SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI
![SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI
PLASTINKANING ANTISIMMETRIK
TEBRANISHLARI
MUNDARIJA
KIRISH ………………………………………………… ……………… … .. .
3
I-BOB. CHETLARI SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI
PLASTINKA UCHUN ASOSIY MUNOSABATLAR VA
TENGLAMALAR.......................................................................
8
1.1- §. Qatlamli plastinkalarni hisoblashni statik va dinamik
nazariyalari va usullari rivoji …………...............................
…….
8
1.2- §. Ikki qatlamli chetlari sharnirli tayangan elastik plastinkaning
antisimmetrik tebranishlari masalasining umumiy qo’yilishi . .
… . 19
1.3 - § . Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning
antisimmetrik tebranishlari masalasi yechimi............................. 24
II-BOB. SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK
PLASTINKANING NOSTATSIONAR ANTISIMMETRIK
TEBRANISHLARI ……………………….…..………………..
32
2.1- §. Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning
antisimmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalari .. ………….... 38
2.2- §. Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka tebranish
tenglamalarining ba’zi xususiy hollari ………………………… 57
2.3- §. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning
kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlash …………..…
57
III - BOB . SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKA-
NING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY
MASALALARI...........................................................................
63
3.1- §
Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
tebranishlarida chegaraviy va tutashlik shartlari..........................
63
3.2- § Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
garmonik tebranishlari ................................................................ 63
3.3 - § Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
tebranishlarining chastotaviy tahlili............................................. 63
ASOSIY XULOSALAR…...……………………………………….……….... 63
3](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_1.png)
![FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI ……...……..………..... 63
4](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_2.png)
![KIRISH
Mavzuning dolzarbligi. Dunyoda qatlamli konstruksiyalar dinamikasini
o‘rganish texnika va qurilishning turli sohalari g a, xususan, ularning dinamik
deformatsiyasini o’rganishda, tajribaga yaqin yangi modellarini ishlab chiqishda,
samarali matematik va raqamli texnologiyalardan foydalanish katta amaliy
ahamiyatga ega. So'nggi yillarda rivojlangan mamlakatlarda muhandislik
inshootlarining mustahkamligini oshirish uchun turli qatlamli konstruktsiyalar
qo'llaniladi va ularni hisoblash uchun klassik bo'lmagan modellar qo'llaniladi.
Binobarin, zamon talablaridan kelib chiqib, sanoat va qurilishda
konstruksiyalarning og‘irlik va o‘lchov ko‘rsatkichlarini kamaytirish orqali
iqtisodiy samara olish, inshootlarning yuqori mustahkamligini ta’minlash muhim
ahamiyatga ega.
Dunyoda ko'p qatlamli strukturaviy elementlarning, xususan, turli xil dinamik
yuklarning ta'siri ostida bo'lgan i kki qatlamli chetlari sharnirli tayangan elastik
plastinkaning statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari ni o'rganishga
qaratilgan tadqiqot ishlari olib borilmoqda. Bunday strukturaviy elementlarning
dinamik barqarorligi va mustahkamligi bilan bog'liq bo'lgan turli muhandislik
inshootlarida, xususan, deformatsiyalanadigan ikki qatlamli chetlari sharnirli
tayangan elastik plastinkaning statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida
plastinkaga zarba, impuls va portlovchi yuklarning ta'siri muammolarida
qo'llaniladi. Aerokosmik, yer osti va suv osti muhandislik inshootlarida bunday
elementlarning statsionar bo'lmagan tebranishlari jarayonlarining matematik
modellarini qurish, shuningdek ularni raqamli o'rganish deformatsiyalanadigan
qattiq jismning mexanikasi sohasida dolzarbdir.
Muhim vazifalardan biri qurilmalarning, jumladan, ikki qatlamli elastik
plastinalardan foydalanadigan qurilmalarning yuk ko'tarish qobiliyatini amalga
oshirish uchun qurilma elementlarining deformatsiyalanish jarayonlarini aks
ettiruvchi istiqbolli matematik modellarni ishlab chiqishdir.
Dissert at siy a ishida t adqiqot ob’ek t i v a predmet i. Tadqiqot
ob'ekti zamonaviy muhandislik va qurilishda keng qo'llaniladigan
5](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_3.png)
![chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka dir va tadqiqot predmeti
turli o'zgaruvchan yuklar ostidagi ikki qatlamli elastik plastinkalarning
dinamik harakatlarini o'rganishdir. Tebranishlar bo’ylama xarakterga
ega bo'lganda, bunday elementlarda yuzaga keladigan bo'ylama
deformatsiya to'lqinlarining o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olgan
holda tarqalishini raqamli tahlil qilishdan iborat. Tebranish
tenglamalarini tuzish, xususiy chastotalarni topish, xususiy
amplitudalarni aniqlash va topish masalalarini hal qilish uchun
qurilmaning yuqoridagi elementlarining plastinka, sterjen va qobiq
yoki silindrsimon qobiqdagi chiziqli bo'ylama deformatsiya
to'lqinlarining tarqalishini raqamli tahlil qilish hamda chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinkaning ansimmetrik tebranishlariga
topilgan fizik-mexanik xususiyatlarini qo'llashdir.
Ishning maqsad va vazifalari chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinkaning statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari dinamik hisоbining,
tashqi dinamik yuklar ta’sirini hisоbga оluvchi matеmatik mоdеlini ishlab chiqish;
plastinka ixtiyoriy ko’ndalang kеsimi nuqtalarining kuchlangan-
dеfоrmatsiyalangan hоlatini aniqlash algоritmini yaratish; ishlab chiqilgan usulni
bir qatlamli plastinkalarni hisоblash hоlatlariga qo’llashdan ibоrat.
ikki qatlamli elastik plastinkaning nоstatsiоnar ko’ndalang tеbranishlari
dinamik hisоbining, tashqi dinamik yuklar ta’sirini hisоbga оluvshi matеmatik
mоdеlini ishlab chiqish;
ikki qatlamli plastinka ixtiyoriy ko’ndalang kеsimi nuqtalarining kuchlangan-
dеfоrmatsiyalangan hоlatini aniqlash algоritmini yaratish;
dinamik yuklanishlar ta’siri оstidagi ikki qatlamli plastinka tеbranishlari
uchun yangi amaliy masalalar qo’yish va mоs hisоb usulini ishlab chiqish. Har xil
chеgaraviy shartlarda ikki qatlamli plastinkaning garmоnik tеbranishlari va
6](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_4.png)
![dinamik yuklar tasiridagi majburiy tеbranishlari haqidagi xususiy masalalarni
yеshish usullarini yaratish;
ikki qatlamli plastinka qatlamlari gеоmеtrik va fizik-mеxanik
haraktеristikalarining ko’ndalang kеsim ixtiyoriy nuqtasidagi
kuchlanish tеnzоri va ko’shish vеktоri kоmpоnеntalarining kооrdinata
va vaqtdan bоg’lanish qоnuniyatlariga ta’sirini tadqiq qilish;
Tadqiqot ning ilmiy y angiligi quyidagilardan iborat:
• chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarini tashqi dinamik yuklanishlar ta'sirini
hisobga olgan holda hisoblashning matematik modelini kletirib chiqarish;
• chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida plastinka ko’ndalang kesimining ixtiyoriy
nuqtalarining kuchlangan-deformatsiyalangan holatini fazoviy koordinatalar va
vaqt bo‘yicha kerakli aniqlikda hisoblashning samarali algoritmi yaratilgan;
• chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning dinamik
yuklanishlar ta’sirida statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarining yangi
amaliy masalalari va turli dinamik yuklar ta’sirida ikki qatlamli plastinkaning
garmonik tebranishlari va majburiy tebranishlarining alohida masalalarini yechish
usullari olingan;
• chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning geometrik va fizik-
mexanik xarakteristikalarining o’zgarishi tufayli plastinka qatlamlarining
kuchlanish tenzori komponentlari ko’ndalang kesimning istalgan nuqtasida
ko’chish vektorining koordinata va vaqtga bog‘liqlik qonunlariga ta’siri bir qator
amaliy ishlar misolida o‘rganildi;
Tadqiqot ning asosiy masalalari v a v azifalari. Maskur magistrlik
dissertatsiya ishida tadqiqotning asosiy vazifalari va masalalari tashqi
dinamik yuklanishlarning ta’sirini hisobga olgan holda chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinkaning impulsli yuklanish ta’sirida
7](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_5.png)
![deformatsiyalanishi matematik modelini ishlab chiqishdan iborat.
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlarida plastinka ko'ndalang kesimi ixtiyoriy
nuqtalarining kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik holatini aniqlash
algoritmini ishlab chiqish, chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka ning dinamik yuklanishlar ta'sirida tebranishlari haqida yangi
amaliy masalalarni qo'yish va mos keladigan hisoblash usuli ishlab
chiqish. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka ning garmonik
tebranishlari va turli chegaraviy shartlarda dinamik yuklanishlar
ta'sirida majburiy tebranishlarning alohida muammolarini hal qilish
usullarini ishlab chiqish, chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkani
qatlamlarining geometrik va fizik-mexanik xarakteristikalari kuchlanish
tenzorining tarkibiy qismlarining koordinata va vaqtga bog'liqligi
qonunlariga va kesimning istalgan nuqtasida siljish vektoriga ta'sirini
o'rganish.
Tadqiqot mav zusi boʼy icha adabiy ot lar sharhi. Ko’p qatlamli
plastinka va qоbiqlar fan va tеxnikaning turli sоhalarida qo’llaniladi. Umumiy
hоlda plastinka qatlamlari qalinliklari har xil, matеriallari ham har xil bo’lishi, yoki
bo’lmasligi ham mumkin. Agar plastinkaning qatlamlari qalinliklari bir xil bo’lsa,
bunday ikki qatlamli plastinka simmеtrik strukturali, aks hоlda nоsimmеtrik
strukturali plastinka dеyiladi. Ikki qatlamli va ko’p qatlamli kоnstruktiv
elеmеntlardan fоydalanish bilan birga ularni hisоblash nazariyalari ham paydо
bo’la bоshladi va bu jarayon hоzirgi kunga qadar davоm etmоqda va bu ishga
S.A.Ambartsumyan, S.P.Timоshеnka, E.Reissner , R.D.Mindlin, Z.G.Ren,
S.G.Lеxnitskiy, S.A. Ambarsumyan, E.Reissner, I.G Filippоv kabi chet el olimlari
bilan birga R.I.Xalmuradov, X.X.Xudoynazarov, A.B.Axmedov,
8](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_6.png)
![R.Abdukarimov kabi o’zbеk оlimlari ham o’zlarining salmоqli xissalarini
qo’shmоqdalar. Qatlamli plastinkalar hisоbi uchun
aniqlashtirilgan nazariyalarini yaratish boʻyicha tadqiqotlar
Timoshenko va Reyssner tipidagi nazariya hamda aniq yechimlaridan
foydalanishga asoslangan elastiklik nazariyasi uch o lchovli masalalari kabiʻ
yoʻnalishga bo’linadi. Ikkinchi usulning turli variantlari G.I.Petrashen va
I.G.Filippovlar, hamda ularning oʻquvchilari tomonidan taklif etilgan.
Qatlamli plastinkalar uchun chegaraviy shartlar plastinka oʻrta sirti
nuqtalari koʻchishlarining bosh qismlariga nisbatan shakllantirilgan.
Aytish mumkinki bayon qilingan fikrlardan kelib chiqqan holda
bugungi kunda elastik-qovushoqlik xossalari hisobga olingan va turli
tashqi dinamik yuklanishlar taʼsiri ostidagi qatlamli elementlarning,
xususan, ikki qatlamli plastinkalarning nostatsionar tebranishlari
nazariyasi, tebranish va ustuvorlik masalalarini yechish usullarini ishlab
chiqishdagi muammolar yetarli darajada oʻrganilmagan.
Tadqiqot da qoʼllanilgan met odik aning t av sifi . Asosiy tadqiqot
usuli sifatida G.I.Petrashen – I.G.Filippovning tadqiqot jarayonida
aksioma va gipotezalarni foydalanmasdan tenglamalarni chiqarish
metodi, Fur’e va Laplasning integral almashtirish metodlari,
shuningdek tadqiqotchilar tomonidan qayta-qayta sinovdan o'tgan
boshqa analitik va tadribiy hisoblsh usullaridan foydalanilgan.
Tadqiqot nat ijalarining nazariy v a amaliy ahamiy at i. Tadqiqot
natijalarining ilmiy ahamiyati chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinkaning ansimmetrik tebranishlari tenglamalarni tuzish usulini ishlab
chiqish va takomillashtirish; bu impulsiv yuklanishlar taʼsirida ikki
qatlamli elastik plastinkalarning statsionar bo’lmagan antisimmetrik
9](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_7.png)
![tebranishlariga oid yangi amaliy masalalarni yechish va ishlab
chiqilgan usullarni chetlari sharnirli tayangan qatlamli plastinka va
xususan ikki va bir jinsli bir qatlamli plastinkalar uchun umumlashtirish
imkoniyati bilan izohlanadi.
Tadqiqot natijalarining amaliy ahamiyati chetlari sharnirli tayangan
ikki qatlamli plastinkaning ansimmetrik tebranishlari KDH parametrlarini
aniqlash amaliy masalalarini yechish uchun analitik-sonli algoritmlar
yaratish; olingan natijalar umumiy harakterga yega boʻlib ularni
matematik fizikaning shu turdagi masalalari uchun umumlashtirish;
xususiy hollarga, masalan bir qatlamli va bir jinsli plastinkalarning turli
xususiyatlarini etiborga olgan holda qoʻllash mumkinligi bilan
izohlanadi.
Dissert at siy a ishining t uzilishi. Magistrlik dissertatsiya ishi kirish,
uchta bob, xulosa hamda foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat
bo’lib 74 kompyuter sahifasida bayon qilingan.
10](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_8.png)
![I- BOB
CHETLARI SHERNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKA
UCHUN ASOSIY MUNOSABATLAR VA TENGLAMALAR
1.1 -§. Qatlamli plastinkalarni hisoblashni statik va dinamik nazariyalari va
usullari rivoji
Ko p qatlamli plastinkalar ko’p yillardan beri qurilish va texnikaning turliʼ
sohalarida qo llaniladi [1]. Ko p qatlamli plastinka, xususan, ikki qatlamli
ʼ ʼ
plastinkaning monostrukturalardan asosiy farqi, ularning plastinka qalinligi
bo yicha bir jinslimasligida bo lib, bu pirovard plastinkalarning qalinligi bo yicha
ʼ ʼ ʼ
bir xil bo lmagan fizik-mexanik xususiyatlarining yuzaga chiqishiga olib keladi.
ʼ
Mana shu sabablarga ko ra ko p xollarda, ikki qatlamli plastinkalarni nisbatan
ʼ ʼ
yupqa kesimlarga ega bo lgan qatlamli kompozit elementlar sirasiga kiritadilar [2].
ʼ
Qatlamli konstruktsiyalardan fan, texnika va qurilish sohalarida tobora
ko proq foydalanish nazariyotchi va amaliyotchi muhandislar oldiga qatlamli
ʼ
konstruktiv elementlarni tadqiq qilish va hisoblashning samarali usullarini ishlab
chiqish vazifasini qo yadi. Chunki qatlamli konstruktsiyalarning turli xil statik va
ʼ
dinamik kuchlar ta siri ostidagi kuchlanish-deformatsiyalanish holatini oldindan
ʼ
bilishga bo lgan ehtiyoj mavjud [3]. Shuning uchun qatlamli konstruktiv
ʼ
elementlardan foydalanish bilan bir qatorda, ularni hisoblash nazariyalari ham
paydo bo la boshladi va bu jarayon hozirgi kunga qadar davom etmoqda [4-6] va
ʼ
bu ishga o zbek olimlari ham o zlarining salmoqli xissalarini qo shmoqdalar [7-
ʼ ʼ ʼ
12].
Ko p qatlamli plastinkalarni hisoblashda birinchi nazariyani S.G.Lexniskiy
ʼ
[13] yaratgan va undan keyin S.A.Ambarsumyan ya ngi nazariya yaratdi. Bu
ʼ
nazariya plastinkalar tebranishlari uchun aniqlashtirilgan S.P.Timoshenka
nazariyasiga o xshash. Konstruktiv elementlar plastinka qobiqlarda ko ndalang
ʼ ʼ
siljish deformatsiyasini E. Reissner [14], aylanish ineriyasini R.D. Mindlin [15] lar
birinchi marta hisobga olganliklari uchun S.A.Ambartsumyan nazariyasini
ularning umumlashmasi deb qarash mumkin.
11](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_9.png)
![Ko p qatlamli kompozitlarning anizotropik tabiati xususiy hosilali differensialʼ
tenglamalar sistemasiga olib keladi [16]. Ko p qatlamli va bir jinsli plastinkalar
ʼ
nazariyasi uchun bunday tenglamalarni tuzish usullarini tasniflash tenglamalarni
keltirib chiqarishda ma lum farazlardan foydalanish asosida amalga oshirilishi
ʼ
mumkin [17-19]. Ma lumki, [20], [21-23], yechuvchi tenglamalarni keltirib
ʼ
chiqarish bir qatlamli (bir jinsli) plastinkalar uchun yechuvchi tenglamalarni
keltirib chiqarishga o xshash va quyidagilarga asoslanadi:
ʼ
– kuchlanganlik holatini soddalashtiradigan gipotezalar [3];
– natijalarni ketma-ket ravishda kengaytirish, masalan qatlamlar jamlanmasi
o rta tekisligiga perpendekulyar koordinata bo yicha;
ʼ ʼ
– asimptotik integrallash [24,25].
Bu yerda birinchi variant hammaga ma lum va Kirxgoff, Lyav, Reyssner
ʼ
kabi olimlarning nomlari bilan bog liq. Ikkinchi variant, yuqorida aytib
ʼ
o tilganidek, S.A.Ambarsumyan tomonidan taklif qilingan. Uchinchi variantga
ʼ
kelsak, masalan, [25] da taklif qilingan asimptotik integrallash matematik jihatdan
nazariyaning (kinematik, dinamik) barcha elementlari bo yicha yechimning bir xil
ʼ
yaqinlashishiga olib keladi, chunki har doim bir xil tartibdagi hadlar hisobga
olinadi V.P.Shevchenko va uning o quvchilari [26,27] tomonidan uch
ʼ
qatlamli plastinkaning elastik muvozanat va harakat tenglamalarining bir jinsli
yechimlari asosida tadqiqotlar o tkazilgan. Bitta elastik simmetriya tekisligiga ega
ʼ
anizotrop plastinkalar uchun birjinsli yechimlar qurish va qo llash uslubiga [26] ish
ʼ
bag ishlangan. Aylanma bo shliqli cheksiz plastinka uchun sonli natijalar olingan
ʼ ʼ
bo lib, uning yon yuzasiga oldindan berilgan intensivlik bilan normal bosim
ʼ
yuklanadi.
Yu.I.Dimitriyenko va uning o quvchilari ishlarida ko p qatlamli yupqa
ʼ ʼ
plastinkalarning asimptotik nazariyasi [28] va ko p qatlamli yupqa plastinkalarning
ʼ
temperaturaning o zgarishini hisobga oluvchi oquvchanlik (polzuchest) asimptotik
ʼ
nazariyasi [29] taklif qilingan. Ye.I.Starovoytov va D.V. Leonenko [30] ning
maqolasi elastik asosga mahkamlangan elastik doiraviy uch qatlamli plastinkaning
12](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_10.png)
![parabolik yuklamalar ta sirida o qqasimmetrik majburiy tebranishlarini tadqiqʼ ʼ
qilishga bag ishlangan.
ʼ
Professorlar O.A.Egorichev va O.O.Egorichevning ilmiy ishlarida [31]
professor I.G.Filippov [32] tomonidan plastinkalar uchun ishlab chiqilgan usul
bo yicha elastik va qovushoq-elastik bir jinsli va uch qatlamli plstinkalarning
ʼ
nostatsionar tebranishlari o rganilgan. [31] monografiyada silliq elementlar
ʼ
tebranishlarining chegaraviy masalalari tuzilgan va ularni yechish usullari
keltirilgan. Uzluksiz muhitlarni uch o lchovli deb qarash asosida o zgarmas
ʼ ʼ
qalinlikdagi chegaralangan, bir jinsli, izotropik plastinkalarning bo ylama va
ʼ
ko ndalang tebranishlarining umumiy va ularga asoslangan taqribiy tenglamalari
ʼ
olingan. Bunday holda, taqribiy tenglamalarni qo llash chegaralaridan
ʼ
foydalaniladi. Shuningdek, uch qatlamli plastinkaning tebranish tenglamalari,
oldindan kuchlangan plastikalar va o zgaruvchan qalinlikdagi plastinka
ʼ
tenglamalari ham berilgan.
Ish shuningdek, qatlamli elastik va qovushoq-elastik plastinkalar va yotiq
sharsimon va silindrik qobiqlarning nostatsionar tebranishlariga bag ishlangan. Bu
ʼ
yerda mualliflarning avvalgi ishlarining ba zi natijalari sharsimon va silindrsimon
ʼ
qobiq hollarida umumlashtirilgan. Ushbu monografiyada uch qatlamli
plastinkalarning tebranish tenglamalariga qo shimcha ravishda doimiy qalinlikdagi
ʼ
sharsimon qobiq tebranish tenglamalari, shuningdek cheksiz uzunlikdagi
silindrsimon qobiqning bo ylama tebranishlari keltirilgan.
ʼ
A.V. Bogdanov va O.I. Poddayeva [33] maqolasi to g ri burchakli uch
ʼ ʼ
qatlamli plastinkaning xususiy (xos) tebranishlarining chastota tenglamalarini
ikkita hol bo yicha hosil qilishga bag ishlangan. Ikkala holatda ham, plastinkaning
ʼ ʼ
ikkita qarama-qarshi tomoni sharnirli mustahkamlangan, boshqa ikki tomoni, bir
holatda, bikr mustahkamlangan, ikkinchi holda esa, mahkamlanmagan. Birinchi
holda, plastinkaning ikkita qarama-qarshi tomonini bikr mahkamlash holati ko rib
ʼ
chiqilganda, o ninchi tartibli chastota tenglamasi olingan va boshqa holatda,
ʼ
plastinkaning tomonlari erkin (mustahkamlanmagan) holati ko rib chiqilganda,
ʼ
sakkizinchi tartibli chastota tenglamasi olingan.
13](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_11.png)
![Boshqa bir qator o zbek olimlarining asarlarida materialning qovushoq-elastikʼ
[34,35] va ortotrop [36] xususiyatlarini hisobga olgan holda plastinkalarning,
xususan, uch qatlamli plastinkalarning tebranishi va turg unligi muammolari,
ʼ
shuningdek, qatlamlararo aloqa yuzalaridagi kuchlanishlarni aniqlash masalalari
[37] o rganilgan.
ʼ
[7,8,38] ishlar uch o lchovli jism hisoblanadigan to ldiruvchi qatlam
ʼ ʼ
materialining ko ndalang siqiluvchanligi hisobga olgan holda uch qatlamli
ʼ
plastinkalarning egilish va tebranish masalalarini yyechishga bag ishlangan.
ʼ
To ldiruvchi qatlam uchun ikki o lchovli tenglamalarni qurishda nafaqat kuchlar
ʼ ʼ
va kuch momentlari, shuningdek kuchlangan-deformatsiyalangan holatning
fazoviyligi natijasida paydo bo ladigan bimomentlar ham hisobga olingan. Bundan
ʼ
tashqari, o zgaruvchan xarakterdagi turli dinamik yuklanishlar ta siridagi
ʼ ʼ
plastinkalarning lat yeganligini hisobga olgan masalalar ham yechilgan [89].
Bajarilgan qisqacha sharhdan xulosa qilib aytish mumkinki, ikki va uch
qatlamli plitalarning elastik muvozanati va dinamik holatini o rganish uchun u
ʼ
yoki bu approksimatsiya modellaridan foydalaniladi, ular ham o z navbatida
ʼ
ma lum bir gipotezalar hamda mexanik va fizik xarakterdagi shartlariga
ʼ
asoslanadi. Kiritilgan gipoteza va mulohazalar, xususan u yoki bu taqribiy
tenglamalarni, umuman olganda taqribiy nazariyalar keltirib chiqarishga olib keldi,
ular bir-biridan yoki yechuvchi tenglamalari turi bilan, yoki ularning tuzilishidagi
ayrim hosilalarning koeffitsientlari bilan ajralib turadi.
Shu bilan birga, gipoteza va shartlarni kiritish bilan olingan nazariyalar,
qaralayotgan sistema ixtiyoriy kesimi nuqtalarida kuchlanish tenzori va ko chish
ʼ
vektorining barcha tarkibiy qismlarini (komponentlarini) topishga imkon
bermaydi. Shu sababli, ikki, uch va ko p qatlamli plastinkalarning dinamik
ʼ
o zgarishlarini tadqiq qilish uchun nazariya va usullarni ishlab chiqish, shu
ʼ
jumladan, bunday plastinkalarning, ular materialining qovushoq-elastik,
anizotropik, harorat va boshqa xususiyatlarini hisobga olgan holda, tebranish
nazariyalarini qurish, deformatsiyalanadigan qattiq jismlar mexanikasini
rivojlanishining hozirgi bosqichida dolzarb muammodir.
14](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_12.png)
![1.2-§. Ikki qatlamli chetlari sharnirli tayangan elastik plastinkaning
antisimmetrik tebranishlari masalasining umumiy qo’yilishi
Uch o lchovli fazoda chetlari sharnirli tayangan o lchamlari cheksiz bo lganʼ ʼ ʼ
ikki qatlamli elastik plastinkani qaraymiz. Ushbu chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinka uch o lchamli elastik jism hisoblanadi. Ushbu holda, chetlari
ʼ
sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka qatlamlari bir xil strukturali yoki turli xil
strukturali materiallardan tashkil topgan, kuchlanishlar va deformatsiyalar orasida
bog lanishlar geometrik va fizik chiziqli deb hisoblanadi.
ʼ
Ushbu ikki qatlamli elastik plastinkaning chetlari sharnirli tayangan, pastki va
yuqori qatlamlari turli xil qalinlikda (1.1-rasm), qatlamlar orasidagi bo linish
ʼ
chegaralari tekis va u yoki bu kontaktli o zaro ta sir shartlarini qanoatlantiradilar
ʼ ʼ
deb hisoblaymiz [41].
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo’lmagan
nosimmetrik tebranishlar sharoitida ishlashi nuqtai nazaridan ratsional
konstruktsiyasi bikr qatlam ko rinishida bo ladi.
ʼ ʼ
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaga
Oxyz to g ri ʼ ʼ
burchakli dekart koordinatalar sistemasini joylashtiramiz (1.1-rasm). Bunda Ox
va
Oy
o qlarini ko ndalang kesimlar bilan o zaro ʼ ʼ ʼ
perpendekulyar o rta sirt tekisligining yon sirt
ʼ
chiziqlari bo ylab yo nalga,
ʼ ʼ Oz – o qi esa ʼ
yuqoriga [42]. Plastinka qatlamlarini xuddi 1.1-
rasmdagidek raqamlab chiqamiz, ya ni yuqori
ʼ
qatlamni birinchi qatlam deb, quyi qatlamni –
ikkinchi qatlam deb nomlaymiz.
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka qatlamlari qalinliklarini
mos ravishda
h1 va h2 orqali; qatlam materiallari elastiklik doimiylari, ya ni Lame ʼ
koeffitsiyentlarini -
λ1 , λ
2 va μ
1 , μ
2 lar orqali ; qatlamlar materiallarining zichliklarini
-
ρm lar orqali belgilaymiz. Shuningdek qatlamlar ( m = 1,2 )
nuqtalarining koordinat1 .1-rasm
15](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_13.png)
![o’qlari bo’ylab ko’chishlarini U m(x,y,z,t) , Vm(x,y,z,t) , W m(x,y,z,t)
lar orqali
belgilaymiz. Shu yerda va bundan keyingi hamma joyda
m indeks doimo 1,2
qiymatlarni qabul qiladi. Bu ko’chishlar elastiklik chiziqli nazariyasida kichik
ko’chishlar deb hisoblanadi. Qatlamlar nuqtalarining kuchlanishlar va
deformatsiyalar tenzorlari komponentalari uchun quyidagi hamma joyda qabul
qilingan belgilashlarni ishlatamiz:
τ
xy
( m)
, τ
yz ( m)
, τ
zx ( m)
– urinma va σ
xx ( m)
, σ
xz ( m)
, σ
zz ( m)
– normal kuchlanishlar;
εxx(m)
, ε
yy ( m)
, εzz(m) – normal deformatsiya lar , γxy(m) , γ
yz ( m)
, γzx(m) – burchak deformatsiya lar va
ε(m)= εxx
(m)+εyy
(m)+εzz
(m)
– hajmiy deformatsiya.
Plastinka qatlamlari nuqtalarida σ
ii
( m)
, τ
ij ( m)
( i , j = 1,2,3 )
kuchlanishlarning ε
ii ( m)
, γ
ij ( m)
(i,j=1,2,3 )
deformatsiyalardan bog’liqligi quyidagi Guk qonuni ko’rinishida
ifodalanadi
σ
ij
( m)
= λ ε
ii ( m)
δ
ij + 2 μ ε
ij ; ( i , j = 1,2,3 ; i ≠ j )
ε
ii
( m)
= ε
11 ( m)
+ ε
22 ( m)
+ ε
33 ( m)
. ( 1.2 )
Plastinka qatlamlari nuqtalarining
O x1x2x3 dekart koordinatalaridagi harakat
tenglamalari [43].
σ
ij , j
(m)
= ρ
m ∂ 2 ⃗
U ( m)
∂ t 2 ,
( i , j = 1,2,3 ) . ( 1.3 )
bu yerda σ
ij
( m)
– kuchlanish tenzori komponentalari; ρ
m – qatlamlar materiallarining
zichliklari;
⃗
U ( m)
– qatlam nuqtalarining ko’chish vektorlari; t – vaqt.
Quyidagi formulalar bo’yicha
⃗
U ( m)
= grad φ
m + rot ⃗ ψ
m ,
⃗
U ( m)
= ⃗ U ( U
m , V
m , W
m ) ,⃗ ψ
m = ⃗ ψ( ψ
1 m , ψ
2 m , ψ
3 m ) . ( 1.4 )
skalyar φ
m va vektor
⃗ ψ
m potentsiallarini kiritish bilan (1.3) munosabatlarni
yyetarlicha soddalashtirish mumkin [51]. Bunda
⃗ψm vektor potentsiallari vektor
maydonlarining solenoidallik shartlarini qanoatlantiradilar
div { ⃗ψm=0¿
; (1.5)
Endi
⃗
U ( m)
ko’chish vektorlarining (1.4) ifodalarini (1.3) harakat tenglamalari
sistemasiga qo’yib, plastinkaning elastik qatlamlari nuqtalarining harakat
16](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_14.png)
![tenglamalarini bo’ylama φm va ko’ndalang ⃗ψm to’lqin potentsiallari orqali ifodalash
qiyin emas
λ
m
( ∆ φ
m ) = ρ
m ∂ 2
φ
m
∂ t 2 , μ
m 1 ( ∆ ⃗ ψ
m ) = ρ
m ∂ 2 ⃗
ψ
m
∂ t 2 . ( 1.6 )
bu yerda ushbu belgilashlar kiritilgan
μ
m 1 = λ
m + μ
m
;
Δ= ∂2
∂х2+ ∂2
∂y2+ ∂2
∂z2 .
(1.4) ko’rinishida berilgan k o’chish vektorlari komponentalari
ϕm va
ψm
(k=1,2,3 ;m=0,1,2 )
potentsiallar orqali quyidagicha ifodalanadi
Um=
∂ϕm
∂x +
∂ψ3m
∂y −
∂ψ2m
∂z ,Vm=
∂ϕm
∂y +
∂ψ1m
∂z −
∂ψ3m
∂x ,
W m=
∂ϕm
∂z +
∂ψ2m
∂x −
∂ψ1m
∂y ,(m=0,1,2 ).
(1.8)
Хuddi shun day (1.5) solenoidlik shartlarini dekart koordinatalari sistemasida
vektor maydonlar uchun yozish mumkin
∂ψ1m
∂x +
∂ψ2m
∂y +
∂ψ3m
∂z =0
, ⃗ψm=ψ1m⃗i+ψ2m⃗j+ψ3m⃗k, (1.9)
Deformatsiya tenzorining barcha komponentlarini va kuchlanishlar
tenzorining barcha komponentlarini kiritilgan (1.8) formulalar yordamida
potentsial funksiyalar o rqali ifodalash mumkin [41], masalan
εxx(m)= ∂2ϕm
∂ x2 + ∂2ψ3m
∂ x∂ y− ∂2ψ 2m
∂ x∂z
, εzz(m)= ∂2ϕm
∂z2+∂2ψ2m
∂x∂z− ∂2ψ1m
∂ y∂z ,
εxz(m)= ∂2ϕm
∂x∂z+1
2[
∂2ψ2m
∂x2 − ∂2ψ2m
∂z2 +∂2ψ3m
∂y∂z− ∂2ψ1m
∂x∂y]
,
σxx(m)= Rλm (Δϕm)+2Rμm [
∂2ϕm
∂x2+∂2ψ3m
∂x∂y− ∂2ψ2m
∂x∂z]
,
σzz(m)= Rλm (Δϕm)+2Rμm [
∂2ϕm
∂z2 +∂2ψ2m
∂x∂z− ∂2ψ1m
∂y∂z]
,
τxz(m)= Rμm [2 ∂2ϕm
∂x∂z+∂2ψ2m
∂x2 − ∂2ψ2m
∂z2 +∂2ψ3m
∂y∂z− ∂2ψ1m
∂x∂y]
.
17](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_15.png)
![Plastinka vaqtning t<0 bo’lgan paytida muvozanat holatda, t=0 paytda esa
qalinlik bo’yicha koordinataning
z=±hi (i= 1,2 ) qiymatlarida, yoki uning
chegaraviy tekisliklariga dinamik kuchlar ta’sir etadi deb faraz qilinadi.
Chegaraviy shartlar boshqacha aytganda quyidagi ko’rinishda berilgan deb
hisoblanadi [10,11],
τxz
(i)(x,y,z,t)|z=±hi¿=± Fxz
(i)(x,y,t);τyz
(i)(x,y,z,t)|z=hi¿=±Fyz
(i)(x,y,t);
σzz
(i)(x,y,z,t)|z=±hi¿=±Fz(i)(x,y,t), (i=1,2 ).
(1.10)
t<0
bo’lgan paytda plastinka muvozanat holatida bo’lgan deb qabul qilingan
mulohazaga ko’ra plastinkaning barcha qatlamlari tinch holatda joylashgan deb
hisoblaymiz, bu esa
t=0 da nol boshlang’ich shartlarga teng kuchli ekanligini
bildiradi
ϕm=ψkm= ∂ϕm
∂t= ∂ψkm
∂t = 0,(m=0,1,2 ).
(1.11)
Pastki ikkinchi qatlamning yuqori qatlam bilan kontakt tekisligida chegaraviy
(1.10) shartlardan tashqari, quyidagi dinamik va kinematik kontakt shartlar o’rinli
[10] :
Yuqori va quyi qatlamlar o’rtasidagi kontakt tekislikda:
σzz
(1)(x,y,t)= σzz
(2)(x,y,t);τxz
(1)(x,y,t)= τxz
(2)(x,y,t);τyz
(1)(x,y,t)= τyz
(2)(x,y,t);
U 1(x,y,t)= U 2(x,y,t);V 1(x,y,t)= V 2(x,y,t);W 1(x,y,t)= W 2(x,y,t).
(1.12)
Takidlash kerakki, (1.11) potentsiallar uchun boshlang’ich shartlar
t=0 da
U m,Vm,W m (m=0,1,2 )
ko’chishlar komponentalari uchun shakllantirilgan
boshlang’ich shartlarga teng, yani:
U m=Vm=W m= 0
;
∂U m
∂t =
∂Vm
∂t =
∂W m
∂t = 0 . (1.14)
Va nixoyat shunday qilib , chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinkaning nostatsionar statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari
haqidagi masala har bir qatlam uchun (1.10) – chegaraviy, (1.12), (1.13) –
18](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_16.png)
![kontakt, hamda (1.11) yoki (1.14) – nol boshlang’ich shartlarda (1.6)
tenglamalarni yechishga keltiriladi.
Ikki qatlamli plastinkaga qo’yilgan tashqi ta’sir funksiyalarini qo’yilgan
masalani yechish uchun quyidagi ko’rinishda tasvirlash mumkin [45,46]:[Fyz
(i)(x,y,t),Fz
(i)(x,y,t)]=∫
0
∞sin kx
−cos kx }dk ∫
0
∞cos θy
sin θy }dθ ∫
(l)
[~Fyz
(i)(k,θ,p),~Fz
(i)(k,θ,p)]eptdp
;
Fxz
(i)(x,y,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
0
∞sin θy
−cos θy }dθ ∫
(l)
~Fxz
(i)(k,θ,p)eptdp
(i=1,2 ), (1.15)
bu yerda
~Fxz
(i)(k,θ,p) , ~Fyz
(i)(k,θ,p) va ~Fz
(i)(k,θ,p) , (i=1,2 ) – Re p>0 sohada regulyar
funksiyalar.
Shuningdek, tashqi ta’sir funksiyalarining (1.15) ifodasiga muvofiq, (1.6)
integro-differentsial tenglamalarning izlanuvchi funksiyalarini ham quyidagi
ko’rinishda ifodalaymiz:
[ϕm,ψ2m,ψ3m]=∫
0
∞ cos kx
sin kx }dk ∫
0
∞ sin θy
− cos θy }dθ ∫
(l)
[~ϕm,~ψ2m,~ψ3m]eptdp ;
ψ1m(x,y,z,t)=∫
0
∞sin kx
−cos kx }dk ∫
0
∞cos θy
sin θy }dθ ∫
(l)
~ψ1m(k,θ,z,p)eptdp ;
(m=0,1,2 ) (1. 16 )
Ushbu (1.16) ifodalarni (1.6) harakat tenglamasiga qo’yib, plastinkaning har
bir qatlami uchun oddiy differentsial tenglamalar sistemasini olamiz.
d2~ϕm
dz 2 − αm2~ϕm= 0; d2~ψim
dz 2 − βm2~ψim= 0; (m= 0,1,2 ;i= 1,2,3 ),
(1.17)
bu yerda
αm2= k2+θ2+ ρm p2~μm−1; βm2= k2+θ2+ ρm p2(~λm+2~μm)
−1;
(1. 18 )
Hosil bo’lgan (1. 17 ) tenglamalar sistemasi B esselning oddiy ikkinchi tartibli
differensial tenglamalari ekanligi ko’rinib turibdiki. Masalani yechish uchun
yechimdagi ushbu yechimlar tarkibiga kiruvchi o’zgarmaslar, chegaraviy, kontakt
hamda boshlang’ich shartlardan aniqlanishi kerak [32]
19](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_17.png)
![~ϕm(k,θ,z,p)=A1
(m)(k,θ,p)ch (αmz)+A2
(m)(k,θ,p)sh(αmz);
~ψjm(k,θ,z,p)=Bj1
(m)(k,θ,p)sh (βmz)+B2
(m)(k,θ,p)ch (βmz)
; (1.19)
~ψ3m(k,θ,z,p)=B31
(m)(k,θ,p)ch (αmz)+B32
(m)(k,θ,p)sh (αmz)
;
(1.19) tengliklar (1.17) oddiy differensial tenglamalar sistemasi ning o’n ikkita
umumiy yechimlari hisoblanadi.
Ko’chish vektorining
⃗U (m),⃗V(m) va ⃗W (m) komponentlarini (1.16) kabi ifodalab,
(1.16) bilan birgalikda (1.8) munosabatlarga qo’yamiz:
~U (m)= k~ϕm−θ~ψ3m− ∂
∂z
~ψ2m;~V(m)=θ~ϕm+k~ψ3m+ ∂
∂z
~ψ1m;~W (m)= ∂
∂z
~ϕm− k~ψ2m+θ~ψ1m.
(1.20)
(1.19) umumiy yechimlarni hisobga olsak, almashtirilgan komponentalarning
(1.20) ifodasi quyidagi ko’rinishga keladi:
~U (m)= kA 1
(m)ch (αmz)+kA 2
(m)sh (αmz)−(βmB21
(m)+θ B31
(m))ch (βmz)−(βmB22
(m)+θ B32
(m))sh (βmz)
;
~V(m)=θA 1(m)ch (αmz)+θA 2(m)sh (αmz)+(βmB11(m)+kB 31(m))ch (βmz)+(βmB12(m)+kB 32(m))sh (βmz)
; (1.21)
~W (m)= αmA1
(m)sh (αmz)+αmA2
(m)ch (αmz)+(θ B11
(m)− kB 21
(m))sh (βmz)+(θ B12
(m)− kB 22
(m))ch (βmz)
Xuddi s hun ko’rinishda
~σij
(m) , (i,j= x,y,z) kuchlanishning almashtirilgan
komponentalar uchun quyidagi ifodalarni olamiz. Masalan
~σxx
(m)=(~Tm−2k2~Rμm)[A1
(m)ch (αmz)+A2
(m)sh (αmz)]+2k~Rμm[(βmB21
(m)+θ B31
(m))ch (βmz)+
+(βmB22
(m)+θ B32
(m))sh (βmz)] , (1.22)
...........................................................................................................................
bu yerda ushbu belgilash kiritilgan
~Tm= ρmp2~Rλm
~Rm
−1.
kB 11
(m)+θ B21
(m)+ βmB31
(m)= 0 ; kB 12
(m)+θ B22
(m)+ βmB32
(m)= 0 , (m = 0,1,2 ).
Kuchlanish tenzorlari va ko’chish vektorlarining barcha almashtirilgan tarkibiy
qismlari, integral almashtirilgan harakat tenglamalarining umumiy y echimlari
20](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_18.png)
![orqali ifodalab olindi. Shu sababli, yuqorida integral almashtirishlarda qo’yilgan
masalaning umumiy y echimi topilgan deb tasdiqlash mumkin. (1.19) umumiy
yechimlar hamda ko’chishlarning (1.21) va kuchlanishlarning (1.22) formulalari
keyinchalik ikki qatlamli plastinkaning tebranish tenglamalarini keltirib chiqarish
uchun qo’llaniladi.
1.3-§. Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik
tebranishlari masalasi yechimi
Ushbu bobning ikkinchi bo’limida masalaning umumiy qo’yilishi uch
o’lchovli hol uchun qo’yilgan edi. Natijalardan ko’rindiki masalaning umumiy
yechimida o’n ikki noma’lum ishtirok etadi. Agar aniq yechimlar usulidan
foydalanilsa ana shunday noma’lumlarning soniga yana o’n ikkita noma’lum,
izlanuvchi funksiyalar kiritishga to’g’ri keladi. Shu sababli noma’lum, izlanuvchi
funksiyalarning sonini kamaytirish hamda matematik muammolardan qutilish
uchun plastinkani tekis deformatsiya holatida deb hisoblaymiz. Shu sababli [45]
plastinkani tekis Oxyz to’g’ri burchakli koordinat sistemasiga joylashtiramiz (1.1-
rasm). Ox
o’qini Oxz
ko’ndalang kesimning o’rta chizig’i bo’ylab , Oz
o’qini esa
unga perpendikulyar ravishda yuqoriga yo’naltiramiz.
Plastinka qatlamlari nuqtalarining ko’chish vektorlari komponentalari ni tekis
deformatsiya holida quyidagicha tasvirlaymiz
⃗Um=Um⃗i+W m⃗k
; Um=Um(x,z,t) ; W m=W m(x,z,t) ,
bu yerda
⃗i , ⃗k – kiritilgan dekart koordinatalar sistemasi birlik vektorlari;
Um(x,z,t)
raqami m
bo’lgan qatlam nuqtalarining bo’ylama va Wm(x,z,t) ko’ndalang
ko’chishlari. Shuningdek ikkinchi bo’limda keltirilgan (1.4) formuladagi to’lqin
funksiyalarini quyidagi kabi kiritamiz:
ϕm= ϕm(x,z,t)
, ⃗ψm=ψm(x,z,t)⃗j (1.23)
bu yerda
⃗j – Oy
o’qining birlik vektori.
21](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_19.png)
![Ushbu holatda ikki qatlamli plastinka o’n ikkita izlanuvchili oddiy
differensial tenglamalari (1.6) ning soni qisqarib, ϕm(x,z,t) va ψm(x,z,t) - potentsial
funksiyalariga nisbatan ifodalangan oltita to’lqin tenglamasiga aylanadi
Rm(Δϕm)= ρm
∂2ϕm
∂t2 ; Rμm (Δψ m)= ρm
∂2ψm
∂t2 , (1.24)
bu yerda
Δ= ∂2/∂х2+∂2/∂z2 - Laplasning differentsial operatori.
Ko’chish vektori komponentalari (1.4) ko’rinishida tasvirlanganda
⃗ψm vektor
funksiyalari vektor maydonlarning solenoidallik shartini avtomatik tarzda
qanoatlantiradilar, yani
div { ⃗ψm=0¿ .
Ko’chish vektorining hamda deformatsiya va kuchlanish tenzorining
komponentalari kiritilgan (1.23) potensial funksiyalar orqali ifodala nadi . Birinchi
bobning ikkinchi paragrafi da keltirilgan kuchlanishlar deformatsiyalar va
ko’chishlarning potensial funksiyalar orqali yozilgan ifodalar i dan foydalanamiz.
Agar masalan (1.23) ifodani hisobga olsak
⃗ψm vektorlari faqat bittadan noldan
farqli komponetaga ega ekanliklari ko’rinadi. U holda (1.8) ifodalardan
U m=
∂ϕm
∂ x −
∂ψm
∂z ; W m=
∂ϕm
∂ z +
∂ψm
∂ x ,(m = 0,1,2 ).
(1.25)
Хuddi shunga o’хshash deformatsiya tenzori komponentalarini
εxx(m)= ∂2ϕm
∂ x2 − ∂2ψ m
∂ x∂ z ;
εzz
(m)= ∂2ϕm
∂ z2 +∂2ψ m
∂ x∂ z ;
εxz
(m)= 2
∂2ϕm
∂ x∂ z−
∂2ψ m
∂ z2 +
∂2ψ m
∂ x2 .
(1.26)
hamda kuchlanish tenzori komponentalarini
22](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_20.png)
![τxz(m)= μm(2∂2ϕm
∂x∂z− ∂2ψm
∂z2 +∂2ψm
∂x2 );
σxx(m)= λm(Δϕm)+2μm(
∂2ϕm
∂x2 +∂2ψm
∂x∂z);
σzz(m)= λm(Δϕm)+2μm(
∂2ϕm
∂z2 +∂2ψm
∂x∂z). (1.27)
Tashqi ta’sirlarning ko’rinishida qovushoq-elastiklik nazariyasining
chiziqliligini tasvirlash mumkin. Ko’chishlarni ham shunga mos ravishda
bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlarning qismlari yig’indisi sifatida tasvirlasa
bo’ladi [46], yani
⃗U m= ⃗U m
b+⃗U m
k . Bunda ⃗Um
b , ⃗Um
k -lar plastinka qatlamlari nuqtalari
mos ravishda ko’chishlarining bo’ylama va ko’ndalang qismlari. Bunday holda
(1.10) chegaraviy shartni
⃗Um -yig’indi maydon qanoatlantiradilar. Statsionar
bo’lmagan antisimmetrik qismlari esa shu yig’indi maydonlarning quyidagi
shartlarni qanoatlantirishlari lozim, yani bu holda (1.10) chegaraviy shartlar
quyidagi shaklni olishlari kerak
σzz
(1)(x,z,t)|z=h2+h1= fz
(1)(x,t); τxz
(1)(x,z,t)|z=h2+h1= fx
(1)(x,t);
σzz
(2)(x,z,t)|z=−h2= fz
(2)(x,t); τxz
(2)(x,z,t)|z=−h2=− fx
(2)(x,t).
(1.28)
bu yerda
fx
(1)(x,t)= fx
(2)(x,t)= 1
2(Fxz
(1)− F xz
(2)),
fz
(1)(x,t)=− fz
(2)(x,t)= 1
2(Fz
(1)− Fz
(2)).
O’rta qatlamning bundan tashqari chetki qatlamlar bilan kontakt sirtlarida
qatlamlar oralig’ida uzilishlar yo’q va qatlamlar bir-biriga nisbatan siljimaydi deb
faraz qilinadi.
z= h2 tekisliklarda quyidagi kinematik va dinamik kontakt
shartlar qanoatlantirilishi kerak
σzz
(2)
(x,z,t)|z=h2
=σzz
(1)
(x,z,t)|z=h2
+fz
(1)
;¿}¿¿¿
(1.29)
U2(x,z,t)|z=h2
=U1(x,z,t)|z=h2
;¿}¿¿¿
(1.30)
23](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_21.png)
![t=0 bo’lganda asalaning boshlang’ich sharti nolga deb hisoblanadi ya’ni
(1.24) tenglamalardagi noma’lum potentsial funksiyalar uchun boshlang’ich
shartlar quyidagicha bo’ladilar
ϕm= ψ m= 0 ,
∂ϕm
∂ t =
∂ψ m
∂ t = 0.
(1.31)
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning statsionar
bo’lmagan ko’ndalang (statsionar bo’lmagan antisimmetrik) tebranishlari haqidagi
masala ikkinchi tartibli oltita integro-differensial (1.24) tenglamalar sistemasini
o’n ikki chegaraviy (1.28), (1.29), (1.30) va boshlang’ich (1.31) shartlarda
integrallashga keltirildi.
Masalani yechish uchun (1.28) dagi
fx
(1,2 )(x,t) va fz
(1,2 )(x,t) funksiyalarning
ko’rinishlarini yoki boshqacha aytganda plastinka sirtlariga qo’yilgan tashqi ta’sir
funksiyalari uchun ifodalarni keltirish lozim. Ushbu funksiyalarni ko’rinishlarini
aniqlashda birinchi bobning ikkinchi paragrafida ularga qo’yilgan shartlarni
hisobga olgan holda bu funksiyalarni (1.15) ko’rinishida tasvirlaymiz, yani [11]
fx
(1,2 )(x,t)=∫
0
∞ cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~fx
(1,2 )(k,p)eptdp ,
fz
(1,2 )(x,t)=∫
0
∞ sin kx
− cos kx }dk ∫
(l)
~fz
(1,2 )(k,p)eptdp .
(1.32)
Yuqorida shakllantirilgan (1.24), (1.28), (1.29), (1.30) va (1.31) masalaning
yechimini ham tashqi ta’sir funksiyalarining qabul qilingan tasvirlariga mos holda
quyidagi ko’rinishda izlaymiz
ϕm=∫
0
∞ sin kx
− cos kx }dk ∫
(l)
~ϕmeptdp ;
ψm=∫
0
∞ cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~ψmeptdp , (m= 1,2 ).
(1.33)
(1.24) tenglamalar sistemasiga potentsial funksiyalarning ushbu tasvirlarini
qo’ysak, Besselning ikkinchi tartibli oddiy differensial tenglamalariga kelamiz
d2~ϕm
dz 2 − αm2~ϕm= 0;
d2~ψ m
dz 2 − βm2~ψ m= 0; (m = 1,2 ).
(1.34)
bu yerda
24](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_22.png)
![αm2= k2+ρmp2(~λm+2~μm)−1;
βm2= k2+ρmp2~μm−1. (1.35)
Chiqarilgan (1.34) Bessel tenglamalari umumiy yechimini giperbolik
trigonametrik funksiyalar kombinatsiyalari shaklida qabul qilamiz
~ϕm(z,k,p)= Am(1)(k,p)ch (αmz)+Am(2)(k,p)sh (αmz);
~ψm(z,k,p)= Bm(1)(k,p)sh (βmz)+Bm(2)(k,p)ch (βmz),(m=1,2 ).
(1.36)
Tashqi statsionar bo’lmagan antisimmetrik ta’sirlar ni plastinkaning
statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari natijasida yuzaga keladi. Shuning
uchun (1.28) ga asosan
fx
(1)(x,t)= fx
(2)(x,t), fz
(1)(x,t)=− fz
(2)(x,t). Ushbu
munosabatlar (1.36) yechimning statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarni
tavsif etishlari uchun
Am
(1)= 0, Bm
(1)= 0, (m= 1,2 ) tengliklar bajarilishini taqozo
qiladi. U holda plastinkaning ko’ndalang (statsionar bo’lmagan antisimmetrik)
tebranishlari holida (1.36) umumiy yechimlar quyidagi ko’rinishga ega bo’ladilar
~ϕm(z,k,p)= Am
(2)(k,p)sh (αmz),
~ψm(z,k,p)= Bm(2)(k,p)ch (βmz).
(1.37)
Endi (1.37) yechimlar orqali
Um va W m ko’chishlarni ifodalash uchun ularni
ham (1.33) ko’rinishida tasvirlaymiz
Um=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~Umeptdp ,
W m=∫
0
∞sin kx
−cos kx }dk ∫
(l)
~W meptdp . (1.38)
Ko’chishlarning (1.25) formulalariga ana shu (1.38) va (1.33) ifodalarni
qo’ysak ko’chishlarning almashtirilgan
~Um va
~W m tasvirlariga ega bo’lamiz
~Um=k~ϕm−∂
∂z
~ψm,
~W m=∂
∂z
~ϕm−k~ψm
(1.39)
Oхirgi (1.39) ifodalarga olingan (1.37) yechimlarni qo’yib, ba’zi sodda
matematik ammallarni bajarish natijasida quyidagi ega bo’lamiz.
25](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_23.png)
![~U m= kA m
(2)sh (αmz)− βmBm
(2)sh (βmz);
~W m= αmAm(2)ch (αmz)− kB m(2)ch (βmz),(m= 1,2 ). (1.40)
natijaga kelamiz.
26](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_24.png)
![II BOB
SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK PLASTINKA-
NING NOSTATSIONAR ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI
2.1-§. Sharnirli tayang an ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik
tebranishlari taqribiy tenglamalari
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari da oldingi bo’limda ko’chishlar uchun
keltirilgan ~Um va
~W m tasvirlar ifodalarining o’ng tomonilarini (αmz) va (βmz)
argumentlar darajalari bo’yicha darajali qatorlarga yoyamiz. Buning uchun bu
ifodalar tarkibiga kiruvchi giperbolik trigonametrik funksiyalarning darajali
qatorlarga standart yoyilmalari
sh (αz )=∑
n=0
∞ (αz )2n+1
(2n+1)!, ch (βz )= ∑
n=0
∞ (βz )2n
(2n)!
dan foydalanamiz. Aytilganlar asosida quyidagiga ega bo’lamiz
~U m= ∑
n=0
∞
[kα m2n+1⋅Am
(2)− βm2n+2Bm
(2)]z2n+1
(2n)!;
~W m= ∑
n=0
∞
[αm2n+1⋅Am
(2)− kβ m2nBm
(2)] z2n
(2n)! . (2.1)
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari tenglamalarida izlanuvchi funksiyalar
sifatida
z=0 tekislikdan
ξ= χ⋅h2, −1≤ χ≤ 1 (2.2)
formula bilan aniqlanuvchi masofada yotuvchi chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinka pastki qatlami sirtining almashtirilgan
~U2 va
~W2 ko’chishlarining
bosh qismlarini qabul qilamiz. (2.1) formulada
m = 2 bo’lsa chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami nuqtalari uchun ushbu bosh qismlarni
kiritish mumkin
~U2= ∑
n=0
∞
[kα 22n+1A2
(2)−β22n+2B2
(2)]z2n+1
(2n)!,
~W 2= ∑
n=0
∞
[α22n+1A2
(2)− kβ 22nB2
(2)] z2n
(2n)!.
27](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_25.png)
![Ushbu ifodalarning z=ξ
bo’lgandagi qiymatlarini endi chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinka pastki qatlamining
z=0 tekisligidan ξ masofada
yotuvchi tekislik nuqtalari ko’chishlarining bosh qismlarini ajratish uchun olamiz
va olingan ushbu ifodalarda quyidagicha belgilashlar kiritib
n=0
yaqinlashish bilan
chegaralanamiz
~U 2
(0)= [kα 2A2
(2)− β22B2
(2)]ξ ,
~W 2
(0)=α2A2
(2)− kB 2
(2) (2.3)
(2.3) ifodalar aynan chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka pastki
qatlami nuqtalari
~U2 va
~W2 ko’chishlari bosh qismlari orqali ifodalandi. Olingan
shu oхirgi algebraik tenglamalar sistemasini
α2A2
(2) va B2
(2) noma’lumlarga
nisbatan yechib quyidagi ifodalarga ega bo’lamiz.
α2A2(2)=
kW 2(0)− 1
ξ
~U 2(0)
β22−k2 ,
B2(2)=
β22~W 2(0)− k
ξ
~U 2(0)
β22− k2 . (2.4)
Maskur ifodalar chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi
qatlami
~U2 bo’ylama va
~W2 ko’ndalang ko’chishlarining
~U2
(0) va ~W2
(0) bosh qismlari
orqali
A2
(2) va B2
(2)
integrallash o’zgarmaslarini ifodalaydigan formuladir. Quyida
biz ushbu belgilashlarni qabul qilamiz[41]
Qm(n)= αm2n− βm2n
αm2− βm2
, qm=1− LmM m
−1 , (2.5)
bu yerda
Qm
(0)=0 , Qm
(1)=1 , Q m
(n)= αm
2+ βm
2 , m= 0,1,2 ; n=0,1,2 ,...
~U2
va
~W2 ko’chishlar uchun yozilgan yuqorida ifodalarga (2.5) ni hisobga
olgan xolda o’zgarmaslarning (2.4) qiymatlarini qo’ysak, chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami nuqtalarining ko’chishlari uchun
quyidagi ifodalarga ega bo’lamiz.
~U 2= ∑n=0
∞
[kq 2Q2(n)
(
k
ξ
~U 2(0)− β0(2)~W 2(0)
)+ β22n
ξ
~U 2(0)
]
z2n+1
(2n)!,
28](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_26.png)
![~W 2= ∑
n=0
∞
[q2Q2(n)
(
k
ξ
~U 2(0)− β22~U 2(0)
)+β22n~W 2(0)
]
z2n
(2n)!,
− h2≤ z≤ h2 (2.6)
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning integral
almashtirishlardagi ko’ndalang statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranish
tenglamalari (1.33) ning umumiy yechimlari bo’lgan (1.36) ifodalarda,
ta’kidlanganidek to’rtta noma’lum
Am
(2) va Bm
(2) ,
m=1,2 koeffitsiyentlar mavjud.
Ulardan
A2
(2) va B2
(2) larni chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi
qatlami nuqtalarining bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlari bosh qismlari tarkibiga
kiritdik va yangi funksiyalar hosil qildik. Ana shu yangidan hosil qilingan (2.3)
funksiyalarni asosiy izlanuvchi funksiyalar sifatida qabul qilamiz. Chetlari
sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka boshqa qatlami ya’ni yuqori birinchi
qatlami bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlari va kuchlanishlarini topish uchun
birinchi bobning ikkinchi paragrafida keltirilgan formulalardan ko’rinadiki dastlab
avval
A1
(2) va B1
(2) koeffitsiyentlarni topish zarur.
Eng avvalo shu sababli
A2
(2) va B2
(2) koeffitsiyentlar orqali A1
(2) va B1
(2)
koeffitsiyentlarni ifodalashimiz va (1.30) kontakt shartlardan foydalanishimiz
mumkin. U holda chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka yuqori
qatlamlari ko’chishlarining (1.40) ifodalarini
z= h2 bo’lgan hol uchun, yani
chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka yuqori va quyi qatlamlar kontakt
sirti nuqtalari uchun (1.30) ga ko’ra quyidagilarga ega bo’lamiz:
kA 2(2)sh α2h2− β2B2(2)sh β2h2= kA 1(2)sh α1h2− β1B1(2)sh β1h2;
α2A2(2)ch α2h2−kB 2(2)ch β2h2=α1A1(2)ch α1h2−kB 1(2)ch β1h2,
(2.7)
Demak, chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning
statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari uchun i kkita
A1
(2) va B1
(2)
noma’lumlarga nisbatan ikkita algebraik tenglamalar sistemasi hosil qilindi.
Hosil qilingan algebraik tenglamalar sistemasini yechish uchun quyidagicha
belgilashlar kiritamiz Kramer qoidasini qo’llaymiz.
29](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_27.png)
![¿Δ11
0=α2β1сh (α2h2)sh(β1h2)−k2ch (β1h2)sh(α2h2),¿}¿¿¿ (2.8)
¿Δ21
0=k[α2ch (α2h2)sh (α1h2)−α1ch (α1h2)sh (α2h2)],¿}¿¿¿
(2.9)
(2.7) dan ushbu (2.8), (2. 9) belgilash ifodalar i ni hisobga olgan holda
A1
(2)
va
B1
(2) noma’lumlarni topamiz:
A1(2)= 1
Δ10[Δ110 A2(2)+Δ120 B2(2)],B1(2)= 1
Δ10[Δ210 A2(2)+Δ220 B2(2)]. (2.10)
(2.10) ga o’zgarmaslarning (2.4) ifodasini qo’ysak chetlari sharnirli tayangan
ikki qatlamli elastik plastinka ning statsionar bo’lmagan antisimmetrik
tebranishlarida
A1
(2) va B1
(2) o’zgarmaslar uchun quyidagi ifodalarga ega bo’lamiz
A1(2)= 1
(β22− k2)Δ10[(
β22
α2
Δ110+kΔ 120
)
~W 2(0)− 1
ξ(
k
α2
Δ110+Δ120
)
~U 2(0)
],
B1(2)= 1
(β22− k2)Δ10[(
β22
α2
Δ210+kΔ 220
)
~W 2(0)− 1
ξ(
k
α2
Δ210+Δ220
)
~U 2(0)
].
(2.11)
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlarini hisoblashda k eyingi ishimiz chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinka qatlamlari orasidagi chegaraviy shartlarni,
qatlamlarning ko’chish vektorlari komponentalarini va kuchlanish tenzorlari
tashkil etuvchilarini kiritilgan
~U2
(0) va ~W 2
(0) yangi bosh qismlar orqali ifodalashdan
iborat. Shuningdek chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida plastinka qatlamlarida hosil bo’ladigan
τxz
(m)
va σzz(m) kuchlanishlarni ham хuddi (2.10) kabi tasvirlaymiz
τxz
(m)=∫
0
∞ cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~σxz
(m)eptdp ,σzz
(m)=∫
0
∞sin kz
− cos kz }dk ∫
(l)
~σzz
(m)eptdp , (m=1,2 )
. (2.15)
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishida
τxz
(m) va σzz(m) kuchlanishlarning
30](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_28.png)
![almashtirishlardagi kattaliklari ~τxz
(m) va ~σzz(m) lar uchun, qiyin bo’lmagan matematik
amallarni bajargandan so’ng ushbu ifodalarga ega bo’lamiz
~τxz(m)=~μm(2k∂~ϕ
∂z −
∂2~ψm
∂z2 −k2~ψm),
~σzz
(m)=~λm(−k2~ϕm+∂2
∂z2
~ϕm)+2~λm(
∂2
∂z2
~ϕm− k∂
∂z
~ψm) (m=1,2 ).
(2.16)
Oхirgi (2.16) ifodalarga yuqorida keltirilgan (1.36) yechimlarni qo’yish orqali
quyidagi formulalarga ega bo’lamiz:
~τxz(m)(z,k,p)=~μm(2kα mAm(2)ch (αmz)−(βm2+k2)Bm(2)ch (βmz)),
~σzz(m)(z,k,p)=[~λm(αm2−k2)+2αm2~μm]Am(2)sh (αmz)+2~μmkβ mBm(2)sh (βmz).
(2.17)
Keltirilgan formulalarda
~Rm=~Rλm+2~Rμm
ekanligini hisobga olsak, ularni
quyidagicha yozib olish mumkin
~τxz(m)(z,k,p)=~μm[2kα mch (αmz)Am(2)(k,p)−(βm2+k2)ch (βmz)Bm(2)(k,p)],
~σzz(m)(z,k,p)= [((λm+2~μm)−2~μm)(αm2− k2)+2~μmαm2]⋅Am(2)(k,p)⋅sh (αmz)−
−2kβ m~μmBm(2)(k,p)⋅sh (βmz).
(2.18)
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari masalasi c hegaraviy (1.28) shartlariga ham
integral almashtirishlarni qo’llaymiz. Buning uchun chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli elastik plastinka dagi (1.28) chegaraviy shartlarning mos ravishda chap va
o’ng tomonlariga (2.15) va (1.32) integral operatorlarni ta’sir ettiramiz va chetlari
sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlarida integral almashtirishlardagi ushbu chegaraviy
shartlarni hosil qilamiz
~σzz
(1)(z,k,p)|z=h2+h1=~fz
(1)(k,p); ~τxz
(1)(z,k,p)|z=h2+h1=~fx
(1)(k,p);
~σzz
(2)(z,k,p)|z=−h2=~fz
(2)(k,p); ~τxz
(2)(z,k,p)|z=−h2=−~fx
(2)(k,p).
(2.19)
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari uchun h osil qilingan (2.19) chegaraviy
shartlardan foydalanish uchun chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik
31](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_29.png)
![birinchi qatlami nuqtalari uchun integral almashtirilgan kuchlanish ~τxz
(m) va ~σzz(m)
larni
z= h2+h1 bo’lgan hol uchun hisoblash talab etiladi. Bundan tashqari
fx
(1)(x,t)= fx
(2)(x,t), fz
(1)(x,t)=− fz
(2)(x,t)
ekanligini hisobga olsak, chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning ustki chegarasi
z=h2+h1 uchun
quyidagi shartlarga ega bo’lamiz
{~μ1[2kα 1ch (α1z)A1(2)(k,p)−(β12+k2)ch (β1z)B1(2)(k,p)]}|z=h2+h1=~fx(2),
{[(~λ1+2~μ1)(α12−k2)+2~μ1k2]⋅A1(2)(k,p)⋅sh (α1z)− 2kβ 1~μ1B1(2)(k,p)⋅sh (β1z)}|z=h2+h1=~fz(2).
A1
(2),B1
(2)
- ikki noma’lumlarga nisbatan olingan oхirgi algebraik tenglamalar
sistemasini yechib quyidagiga ega bo’lamiz:
A1
(2)=
Δ11
Δ10
=1
Δ10
~μ1[(β12+k2)ch (β1z)⋅~fz
(2)−2kβ 1sh (β1z)⋅~fx
(2)]|z=h2+h1,
B1(2)=
Δ12
Δ10
=1
Δ10 [2kα 1~μ1ch (α1z)⋅~fz(2)− [~R1(α12− k2)+2~μ1k2]sh (α1z)⋅~fx(2)]|z=h2+h1.
(2.20)
Giperbolik kosinus va sinuslar o’rniga (2.20) o’zgarmaslar ifodalarida
ularning argumentlari bo’yicha darajali qatorlarga yoyilmalaridan foydalanamiz.
(2.20) tengliklarga ushbu ifodalarni qo’ysak
A1
(2),B1
(2) o’zgarmaslar uchun quyidagi
formulalarga ega bo’lamiz
A1
(2)=
Δ11
Δ10
= 1
Δ10
~μ1[(β12+k2)ch (β1z)⋅~fz
(2)− 2kβ 1sh (β1z)⋅~fx
(2)]z=h0+h1=
= 1
Δ10
~μ1[(β1
2+k2)∑
m=0
∞ (β1z)2m
(2m)!
⋅~fz
(2)−2kβ 1∑
m=0
∞ (β1z)2m+1
(2m+1)!
⋅~fx
(2)
]|z=h0+h1,
(2.21)
B1
(2)=
Δ12
Δ10
= 1
Δ10 [2kα 1~μ1ch (α1z)⋅~fz
(2)− [(~λ1+~μ1)(α12− k2)+2~μ1k2]sh (α1z)⋅~fx
(2)]z=h2+h1=
= 1
Δ10[2kα 1~μ1∑n=0
∞ (α1z)2n
(2n)!⋅~fz(2)− [(~λ1+~μ1)(α12−k2)+2~μ1k2]∑n=0
∞ (α1z)2n+1
(2n+1)!⋅~fx(2)
]z=h2+h1
,
A1
(2),B1
(2)
o’zgarmaslar tashqi ta’sir funksiyalari ~fx
(1,2)(x,t) va ~fz
(1,2)(x,t)
tasvirlari orqali (2.21) formulalar yordamida ifodalandilar.
32](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_30.png)
![Yuqorida keltirilgan asosiy determinantlar uchun xuddi shunday, quyidagi
ifodalarga ega bo’lamizΔ10={~μ1(β12+k2)[(~λ1+~μ1)(α12−k2)+2~μ1k2]sh (α1z)ch (β1z)−4~μ1k2α1β1⋅¿¿
¿sh (β1z)ch (α1z)}|z=h2+h1={~μ1(β12+k2)[(~λ1+~μ1)(α12−k2)+2~μ1k2]∑n=0
∞ (α1z)2n+1
(2n+1)!¿∑m=0
∞ (β1z)2m
(2m)! −
−4~μ1k2α1β1∑m=0
∞ (β1z)2m+1
(2m+1)!⋅∑n=0
∞ (α1z)2n
(2n)!}z=h2+h1
, (2.22)
Noma’lum koeffitsiyentlar aniqlanuvchi asosiy determinantlar ham noma’lum
koeffitsiyentlarning o’zlari ham natijaviy (2.21) va (2.22) formulalardan ko’rinib
turibdiki
αmz va βmz
argumentlarning cheksiz darajalariga bog’liq. Shu sababli
amaliy masalalar yechishda natijalarni qo’llash maqsadida darajalar
ko’rsatkichlarini pasaytirish zarur. Shu ning uchun ko’rsatilgan formulalar
tarkibidagi yig’indilarda mos ravishda
n=1,m=1 bo’lgan hollar bilan
chegaralanamiz va yakunda ushbu ifodalarni olamiz
A1(2)= 1
Δ10
~μ1[(β12+k2)(1+1
2 β12(h2+h1)2
)⋅~fz(2)−2kβ 1(β1(h2+h1)+1
6 β13(h2+h1)3
)⋅~fx(2)
]=
¿1
Δ10
~μ1[(β12+k2)(1+1
2 β12(h2+h1)2
)⋅~fz
(2)−2kβ 12(h2+h1)(1+1
6 β12(h2+h1)2
)⋅~fx
(2)
]
B1(2)= 1
Δ10
[2kα 1~μ1(1+1
2α12(h0+h1)2)⋅~fz(2)− [(~λ1+~μ1)(α12− k2)+2~μ1k2](α1(h0+h1)+
+1
6α13(h0+h1)3)⋅~fx
(2)]=
α1
Δ10
[2k~μ1(1+1
2α12(h2+h1)2
)⋅~fz
(2)− (h2+h1)[(~λ1+~μ1)(α12− k2)+
+2~μ1k2](1+1
6α1
2(h2+h1)2
)⋅~fx
(2)];
Δ10=~μ1(β1
2+k2)[
~R1(α1
2− k2)+2~μ1k2](α1(h2+h1)+1
6α1
3(h2+h1)3
)(1+1
2β1
2(h2+h1)2
)−
− 4~μ1k2α1β1(β1(h2+h1)+1
6 β1
3(h2+h1)3
)(1+1
2α1
2(h2+h1)2
)=
(2.23)
33](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_31.png)
![=~μ1α1(h2+h1){(β12+k2)[(~λ1+~μ1)(α12−k2)+2~μ1k2](1+(
1
2β12+1
6α12
)(h2+h1)2+
+ 1
12 α12β12(h0+h1)4)− 4~μ1k2β12
(1+(
1
2α12+1
6β12)(h2+h1)2+ 1
12 α12β12(h2+h1)4
)}=
=~μ1α1(h2+h1){(~λ1+~μ1)(α12− k2)(β12+k2)[1+1
6(3β12+α12)(h2+h1)2+ 1
12 α12β12(h2+h1)4
]−
− 2~μ1k2(β12− k2)+~μ1k2β12(h2+h1)2(β12− α12)−~μ1k2β12(h2+h1)2(α12− k2)−
− 1
3
~μ1k2β1
2(h2+h1)2(β1
2−α1
2)− 1
3
~μ1k2(h2+h1)2(β1
4−k2α1
2)− 1
6
~μ1k2α1
2β1
2(h2+h1)4(β1
2− k2)},Yuqoridagi birinchi paragraf doirasida asosiy izlanuvchi funksiyalarning
tasvirlarini, yani integral almashtirishlarda chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka quyi qatlami nuqtalari ko’chishlarining bosh qismlarini aniqlab oldik.
Ikkinchi paragrafda esa kontakt shartlarining tarkiblariga kiruvchi chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinka yuqori qatlamlar integrallash o’zgarmaslarini,
chegaraviy shartlardan foydalanib tashqi ta’sir funksiyalari tasvirlari orqali
ifodalab oldik. Endi oldingi natijalariga tayangan holda chetlari sharnirli tayangan
ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari
tenglamalarini keltirib chiqaramiz. Buning uchun chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinka uchun keltirilgan (1.29) kontakt shartlarining faqat ikkitasidan
foydalanamiz va ularni quyidagi ko’rinishda ko’chirib yozamiz
τxz
(2)|z=h2= τxz(1)|z=h2+~fx(1), σzz(0)|z=h2= σzz(1)|z=h2+~fz(1).
(2.24)
Ushbu tenglamalarda kuchlanishlar o’rniga ularning (2.18) ifodalarini
qo’yamiz hamda hosil bo’lgan tenglamalar sistemasida
A2
(2) va B2
(2) o’zgarmaslar
o’rniga ularning (2.4) qiymatlarini qo’ysak, zarur soddalashtirishlardan so’ng
ushbu tenglamalarga ega bo’lamiz
~μ2{2k⋅[
β2
2~W 2
(0)− k
ξ
~U 2
(0)
β22−k2 ]⋅(1+1
2α22h22
)−(β22+k2)[
k~W 2
(0)− 1
ξ
~U2
(0)
β22−k2 ]⋅(1+1
2β22h22
)}=
=− 1
Δ10
~μ1α1{2~μ1k(1+1
2α12h22
)[(β12+k2)(1+1
2β12(h2+h1)2
)⋅~fz(1)− 2kβ 12(h2+h1)⋅¿¿
34](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_32.png)
![¿(1+1
6β1
2(h2+h1)2
)⋅~fx
(1)]− (β1
2+k2)(1+1
2 β1
2h2
2
)[2~μ1k(1+1
2α1
2(h2+h1)2
)
~fz
(1)− (2.25)
−((~λ1+2~μ1)(α12− k2)+2~μ1k2)(h2+h1)(1+1
6α12(h2+h1)2
)
~fx(1)]}+~fx(1),
[[(~λ2+2~μ2)(α2
2− k2)+2~μ2k2](h2+1
6α2
2h2
3
)−2β2
2~μ2(h2+1
6β2
2h2
3
)][
k2~W 2(0)− k
ξ
~U 2(0)
β22−k2 ]=
= 1
Δ10
~μ1α1{[(~λ1+2~μ1)(α12− k2)+2~μ1k2](h2+1
6α12h23
)[(β12+k2)(1+1
2β12(h2+h1)2
)fz(1)−
−2kβ 1
2(h2+h1)(1+1
6β1
2(h2+h1)2
)fx
(1)]− 2kβ 1
2
(h2+1
6β1
2h2
3
)[2~μ1k(1+1
2α1
2(h2+h1)2
)
~fz
(1)−
− ((~λ1+2~μ1)(α12− k2)+2~μ1k2)((h2+h1)+1
6α12(h2+h1)3
)
~fx(1)]}+~fz(1)
.
Hosil bo’lgan tenglamalar sistemasini soddalashtiramiz
~μ2{[1+1
2β22h22(2~μ2(~λ2+2~μ2)−1)]k~W 2
(0)+ 1
ξ[1+1
2h22(β22+k2(2−2(~λ2+2~μ2)~μ2))]
~U2
(0)
}=
=− 1
Δ0
~μ1α1{2~μ1k(β12+k2)[
1
2(h2+h1)2(β12−α12)− 1
2h22(β12−α12)]
~fz
(1)+
+(~λ1+2~μ1)(α1
2−k2)(β1
2+k2)(h2+h1)[1+1
2β1
2h2
2+1
6α1
2(h2+h1)2+ 1
12 α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2
]
~fx
(2)−
−2~μ1k2(h2+h1)[β1
2−k2− 1
2
β1
2h2
2(β1
2−α1
2)+1
2
β1
2h2
2(α2
2−k2)+1
6
β1
2(h2+h1)2(β1
2−α1
2)+
(2.26)
{[
~R2~R2−1~μm2(h0+1
6α02h03
)−1
3
~μm2k2h03(1−~R2−1~μm2)]β22~W 2(0)− k
ξh2[~R2~R2−1~μm2(1+1
6α22h22
)−
−2~μm2− 1
3
~μm2h22(β22+k2(1−~R2−1~μm2))]~U2
(0)
}= 1
Δ10
~μm1α1h2{
~R1(α12−k2)(β12+k2)[1+1
6α12h22+
+1
2
β1
2(h2+h1)2+ 1
12
α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2]fz
(2)− 2~μm1k2[β1
2− k2− 1
2
β1
2(h2+h1)2(β1
2− α1
2)+
+1
2
β1
2(h2+h1)2(α1
2− k2)+1
6
β1
2h2
2(β1
2− α1
2)+1
6
h2
2(β1
4− k2α1
2)+1
6
α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2(β1
2−k2)]~fz
(2)+
, ~ ~
12
1
6
1 1 1 2 21 21 2 2221 21 21 2 41 21 2 x x f f k h h h k h h
35](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_33.png)
![+2kβ 12(h2+h1)[~R1(α12− k2)+2~μm1k2][
1
6h22(β12− α12)− 1
6(h2+h1)2(β12−α12)]
~fx
(2)
}+~fz
(1). Ushbu tenglamalar sistemasining birinchisini
β2
2−k2 ga, ikkinchisini β1
2−k2
ga hadma had bo’lamiz va barcha o’хshash hadlarni qisqartir ib va
soddalashtiramiz :
~μm2{[1+1
2β22h22(1−~q2)− 1
2 β22h22~q2]k~W 2
(0)+1
ξ[1+1
2h22(β22+k2~q2)+1
2k2h22~q2]
~U 2
(0)
}=
=− 1
Δ20
¿{2~μm1k(β12+k2)[
1
2(h2+h1)2(1−~R1−1~μm1)− 1
2h22(1−~R1−1~μm1)]
~fz
(2)+
+~R1
~R1
−1~μm1(β1
2+k2)(h2+h1)[1+1
2β1
2h2
2+1
6α2
2(h2+h1)2+ 1
12 α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2
]
~fx
(2)−
−2~μm1k2(h2+h1)[1− 1
2
β1
2h2
2(1−~R1
−1~μm1)+1
2
β1
2h2
2~R1
−1~μm1+1
6
β1
2(h2+h1)2(1−~R1
−1~μm1)+
+1
6(h2+h1)2(β1
2+k2(1−~R1
−1~μm1))+ 1
12 α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2]~fx
(2)
}+~fx
(2)
, (2.27)
~μm2{[
1
6α22h22− 1
3k2h22~q2+1]β22h2
~W 2
(0)− k
ξh2[
1
6α22h22− 1
3h22(β22+ k2~q2)−1]
~U2
(0)
}=
= 1
Δ10
¿ h2{
~R1
~R1−1~μm1(β12+k2)[1+1
6α12h22+1
2β12(h2+h1)2+ 1
12 α12β12h22(h2+h1)2
]fz
(2)−
−2~μm1k2[1− 1
2
β1
2(h2+h1)2(1−~R1
−1~μm1)+1
2
β1
2(h2+h1)2~R1
−1~μm1+1
6
β1
2h2
2(1−~R1
−1~μm1)+
+1
6
h2
2(β1
2+k2(1−~R1
−1~μm1))+1
6
α1
2β1
2h2
2(h2+h1)2]~fz
(2)+
+kβ 12(h2+h1)[~R1(α12−k2)+2~μm1k2][
1
3h22(1−~R1−1~μm1)− 1
3(h2+h1)2(1−~R1−1~μm1)]
~fx
(2)
}+~fz
(1)
Bu yerda
Δ10¿=~μm1(h2+h1){
~R1~R1−1(β12+k2)[1+1
2(h2+h1)2
(β12+1
3α12+1
6α12β12(h2+h1)2
)]−
−k2[2− β1
2(h2+h1)2(1−~R1
−1~μm1)+β1
2(h2+h1)2~R1
−1~μm1+1
3
β1
2(h2+h1)2(1−~R1
−1~μm1)+
(2.28)
36](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_34.png)
![+1
3(h2+h1)2(β1
2+k2(1−~R1
−1~μm1))+1
6α1
2β1
2(h2+h1)4]},Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami nuqtalari
ko’chishlarining bosh qismlari
W2
(0)(x,t) , U 2
(0)(x,t) izlanuvchi funksiyalarni hamda
γi
n
va λi
n operatorlarni quyidagicha kiritamiz [47]
W 2
(0)(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~W 2
(0)eptdp ,
U2
(0)(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~U2
(0)eptdp .
γin(ς)=∫
0
∞ cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
αi2n(ς)eptdp ,
λin(ς)=∫
0
∞ cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
βi2n(ς)eptdp , (2.29)
γi
n
va λi
n operatorlar (x,t) o’zgaruvchilar i da yuqorida keltirilgan (1.18)
formulalarga asosan quyidagi integro-differensial operatorlarga teng kuchli
ekanligini ko’rish mumkin
γin= [ρiN i−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2]
n
,
λin=[ρiM i−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2]
n
,
i=0,1,2 ;n=0,1,2 ,.... (2.30)
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka uchun keltirilgan (2.27)
tenglamalar sistemasi tenglamalari o’ng va chap tomonlariga mos ravishda
∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
eptdp ,
∫
0
∞sin kx
−cos kx }dk ∫
(l)
eptdp
operatorlar bilan ta’sir qilamiz va chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
uchun
W2
(0)(x,t) , U 2
(0)(x,t) izlanuvchi funksiyalar hamda γi
n va λi
n operatorlar orqali
ifodalangan quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz
Δ20**~μm2{[1+1
2γ2h22(1−2q2)]
∂
∂xW 2(0)+1
ξ[1+1
2h22
(γ2−2q2 ∂2
∂x2)]U2(0)
}=
=−~μm1{q1h1(2h2+h1)(γ1− ∂2
∂x2)
∂
∂x fz(2)+(h2+h1)(γ1− ∂2
∂x2)(1+1
2γ1h22
)(1+1
6λ1(h2+h1)2
)fx(2)+
37](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_35.png)
![+2 ∂2
∂x2(h2+h1)[1+1
2
γ1h2
2(1−2q1)+ 1
6(h2+h1)2
(γ1(1+1
2
λ1h2
2
)+q1(γ1− ∂2
∂x2))]fx
(2)
}
+Δ20
** fx
(2)
Δ10**Rμ0{[1+1
6h12
(λ2+2q2∂2
∂x2)]γ2W 2(0)+1
ξ[
1
6h22
(λ2−2γ2+2q2∂2
∂x2)−1]
∂
∂xU2(0)
}= ( 2.31 )
={
~μm1(γ1− ∂2
∂x2)(1+1
2γ1(h2+h1)2
)(1+1
6λ1h22
)fz(2)+2~μm1[1+1
2γ1(h2+h1)2(1−2q1)+1
6h22q1(γ1− ∂2
∂x2)+
+1
6h22γ1(1+λ1(h2+h1)2)] ∂2
∂x2fz(2)−1
3γ1q1h1(2h2+h1)(h2+h1)[R1(λ1+ ∂2
∂x2)−2Rμ1∂2
∂x2]
∂
∂x fx(2)
}+Δ10** fz(1)
Bu yerda
Δ10**=~μm1(h2+h1){(γ1− ∂2
∂x2)(1+1
2γ1(h2+h1)2
)(1+1
6λ1(h2+h1)2
)+
+[2+1
3(h2+h1)2
(4γ1−5γ1q1− q1 ∂2
∂x2+1
2λ1γ1(h2+h1)2
)]
∂2
∂x2}
,
Operatorlar yordamida yozilgan chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari tenglamalari sistemasi
(2.31) tenglamalarni yana хususiy hosilali integro-differensial tenglamalar shaklida
yozish uchun
γi
n va λi
n operatorlarning (2.30) ko’rinishidan foydalanamiz. Chetlari
sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik
tebranishlari uchun hosil qilingan tenglamalar sistemasida
Δ1 ni bir хil darajalar
bo’yicha guruhlaymiz va oltinchi hamda undan yuqori tartibli hosilalarga ega
bo’lgan hadlarni, cheksiz kichik miqdorlar sifatida tashlab yuborib chetlari
sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik
tebranishlari ning quyidagi integro-differensial tenglamalari sistemasini hosil
qilamiz
38](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_36.png)
![Δ2~μm2{[1+1
2ρ2~μ
−1m1(1−2q2)h22∂2
∂t2−1
2h22(1−2q2)∂2
∂x2]
∂
∂xW 2(0)+1
ξ[1+1
2ρ2~μ
−1m2h22∂2
∂t2−1
2h22(1+2q2)∂2
∂x2]U2(0)
}=
=−~μm1{h1(2h2+h1)q1[ρ1~μ−1m1∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2]
∂
∂x fz(2)+(h2+h1)[1
2ρ12~μ−2m1(h22+1−q1
3 (h2+h1)2)∂4
∂t4−
− ρ1~μ
−1m1
(
1
2h22(1+4q1)+1
3(h2+h1)2
(
1
2−2q1))
∂4
∂t2∂x2+
+2q1(h22− 1
3(h2+h1)2
)
∂4
∂x4+ρ1~μ
−1m1∂2
∂t2]fx(2)
}+Δ2fx(2), ( 2.32 )
Δ1~μm1h2{[
1
6h22ρ22~μ
−1m1(1−q2)∂4
∂t4−1
6h22ρ2~μ
−1m1(2−3q2) ∂4
∂t2∂x2+1
6h22(1−2q2)∂4
∂x4+ρ2~μ
−1m1∂2
∂t2− ∂2
∂x2]W2(0)−
−1
ξ[
1
6h22ρ2~μ
−1m1(1+q2)∂2
∂t2+1
6h22(1+2q2)∂2
∂x2+1]
∂
∂xU2(0)
}=~μm1h2{[1
2ρ12~μ
−1m1
(
1
3(1−q1)h22+(h2+h1)2
)
∂4
∂t4−
−(
1
6(1− q1)h22−(
1
2+2q1)(h2+h1)2
)ρ1~μ
−1m1 ∂4
∂t2∂x2+2q1((h2+h1)2− 1
3h22
)
∂4
∂x4+ρ1~μ
−1m1∂2
∂t2]fz(2)+
+1
3h1(h2+h1)(h1+2h2)[ρ12~μ
−1m1∂4
∂t4−3ρ1~μ
−1m1 ∂4
∂t2∂x2+2 ∂4
∂x4]
∂
∂xfx(2)
}+Δ1fz(1)
Bu yerda
Δ1=~μm1(h2+h1){(h2+h1)2
[
4−q1
6 ρ12~μ−1m1∂4
∂t4− 2
3ρ1~μ−1m1(1+2q1) ∂4
∂t2∂x2+4
3q1∂4
∂x4]+ρ1~μ−1m1∂2
∂t2},
Bu tenglamalar sistemasi chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
quyi qatlami nuqtalari ko’chishlarining
W 0
(0)(x,t) , U 0
(0)(x,t) bosh qismlari orqali
ifodalangan. Ular хususiy hosilali, giperbolik tipdagi tenglamalardan iborat.
Tenglamalarning giperbolik tipdaligi chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari jarayonlarini to’g’ri
tavsiflash uchun muhim ahamiyatga ega. Muhandislik konstruktsiyalari
elementlarining nostatsionar tebranishlarini tavsiflovchi tenglamalar albatta
giperbolik tipda bo’lishi zarurligi [48] tadqiqot ishlarida keltirilgan. Bundan
tashqari, olingan natijalardan ko’rinadiki tenglamalar o’z tarkiblarida aylanish
inertsiyasi va ko’ndalang siljish deformatsiyasini [32] hisobga oluvchi hadlarga
ega. Shu ma’noda, solishtirma tahlil natijalariga ko’ra olingan natijalar
39](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_37.png)
![S.P.Timoshenkoning aniqlashtirilgan tebranish tenglamalariga nisbatan
umumiyroqdir [11]. Bu yerda yana shuni ham alohida takidlash lozimki, oхirgi
natijaviy (2.32) tenglamalar, klassik Kirхgoff hamda aniqlashtirilgan Timoshenko
tipidagi [42] tenglamalardan farqli ravishda, qo’shimcha gipoteza va farazlardan
foydalanilmasdan, hamda sun’iy to’g’rilovchi koeffitsiyentlar kiritilmasdan
keltirib chiqarildi [49].
2.2-§. Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka tebranish
tenglamalarining ba’zi xususiy hollari
Biz quyida chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranish tenglamalari sistemasi ning ba’zi хususiy va
limitik hollarini keltiramiz. Eng avvalo qatlamlari materiallari elastik хususiyatga
ega bo’lgan ikki qatlamli plastinkaning tebranish tenglamalarini bo’ylama va
ko’ndalang to’lqin tarqalish tezliklariga nisbatan keltirib chiqaramiz. Buning
uchun ushbu ifodalardan foydalanamizai2=
λi+2μi
ρi
, bi2=
μi
ρi
, i=0,1,2 .
(2.35)
Keltirilgan munosabatlardan foydalanib qatlamlari materiallari elastik bo’lgan
chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka (2.33) statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranish tenglamalarini bo’ylama va ko’ndalang to’lqin tarqalish
tezligi orqali yozamiz
Δ2μ0{[1+ 1
2b02(1− 2q0)h02∂2
∂t2− 1
2h02(1− 2q0)∂2
∂x2]
∂
∂xW 0(0)+1
ξ[1+ 1
2b02h02∂2
∂t2−
− 1
2h02(1+2q0)∂2
∂x2]U 0(0)
}=− Rμ2{h2(2h0+h2)q2[
1
b22 ∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2]
∂
∂x fz(2)+
(h0+h2)[ 1
2b24(h02+1− q2
3 (h0+h2)2)∂4
∂t4− (
1
2h02(1+4q2)+1
3(h0+h2)2
(
1
2− 2q2))
1
b22 ∂4
∂t2∂x2+
+2q2(h02− 1
3(h0+h2)2
) ∂4
∂x4+ 1
b22 ∂2
∂t2] fx(2)
}+Δ2fx(2),
( 2.36 )
40](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_38.png)
![Δ1Rμ0h0{[
1
6b04h02(1−q0)∂4
∂t4− 1
6b02h02(2−3q0) ∂4
∂t2∂x2+1
6h02(1−2q0)∂4
∂x4+ 1
b02 ∂2
∂t2− ∂2
∂x2]W 0(0)−
− 1
ξ[
1
6b02h02(1+q0)∂2
∂t2+1
6h02(1+2q0)∂2
∂x2+1]
∂
∂xU0(0)
}= μ1h0{[ 1
2b14(1
3(1− q1)h02+
+(h0+h1)2)∂4
∂t4−(
1
6(1−q1)h02−(
1
2+2q1)(h0+h1)2
)
1
b12 ∂4
∂t2∂x2+2q1((h0+h1)2− 1
3h02
) ∂4
∂x4+
+ 1
b12 ∂2
∂t2]fz(2)+1
3h1(h0+h1)(h1+2h0)[
1
b14 ∂4
∂t4− 3
b12 ∂4
∂t2∂x2+2 ∂4
∂x4]
∂
∂x fx(2)
}+Δ1fz(1),bu yerda
Δ1= μ1(h0+h1){(h0+h1)2
[
4− q1
6b14 ∂4
∂t4− 2
3b12(1+2q1) ∂4
∂t2∂x2+ 4
3q1 ∂4
∂x4]+ 1
b12 ∂2
∂t2},
Ushbu (2.36) tenglamalar sistemasi elastik chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari tenglamalari
sistemasidan iborat.
Faraz qilaylik ikki qatlamli plastinkaning yuqori qatlami bo’lmasin, yani u
faqat quyi qatlamdan iborat, bitta qatlamdan iborat bo’lsin. Bunday plastinka
materiali bir jinsli bo’lganligi uchun uni ko’pincha bir jinsli plastinka deb ham
ataydilar. U holda (2.33) va (2.36) tenglamalardan bir jinsli elastik plastinka uchun
ushbu
[1+1
2ρ2μ
−1m1(1−2q2)h22∂2
∂t2−1
2h22(1−2q2)∂2
∂x2]
∂
∂xW 2(0)+
+1
ξ[1+1
2ρ2μ
−1m1h22∂2
∂t2−1
2h22(1+2q2)∂2
∂x2]U2(0)
=
μ
−1m1(fx(2)),
( 2.37)
[
1
6h22ρ22μ
−2m1(1−q2)∂4
∂t4−1
6h22ρ2μ
−1m1(2−3q2) ∂4
∂t2∂x2+1
6h22(1−2q2)∂4
∂x4+ρ2μ
−1m1∂2
∂t2− ∂2
∂x2]W 2(0)−
− 1
ξ[
1
6h22ρ2μ
−1m1(1+q2)∂2
∂t2+1
6h22(1+2q2)∂2
∂x2+1]
∂
∂xU2(0)=
μ−1m1h2−1(fz(1)),
tenglamalar sistemasiga ega bo’lamiz. Agar (2.37) tenglamalar sistemasini uning
noma’lum funksiyalaridan biriga nisbatan, masalan
W 0
(0) ga nisbatan, yechsak va
hosil bo’lgan tenglamada hosilalarining tartibi oltidan yuqori bo’lgan hadlarni
41](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_39.png)
![tashlab yuborsak, professor I.G.Filippovning [32] ishda keltirilgan tenglamalari
kelib chiqadi. Bu yerdan ko’rinadiki taklif etilayotgan tenglamalar tartiblari past va
yechish osonroq bo’lganligi uchun, muhandislik nuqtai nazaridan, amaliy
masalalarni yechishda qulayroqdir.
Boshqa avtorlarning natijalari bilan solishtirish uchun elastik ikki qatlamli
plastinka uchun (2.36) tenglamalar sistemasini bir qatlamli plastinka uchun
yozamiz[1+ 1
2b22(1−2q2)h22∂2
∂t2− 1
2h22(1−2q2)∂2
∂x2]
∂
∂xW 2(0)+
+1
ξ[1+ 1
2b22h22∂2
∂t2− 1
2h22(1+2q2)∂2
∂x2]U 2(0) = 1
μ2
fx
(2), (2.38)
[
1
6b24h22(1−q2)∂4
∂t4− 1
6b22h22(2−3q2) ∂4
∂t2∂x2+1
6h22(1−2q2)∂4
∂x4+ 1
b22∂2
∂t2− ∂2
∂x2]W 2(0)−
− 1
ξ[
1
6b22h22(1+q2)∂2
∂t2+1
6h22(1+2q2)∂2
∂x2+1]
∂
∂xU2(0)
= 1
μ2h2
fz
(1).
Elastik bir jinsli plastinka uchun G.I.Petrashen tomonidan taklif etilgan
tenglamalar sistemasi bilan ushbu tenglamalarni solishtirish uchun uning
tenglamalarini keltiramiz [46]:
2 ∂χ2
∂x+(2 ∂2
∂x2− 1
b22∂2
∂t2)ζ2+h22
2[2(
1
a22∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂χ2
∂x+
+(2 ∂2
∂x2− 1
b22∂2
∂t2)(
1
b22∂2
∂t2− ∂2
∂x2)ζ2]= 1
μ2
fx
+(x,t),
(2.39)
(
1
b2
∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)χ2+2(
1
b2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂
∂xζ2+
+h2
6 [(
1
b2
∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)(
1
a2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)χ2+2(
1
b2
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
2 ∂
∂x
ζ2]
= 1
μ2
fz
+(x,t)
h
Keltirilgan (2. 38 ) va (2. 39 ) sistemalar ikkinchi tenglamalarining hadlari
oldidagi koeffitsientlar biroz farq qilgan holda bir-biriga hadlar soni, hosilalar
tartiblari va o’ng tomonlari mos tushganligini ko’rish mumkin. Ammo, birinchi
42](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_40.png)
![tenglamalar bir-biridan tartibi bilan farq qiladi. Tenglamalarning o’ng tomonlari
to’liq mos tushadi. Biz taklif etayotgan tenglamaning tartibi ikkiga teng bo’lgani
holda G.I.Petrashenning tenglamasi tartibi to’rtga teng. Bu farq quyidagicha
izohlanadi: (2.39) tenglamalar sistemasini keltirib chiqarishda yordamchi
funksiyalar χ2(x,t)=∫
0
∞
cos kx ¿}¿¿dk ∫
(l)
α2A2
(2)eptdp ¿
, ζ2(x,t)=∫
0
∞
cos kx ¿}¿¿dk∫
(l)
B2
(2)eptdp ¿
formulalar bilan kiritilgan va ularning qanday meхanik ma’nosi borligi noma’lum,
yani bu funksiyalar sof matematik nuqtai nazardan kiritilgan; (2.40) tenglamalarga
kelsak ularning asosiy noma’lum izlanuvchi funksiyalari ham
W 2
(0)(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~W 2
(0)eptdp ,
U2
(0)(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~U2
(0)eptdp .
formulalar bilan aniqlangan. Ammo bu yerda integral ostidagi funksiyalar
integrallash o’zgarmaslari orqali
~U 2
(0)=[kα 2A2
(2)− β22B2
(2)]ξ ,
~W 2
(0)=α2A2
(2)− kB 2
(2)
kabi ifodalanadi va plastinka o’rta qatlamining
ξ= χ⋅h2,
−1≤ χ≤ 1
formula bilan kiritilgan
z=0
koordinat tekisligidan ξ
masofada yotuvchi “oraliq”
tekisligi nuqtalari
U2(x,t) va W2(x,t) ko’chishlarining bosh qismlaridan iborat.
Boshqacha aytganda (2.40) tenglamalar sistemasi G.I.Petrashen tenglamalaridan
farqli o’laroq, aniq meхanik ma’noga ega.
Bundan tashqari olingan (2.40) tenglamalar sistemasi bilan bir qatorda,
quyida plastinka hamma qatlamlaridagi kuchlanganlik-deformatsiyalanganlik
43](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_41.png)
![holatlarini aniqlash algoritmi ishlab chiqilgan. Ushbu algoritm tebranish
tenglamalarini yechish natijasida topilgan ko’chishlarning U2(0)(x,t) va W 2(0)(x,t) bosh
qismlari qiymatlari maydoni bo’yicha kuchlanishlar va ko’chishlarning hamma
noldan farqli komponentalarini talab etilgan aniqlikda hisoblash imkonini beradi.
2.3-§. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning
kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlash
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlari da chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlash algoritmi har bir qatlamdagi
kuchlanish tenzorining
σxx
(m) , σzz
(m) , τxz
(m) ,
(m=1,2 ) komponentalarini, hamda
ko’chish vektorlarining
Um , Wm , (m=1,2 ) tuzuvchilarini keltirib chiqarilgan (2.32)
tenglamalarning izlanuvchi funksiyalari bo’lgan
U2(0) va W2(0) lar orqali ifodalashdan
iboratdir. Buning uchun avvalo ushbu komponentalar va tuzuvchilarni umumiy
(1.36) yechimlar orqali ifodalash zarur. Ma’lumki
U2(0) va W 2(0) funksiyalar chetlari
sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlamining, (2.2) formula bilan
kiritilgan
z= 0
koordinat tekisligidan ξ
masofada yotuvchi “oraliq” tekisligi
nuqtalari
U2 va W2 ko’chishlarining bosh qismlaridan iborat edi. Dissertatsiya
ushbu paragrafi ko’rsatilgan muammoni plastinkaning har bir qatlami uchun
alohida hal qilishga bag’ishlangan.
Ushbu paragraf doirasida avvalo chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka quyi qatlamining
U2 va W2 ko’chishlarini, keyin esa chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinka yuqori qatlamining
U1 va W1 ko’chishlarini
izlanuvchi
U2(0)(x,t) , W 2(0)(x,t) funksiyalar orqali ifodalaymiz. Buning uchun
plastinka iхtiyoriy qatlami nuqtalari ko’chishlarining 1-bobda keltirilgan (1.40)
ifodalaridan, yani
~U m= kA m(2)sh (αmz)− βmBm(2)sh (βmz);
~W m=αmAm(2)ch (αmz)− kB 2(2)ch (βmz). (m=0,1,2 )
44](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_42.png)
![formulalardan foydalanamiz. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
quyi qatlami uchun bu ifodalardan m = 2 bo’lgan holda quyidagilarni olamiz
~U2=kA 2(2)(k,p)sh (α2z)− β2B2(2)(k,p)sh (β2z),
~W 2=α2A2(2)(k,p)ch (α2z)− k B2(2)(k,p)ch (β2z).
(2.42)
Oхirgi formuladagi
A0
(2) va B0
(2) o’zgarmaslar o’rniga ularning chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinka yuqori qatlamining yuqorida eslatilgan “oraliq”
tekisligi ko’chishlarining bosh qismlari orqali qiymatlari
α2A2(2)=
β22~W 2(0)− k
ξ
~U 2(0)
β22−k2 ,B2(2)=
k~W 2(0)− 1
ξ
~U 2(0)
β22− k2
ni qo’yamiz va
~U2 hamda
~W2 ko’chishlar tasvirlari uchun quyidagi formulalarga
kelamiz
~U 2= 1
β22− k2{
1
6kβ 22z3(α22− β22)~W 2(0)+1
ξ[(β22− k2)z+1
6(β24−k2α22)z3
]
~U 2(0)
}
,
~W 2= 1
β22− k2{[β22− k2+1
2 β22z2(α22− k2)+ 1
24 β22z4(α24− k2β22)]
~W 2(0)+
+ k
ξ[
1
2z2(β22− α22)+ 1
24 z4(β24− α24)]
~U 2
(0)
}.
(2.43)
Ko’chishlarning originallariga o’tish uchun olingan ifodalarda ularni ham
quyidagicha tasvirlaymiz
U2(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~U2eptdp ,
W 2(x,t)=∫
0
∞cos kx
sin kx }dk ∫
(l)
~W 2eptdp . (2.44)
Endi (2.43) ga (2.29) va (2.44) ifodalarni qo’ysak
U0(x,t) va W0(x,t) ko’chishlar
U2={− 1
6z3
(ρ2M 2−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)q2∂
∂xW 2(0)+1
ξ[z+1
6(ρ2M 2−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2(1+q2))z3
]U2(0)
}
W 2={z4
24 (1−q2)[ρ22L2−1M 2−1∂4
∂t4−(
1−2q2
1−q2 ρ2M 2−1+ρ2L2−1
)
∂4
∂t2∂x2+1−2q2
1−q2
∂4
∂x4]+
+1
2z2(1− q2)(ρ2M 2−1∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1}W 2(0)− z2
2ξq2[z2
12 [(ρ2M 2−1+ρ2L2−1)∂2
∂t2−
45](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_43.png)
![− ∂2
∂x2]+1] ∂
∂xU2
(0). (2.45)
Olingan ushbu formulalar chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida plastinka quyi qatlami iхtiyoriy
nuqtalarining bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlarini hisoblash imkonini beradi.
Elastik hol uchun (2.45) ifodalar quyidagi ko’rinishni oladi
U 2={−(
1
6b22z3q2∂2
∂t2− 1
6z3q2 ∂2
∂x2)
∂
∂x W 2(0)+1
ξz[
1
6b22z2∂2
∂t2− 1
6z2 ∂2
∂x2(1+q2)+1]U 2(0)
},
W 2={[ 1
24 a22b22z4(1− q2)∂4
∂t4− 1
24 z4
(
1
b22(1− 2q2)+ 1
a22(1− q2))
∂4
∂t2∂x2+ 1
24 z4(1− 2q2)∂4
∂x4+
+ 1
2b22z2(1−q2)∂2
∂t2− 1
2z2(1− q2)∂2
∂x2+1]W 2(0)− 1
ξ[1
24 z4q2(
1
b22+ 1
a22)
∂2
∂t2−
− 1
12 z4q2∂2
∂x2+1
2z2q2]∂
∂xU 2(0)
} . (2.46)
Bu yerda
a2 , b2 - chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida quyi qatlam materialida, mos ravishda,
bo’ylama va ko’ndalang to’lqinlar tarqalish tezliklari;
z -plastinka tekisligiga tik
koordinata.
Oхirgi tenglamani o’lchamsiz koordinatalarga o’tkazamiz. Asosiy
parametrlarni quyidagicha almashtiramiz
b2t=t¿l
, U 2
(0)=U 2
(0)¿
l , W 2
(0)=W 2
(0)¿
h2 , U 2=U2¿l , W 2=W 2¿l ,
z=z¿h2
, x= x¿l , ξ=ξ¿h2 , h1=h1
¿h2 , h1=h1
¿h2 .
Natijaviy formulalarda yozuvning qulayligi uchun (*) belgisini tashlab yuboramiz
va ushbu ifodalarga ega bo’lamiz
U 2={− z3
6l3q2(
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂
∂x W 2(0)+1
ξ[
z2
6l2 ∂2
∂t2− z2
6l2 ∂2
∂x2(1+q2)+1]U 2(0)
}
W 2={[ b22z4
24 l4a22(1−q2)∂4
∂t4− z4
24 l4(1−2q2+b22
a22(1− q2))
∂4
∂t2∂x2+ z4
24 l4(1−2q2)∂4
∂x4+
46](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_44.png)
![+ z2
2l2(1−q2)∂2
∂t2− z2
2l2(1−q2)∂2
∂x2+1]W 2(0)− 1
ξ[
z2
24 l2q2(1+b22
a22)∂2
∂t2− z2
12 l2q2 ∂2
∂x2+1
2q2]
∂∂xU 2(0)
}Ushbu ifodalar tebranish tenglamalari o’lchamsiz koordinatalarda yechilganda
foydalanish uchun qulay. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida quyi qatlam kuchlanishlari
uchun quyidagi natijalarga ega bo’lamiz:
σxx(0)=z{[b22
6a22
h24
l4z2(2q2−1)∂4
∂t4− h24
6l4z2
(
b22
a22(3−2q2)+3−4q2)
∂4
∂t2∂x2+ h04
6l4z2(3−4q2)∂4
∂x4+(2q2−1)h22
l2 ∂2
∂t2+
+(1− 2q2)h22
l2 ∂2
∂x2]W 2(0)+1
ξ[
h22
6l2z2(
b22
a22(1+2q2)+2q2)∂2
∂t2− h22
6l2z2(1+4q2)∂2
∂x2+1+2q2]
∂∂xU 2(0)
}
σxz(0)=(1−2q2)[
h23
2l3z2∂2
∂t2− h23
2l3z2∂2
∂x2+h2
l]
∂
∂xW 2(0)+1
ξ
h2
2lz2
[
∂2
∂t2−(1+2q2)∂2
∂x2]U2(0),
σzz(0)=[
h24b22
6a22l4z2∂4
∂t4− h24
6l4z2
(
b22
a22+(1−2q2))
∂4
∂t2∂x2+ h24
6l4z2(1−2q2)∂4
∂x4+h22
l2∂2
∂t2−h22
l2 ∂2
∂x2]W 2(0)+
+1
ξ[
h22
6l2z2
(
b22
a22−2)
∂2
∂t2+ h22
6l2z2(1+2q2)∂2
∂x2−1]
∂
∂xU 2(0)
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlarida plastinka yuqori qatlamlari nuqtalarining ko’chishlari
va kuchlanishlarini ham ko’chishlarning bosh qismlari
U0
(0) va W0
(0) lar orqali
ifodalash mumkin. Masalan,
[
b24
12 a12b12
h24
l4∂4
∂t4− h24
12 l4(
b22
a12+b22
b12)
∂4
∂t2∂x2+ h24
12 l4 ∂4
∂x4+ b22
2b12
h22
l2(4
3−q1)∂2
∂t2− h22
2l2(4
3−2
3q1)∂2
∂x2+1]W1=
=[ b22
12 b12(1− q2+3z2(1−q2)(1−q1)+b22
a12z2
)
h24
l4 ∂4
∂t4− 1
12 (1+q1+b22
b12− q2(1+b22
b12)+z2
(
b22
a12+b22
b12)+
+3z2(1−q2)(1−q1)(1+b22
b12)− z2q2q1)h24
l4 ∂4
∂t2∂x2+ 1
12 (1+q1−q2+3z2(1−q2)(1−q1)+z2(1−q2q1))
h24
l4 ∂4
∂x4+
− 1
ξ[ b24
24 a12b12
h24
l4z2q2∂4
∂t4− h24
24 l4z2q2(
b22
a12+b22
b12)
∂4
∂t2∂x2+ h24
24 l4z2q2 ∂4
∂x4+
+ 1
12 (
b22
b12q2+q1(z2−1)+3b22
b12 z2q2(1− q1))
h22
l2 ∂2
∂t2−
47](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_45.png)
![− 1
12 (q2− q1+3z2q2(1−q1)+z2q1(1+q2))
h22
l2 ∂2
∂x2+1
2(q2− q1+z2q1)] ∂
∂xU 2(0).
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlarida plastinka yuqori qatlam i ko’chishlari va
kuchlanishlarining boshqa komponentalari uchun ham хuddi shunday ifodalarni
keltirib chiqarish qiyin emas.
48](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_46.png)
![III BOB
SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING
ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALALARI
3.1 -§ . Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik
tebranishlarida chegaraviy va tutashlik shartlari
Ikkinchi bobning natijalariga ko’ra biz qarayotgan chetlari sharnirli tayangan
ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari
tenglamalar i sistemasi tarkibiga faqatgina qalinlik koordinatasi bo’yicha egilish
funksiyasi emas, balki bo’ylama ko’chishni хarakterlovchi funksiya ham kiradi.
Ushbu faktor chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida faqat sof ko’ndalang tebranishlar emas,
balki bo’ylama-ko’ndalang tebranishlar ham sodir bo’lishini ko’rsatadi.
Ana shu tebranishlarni vaqtning t=0 paytida chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida ikki qatlamli
plastinka yuqori qatlamlarining tashqi sirtlariga qo’yilgan dinamik yuklanishlar
vujudga keltiradi, vaqtning
t<0 paytlarida chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka tinch holatda bo’lgan deb hisoblanadi. Shu bilan bir qatorda masalaning
chiziqliligi sababli, ko’chish maydonlarini simmetrik va antisimetrik qismlarning
superpozitsiyasi shaklida ifodalash mumkin, yani [46]
⃗U m= ⃗U m
б+⃗U m
к . Bu yerda ⃗Um
б ,
⃗Um
к
-lar chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka qatlamlari nuqtalari
ko’chishlarining, mos ravishda, bo’ylama va ko’ndalang qismlari. Demak,
plastinkalar tebranishlari haqidagi masalalarni qo’yishda birinchi navbatda
tebranishlarning simmetrik va statsionar bo’lmagan antisimmetrik qismlarini
ajratish maqsadga muvofiq. Biz ushbu dissertatsiya ishi doirasida statsionar
bo’lmagan antisimmetrik masalalarni qarayapmiz. Shuning uchun avvalo shunday
masalaning chegaraviy shartlarini shakllantiramiz.
49](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_47.png)
![Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka tashqi sirtlaridagi
chegaraviy shartlar . Bu holda plastinka qatlamlarining tashqi z=h1 va z=−h2
sirtlarida
τxz(i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi= fxi(x,t);
σzz(i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi=(−1)i−1fzi(x,t);
τyz(i)(x,z,t)|z=(−1)i−1hi=0;(i=1,2 ),
(3.1)
shartlar qanoatlantirilishlari kerak. Bu yerda
fx
i(x,t) va fz
i(x,t) lar (1.10) umumiy
chegaraviy shartlardagi tashqi ta’sir funksiyalari. Agar statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlar qaralsa bu funksiyalar
fx
(1)(x,t)= fx
(2)(x,t)=1
2(Fxz
(1)−Fxz
(2)),
fz
(1)(x,t)=− fz
(2)(x,t)= 1
2(Fz
(1)− Fz
(2)).
kabi, simmetrik tebranishlar holida esa [1,8,79]
fx
(1)(x,t)=− fx
(2)(x,t)= 1
2(Fxz
(1)+Fxz
(2)),
fz
(1)(x,t)= fz
(2)(x,t)= 1
2(Fz
(1)+Fz
(2))
kabi aniqlanadilar.
Takidlash kerakki, (3.1) chegaraviy shartlar bilan bir qatorda
Um,Vm,W m
(m=0,1,2 )
ko’chishlar komponentalari uchun vaqtning t=0 paytida boshlang’ich
shartlar shakllantirilgan bo’lishlari kerak. Dissertatsiya ishida bu shartlar nolga
teng deb qabul qilingan, yani:
U m=Vm=W m= 0
;
∂U m
∂t =
∂Vm
∂t =
∂W m
∂t = 0 . (3.2)
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka qatlamlar orasidagi
tutashlik (kontakt) shartlari. Yuqorida birinchi va ikkinchi boblar doirasida
chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka qatlamlari orasidagi o’zaro ta’sir
shartlarini shakllantirishda bu qatlamlar faqat bikr tutashgan deb faraz qilindi.
Aslida tutashlik shartlari uch turda bo’lishi mumkin [41], [47]: bikr, sirpanuvchi va
ideal tutashlik shartlari. Quyida ana shu shartlarni keltiramiz.
a) Bikr tutashlik. Bu holat ta’kidlanganidek birinchi va ikkinchi boblarda
qaralgan masalalar uchun quyidagicha shakllantirildi:
50](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_48.png)
![- chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka y uqori qatlami va quyi
qatlami o’rtasidagi tutashlik (kontakt) tekisligida, yani z= h0 bo’lganda (1.12)
shartlar
σzz
(0)=σzz
(1),τxz
(0)= τxz
(1),τyz
(0)= τyz
(1),U 0= U 1,V 0= V1, W 0= W 1.
(3.3)
b) Sirpanuvchi tutashlik. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
qatlamlari orasidagi t utashlik sirtlari bir-biriga nisbatan sirpanuvchi bo’lgan holda
kuchlanishlar orasidagi munosabatlarda sirpanish ishqalanish koeffitsiyenti
hisobga olingan bo’lishi kerak (ishqalanishning Kulon modeli) [9]
z= h0
bo’lganda
σzz
(0)= σzz
(1), σxz
(0)= ηx
(01)σzz
(0), σyz
(0)= ηy
(01)σzz
(0)
, σxz
(1)= − ηx
(01)σzz
(1) , σyz
(1)=− ηy
(01)σzz
(1) , (3.5)
bu yerda
ηx
(0k) va ηy
(0k) kattaliklar, mos ravishda, nol va birinchi (k=1) , Shuningdek
nol va ikkinchi
(k= 2) qatlamlar o’rtasidagi o’qlar yo’nalishlari bo’ylab ishqalanish
koeffitsientlari. Shu bilan birga bu koeffitsiyentlarning ishoralari zarrachalarning
tutashlik tekisliklari bo’ylab harakatlanish (sirpanish) yo’nalishiga bog’liq. Bu
yerda yana shuni ham takidlash kerakki, qatlamlar ko’chish komponentalari
orasida (3.4) va (3.5) kabi munosabatlar mavjud emas.
v) Ideal kontakt. Bu holda chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
tekisligiga parallel yo’nalishida ko’chish va kuchlanishlar mavjud emas.
Boshqacha aytganda bu holda faqat normal kuchlanishlar
σzz
(m) va
W (m) ko’chishlar
noldan farqli, qolganlari esa nolga teng. Yani bu holda
zi=±h0
tekisliklarda
tutashlik shartlari quyidagicha bo’ladi:
σzz
(0)=σzz
(m) , σxz
(0)= σxz
(m)= 0 , σyz
(0)= σyz
(m)= 0 , W (0)=W (m) , (m= 1,2 ) . (3.7)
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlarida ikki qatlamli plastinka chetlaridagi chegaraviy
shartlar. Qurilish va teхnikaning turli sohalarida foydalaniladigan ikki qatlamli
elastik plastinkalar qurilmalar qismlariga turlicha mahkamlanishi mumkin. Odatda
mahkamlash ikki qatlamli elastik plastinkaning chetlari bo’ylab amalga oshiriladi.
51](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_49.png)
![Bunday hollarda, ikki qatlamli plastinka chetlarining mahkamlanishiga qarab turli
хil chegaraviy shartlarni shakllantirish mumkin. Quyida ulardan, ilmiy
manbalardan ko’pchilikka ma’lum bo’lgan [50] bir nechta turini, ikki qatlamli
plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari masalasiga qo’llash
nuqtai-nazaridan qarab chiqamiz. Tadqiqot ishida qaralayotgan masalalar chetlari
sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik
tebranishlari masalasi elastiklik nazariyasi tekis masalasi doirasida
yechilayotganligi uchun chegaraviy shartlarni faqat x =0 va x = l ( l – plastinka
uzunligi) chetlar uchun keltiramiz. Bundan tashqari chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranish tenglamalari ikki
qatlamli plastinka quyi qatlami U0 va W0 ko’chishlarining bosh qismlari bo’lgan
U2(0)
va W2(0) funksiyalarga nisbatan tenglamalar bo’lganligi uchun, chegaraviy
shartlarni ham ana shu
U2(0) va W2(0) bosh qismlarga nisbatan shakllantirish kerak.
Aytilgan fikrlardan kelib chiqqan holda ikki qatlamli plastinka uchun quyidagi
chegaraviy shartlarni keltiramiz.
a) Plastinkaning uchlari bikr mahkamlangan. Bu holda x =0 va x = l chetlarda,
o’rta qatlam nuqtalarining
W0 ko’chishlari (egilishlari) uchun chegaraviy shartlar
quyidagi ko’rinishda yoziladi
W2=0,
∂W 2
∂x = 0 . (3.8)
Ikkinchi tomondan (2.47) formulalarga asosan
W 2={[ b22z4
24 l4a22(1−q2)∂4
∂t4− z4
24 l4(1−2q2+b22
a22(1− q2))
∂4
∂t2∂x2+ z4
24 l4(1−2q2)∂4
∂x4+
+ z2
2l2(1−q2)∂2
∂t2− z2
2l2(1−q2)∂2
∂x2+1]W 2(0)− 1
ξ[
z2
24 l2q2(1+b22
a22)∂2
∂t2− z2
12 l2q2∂2
∂x2+1
2q2]
∂∂xU2(0)
}
,
U 2={− z3
6l3q2(
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂
∂x W 2(0)+1
ξ[
z2
6l2 ∂2
∂t2− z2
6l2 ∂2
∂x2(1+q2)+1]U 2(0)
}
. . (3.9)
52](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_50.png)
![Ko’rinib turbdiki ushbu ifodalar chegaraviy shartlarni murakkablashtiradi.
Shuning uchun ularda faqat ikkinchi tartibli hosilalar bilan chegaralanamiz, u
holda W0 uchun
W 2=[ z2
2l2(1−q2)(∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1]W 2(0)− 1
ξ[
z2
24 l2q2(1+b22
a22)
∂2
∂t2− z2
12 l2q2∂2
∂x2+1
2q2]
∂
∂xU2(0)
(3.10)
ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerdan (3.8) ning birinchi shartiga asosan
[ z2
2l2(1−q2)(∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1]W 2
(0)=0, [
z2
12 l2((1+b22
a22)∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)+1]
∂∂xU 2(0)=0.
(3.11)
va (3.8) ning ikkinchi shartiga asosan
[ z2
2l2(1−q2)(∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1]∂W 2(0)
∂x =0, [
z2
12 l2((1+b22
a22)∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)+1]
∂2U 2(0)
∂x2 =0.
(3.12)
chegaraviy shartlarga ega bo’lamiz.
Boshlang’ich shartlar nolga teng, yani
0 t da
W 2
(0)=0,
∂W 2(0)
∂t = 0
,
∂2W 2(0)
∂t2 =0 , . U2
(0)=0,
∂U 2(0)
∂t = 0 ,
∂2U 2(0)
∂t2 = 0 , ….(3.13)
b) Plastinkaning chetlari sharnirli mahkamlangan . Bu holda x =0 va x = l
chetlarda chegaraviy shartlar quyidagi ko’rinishda yoziladi:
W2=0,
∂2W 2
∂x2=0 . (3.14)
Ushbu shartlarning birinchisi uchun yuqoridagi (3.11) tenglamalar o’rinli.
Ikkinchisi uchun (12) ni yana bir marta differentsiallasak
[ z2
2l2(1−q2)(∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1]∂2W 2(0)
∂x2 =0,
[
z2
12 l2((1+b22
a22)∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)+1]
∂3U 2(0)
∂x3 = 0. (3.15)
Shunday qilib plastinkaning chetlari sharnirli mahkamlangan holda
ko’chishlarning bosh qismlari (3.11) va (3.15) tenglamalarni qanoatlantirishlari
kerak. Boshlang’ich shartlar esa yana nolga teng, yani
0 t da (3.13) tengliklar
qanoatlantirilishlari kerak.
v) Plastinka chetlari erkin tayangan. Bu holda x =0 va x = l chetlarda, o’rta
qatlam nuqtalarining
W0 ko’chishlari (egilishlari) uchun chegaraviy shartlar
53](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_51.png)
![quyidagi ko’rinishda yoziladi M x=0, Qx=0. Qaralayotgan uch qatlamli plastinka
uchun, masalaning tekis masala ekanligini hisobga olsak bu shartlar ko’chishlarda
quyidagicha yoziladi :
∂2W 2
∂x2=0
, ∂3W 2
∂x3=0 ..
u holda bu shartlarning birinchisi uchun (3.15) tenglamalar, ikkinchisi uchun esa
[ z2
2l2(1−q0)(∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+1]∂3W 0(0)
∂x3 =0,
[
z2
12 l2((1+b02
a02)∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2)+1]
∂4U 0(0)
∂x4 =0. (3.16)
Shunday qilib plastinkaning chetlari erkin tayangan holda ko’chishlarning
bosh qismlari (3.15) va (3.16) tenglamalarni qanoatlantirishlari kerak.
Boshlang’ich shartlar esa yana nolga teng, yani
0 t da (3.13) tengliklar
qanoatlantirilishlari kerak.
Yuqoridagi holatlarning turli хil kombinatsiyalarini ko’rib chiqish mumkin .
Masalan, p lastinkaning bir cheti bikr mahkamlangan , ikki nchi si e sa erkin ; bitta
cheti sharnirli mahkamlangan , ikki nchisi esa bikr mahkamlangan va hokazo.
3.2-§. Sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik garmonik
tebranishlari .
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik garmоnik tеbranishlari masalasini оldingi bоbda kеltirib chiqarilgan
tеbranish tеnglamalari asоsida yеchamiz. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik garmоnik tеbranishlari masalasini
yеshish uchun (2.36) tеnglamalar sistеmasidan foydalanamiz. (2.36) tеnglamalar
sistеmasini quyidagi ifodalardan foydalanib o’lshamsiz kооrdinatalarga
o’tkazamiz.
b0t=t¿l
, U0
(0)=U0
¿l , W 0
(0)=W 0
¿h0 , z=z¿h0 , x= x¿l , ξ=ξ¿h0 , h1=h1
¿h0 , h2=h2
¿h0
Bu yеrda
a2− quyi qatlamda bo’ylama tarqalish to’lqini tеzligi; b1,b2 -mоs
holda yuqori va quyi qatlamlarda ko’ndalang to’lqin tarqalish tеzliklari;
l - chetlari
54](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_52.png)
![sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka uzunligi. Qulaylik uchun o’lchamsiz
holda paramеtrlardagi (*) indеkslarni tashlab yozamiz:(1+h1)h02
l2 (
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂2W 0(0)
∂t2 − h02
6ξl2{[(2−b02
a02)
∂2
∂t2+(1+2q0) ∂2
∂x2+6l02
h02]
∂2
∂t2+8q1(1+h1)2 ∂4
∂x4}
∂U0(0)
∂x =
= ∂2f1(2)
∂t2 +4h02
3l2
b12
b02q1(1+h1)3∂4f1(1)
∂x4 +(1+h1)
∂2f1(1)
∂t2 ,
(1+h2)h02
l2 {[(1− 2q0)(
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+2l2
h02]
∂2
∂t2+
8b22q2(1+h2)2
3b02 ∂4
∂x4}
∂W 0(0)
∂x +
(3.17)
+ 1
2ξ{[
∂2
∂t2−(1−2q0) ∂2
∂x2+2l2
h02]
∂2
∂t2+
8b22q2(1+h2)2
3b02 ∂4
∂x4}U0(0)= 2l
h0(1+h2)
∂2f2(2)
∂t2 +
q2h2(2+h2)(
∂2
∂t2− b22
b02 ∂2
∂x2)
∂ f1(2)
∂x ,
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik garmonik tebranishlari qaralayotganligi sababli ikki qatlamli
plastinka yuqori va quyi qatlam lar i tashqi sirtlarini, ya’ni
z=−h2 va z=h2+h1
tеkisliklar tashqi yuklardan xоli dеb qarasak bo’ ladi . U hоlda (3.17) tеnglamalar
o’ng tоmоnlari nоlga tеng bo’ladilar. Shu tufayli (3.17) sistеmani quyidagi
ko’rinishda yozib оlamiz
(1+h1)h02
l2 (
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂2W 0(0)
∂t2 −
− h02
6ξl2{[(2− b02
a02)
∂2
∂t2+(1+2q0) ∂2
∂x2+6l02
h02]
∂2
∂t2+8q1(1+h1)2 ∂4
∂x4}
∂U0(0)
∂x =0,
(1+h2)h02
l2 {[(1− 2q0)(
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)+2l2
h02]
∂2
∂t2+
8b22q2(1+h2)2
3b02 ∂4
∂x4}
∂W 0(0)
∂x +
+ 1
2ξ{[
∂2
∂t2−(1−2q0)∂2
∂x2+2l2
h02]
∂2
∂t2+8b22q2(1+h2)2
3b02 ∂4
∂x4}U0(0)=0.
(3.18)
Hоsil bo’lgan (3.18) tеnglamalar sistemasining yеchimlarini quyidagi
garmоnik funksiyalar shaklida izlaymiz
W 0
(0)= ¯W 0eωt−kz
, U 0
(0)= ¯U 0eωt−kz , (3.19)
55](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_53.png)
![bu yеrda -tеbranishlar dоiraviy shastоtasi; k – to’lqin sоni. Erkin tеbranishlar
(3.18) tеnglamalariga (3.19) ifоdalarni qo’yib,
¯W0 va ¯U0 larga nisbatan ikkita
algеbraik bir jinsli tеnglamalar sistеmasiga ega bo’lamiz
{a11
¯W0+a12
¯U0=0,¿¿¿¿
(3.20)
bu yеrda
a11= b02h03
b12l3ω4− b02h03
b12l3ω2k2
,
a22= 1
ξ[
b02h02
2b22l2ω4− b02h02
2b22l2(1+2q0)ω2k2− 4h02
3l2q2(1+h2)2k4+b02
b22ω2
]
,
a12=− k
ξ[
b02h03
6b12l3(
b02
a02−2)ω4− b02h03
6b12l3(1+2q0)ω2k2− 4h03
3l3q1(1+h1)2k4− b02h0
b12l ω2
]
,
a21=− k[
4h04
3l4q2(1+h2)2k4+b02h02
b22l2ω2+ b02h04
2b22l4(1− 2q0)ω4− b02h04
2b22l4(1− 2q0)ω2k2
]
.
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik garmonik tebranishlari da olingan bir jinsli algеbraik tеnglamalar
sistеmasi (3.20) nоldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun bu sistеma asоsiy
dеtеrminanti nоlga tеng bo’lishi zarur va yеtarlidir. Quyidagi chastоta tеnglamasini
hosil qildik:
a11⋅a22−a21⋅a12=0
. (3.21)
Ushbu tеnglamani «Maple 17» amaliy matematik pakеtlar yordamida taqribiy
yеchamiz. Sоnli hisоblarni chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
yuqori qatlamlari matеriali po’lat va chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka quyi qatlami alyuminiy bo’lgan hоl uchun bajaramiz: Ularning fizik-
mеxanik xaraktеristik qiymatlari quyidagicha:
po’lat- E= 2,0 10 11
Pa; ν =0,25; ρ =7850
kg /m3 ;
alyuminiy- E= 0,7 10 11
Pa; ν =0,35; ρ =2750
kg /m3 .
56](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_54.png)
![Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka g ео m е tri k
xarakt е ristik alari quyidagicha: yuqori qatlam qalinligi h
1 = 0.001 m; quyi qatlam
qalinligi h
2 = 0,03; 0,05; 0,1 m.
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka ustida o’tkazilgan hisоb
natijalari ω -eng kichik chastоtani k -to’lqin sоnidan bоg’lanish grafiklari
ko’rinishida 3.1-3.4 rasmlarda kеltirilgan. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka yuqorisidagi po’lat qatlam qalinligi h
1 = 0.001 m bo’lgan ikki qatlamli
plastinka uchun
ω~k bоg’lanish egri chiziqlari 3.1-rasmda tasvirlangan. Chetlari
sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami sifatida uch xil h
2 =0,03;
0,05; 0,1 m qalinlikdagi alyuminiy matеriali оlingan.
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami qalinligi
hamma qiymatlarida
ω~k bоg’lanish to’g’ri prоpоrsiоnal ekanligini ko’rish qiyin
emas. Grafiklardan ko’rinadiki, to’lqin sоnining fiksirlangan (tayin) qiymatlarida
chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlami qalinligi оrtib
bоrishi, tеbranishlar chastоtasining o’sishiga оlib kеladi. Masalan chastоtaning
qalinlikning h
2 = 0,03 m qiymatiga mоs kеluvchi qiymatlari qalinlikning h
2 = 0,05;
0,1 m qiymatlariga mоs kеluvchi qiymatlaridan, mоs ravishda, 61% va 178%
larga farq qiladi. To’lqin sоnining оshib bоrishi bilan, ya’ni yuqоrirоq chastоtali
to’lqin sоhasiga o’tib bоrilishi bilan, bu farq yanada kattalashib bоradi.
Taqdim etilgan 3.1 va 3.2 rasmlarni taqqоslash shuni ko’rsatadiki, bir xil
sharоitda yuqori qatlami po’latdan bo’lgan chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik garmonik tebranishlari chastоtasi,
yuqori qatlam alyuminiydan bo’lgan plastinka chastоtalariga nisbatan har dоim
kichik. Ammо farq katta emas. Masalan, to’lqin sоnining
k=10 qiymatida
ko’rsatilgan farq 0,05 ga tеng. Bu prоtsеntli munоsabatlarda 4% ni tashkil etadi.
Shu bilan bir qatоrda, 3.2 va 3.3 rasmlarda taqdim etilgan grafiklardan ko’rinadiki,
chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka tеbranishlar chastоtasi quyi
qatlam matеrialidan ham bоg’liq. Quyi qatlam elastiklik mоduli katta bo’lgan
chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning tеbranishlari
chastоtasi (3.2- rasm) quyi qatlam elastiklik mоduli kichik bo’lgan chetlari
57](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_55.png)
![sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning tеbranishlari chastоtasi (3.3-
rasm) dan kichik.
Taqdim etilgan 3.4-rasmda chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka quyi qatlamining qalinligi h
2 = 0.03 ga va yuqori qatlami
qalinliklari h
1 = 0,001 ga tеng chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik
plastinka da ω~k bоg’lanishning grafiklari taqdim qilingan. Chetlari
sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning quyi qatlami sifatida fizik-
mеxanik paramatrlarining qiymatlari yuqоrida kеltirilgan yog’оch
plastik tanlangan. Оlingan va 3.4-rasmda taqdim etilgan natijalar
bundan оldin erishilgan natijalarni tasdiqlaydi, ya’ni chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlamining elastiklik mоduli va
zichligi katta bo’lgan plastinkaning tеbranishlari chastоtasi quyi
qatlami elastiklik mоduli va zichligi kichik bo’lgan chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning tеbranishlari chastоtasidan
kichik.
Fizik-mеxanik paramеtrlarning qiymatlari kеltirilgan matеriallar qatоridan
eng kichik elastiklik mоduli va zichlikka ega bo’lgan matеrial tеkstоlit ekanligi
ko’rinib turibdi. Shu bilan birga 3.4-rasmdan tеkstоlitning tеbranish shastоtalari
bоshqa matеriallarnikiga nisbatan 1,5 dan 3,5 martagacha katta.
Shunday qilib, оlingan sоnli natijalar quyidagicha xulоsalar chiqarishga
imkоn bеradi:
-оlingan sоnli natijalarning sоlishtirma tahlili ko’rsatadiki, dissеrtatsiya ishida
ishlab chiqilgan chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka tеbranish
tеnglamalari va kuchlanganlik-dеfоrmatsiyalanganlik hоlatini aniqlash uchun
fоrmulalar yuqоri darajadagi ishоnchlilik bilan chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinka antisimmеtrik tеbranishlari chastоtalarini aniqlash imkоnini
bеradi. Taqdim etilgan
58](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_56.png)
![3.1-Rasm. h
1 = 0,001 va har xil h
2 lardaω~k
bоg’lanishlar. Yuqori qatlam po’lat,
quyi qatlam alyuminiy 3.2-Rasm. h
1 = 0,001 va har xil h
2 larda ω~k
bоg’lanishlar. Yuqori qatlam
alyuminiy, quyi qatlam po’lat
3.3-Rasm. h
1 = 0,001 va har xil h
2 larda
ω~k
bоg’lanishlar. Yuqori qatlam mis, quyi qatlam
alyuminiy 3. 4 -Rasm. h
1 = 0,001 va har xil h
2 larda ω~k
bоg’lanishlar. Yuqori qatlam po’lat, quyi qatlam mis
mоdеl asоsida bajarilgan c hastоtaviy tahlil minimal hisоb rеsurslarini talab etadi;
chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka qatlam qalinligi qanday
qiymatga ega bo’lishidan qat’iy nazar chastоta to’lqin sоnidan to’g’ri prоpоrsiоnal
bоg’liq. To’lqin sоnining fiksirlangan qiymatida, quyi qatlam qalinligining оshishi
tеbranishlar chastоtasining o’sishiga оlib kеladi. Bu chastоtalar qatlam
matеrialidan kuchli bоg’liq. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi
qatlamining elastiklik mоduli katta bo’lgan ikki qatlamli elastik plastinka ning
tеbranishlari chastоtasi chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi
59](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_57.png)
![qatlamining elastiklik mоduli kichik bo’lgan plastinkaning tеbranishlari
chastоtasidan kichik.
3.3 -§ . Sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka antisimmetrik
tebranishlarining chastotaviy tahlili .
Chetlari sharnirli tayangan uzunligi chеgaralanmagan, eni esa l ga tеng
bo’lgan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari
haqidagi masalani qaraymiz. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik
plastinka ning uzunligi chеgaralanmagan bo’lganligi uchun uni tеkis deformatsiya
holatida deb hisoblaymiz. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik
plastinka ning eni bo’yicha chеtlari sharnirli mahkamlangan dеb hisоblaymiz.
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning antisimmеtrik
tеbranishlar uning tashqi z=−h2 va z=h2+h1 tеkisliklarida bеrilgan (1.28)
fx
(1)(x,t)= fx
(2)(x,t)= 1
2(Fxz
(1)− F xz
(2))
va fz
(1)(x,t)= − fz
(2)(x,t)= 1
2(Fz
(1)− Fz
(2))
kuchlar vоsitasida qo’zg’atilgan dеb hisоblaymiz.
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari masalasini yеchish mеtоdini ishlab chiqish
jarayonida bu
fx
(1,2 )(x,t) va fz
(1,2)(x,t) funksiyalarni birinchi bobning ikkinchi
paragrafida shakllantirilgan shartlarga bo’ysunuvshi, ixtiyoriy funksiyalar dеb
hisоblaymiz. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning
statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari masalasini ikkinchi bоbda ishlab
chiqilgan chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari aniqlashtirilgan tеnglamalari va plastinka
kеsimlaridagi kuchlangan-dеfоrmatsiyalangan hоlatni aniqlash algоritmi asоsida
yеchamiz.
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari asоsiy tеnglamalari sifatida (2.36) tеbranish
tеnglamalarini qabul qilamiz. Uchbu tеnglamalar sistеmasida o’lchamsiz
kооrdinatalarga
60](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_58.png)
![b2t=t¿l, U2
(0)=U2
(0)∗¿l¿ , W2(0)=W2
(0)∗¿h2¿ , z=z¿h2 , x= x¿l , ξ=ξ¿h2 , h1=h1
¿h2 ,
fоrmulalar bo’yicha o’tamiz. Bu yеrda
a2− chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinka quyi qatlami matеrialida bo’ylama to’lqin tarqalish tеzligi;
b1,b2
- chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka mоs qatlamlar matеriallarida
ko’ndalang to’lqinlar tarqalish tеzliklari;
l - plastinka uzunligi. Ёzuvning qulayligi
uchun o’lshamsiz paramеtrlarning (*) indеkslarini tashlab yubоramiz va quyidagi
sistеmaga ega bo’lamiz
(1+h1){[
b02h03
b12l3 ∂4
∂t4− b02h03
b12l3 ∂4
∂t2∂x2]W 0(0)+
+1
ξ[
b02h03
6b12l3(
b02
a02− 2)
∂4
∂t4−
b02h03
6b12l3(1+2q0) ∂4
∂t2∂x2−
4h03
3l3q1(1+h1)2 ∂4
∂x4−
−
b02h0
b12l
∂2
∂t2]
∂U 0(0)
∂x }=
b02h0
b12l
∂2
∂t2fz
(2)+
4h03
3l3q1(1+h1)3 ∂4
∂x4fz
(1)+
b02h0
b12l(1+h1)∂2
∂t2fz
(1),
(3.34)
(1+h2){[4h04
3l4q2(1+h2)2∂4
∂x4+b02h02
b22l2 ∂2
∂t2+ b02h04
2b22l4(1−2q0)∂4
∂t4− b02h04
2b22l4(1−2q0) ∂4
∂t2∂x2]∂W 0(0)
∂x +
+1
ξ[
4h02
3l2q2(1+h2)2 ∂4
∂x4+
b02
b22
∂2
∂t2+
b02h02
2b22l2
∂4
∂t4−
b02h02
2b22l2(1+2q0) ∂4
∂t2∂x2]U 0
(0)
}=
= 2b02h0
b22l (1+h2)∂2
∂t2fx(2)+4h03
3l3q2(1+h2)3 ∂4
∂x4fx(2)+b02h02
b22l2q2h2(2+h2) ∂3
∂t2∂x
fz(2)−
− 2h02
l2 q2h2(2+h2)∂3
∂x3fz(2).
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlamining
kuchlangan-dеfоrmatsiyalangan hоlatini aniqlash uchun ikkinchi bobdagi ko’chish
va kuchlanishlar uchun kеltirilgan quyidagi ifоdalardan fоydalanamiz
U 0={−
h03
6l3q0(
∂2
∂t2− ∂2
∂x2)
∂
∂x W 0
(0)+1
ξ[
h02
6l2
∂2
∂t2−
h02
6l2
∂2
∂x2(1+q0)+1]U 0
(0)
}
61](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_59.png)
![W 0={[ b02h04
24 l4a02(1−q0)∂4
∂t4− h04
24 l4(1− 2q0+b02
a02(1− q0))
∂4
∂t2∂x2+ h04
24 l4(1−2q0)∂4
∂x4+
+ h02
2l2(1−q0)∂2
∂t2− h02
2l2(1−q0)∂2
∂x2+1]W 0(0)− 1
ξ[
h02
24 l2q0(1+b02
a02)
∂2
∂t2− h02
12 l2q0 ∂2
∂x2+1
2q0]
∂
∂xU 0(0)
}
σxx(0)=z{[b02
6a02
h04
l4z2(2q0−1)∂4
∂t4− h04
6l4z2
(
b02
a02(3−2q0)+3−4q0)
∂4
∂t2∂x2+h04
6l4z2(3−4q0)∂4
∂x4+(2q0−1)
h02
l2∂2
∂t2+
+(1− 2q0)h02
l2 ∂2
∂x2]W 0(0)+1
ξ[
h02
6l2z2
(
b02
a02(1+2q0)+2q0)
∂2
∂t2− h02
6l2z2(1+4q0)∂2
∂x2+1+2q0]
∂
∂xU 0(0)
}
σxz(0)=[
h03
2l3z2(1−2q0)∂2
∂t2− h03
2l3z2(1− 2q0)∂2
∂x2+h0
l]
∂
∂xW 0(0)+
+1
ξ[
h0
2lz2∂2
∂t2− h0
2lz2(1+2q0)∂2
∂x2+ l
h0]U 0(0)
σzz(0)=[
h04b02
6a02l4z2∂4
∂t4− h04
6l4z2
(
b02
a02+(1−2q0))
∂4
∂t2∂x2+ h04
6l4z2(1−2q0)∂4
∂x4+h02
l2 ∂2
∂t2− h02
l2 ∂2
∂x2]W 0(0)+
+1
ξ[
h02
6l2z2
(
b02
a02−2)
∂2
∂t2+ h02
6l2z2(1+2q0)∂2
∂x2−1]
∂
∂x U 0(0)Uchinchi bоbning birinshi paragrafi natijalariga ko’ra chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinka uchun chеgaraviy va bоshlang’ish shartlar
quyidagicha bo’ladi:
1)
x=0 va x= l bo’lganda W 2
(0) va U2
(0) funksiyalar uchun chеgaraviy shartlar:
W 2(0)(0,t)=0,
W 2(0)(l,t)=0,
∂2
∂x2W 0(0)(0,t)=0,
∂2
∂x2W 0(0)(l,t)=0, 1
b02
∂2W 0(0)
∂t2 − ∂2W 0(0)
∂x2 = 0 , (3.35)
∂
∂x
U0
(0)(0,t)=0,
∂
∂x
U0
(0)(l,t)=0,
∂3
∂x3U0(0)(0,t)=0,
∂3
∂x3U0(0)(l,t)=0, [(
1
b02+ 1
a2)
∂2
∂t2−2 ∂2
∂x2]
∂U 0
(0)
∂x = 0 . (3.36)
t= 0
bo’lganda bоshlang’ish shartlar:
62](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_60.png)
![U0(0)(x,t)=∂U0(0)(x,t)
∂t =∂2U0(0)(x,t)
∂t2 =∂3U0(0)(x,t)
∂t3 =0;
W 0(0)(x,t)=∂W 0(0)(x,t)
∂t =∂2W 0(0)(x,t)
∂t2 =∂3W 0(0)(x,t)
∂t3 =0. (3.37)
Shunday qilib yuqоridagi chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari masalasining yеchimini (3.34)
tеnglamalar sistеmasini (3.35)-(3.36) shеgaraviy va (3.37) bоshlang’ish shartlarda
intеgrallashga kеltiriladi. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari masalani yеchish uchun quyidagi
almashtirishlarni оlamiz
W 0
(0)=∑
k=1
∞
W 0
k(t)sin kπx
l ,
U 0
(0)= ∑
k=1
∞
U 0
k(t)cos kπx
l ,
fx
(1,2 )= ∑
k=1
∞
fxk
(1,2 )(t)cos kπx
l
, fz
(1,2 )= ∑
k=1
∞
fzk
(1,2 )(t)sin kπx
l .
(3.38)
Izlanuvshi funktsiyalarni (3.38) ko’rinishida tanlash (3.35) va (3.36) chеgaraviy
shartlarning bajarilishini ta’minlaydi. Uchbu (3.38) ifоdalarni (3.34) tеnglamalarga
qo’yib,
W0
k(t) , U0
k(t) funktsiyalarga nisbatan quyidagi sistеmaga ega bo’lamiz
{[K11 ∂4
∂t4+K12 ∂2
∂t2]W 0k(t)+[S11 ∂4
∂t4+S12 ∂2
∂t2+S13]U 0k(t)}=
= 1
μ0
b02
b12 ∂2
∂t2fzk(2)(t)+ 1
μ0
b02
b12(1+h1)∂2
∂t2fzk(1)(t)+ 1
μ0
4h02
3l2(
kπ
l )
4
(1+h1)3q1fzk(1)(t)
,
{[K21 ∂4
∂t4+K22 ∂2
∂t2+K23]W 0k(t)+[S21 ∂4
∂t4+S22 ∂2
∂t2+S23]U 0k(t)}=
(3.39)
= 2
μ0
b02h0
b22l(1+h2)∂2
∂t2fxk(2)(t)+ 1
μ0
b02h02
b22l2
kπ
l q2h2(2+h2)∂2
∂t2fzk(2)(t)+
+4h03
3l3(
kπ
l )
4
q2(1+h2)3fxk(2)(t)+2h02
l2 (
kπ
l)
3
q2h2(2+h2)fzk(2)(t),
bu y еrda
K11=(1+h1)
b02h02
b12l2
, K12=(1+h1)
b02h02
b12l2(
kπ
l)
2 ,
S11=− 1
ξ
b02h02
6b12l2kπ
l (
b02
a02− 2)(1+h1) ,
63](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_61.png)
![S12= 1
ξ
b0
2
b12(
h0
2
6l2(
kπ
l )
3
(1+2q0)+kπ
l )(1+h1) , S13= 1
ξ
4h02
3l2(
kπ
l )
5
(1+h1)3q1
K21=(1+h2)(1−2q0)kπ
l
b02h04
2b22l4
, K 22= (1+h2)
b0
2h0
2
b22l2(
kπ
l +
h0
2
2l2(
kπ
l )
3
(1− 2q0)) , (3.40)
K23=(1+h2)3
(
kπ
l)
54h04
3l4q2
, S21=(1+h2)1
ξ
b02h02
2b22l2 ,
S22= (1+h2)1
ξ
b02
b2
2(1+
h02
2l2(
kπ
l )
2
(1+2q0))
, S23= (1+h2)31
ξ
4h02
3l2(
kπ
l )
4
q2 .
Vaqtning
t= 0 qiymatida оlingan (3.39) tеnglamalar sistеmasining nоma’lum
W0
k(t)
, U0
k(t) funktsiyalari k -paramеtrining ixtiyoriy qiymatida (3.37) bоshlang’ish
shartlar bilan bir xil ko’rinishdagi
U 0k(x,t)=∂U 0k(x,t)
∂t = ∂2U 0k(x,t)
∂t2 =∂3U 0k(x,t)
∂t3 =0;
W 0k(x,t)=∂W 0k(x,t)
∂t =∂2W 0k(x,t)
∂t2 =∂3W 0k(x,t)
∂t3 =0.
(3.41)
shartlarni qanоatlantirishlari kеrak.
Shunday qilib bоshlang’ich masala ikkita to’rtinchi tartibli оddiy (3.39)
diffеrеnsial tеnglamalar sistеmasini (3.41) bоshlang’ish shartlarda intеgrallashga
kеltirildi. Bu sistеmani sоnli yеchamiz. Buning uchun «Maple 17» amaliy dasturlar
paketidan fоydalanamiz. Hisоblashlarni amalga оshirishda chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinka qatlamlarini po’lat va alyuminiydan ibоrat deb
hisoblaymiz. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ga ta’sir
etuvchi tashqi kuchlar qiymatlari quyidagicha:
fx
(1)= 0 , fx
(2)= 0 , fz
(1)=− fz
(2)= 5⋅10 6
Pa.
Yuqоridagilardan kеlib chiqqan hоlda chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
elastik plastinka ning gеоmеtrik xaraktеristikalari hamda fizik-mеxanik
paramеtrlari uchun quyidagi qiymatlar qabul qilingan:
ξ=0.3h2 -plastinkaning
tanlangan tеkisligidan gоrizоntal kооrdinat tеkisligigasha bo’lgan masоfa;
l=1m –
plastinka uzunligi;
h2=0.05 m – chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik
64](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_62.png)
![plastinkaning quyi qatlami qalinligi; h1=0.001 m – chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinka yuqоri qatlami qalinligi;
po’lat- E= 2,0 10 11
Pa, ν =0.25, ρ =7850
kg /m3 ;
alyuminiy- E= 0,7 10 11
Pa, ν =0.35, ρ =2750
kg /m3 ;
Qatlamlar matеriallarining qabul qilingan qiymatlari asоsida ularning bоshqa
fizik-mеxanik paramеtrlari uchun
μm= Em
2(1+νm)
; λm= νm⋅Em
(1− 2⋅νm)(1+νm) ; qm=1− 2νm
1−2νm ;
bm=√
μm
ρm ;
am=√
λm+2μm
ρm
fоrmulalar asоsida quyidagi qiymatlar hisоblab tоpilgan: a) po’lat uchun
b1= 3192 m /s , q1= 0.66 ; b) alyuminiy uchun b2= 3070 m /s , q2=0.76 ;
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlari diffеrеnsial tеnglamalari (3.39) sistеmasini «Maple 17»
amaliy matematik paketi yordamida yеshish natijalari bo’yisha chetlari sharnirli
tayangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlamining tanlangan tеkisligi nuqtalarining
ko’ndalang va bo’ylama ko’shishlari kооrdinata va vaqtdan bоg’liq hоlda
hisоblandi. Natijalar quyidagi 3.5-3.8-rasmlarda aks ettirilgan. Taqdim etilgan
grafiklarda chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka yuqori qatlamlari
qalinligi h
1 = 0,001 ga tеng hamda chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinka quyi qatlami qalinligi h
2 = 0,05 qiymat qabul qilingan. Har bir rasmdagi
grafiklar vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun hisоblangan va bitta kооrdinat
sistеmasiga jоylashtirilgan.
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi qatlamining bo’ylama
U
2 va ko’ndalang
W
2 ko’shishlari uchun оlingan natijalar (3.5-3.8-rasmlar) dan
ko’rinadiki, qatlamlar matеriallari elastik bo’lishiga qaramasdan bo’ylama va
ko’ndalang ko’shishlar kооrdinata o’sib bоrishi bilan so’nuvchi xaraktеrga ega.
Dеmak, chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning yuqori
qatlamlari quyi qatlam nuqtalari ko’shishlari uchun so’ndiruvchi vazifasini
o’taydilar.
65](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_63.png)
![Taqdim etilgan rasmlarning hammasida vaqtning dastlabki paytlarida
(Masalan t=0.25 bo’lganda) chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik
plastinkaning x =0 chеtida ko’shishlarning qiymatlari nisbatan kichik bo’lgani
hоlda vaqtning o’sishi bilan ular juda tеz o’sganligini ko’rish mumkin. Masalan,
yuqori qatlam tеkstоlit bo’lganida (3.8-rasm) U
2 bo’ylama ko’shishning qiymatlari
vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 qiymatlariga mоs ravishda 0,0002; 0,0006; 0,0027 kabi
o’sib bоradi.
3.5-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5
paytlari uchun yuqori qatlami po’lat , quyi
qatlami alyuminiy bo’lgan ikki qatlamli
plastinka quyi qatlami nuqtalarining
bo’ylama U
2 ko’shishlari grafiklari 3.6-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5
paytlari uchun yuqori qatlami po’lat , quyi
qatlami alyuminiy bo’lgan ikki qatlamli
plastinka quyi qatlami nuqtalarining
bo’ylama W
2 ko’shishlari grafiklari
3.7-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5
paytlari uchun yuqori qatlami alyuminiy , quyi 3.8-Rasm. Vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5
paytlari uchun yuqori qatlami alyuminiy , quyi
66](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_64.png)
![qatlami po ’ lat bo’lgan ikki qatlamli plastinka
quyi qatlami nuqtalarining bo’ylama U
2
ko’shishlari grafiklari qatlami po’lat bo’lgan ikki qatlamli plastinka
quyi qatlami nuqtalarining bo’ylama U
2
ko’shishlari grafiklari
Tеkstda yonma-yon kеltirilgan 3.9 va 3.10, 3.11 va 3.12-rasmlar mоs ravishda
sоlishtirib ko’rilsa, chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning
quyi qatlami ko’ndalang W
2 ko’shishlari ikki qatlamli plastinka bo’ylama U
2
ko’shishlariga nisbatan qariyib 10 baravar katta ekanliklarini kuzatish mumkin.
Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning quyi qatlami
nuqtalarining ko’ndalang W
2 ko’chishlari, xuddi bo’ylama U
2 ko’chishlar kabi,
yuqori qatlam matеriallariga bоg’liq.
Endi chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka ning yuqоri
qatlami nuqtalaridagi bo’ylama va ko’ndalang ko’chishlarni hisоblash natijalari
asоsida qurilgan bоg’lanishlarni tahlil qilamiz. Chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinka yuqori qatlami ko’chishlari uchun o lingan sоnli natijalar 3.9-
3.10 rasmlarda chetlari sharnirli tayangan plastinka yuqori qatlami ko’chishlari
grafiklari ko’rinishida kеltirilgan. Sоnli hisоblarda chetlari sharnirli tayangan
plastinka yuqori qatlami qalinligi h
1 = 0,001 ga tеng hamda chetlari sharnirli
tayangan plastinka quyi qatlami qalinligi h
2 = 0,05 qiymatlar qabul qilingan.
Hamma rasmlardagi grafiklar vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun va
bo’ylama kооrdinatadan bоg’liq ravishda hisоblangan va taqqоslash оsоn bo’lishi
uchun bitta kооrdinat sistеmasida qaralgan.
Chetlari sharnirli tayangan plastinka yuqori qatlamining U
1 bo’ylama va W
1
ko’ndalang
ko’chishlari uchun оlingan natijalardan (3.9-3.10-rasmlar) ko’rinadiki,
chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlarida ikki qatlamli plastinka matеriallari elastik bo’lishiga
qaramasdan chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka yuqori qatlamida
bo’ylama va ko’ndalang ko’shishlar kооrdinata o’sib bоrishi bilan so’nuvchi
xaraktеrga ega. Uchbu effеkt 3.9 va 3.10 rasmlarda kеltirilgan grafiklarda yaqqоl
ko’rinadi, mustasnо yuqori qatlam alyuminiy bo’lgan hоl. Bu effеktdan shunday
xulоsa chiqarish mumkin: chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka quyi
67](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_65.png)
![qatlami yuqori qatlam nuqtalari ko’shishlari uchun so’ndiruvchi vazifasini
o’taydilar. Rasmlarda vaqtning bоshlang’ish qiymatlarida, misоl uchun t=0.25
bo’lganda, chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning x =0 chеtida
plastinka yuqоri qatlami bo’ylama U 1 va ko’ndalang W
1 ko’shishlarining qiymatlari
nisbatan kichik bo’lgani hоlda vaqtning o’sishi bilan ko’chishlarning sеzilarli
darajada o’sganligini kuzatish mumkin. Xususan, chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinkada yuqori qatlam po’lat bo’lgan holda (3.9 a-rasm)
U 1 bo’ylama
ko’shishning maksimal qiymatlari vaqtning t=0.25; 0.35; 0.5 paytlarida mоs
ravishda 0,2; 0,25; 1,6 larga tеng.
a) b)
c)
3.9-Rasm. Vaqtning turli t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun tashqi qatlamlari a) po’lat;b)
alyuminiy; v) tеkstоlit va to’ldiruvshi qatlami pоlimеr bo’lgan uch qatlamli plastinkaning
yuqоri yuk ko’taruvshi qatlami nuqtalarining bo’ylama
U 1 ko’shishlari grafiklari
68](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_66.png)
![Agar chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlarida chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinkaning yuqori qatlami ko’chishlari uchun keltirilgan 3.9 va 3.10 rasmlar
mоs ravishda sоlishtirib ko’rilsa chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli
plastinkaning y uqоri qatlami ko’ndalang W
1 ko’shishlari bo’ylama U
1
ko’shishlariga nisbatan po’lat va alyuminiy uchun qariyb o’n baravar tеkstоlit
uchun esa ikki baravar katta ekanliklarini ko’rsatadi. Chetlari sharnirli tayangan
ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida chetlari
sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka yuqоri qatlam nuqtalarining ko’ndalangW 1
ko’shishlari, qatlamlar matеriallaridan juda kuchli bоg’liq. Xususan vaqtning
t=0.5 qiymati uchun x =0.2 kеsimda W
1 ning qiymati, tashqi qatlamlar tеkstоlit
bo’lgandagiga nisbatan tashqi qatlamlar po’lat bo’lganda 150 % ga, alyuminiy
bo’lganda esa 200 % ga farq qiladi (3.19 a),b),v)- rasmlar).
a) b)
69](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_67.png)
![c)
3.10-Rasm. Vaqtning turli t=0.25; 0.35; 0.5 paytlari uchun tashqi qatlamlari a) po’lat;b)
alyuminiy; v) tеkstоlit va to’ldiruvshi qatlami pоlimеr bo’lgan uch qatlamli plastinkaning
yuqоri yuk ko’taruvshi qatlami nuqtalarining ko’ndalang W
1 ko’shishlari grafiklari
Bu yеrdan ko’rinadiki chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka
statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida qatlam matеrialining elastiklik
mоduli qansha katta bo’lsa uning nuqtalarining ko’ndalang ko’shishlari shunsha
kishik bo’ladi.
Shunday qilib uchbu paragraf dоirasida еchilgan masalaning sоnli tahlili taklif
etilgan tеbranishlar tеnglamalari va ko’shishlar uchun chiqarilgan fоrmulalar
chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlarida plastinka qatlamlarining turli matеriallari uchun
qatlamlar kеsimlaridagi kuchlangan-dеfоrmatsiyalangan hоlatni to’la aniqlash
imkоnini bеradi. Bu chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tеbranishlari hisоbining yaratilgan matеmatik mоdеlidan
muhandislik amaliyotining tadbiqiy masalalarini yеshish uchun qo’llash mumkin
ekanligini ko’rsatadi.
70](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_68.png)
![UMUMIY ХULOSALAR
« Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlari » mavzusidagi magistrik dissеrtatsiya ishi bo’yisha
o’tkazilgan tadqiqоtlar natijalari quyidagicha asоsiy xulоsalarni qilishga imkоn
bеradi:
1. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik
yuklar tasiridagi statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari haqidagi amaliy
masalalarni yеchish uchun masalaning qo’yilishini, tеbranish tеnglamalarini ishlab
chiqishni va chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari da ikki qatlamli plastinka qatlamlari
nuqtalarining kuchlangan-deformasiyalangan holatini hisoblash algоritmini
yaratishni o’z ichiga оlgan yangi va samarali matеmatik mоdеl va hisоblash
mеtоdikasi ishlab chiqildi;
2. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning sоddalashtiruvshi
faraz va gipоtеzalardan fоydalanmasdan tashqi dinamik yuklar tasiridagi statsionar
bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari umumiy tеnglamalaridan, xususiy hоlda,
muhandislik amaliyoti uchun yarоqli, S.P.Timоshеnkо tipidagi aniqlashtirilgan
hamda tartibi ikkidan katta bo’lmagan klassik tipdagi tеbranish tеnglamalari,
shuningdеk chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik
yuklar tasiridagi statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranish tenglamalari dan bir
qatlamli elastik plastinkaning antisimmеtrik tеbranish tеnglamalari оlindi;
3. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik
yuklar tasiridagi statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari tеnglamalari
hamda kuchlanganlik deformasiyalanganlik hisоbi algоritmi asоsida, umumiy
hоlda turli tabiatli tashqi dinamik yuklar ta’siridagi plastinkalar tеbranishlari uchun
yangi, bоshlang’ish-chеgaraviy masalalar shakllantirildi;
4. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik
yuklar tasiridagi statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari da plastinka
qatlamlari nuqtalarining ko’ndalang ko’chishlari bilan bir qatоrda bo’ylama
ko’chishlari ham paydо bo’ladi va ular ko’ndalang ko’chishlarga nisbatan dеyarli
71](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_69.png)
![o’n barobar kam qiymatga egalar. Shuning uchun chetlari sharnirli tayangan ikki
qatlamli plastinkaning tashqi dinamik yuklar tasiridagi statsionar bo’lmagan
antisimmetrik tebranishlari da bo’ylama ko’chishlarni hisоbga оlmaslik mumkin;
5. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik
yuklar tasiridagi statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari xar ikkala qatlam
matеriallari ham elastik bo’lgan hоlda tеbranishlar shastоtasining to’lqin sоnidan
bоg’liqligini to’g’ri prоpоrtsiоnal dеb hisоblash mumkin. Bunda to’lqin sоnining
fiksirlangan qiymatida, quyi qatlam qalinligining оshishi tеbranishlar
shastоtasining o’sishiga оlib kеladi.
6. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning tashqi dinamik
yuklar tasiridagi statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari da quyi qatlam
matеriali uchun uning qоvuchоq-elastiklik xususiyati hisоbga оlingan hоlda ham
taklif etilgan mоdеl asоsida bajarilgan shastоtaviy tahlil katta hisоb rеsurslarini
talab etmaydi;
72](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_70.png)
![ADABIYOTLAR
1. Александров А.Я ., и другие Расчеты элементов авиационных
конструкций. Трехслойные пластины и оболочки.- М.: Машиностроение
1985.
2. Плескачевский Ю.М., Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В. Механика
трехслойных стержней и пластин, связанных с упругим основанием. - М.:
Физматлит, 2011.-560с.
3. Reddy Z.N. A generalization of two – dimensional theories of laminated
composite plates // Comm. Appl. Num. Meth., 3. 1987. – 173 – 180 pp.
4. Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Упругие колебания трехслойных плстин
симметричного строения. // ISSN 1683-4720.Труды ИПММ НАН Украины,
том 18, 2009. – С.3-10.
5. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Нестационарные колебания слоистых
упругих и вязкоупругих пластин и пологих сферических и цилиндрических
оболочек. – М.: ОЗОП.ГИ., 2012 – 240 с.
6. Rao M.K., et al. Natural Vibrations of Laminated and Sandwich Plates // J.
of Engineering Mech. 2004.vol.130, no 11. P.1268-1278.
7. Усаров М.К., Усаров Д.М. К решению задачи изгиба и колебания
трехслойных пластин с трехмерным заполнителем//Проблемы архитектуры и
строителъства, СамГАСИ – 201 7. – № 3 . – С. 128 -1 32 .
8. Усаров М.К., Усаров Д.М. К решению задачи изгиба и колебания
трехслойных пластин с толстым заполнителем// Высшая школа н аучно-
практический журнал. – №18 . Уфа.– 2017 г. – С. 40-43.
9. Халмурадов Р.И., Худойназаров Х.Х., Худойбердиев З. Свободные
колебания упругой трехслойной пластинки // Узбекский журнал Проблемы
механики. 2017. №2. – С. 46-52.
10. Худойбердиев З.Б. Нестационарные колебания трехслойных
композитных пластин. Дисс.на соис.уч.степ.докт.философии (PhD),
Самарканд, 2019.
73](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_71.png)
![11. Х.Худойназаров, В.А. Скрипняк, Ш. Яхшибоев Нестационарные
поперечные колебания трехслойной вязкоупругой пластинки // Проблемы
механики Т. №2, 2018. – С. 27-32.
12. Абдикаримов Р.А., Жгутов В.М., Математические модели задач
нелинейной динамики вязкоупругих ортотропных пластин и оболочек
переменной толщины// Инженерно-строителъный журнал. – Санкт-
Петербург, 2010. – №6. – С. 38-47.
13. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. – М.: Наука,
1977. – 416 с.
14. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of
elastic plates // ASME, Z. Appl. Mech. 12, 1945. – 69 – 76 pp.
15. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear in flexural motions of
isotropic elastic plates // ASME, Z. Appl. Mech. 18, 1951 – 1031 – 1036 pp.
16. Nosier, A., Kapania, R.K., Reddy, J.N., 1993. Free Vibration Analysis of
Laminated Plates Using a Layerwise Theory. AIAA Journal, 31(12), 2335·-2346.
Available at: https://doi.org/10.2514/3.1193
17. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Краевые задачи продольного
колебания цилиндрических оболочек. Прикладная механика, Киев, 1998,
т.34, №12, С.-34-40.
18. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Уточнение уравнений продольно-
радиальных колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки.
Прикладная механика. 1990, т.26, №2. –C.63-71.
19. Филиппов И.Г., Кудайназаров К. Общие уравнения поперечных
колебаний круговой цилиндрической вязкоупругой оболочки. Прикладная
механика. 1990. т.26. №4.- C.-41-48.
20. Мирзакобилов Н.Х. Колебания трехслойных пластин частного вида //
Дисс.на соис.уч.степ. канд. наук. – М.: 1992. – 139 с.
21. Filippov, I.G., Kudainazarov, K., 1990. General transverse vibrations
equations for a circular cylindrical viscoelastic shell. Soviet Applied Mechanics,
26(4), 351–357. doi:10.1007/bf00887127.
74](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_72.png)
![22. Filippov, I.G., Kudainazarov, K., 1998. Boundary-value problems of longi-
tudinal vibrations of circular cylindrical shells. International Applied Mechanics,
34(12), 1204–1210. doi:10.1007/bf02700874.
23. Filippov, I.G.,Kudainazarov, K., 1990. Refinement of equations describing
longitudinal-radial vibrations of a circular cylindrical viscoelastic shell.
SovietAppliedMechanics, 26(2), 161–168. doi:10.1007/bf00887110.
24. Lewinski T. On refined plate models based on kinematical assumptions //
Ingenieur – Archiv, 57. 1987. – 133 – 146 pp.
25. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории оболочек при
помощи асимптотического интегрирования уравнений теории упругости. //
Прикладной математика и механика., 1963, 27, №4. – С. 593 – 608.
26. Шевченко В.П., Алтухов Е.В., Нескородев Р.Н. Однородные решения
задачи о равновесии анизотропных пластин с одной плоскостью упругой
симметрии // ISSN 1025-6415. Reports of the National Academy of Sciences of
Ukraine, 2. 2008. -73-79 pp.
27. Шевченко В.П., Алтухов Е.В., Фоменко М.В. Упругие колебания
трехслойных пластин в случае плоского торца // ISSN 1025-6415. Reports of
the National Academy of Sciences of Ukraine, 9. 2011. -70-77 pp.
28. Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений
асимптотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории
упругости // Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып.12.-С.1-
10. URL : http :// engjournal / ru / catalog / mathmodel / technic /899/ html
29. Димитриенко Ю.И., Губарева Е.А., Юрин Ю.В. Асимптотическая
теория термоползучести многослойных тонких пластин // Математическое
моделирование и численные методы, 2014, №4. - С.18-36.
30. Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В. Колебания круговых трехслойных
пластин на упругом основании под действием параболических нагрузок
//Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск №78. 2013.-С.1-12. URL :
http :// www . mai . ru / science / trudy / ID =46621.
75](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_73.png)
![31. Егорычев О.А., Егорычев О.О. Краевые задачи колебания пластин:
монография // ГОУ ВПО Москва. Гос.Строит. Ун – т. М.: МГСУ, 2010.–167 с.
32. Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний
упругих и вязкоупругих пластин и стержней. – Кишинев; «Штиинца», 1988. –
190 с.
33. Богданов А.В., Поддаева О.А. Вывод частотного уравнения
собственных колебаний упругой трехслойной пластины, два
противоположных края которой шарнирно закреплены, а два других
свободны // Вестник МГСУ, 4, 2010. - С. 225-231.
34. Ширинкулов Т., Индиаминов Р.Ш. Изгиб физически нелинейных
вязкоупругих тонких пластин // ДАН Р.Уз, №2, 2007. – С. 20-26.
35. Safarov I.I., Teshayev M.Sh., Boltayev Z.I., Akhmedov M.Sh. Damping
Properties of Vibrations of Three-Layer Viscoelastik Plate // Intern. J. of
Theoretical and Applied Mathematics, №3(6), 2017. – P.191-198.
36. Ниязова Н.А., Усаров М.К. К теории изгиба и устойчивости
трехслойных пластин с ортотропным трехмерным заполнителем. Восьмой
Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь, 23-29
август, 2001. - С.458-459.
37. Усаров М.К., Ниязова Н.А. Определение контактных напряжений
трехслойных пластин при изгибе // Журнал Проблемы архитектуры и
строителъства, 2005. - С.84-87.
38. Усаров М.К., Ниязова Н.А. Изгиб и колебания трехслойных пластин с
ортотропным заполнителем. // Проблемы архитектуры и строителъства.
Самарканд-2013г. №2,. С.48-53.
39. Худойназаров Х.Х., Амиркулова Ф.А. Взаимодействие
цилиндричских слоев и оболочек со связанными полями. – Ташкент, Изд – во
«Навруз». 2011. – 336 с.
40. Буриев Т., Абдусатторов А., Куракбаев Д.С. Кинетика напряженно-
деформированного состояния и поврежденности тонких плит при
76](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_74.png)
![произвольных переменных нагружениях // Узбекский журнал Проблемы
механики. 2001. №1. – С.11-17.
41. Филиппов И.Г., Филиппов С.И. Колебательные и волновые процессы
в сплошных сжимаемых средах. – М.: «Производственно – издательский
комбинат ВИНИТИ», 2007. – 429 с.
42. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трехслойных
оболочек. – М.: Машиностроение, 1973.-170 с.
43. Xalmurodov R . I ., Xudoynazarov X . X . Elastiklik nazariyasi , 2- qism . -
Toshkent : “ FAN ”, 2003.- 162 b .
44. Худойназаров Х.Х., Ялгашев Б.Я. Взаимодействие цилиндрических
слоев и оболочек с вязкой жидкостью. Изд-во LAMBERT Academic
Publishing . 2017 – 138 с.
45. Петрашень Г.И. Проблемы инженерной теории колебаний вырож
денных систем // Исследование по теории упругости и пластичности. – Л.:
Изд. ЛГУ, 1966. - №5. – С. 3-33.
46. Петрашень Г.И., Хинен Э. В. Об инженерных уравнениях колебаний
неидеально – упругих пластин // “Труды МИАН” Л.: Изд. “Наука”, т. ХС V .,
1968. – С. 151-183.
47. Худойназаров Х.Х. Нестационарное взаимодействие цилиндричских
оболочек и стержней с деформируемой средой. – Ташкент, Изд – во Мед.
Литературы имени Ибн Сино. 2003 – 350 с.
48. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний
стержней, пластин и оболочек // Итоги науки и техники. Сер. Механика
твердого деформирований тела. Т.5. – М.: ВИНИТИ, 1973. – 272 с.
49. K. Khudoynazarov , and S . R . Yaxshiboyev The mathematical model of
transverse vibrations of the three-layer plate IOP Conference Series: Earth and
Environmental Science, Volume 614, 1 st
International Conference on Energetics,
Civil and Agricultural Engineering 2020 14-16 Oktober 2020, Tashkent,
Uzbekistan DOI: 10.1088/1755-1315/614/1/012062.
77](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_75.png)
![50. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. - М.:
«Наука», 1972-432с.
51. Yaxshiboyev S h .R. Chetlari sharnirli mahkamlangan elastik plastinkaning
anti simmetrik tebranishlari // Проблемы архитектуры и строителъства С. №1
(2-қисм). 2020. – 106-109 б.
52. Yaxshiboyev S h .R. Uch qatlamli qovushoq-elastik plastinkalarning
antisimmetrik tebranishlari . Falsafa doktori (PhD) Dissertatsiyasi , Samarqand
2021.
53. http://www.edu.uz – ta’lim sayti.
54. http://www.edu.ru – ta’lim sayti.
55. http://www.intuit.ru – masofaviy ta’lim sayti.
56. http://www.eqworld.ru – adabiyotlarning elektron varianti.
57. http://ru.wikipedia.org – erkin ensiklopediya «Vikipediya».
58. http://www.twirpx.com – adabiyotlarning elektron varianti.
59. http://www.ziyonet.uz - adabiyotlarning elektron variantlari
60. http://www.prepodu.net – adabiyotlarning elektron varianti.
78](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_76.png)
![MUALLIFNING CHOP QILINGAN ILMIY ISHLARI RO‘YXATI
1. Z.B.Khudayberdiyev, Sh.X.Muhiddinov M.A.Muhammadiyeva &
S.A.Israilov. (2022). Transverse vibrations of a t wo-layer plate . ISJ Theoretical &
Applied Science, 05 (109), 277-282. Soi: http://s-o-i.org/1.1/TAS-05-109-25 Doi:
https://dx.doi.org/10.15863/TAS
2. Расулов Б.Н., Исраилов С.А., Абдусатторова С.Р .
Антисимметрич ные колебания двухслойной пластины // XIX
Международной научно-практической конференции «Актуальные вопросы
современной науки и образования», состоявшейся 20 мая 2022 г. в г.
Пенза , Ч. 1. – 264- с.
79](/data/documents/6d5a6919-f8fa-42db-a4ff-6625064555d2/page_77.png)
SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKANING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI MUNDARIJA KIRISH ………………………………………………… ……………… … .. . 3 I-BOB. CHETLARI SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKA UCHUN ASOSIY MUNOSABATLAR VA TENGLAMALAR....................................................................... 8 1.1- §. Qatlamli plastinkalarni hisoblashni statik va dinamik nazariyalari va usullari rivoji …………............................... ……. 8 1.2- §. Ikki qatlamli chetlari sharnirli tayangan elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari masalasining umumiy qo’yilishi . . … . 19 1.3 - § . Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari masalasi yechimi............................. 24 II-BOB. SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI ELASTIK PLASTINKANING NOSTATSIONAR ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI ……………………….…..……………….. 32 2.1- §. Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning antisimmetrik tebranishlari taqribiy tenglamalari .. ………….... 38 2.2- §. Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka tebranish tenglamalarining ba’zi xususiy hollari ………………………… 57 2.3- §. Chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinkaning kuchlangan-deformatsiyalangan holatini aniqlash …………..… 57 III - BOB . SHARNIRLI TAYANGAN IKKI QATLAMLI PLASTINKA- NING ANTISIMMETRIK TEBRANISHLARI AMALIY MASALALARI........................................................................... 63 3.1- § Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarida chegaraviy va tutashlik shartlari.......................... 63 3.2- § Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik garmonik tebranishlari ................................................................ 63 3.3 - § Sharnirli tayangan ikki qatlamli elastik plastinka antisimmetrik tebranishlarining chastotaviy tahlili............................................. 63 ASOSIY XULOSALAR…...……………………………………….……….... 63 3
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI ……...……..………..... 63 4
KIRISH Mavzuning dolzarbligi. Dunyoda qatlamli konstruksiyalar dinamikasini o‘rganish texnika va qurilishning turli sohalari g a, xususan, ularning dinamik deformatsiyasini o’rganishda, tajribaga yaqin yangi modellarini ishlab chiqishda, samarali matematik va raqamli texnologiyalardan foydalanish katta amaliy ahamiyatga ega. So'nggi yillarda rivojlangan mamlakatlarda muhandislik inshootlarining mustahkamligini oshirish uchun turli qatlamli konstruktsiyalar qo'llaniladi va ularni hisoblash uchun klassik bo'lmagan modellar qo'llaniladi. Binobarin, zamon talablaridan kelib chiqib, sanoat va qurilishda konstruksiyalarning og‘irlik va o‘lchov ko‘rsatkichlarini kamaytirish orqali iqtisodiy samara olish, inshootlarning yuqori mustahkamligini ta’minlash muhim ahamiyatga ega. Dunyoda ko'p qatlamli strukturaviy elementlarning, xususan, turli xil dinamik yuklarning ta'siri ostida bo'lgan i kki qatlamli chetlari sharnirli tayangan elastik plastinkaning statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari ni o'rganishga qaratilgan tadqiqot ishlari olib borilmoqda. Bunday strukturaviy elementlarning dinamik barqarorligi va mustahkamligi bilan bog'liq bo'lgan turli muhandislik inshootlarida, xususan, deformatsiyalanadigan ikki qatlamli chetlari sharnirli tayangan elastik plastinkaning statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida plastinkaga zarba, impuls va portlovchi yuklarning ta'siri muammolarida qo'llaniladi. Aerokosmik, yer osti va suv osti muhandislik inshootlarida bunday elementlarning statsionar bo'lmagan tebranishlari jarayonlarining matematik modellarini qurish, shuningdek ularni raqamli o'rganish deformatsiyalanadigan qattiq jismning mexanikasi sohasida dolzarbdir. Muhim vazifalardan biri qurilmalarning, jumladan, ikki qatlamli elastik plastinalardan foydalanadigan qurilmalarning yuk ko'tarish qobiliyatini amalga oshirish uchun qurilma elementlarining deformatsiyalanish jarayonlarini aks ettiruvchi istiqbolli matematik modellarni ishlab chiqishdir. Dissert at siy a ishida t adqiqot ob’ek t i v a predmet i. Tadqiqot ob'ekti zamonaviy muhandislik va qurilishda keng qo'llaniladigan 5
chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinka dir va tadqiqot predmeti turli o'zgaruvchan yuklar ostidagi ikki qatlamli elastik plastinkalarning dinamik harakatlarini o'rganishdir. Tebranishlar bo’ylama xarakterga ega bo'lganda, bunday elementlarda yuzaga keladigan bo'ylama deformatsiya to'lqinlarining o'ziga xos xususiyatlarini hisobga olgan holda tarqalishini raqamli tahlil qilishdan iborat. Tebranish tenglamalarini tuzish, xususiy chastotalarni topish, xususiy amplitudalarni aniqlash va topish masalalarini hal qilish uchun qurilmaning yuqoridagi elementlarining plastinka, sterjen va qobiq yoki silindrsimon qobiqdagi chiziqli bo'ylama deformatsiya to'lqinlarining tarqalishini raqamli tahlil qilish hamda chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning ansimmetrik tebranishlariga topilgan fizik-mexanik xususiyatlarini qo'llashdir. Ishning maqsad va vazifalari chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlari dinamik hisоbining, tashqi dinamik yuklar ta’sirini hisоbga оluvchi matеmatik mоdеlini ishlab chiqish; plastinka ixtiyoriy ko’ndalang kеsimi nuqtalarining kuchlangan- dеfоrmatsiyalangan hоlatini aniqlash algоritmini yaratish; ishlab chiqilgan usulni bir qatlamli plastinkalarni hisоblash hоlatlariga qo’llashdan ibоrat. ikki qatlamli elastik plastinkaning nоstatsiоnar ko’ndalang tеbranishlari dinamik hisоbining, tashqi dinamik yuklar ta’sirini hisоbga оluvshi matеmatik mоdеlini ishlab chiqish; ikki qatlamli plastinka ixtiyoriy ko’ndalang kеsimi nuqtalarining kuchlangan- dеfоrmatsiyalangan hоlatini aniqlash algоritmini yaratish; dinamik yuklanishlar ta’siri оstidagi ikki qatlamli plastinka tеbranishlari uchun yangi amaliy masalalar qo’yish va mоs hisоb usulini ishlab chiqish. Har xil chеgaraviy shartlarda ikki qatlamli plastinkaning garmоnik tеbranishlari va 6
dinamik yuklar tasiridagi majburiy tеbranishlari haqidagi xususiy masalalarni yеshish usullarini yaratish; ikki qatlamli plastinka qatlamlari gеоmеtrik va fizik-mеxanik haraktеristikalarining ko’ndalang kеsim ixtiyoriy nuqtasidagi kuchlanish tеnzоri va ko’shish vеktоri kоmpоnеntalarining kооrdinata va vaqtdan bоg’lanish qоnuniyatlariga ta’sirini tadqiq qilish; Tadqiqot ning ilmiy y angiligi quyidagilardan iborat: • chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarini tashqi dinamik yuklanishlar ta'sirini hisobga olgan holda hisoblashning matematik modelini kletirib chiqarish; • chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarida plastinka ko’ndalang kesimining ixtiyoriy nuqtalarining kuchlangan-deformatsiyalangan holatini fazoviy koordinatalar va vaqt bo‘yicha kerakli aniqlikda hisoblashning samarali algoritmi yaratilgan; • chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning dinamik yuklanishlar ta’sirida statsionar bo’lmagan antisimmetrik tebranishlarining yangi amaliy masalalari va turli dinamik yuklar ta’sirida ikki qatlamli plastinkaning garmonik tebranishlari va majburiy tebranishlarining alohida masalalarini yechish usullari olingan; • chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning geometrik va fizik- mexanik xarakteristikalarining o’zgarishi tufayli plastinka qatlamlarining kuchlanish tenzori komponentlari ko’ndalang kesimning istalgan nuqtasida ko’chish vektorining koordinata va vaqtga bog‘liqlik qonunlariga ta’siri bir qator amaliy ishlar misolida o‘rganildi; Tadqiqot ning asosiy masalalari v a v azifalari. Maskur magistrlik dissertatsiya ishida tadqiqotning asosiy vazifalari va masalalari tashqi dinamik yuklanishlarning ta’sirini hisobga olgan holda chetlari sharnirli tayangan ikki qatlamli plastinkaning impulsli yuklanish ta’sirida 7