinka bir jinslimas va uch qatlamli ekanligini hisobga olgan holda aniqlash masalasi qaralgan. Mavzuning dolzarbligi. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinka muhandislik qurilmalarining tarkibiy qismlarini tashkil etadilar. Bundan tashqari bunday plastinkalar ko’plab qurilish materiallari elementlari hamdir. Shunday holda bu plastinkalar turli xil dinamik tashqi ta’sirlar ostida ishlaydilar va ularning kesimlarida turli xil yuklanishlar vujudga keladi. Plastinkadagi ana shunday yuklanishlarni aniqlash masalasi mexanikaning dolzarb masalalaridandir. Amaliy masalalarda ana shunday yuklar ta’siri ostidagi plastinkalardagi kuchlanganlik- deformatsiyalanganlik holatlarini aniqlash muhim ahamiyat kasb etadi. Ishning maqsad va vazifalari . Mazkur bitiruv malakaviy ishining asosiy maqsadi uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranish tenglamalarini keltirib chiqarish, tadqiq qilish va ular asosida qaralayotgan plastinkaning nostatsionar simmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalarini ishlab chiqishdan iboratdir. Bunda tadqiqotni klassik va aniqlashtirilgan tebranish tenglamalariga mos ravishda plastinka qatlamlaridagi kuchlanganlik- deformatsiyalanganlik holatini aniqlashga imkon beruvchi algoritm yaratish talab etiladi. Ana shulardan kelib chiqqan holda bitiruv malakaviy ishining asosiy vazifalari qilib quyidagilar belgilangan: Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranish tenglamalari uchun umumiy tenglamalarni keltirib chiqarish; Kuchlanish va deformatsiya tenzorlari hamda ko’chish vektori komponentalari uchun plastinka qatlamlari nuqtalaridagi kuchlanganlik- deformatsiyalanganlik holatini talab etilgan aniqlikda aniqlash algoritmini yaratish; Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranish tenglamalari amaliy masalalarni yechish uchun yaroqli bo’lgan texnik yoki boshqacha aytganda taqribiy tenglamalarini hosil qilish; 2
Olingan natijalar asosida ilmiy xulosalar chiqarish va amaliy tavsiyalar ishlab chiqish. Ishning ilmiy tadqiqot usuli . Asosiy tadqiqot usuli sifatida G.I.Petrashen – I.G.Filippovning tadqiqot jarayonida aksioma va gipotezalarni foydalanmasdan tenglamalarni chiqarish metodi, Fur’e va Laplasning integral almashtirish metodlari, shuningdek tadqiqotchilar tomonidan qayta-qayta sinovdan o'tgan boshqa analitik va tadribiy hisoblsh usullaridan foydalanilgan. Ishning ilmiy-amaliy ahamiyati. Hozirgi zamon texnikasi, qurilish, yer osti va yer usti inshoatlari, aviatsiya, kemasozlik va boshqa juda ko’plab sohalarda uch qatlamli qovushoq-elastik kompozit plastinka qurilish inshoatlari va muhandislik qurilmalarining asosiy elementlaridan biri sifatida ishlatiladi. Yuqorida aytilganlar uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkaning simmetrik tebranish masalasini tadqiq qilish, ularning tebranish chastotasi, amplitudasi, shakli va boshqa xarakteristikalarini aniqlash muhim amaliy ahamiyatga ega ekanligini ko’rsatadi. Bitiruv malakaviy ishining tuzilishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish, uchta bob, xulosa hamda foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat bo’lib 50 kompyuter sahifasida bayon qilingan. Olingan natijalarning qisqacha mazmuni. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinka simmetrik tebranish tenglamalarini aksariyat hollarda sodda yechimlar asosida tadqiq qilingan. Shu sababli uch qatlamli qovushoq-elastik plastinka simmetrik tebranishlari haqidagi masalalarni yangicha yo’nalishda tadqiq etish masalasi keyingi vaqtlarda katta ilmiy va amaliy ahamiyatga ega bo’lmoqda. Shu nuqtai nazardan qaraganda bitiruv malakaviy ishida qaralgan va yechilishi uchun tadqiq etilgan tenglamalarning ilmiy ahamiyati birinchidan uch qatlamli qovushoq- elastik plastinkaning xususiyatlari hisobga olinganligi va ikkinchidan masalani yechish uchun yangi usullarning qo’llanilishi bilan xarakterlanadi. 3
I-BOB. PLASTINKALARNI HISOBLASH NAZARIYALARI 1.1. Plastinkalar tebranishlari to’g’risida o’tkazilgan tadqiqotlar sharhi Qurilish va texnikaning juda ko’p sohalarida, xususan fuqaro qurilishi, mashinalar yasash va boshqa sohalarda muhandislik konstruksiyalarining mustahkamligini oshirish, metall sarfini va quvvat birligiga to’g’ri keluvchi sarf- xarajatlarni kamaytirish muhim ahamiyatga ega. Bunday masalalarni yechish uchun mustahkamlik muammolari bo’yicha nazariy va eksperimental tadqiqotlarni kengaytirish, muhandislar tayyorlashni amalga oshirish va ushbu yo’nalishda tayyorlanayotgan ilmiy va pedagok xodimlar bilimlarini yanada chuqurlashtirish talab etiladi. Mexanikaning muvozanat holatidagi yoki harakatdagi qattiq jismning tashqi fizik ta’sirlar natijasida deformatsiyalanishi va bunda vujudga keladigan ichki kuchlarni (kuchlanishlarni) o’rganadigan bo’limi elastiklik nazariyasi deb ataladi. Plastinka va qobiqlar nazariyasi fani elastiklik nazariyasining tadbiqiy masalalari hisoblanadi. Xuddi shunday masala “Materiallar qarshiligi” kursida ham yechiladi. Lekin ushbu umumiy masalani yechish metodlari “Materiallar qarshiligi” va “Elastiklik nazariyasi” kurslarida bir-birlaridan juda keskin ravishda farq qiladi. Materiallar qarshiligi kursida ushbu masala asosan brus uchun qator geometrik va fizik xarakterdagi, gipoteza va farazlar asosida yechiladi. Ushbu usul hamma hollarda aniq bo’lmasa ham, kuchlanishlarni hisoblash uchun yetarli darajadagi sodda formulalarni chiqarishga imkon beradi. Elastiklik nazariyasi esa isbotlanmagan gipoteza va farazlardan foydalanmasdan faqat jismning kuchlanganlik-deformatsialanganlik holatini (KDH) aniqlash masalasi bilan shug’ullanadi. Elastiklik nazariyasida jismning shakliga chegaralanishlar qo’yilmaydi, ya’ni ixtiyoriy shaklga ega bo’lgan jism uchun asosiy masalaning (KDH ni aniqlash) mumkin bo’lgan aniq yechimini olishga imkoniyat yaratiladi. 4
Ushbu qisqa tavsifdan elastiklik nazariyasida materillar qarshiligi metodlari bilan yechib bo’lmaydigan masalalar qaralishini ko’rish qiyin emas. Ammo bundan elastiklik nazariyasida hech qanday gipoteza va farazlar qo’llanilmaydi degan xulosa kelib chiqmasligi kerak. Elastiklik nazariyasida qo’llaniladigan gipoteza va farazlar ko’lamlarining kengligi bilan farq qiladi, hamda hisoblash metodlarini ishlab chiqishda materiallar qarshiligi kursidagiga nisbatan ancha aniq matematik apparatdan foydalaniladi. Plastinka va qobiqlar nazariyasida taqribiy metodlardan ham foydalaniladi. Ana shunga bog’liq ravishda elastiklik, matematik va amaliy nazariyalarini farqlaydilar. Elastiklik amaliy nazariyasi qator qo’shimcha farazlarga asoslanadi. Elastiklik matematik nazariyasi ham qo’shimcha gipotezalarni qabul qilmagani bilan, o’rganilayotgan obyektni u yoki bu darajada abstraktlashtirmasdan iloji yo’q. Tabiatda mavjud, real qattiq jismlar shunday bir model sifatida qaraladiki, bu model qaralayotgan qattiq jismning ma’lum bir sharoitlar uchungina xarakterli bo’lgan asosiy va umumiy xossalarinigina o’zida mujassamlashtirgan bo’ladi. Qattiq jismning qabul qilingan modelining xususiyatlaridan bog’liq ravishda elastiklik nazariyasi uchga bo’linadi: klassik, chiziqli va chiziqlimas nazariyalar. Elastiklik klassik nazariyasi modeli: 1) tutashlik; 2) ideal-elastiklik; 3) kuchlanishlar va deformasiyalar orasidagi bog’lanishning chiziqliligi; 4) yetarli darajada bikrlik (ko’chishlarning kichikligi); 5) bir jinslilik; 6) izotropik xususiyatlariga ega bo’lgan qattiq jismning KDH ga tekshiradi. Elastiklik chiziqli nazariyasi klassik nazariyaga nisbatan kengroq bo’lib, modeli yuqoridagi xususiyatlardan faqat birinchi to’rttasiga ega bo’lgan qattiq jismlarning KDH ni tekshiradi. Chiziqlimas nazariya uchun esa yuqoridagi xususiyatlardan faqat birinchi ikkitasi muhimdir. Umuman elastiklik nazariyasini o’rganish tarixiy nuqtai nazardan birlamchi va mukammal ishlangan chiziqli nazariyadan boshlanishi kerak. Shuning uchun ham ushbu darslik elastiklik chiziqli nazariyasi asoslarini bayon qilishga bag’ishlangan. Elastiklik nazariyasining rivojlanishida boshlang’ich nuqta sifatida XVII asr boshida G.Galiley tomonidan 5