logo

ICHKI ENERGIYA TARQALISHIGA EGA TURLI MATERIALLAR UCHUN GISTEREZIS TUGUNI PARAMETRLARINING QIYMATLARINI ANIQLASH

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

619.7685546875 KB
Ichki energiya tarqalishiga ega turli materiallar uchun gisterezis tuguni
parametrlarining qiymatlarini aniqlash
MUNDARIJA
KIRISH …………………………………………………3-7
1-BOB. MATERIALLARNING NOMUKAMMAL ELASTIKLIK XOSSALARI
HAQIDA 
1.1 -§. Masalaning zamoniy holati va adabiyotlar bilan 
tanishish  ………………………………………….……8-14
1.2 - §. Gisterezis   tipidagi   elastik   dissipativ   xarakteristikalari   haqida
asosiy tushunchalar ……………………………….…14-16
1.3 - §. Gisterezis   tipidagi   elastik   xarakteristikalari   haqidagi   asosiy
gepotezalar  ………………………………………...…16-21
I-bob bo’yicha xulosalar  …………………………22
2-BOB. TEBRANISHLARDA   ENERGIYA   TARQALISHI
XARAKTERISTIKALARINI   ANIQLASHNING
ASOSIY USULLARI
2.1 - §. Energetik va termik usullar  …………………………….23-24
2.2 - §. Gisterezis tugunining statik va dinamik usullari .……..25-27
2.3 - §. Fazaviy usul ……………………………………….…..27-31
2.4 - §. Materiallarning   dempferlash   xossalarini   ifodalovchi
xarakteristikalari…………………………………….…31-37
2.5 - §. Materiallarning   siklik   deformatsiyalanishida   energiya
tarqalishiga ta’sir etuvchi sabablar .................................37-40
II-bob bo’yicha xulosalar ……………………...  40
3-BOB. ICHKI   ENERGIYA   TARQALISHIGA   EGA   TURLI
MATERIALLAR   UCHUN   GISTEREZIS   TUGUNI
PARAMETRLARINING QIYMATLARINI  ANIQLASH
3.1 - §. Materiallar   uchun  gisterezis   tuguni   parametrlari   qiymatlarini
aniqlash …………………………………………..…...41-46
3.2 - §. Erkinlik darajasi birga teng mexanik sistemalarning 
majburiy tebranishlari …………………………….…46-54
III-bob bo’yicha xulosalar …………………… 54-55
XULOSA………………………………………………… 56
ADABIYOTLAR RO’YXATI………………………. 57-61
KIRISH
3 Magistrlik dissertatsiyasi mavzusining asoslanishi va uning dolzarbligi.
Dunyoning   yirik   sanoat   korxonalari   va   ilmiy-tadqiqot   markazlarida   zararli
tebranishlarni   so‘ndirish   muammolarini   hal   etishda   murakkab   texnik
sistemalarni   matematik   modellashtirish,   dinamikasini   tekshirish,   mexanik
sistemalarning   optimal   parametrlar i ni   aniqlash   masalalari   ustida   ilmiy
izlanishlar   olib   bormoqda   va   olingan   natijalar   amaliyotga   tadbiq   etilib,
mukammallashtirilmoqda hamda rivojlantirilmoqda. Bu borada, jumladan ichki
energiya   tarqalishini   e’tiborga   olgan   holda   tekis   to’plangan   va   taqsimlangan
parametrli   sistemalar   harakatini   tekshirish,   ya’ni   chiziqli   bo’lmagan
sistemalarning   amplituda   va   chastota   orasidagi   bog’lanish   xarakteristikalarini,
ustuvorlik   shartlari   va   sohalarini   konstruktiv   parametrlarga   bog‘liq   holda
aniqlash,   ustuvorlikka   tekshirish   usullarini   takomillashtirishga   qaratilgan   ilmiy
tadqiqotlar   muhim   vazifalardan   biri   hisoblanadi.   Texnikada   qo’llaniladigan
ko’pgina qurilmalarning ehtiyot  qismlari bikrligi chekli  bo’lgan garmonik yoki
tasodifiy   tebranuvchan   asosga   o’rnatilgan   bo’ladi.   Bu   ehtiyot   qismlarga   tashqi
uyg’otuvchi   kuchlarning ko’rsatadigan   ta’siri   turli   sharoitlarda  turlicha  bo’ladi.
Zararli   tebranishlar   mashina,   mexanizm   va   boshqaruv   tizimlarining   ishlab
chiqarish quvvatining pasayishiga, sifatiga va chidamliliga ta’sir etadi.   Shuning
uchun   bu   ehtiyot   qismlarining   harakatini   o’rganish   uchun   ularning   harakat
differensial   tenglamalarini   chiqarish   muammosi   paydo   bo’ladi.   Ko’pincha,   bu
harakat   differensial   tenglamalarni   tuzish   uchun   elementar   mexanika   usullari
kerakli natijalarni bermaydi. Ikkinchi tomondan haqiqiy harakatlar hamma vaqt
chiziqli   bo’lmagan   differensial   yoki   integro-differensial   tenglamalar   bilan
ifodalanadi.   Bu   tenglamalarda   chiziqli   bo’lmagan   hadlarni   e’tiborga   olmaslik,
ba’zan   umuman   haqiqiy   yechimlardan   farq   qiluvchi,   noto’g’ri   xulosalarni
keltirib chiqaradi. 
Keltirilgan   mulohazalardan   shunday   xulosa   qilish   mumkinki,   zamonaviy
fan   taraqqiyoti   chiziqli   bo’lmagan   mexanik   sistemalarning   yechimini   aniqroq
4 topishni,   bu   sistemalarning   harakatlarini   tahlil   etishda   zamonaviy   metodlardan
foydalanishni taqozo etadi. 
Shuning uchun mexanik sistemalarni matematik modellashtirishda sistema
harakatiga   ta’sir   etuvchi   ko’pgina   omillarni   e’tiborga   olishga   to’g’ri   keladi.
Demak,   chiziqli   bo’lmagan   mexanik   sistemalarni   matematik   modellashtirish,
ularning   dinamikasini   tadqiq   etish   masalalari   mexanikaning   dolzarb
masalalaridan hisoblanadi.
M.A.Pavlovskiy,   L.M.Rijkov,   V.B.Yakovenko,   O.M.Dusmatovlarning
ishlarida   gisterezis   tipidagi   elastik   dissipativ   xarakteristikali   taqsimlangan
parametrli   chiziqli   bo’lmagan   sistemalarning   harakati   garmonik   va   tasodifiy
qo‘zg‘alishlar   uchun   matematik   modellashtirilgan   va   dinamikasi   o‘rganilgan.
Bugungi   kunda   garmonik   va   tasodifiy   qo‘zg‘alishlar   ta’sirlarida   gisterezis
tipidagi elastik dissipativ xarakteristikali taqsimlangan parametrli sistemalarning
chiziqli   bo’lmagan   tebranishlari   dinamikasini   tekshirish   yechilishni   talab
etadigan dolzarb masalalardan hisoblanadi.
Tadqiqot   ob’ekti   va   predmeti.   Tadqiqot   ob’ekti   –   tebranma
harakatlanuvchi   gisterezis   tipidagi   elastik   dissipativ   xarakteristikali
sistemalarning elastik elementlari.
Tadqiqot   predmeti   –   keltirilgan   gepotezalar   asosida   elastik-dissipativ
xarakteristikalarini ifodalovchi gisterezis tuguni ifodalari.
Ishning   maqsadi      va   vazifalari    .   Magistrlik   dissertatsiyasining   maqsadi
taqsimlangan parametrli  tebranma  harakat  etayotgan mexanik sistemalar  uchun
qo‘llanilgan materiallarining elastik-dissipativ xarakteristikalarini ifodalovchi va
turli   gepotezalarga   asoslangan   gisterezis   tuguni   ifodalarini   olgan   holda   bu
sistemalarning dinamikasini tekshirish .
Ushbu   maqsadga   erishish   uchun   magistrlik   dissertatsiyasida   quyidagilar
amalga oshirildi :
5 -   N.N.Davidenkov,   G.S.Pisarenko,   A.M.Pavlovskiy   gepotezalaridan
foydalanib,   turli   elastik   materiallarning   gisterezis   tugunlari   matematik
modellashtirish;
-   tebranma   harakatlar   uchun   chiziqli   bo’lmagan   mexanika   masalalarini
yechishning   taqribiy   metodlari   –   qatorlarga   yoyish   metodlarini   qo’llab,
qaralayotgan   mexanik   sistemaning   yechimini   nolinchi   va   birinchi
yaqinlashishdagi yechimlarini olish;
-   birinchi   yaqinlashishda   olingan   amplituda-chastota   xarakteristikalarining
grafiklarini olish, ular bo’yicha sistema dinamikasini tahlil qilish.
Tadqiqot vazifalari   –   yuqorida keltirilgan gepotezalarga tayangan holda va
fizik-texnik   ma’lumotnomalar   asosida   tanlangan   elastik   materiallar   uchun
elastik-dissipativ   xarakteristikalarini   ifodalovchi   gisterezis   tuguni   ifodalarini
olish   va   ularni   qo‘llagan   holda   erkinlik   darajasi   birga   teng   va   tebranishlardan
himoyalanuvchi sistemalar dinamikasini tekshirish.
Tadqiqotning ilmiy yangiligi.   Turli  gepotezalar   asosida   elastik-dissipativ
xarakteristikalarini ifodalovchi gisterezis tuguni ifodalari tuziladi, qo‘zg‘aluvchi
asosga o‘rnatilgan balkaning ichki energiya tarqalishi ifodalarini e’tiborga olgan
holda   garmonik   tebranishlari   dinamikasi   tekshiriladi   va   amplituda-chastota
xarakteristikalari tuziladi.
Tadqiqotning   asosiy      masala    lari   va   farazlari    .   Taqsimlangan   parametrli
tebranma   harakatlarni   sodir   etuvchi   mexanik   sistemalar   uchun   qo‘llanilgan
materiallarining   elastik-dissipativ   xarakteristikalarini   ifodalovchi   va   turli
gepotezalarga   asoslangan   gisterezis   tuguni   ifodalarida   qatnashadigan
parametrlarning qiymatlarini olish .
Magistrlik dissertatsiyasida olingan farazlar mexanik sistemalarning elastik
elementlari   uchun   gisterezis   tugunining   ifodasini   tuzish   uchun   Davidenkov
6 N.N.,   Pisarenko   G.S.,   Boginich   O.Ye.,   Panovko   Ya.G.   lar   tomonidan   taklif
etilgan gepotezalarga asoslanadi. 
Tadqiqotning   mavzusi   bo’yicha   adabiyotlar   sharhi   (tahlili).
M.A.Pavlovskiy, L.M.Rijkov, V.B.Yakovenko, O.M.Do‘smatovlarning ishlarida
gisterezis   tipidagi   elastik   dissipativ   xarakteristikali   taqsimlangan   parametrli
tebranishlardan   himoyalanuvchi   chiziqli   bo’lmagan   sistemalarning   harakati
garmonik   va   tasodifiy   qo‘zg‘alishlar   uchun   matematik   modellashtirilgan   va
dinamikasi   o‘rganilgan.   Bugungi   kunda   garmonik   va   tasodifiy   qo‘zg‘alishlar
ta’sirlarida   gisterezis   tipidagi   elastik   dissipativ   xarakteristikali   tebranishlardan
himoyalanuvchi   taqsimlangan   parametrli   sistemalarning   chiziqli   bo’lmagan
tebranishlari   ustuvorligini   tekshirish   yechilishni   talab   etadigan   dolzarb
masalalardan hisoblanadi.
Mexanik   sistemalarda   siklik   ravishda   ro’y   beradigan   yuklanishlarda   to’liq
sikldagi   energiya   tarqalishi   grafik   ravishda   yopiq   egri   chiziqning   yuziga   son
qiymatdan teng bo’lishini  (ilmiy adabiyotlarda bu yopiq egri  chiziq «gisterezis
tuguni»   deb   ataladi)   N.N.Davidenkov,   I.L.Korchinskiy,   D.Yu.Panov,
Ye.S.Sorokin,   G.S.Pisarenko,   A.M.Pavlovskiylarning   ishlarida   uchratish
mumkin.
Tadqiqotda   qo’llanilgan   metodikaning   tavsifi.   Ilmiy-tadqiqot
metodikalari   qaralayotgan   elastik   elementlarning   elastiklik   va   qovushoqlik
parametrlarini   e’tiborga   olgan   holda   bu   elementlar   uchun   tebranishlar
dekrementi va gisterezis tuguni uchun analitik ifodalar olinadi.  Mexanik sistema
harakat   differensial   tenglamalarini   tuzish   uchun   olingan   ifodalar   qo’llanadi.
Hosil bo’lgan chiziqli bo’lmagan differensial tenglamani yechish uchun chiziqli
bo’lmagan   mexanikaning   asimptotik   usullaridan   foydalaniladi.   Izlanayotgan
birinchi   yaqinlashishdagi   yechim   kichik   parametrning   darajalari   bo’yicha
qatorga yoyib izlanadi. Ushbu magistrlik dissertasiyasida shu qatorning birinchi
hadlari   bilan   chegaralangan   holdagi   yechim   aniqlangan.   Olingan   natijalarning
7 haqqoniyligi ushbu masalalarni yechishda analitik mexanika, chiziqli bo’lmagan
mexanikaning asoslangan metodlarining qo’llanilganligi bilan izohlanadi.
Tadqiqot   jarayonida   nazariy   mexanika,   tebranishlar   va   ustuvorlik
nazariyasi,   materiallar   qarshiligi,   differensial   tenglamalar   va   ko‘p   o‘zgaruvchi
funksiyalar   nazariyasi,   hisoblashning   kompyuter   texnologiyalari   va   sonli   tahlil
usullaridan foydalanilgan.  
Magistrlik   dissertasiyasining   tuzilishi .   Ushbu   magistrlik   dissertasiyasi
kirish,   3   ta   bob,   xulosa   va   foydalanilgan   adabiyotlar   ro’yxatidan   iborat   bo’lib,
magistrlik   dissertasiyasining   birinchi   bobida   qo’yilgan   masalaning   zamonaviy
holati,   mavzu   bo’yicha   asosiy   adabiyotlar   sharhi,   qo’llanilgan   asosiy
gepotezalar, ichki energiya yo’qotilishining asosiy sabablari keltirilgan. Ikkinchi
bobda   mexanik   sistema   tebranishlari   haqida   asosiy   tushunchalar,   asosiy
gepotezalar   asosida   tuzilgan   harakat   tenglamalarining   asosiy   ko’rinishlari
keltirilgan.   Gisterezis   elastik   xarakteristikali   sistema   tebranishlarini   matematik
modellashtirish   masalalari   qaralgan.   Bunda   gisterezis   elastik-dempferlovchi
element G.S.Pisarenko gepotezasi bo’yicha chiziqlilashtirilgan. Uchinchi bobda
olingan   tebranishlar   dekrementi   va   gisterezis   tuguni   ifodalaridan   foydalangan
holda   erkinlik   darajasi   birga   teng   chiziqli   bo’lmagan   mexanik   sistemalarning
dinamikasini   tekshirish   masalasi   qaralgan.   Magistrlik   dissertasiyasining   xulosa
qismida ish bo’yicha asosiy natijalar jamlanib, tegishli xulosalar keltirilgan.
8 I-BOB. MATERIALLARNING NOMUKAMMAL ELASTIKLIK
XOSSALARI HAQIDA
1.1-§ Masalaning zamoniy holati va adabiyotlar bilan tanishish
M.A.Pavlovskiy,   L.M.Rijkov,   V.B.Yakovenko,   O.M.Do‘smatovlarning
ishlarida   gisterezis   tipidagi   elastik   dissipativ   xarakteristikali   taqsimlangan
parametrli   tebranishlardan   himoyalanuvchi   chiziqli   bo’lmagan   sistemalarning
harakati   garmonik   va   tasodifiy   qo‘zg‘alishlar   uchun   matematik
modellashtirilgan   va   dinamikasi   o‘rganilgan.   Bugungi   kunda   garmonik   va
tasodifiy   qo‘zg‘alishlar   ta’sirlarida   gisterezis   tipidagi   elastik   dissipativ
xarakteristikali   tebranishlardan   himoyalanuvchi   taqsimlangan   parametrli
sistemalarning   chiziqli   bo’lmagan   tebranishlari   ustuvorligini   tekshirish
yechilishni talab etadigan dolzarb masalalardan hisoblanadi.
Detal va turli mexanizmlarning   tebranishlari bilan texnikaning har qanday
sohasida   har   doim   duch   kelamiz.   Shuning   uchun   ularning   tebranishlarini
o’rganish,   so’ndirish,   rezonans   holatlaridan   uzoqlashish   yoki   ulardan
foydalanish   qaralayotgan   mexanik   sistemalarni   matematik   modellashtirish
masalasini  o’rganish,  rivojlantirishni  taqozo etadi. Ushbu  muammolarning turli
ko’rinishdagi   masalalariga   bag’ishlangan   ilmiy   ishlar,   monografiyalar   va
darsliklar anchagina salmoqlidir. 
Ma’lumki, mexanik sistemalarni matematik modellashtirish turli usullarda
amalga   oshirilishi   mumkin.   Ularning   eng  soddalari   bilan   Nazariy  mexanika   va
analitik mexanika kurslarida tanishib chiqqanmiz.
Lekin   chiziqli   bo’lmagan   mexanik   sistemalarni   modellashtirish   chiziqli
mexanik   sistemalarnikidan   o’ziga   xos   jihatlari   bilan   ajralib   turadi.   Bu
avvalambor mexanik sistemaga qo’yilgan ichki yoki tashqi kuchlarning chiziqli
9 bo’lmagan bo’lishidadir. Mexanik sistemaning bu hadlarini matematik modelini
yaratish   ustida   juda   ko’p   olimlar   ter   to’kkanlar.   Biz   quyida   gisterezis   elastik
dissipativ   xarakteristikali   elementlarning   matematik   chiziqli   bo’lmagan   va
chiziqlashtirilgan   modelini   yaratishdagi   qilingan   limiy   izlanishlarning   tahlilini
keltirib o’tamiz.
Gisterezis   elastik-xarakteristikali   mexanik   sistemalarning   o’ziga   xos
jihatlarini, ya’ni 
a)   elastik-dempferlovchi   elementlarda   hosil   bo’ladigan   kuchlanishlarning
deformatsiya tezligiga bog’liq emasligini; 
b)   kuchlanishlar   va   deformatsiyalar   orasida   chiziqli   bo’lmagan   va   bir
qiymatlimas munosabatlar bilan bog’langanligini; 
c)   siklik   ravishda   ro’y   beradigan   yuklanishlarda   to’liq   sikldagi   energiya
tarqalishi   grafik   ravishda   yopiq   egri   chiziqning   yuziga   son   qiymatdan   teng
bo’lishini   (ilmiy   adabiyotlarda   bu   yopiq   egri   chiziq   «gisterezis   tuguni»   deb
ataladi)   N.N.Davidenkov,   I.L.Korchinskiy,   D.Yu.Panov,   Ye.S.Sorokinlarning
ishlarida uchratish mumkin. 
Gisterezis   tugunining   dastlabki   matematik   ifodasini   Ye.S.Sorokin   ishida
keltirib o’tadi. Bunda muallif gisterezis tugunini ellips ko’rinishiga ega bo’ladi,
deb va tebranishlar jarayonida kuchlanishlar garmonik qonun bo’yicha o’zgaradi
degan taxminlarni ilgari surib, ichki ishqalanish kuchi bu elastik tiklovchi kuch
va   noelastik   qarshilik   kuchlarining   yig’indisiga   teng   degan   xulosaga   kelib,   uni
quyidagi formula bilan ifodalaydi:S¿=	(1+	iδ
π	)S
, 
bunda   S *
  –   ichki   ishqalanish   kuchi;   S   –   chiziqli   ishqalanish   kuchi;   δ   –
tebranishlar dekrementi;  i  – mavhum (kompleks) birlik.
10 Ye.S.Sorokindan   keyingi   olimlarning   tadqiqotlari   deformatsiya   va
kuchlanish orasidagi munosabatlar chiziqli funksiyalarga (Gukning deformatsiya
va   kuchlanish   orasidagi   chiziqli   munosabatiga)   yaqin   deb   hisoblab,   bu
munosabatning   quyidagicha   tenglik   bilan   ifodalangan   ko’rinishlaridan
foydalanishgan:σ(ξ)=	E	[ξ+	ε	⃗Ф	(ξ)]
, (1)
bunda   E   –   Yung   moduli;   ξ   –   deformatsiya;  	
ε⃗Ф	(ξ)   -   ichki   ishqalanishni
ifodalovchi   bir   qiymatli   bo’lmagan   chiziqli   bo’lmagan   funksional;   ε   –   kichik
parametr.
Chiziqli   bo’lmagan   sistemalarning   dinamikasini   tekshirishning   samarali
metodlaridan   –  kichik   parametrlar   usulllari,  garmonik  chiziqlashtirish   usulllari,
o’zgaruvchilarni   ajratish   usulllari,   o’rtalashtirishlar   usulllari,   asimptotik
metodlarni misol qilib keltirish mumkin.
Kichik   parametr   usulining   asoslari   A.Puankarening   klassik   ishlaridan
boshlanib,   keyinchalik   A.M.Lyapunov   tomonidan   rivojlantirilgan.   Bu   usul
chiziqli   bo’lmagan   sistemalar   tebranishlari   nazariyasining   universal
metodlaridan hisoblanadi. 
Garmonik   chiziqlashtirish   usuli   ancha   murakkab,   asosan   avtomatik
boshqaruv   sistemalarining   tahlilida   qo’llaniladi.   Bu   sistemalarning   chiziqli
bo’lmaganlik darajasi yuqori bo’lib, bu chiziqli bo’lmagan elementga kirishdagi
o’zgaruvchilarning   xarakteri   sistemaning   chiziqli   qismlarida   filtrlovchi
xossalarning mavjudligi haqidagi nazariyaga asoslangan.
O’rtalashtirishlar   usuli   chiziqli   bo’lmagan   differensial   tenglamalar
sistemasini   yechishning   asimptotik   usuli   bo’lib,   bu   tenglamalarni   dastlabki
tenglamalarning   talab   etilgan   yechimlari   xususiyatlarini   saqlagan   holda   sodda
11 tenglamalar   sistemasi   bilan   almashtirishga   asoslangan.   Bu   metodning   paydo
bo’lishini N.N.Bogolyubovning nomi bog’lashadi.
Chiziqli   bo’lmagan   tebranishlarning   asimptotik   metodlari   N.M.Krilov,
N.N.Bogolyubov,   Yu.A.Mitropolskiy,   A.A.Andronovlarning   ilmiy   ishlarida
rivojlantirilgan.
Mexanik sistemalarning modellashtirilishi to’g’risida yuqorida keltirilgan
adabiyotlarning   tahlili   shuni   ko’rsatadiki,   murakkab   mexanik   sistemalarning
matematik   modellashtirilishi   uchun   zamonaviy   har   qanday   mexanik
sistemalarning   matematik   modellashtirilishi   uchun   universal   modellashtirish
tilini yaratish hozirgi zamon talabi ekanligini payqash qiyin emas.
Mashina   va   mexanizmlarning   tebranishlarini   susaytirish   ularning
mustahkamligini,   ishlash   muddatini   oshirish   uchun   muhim   bo’lgan   dolzarb
muammolardan   hisoblanadi.   Tebranishlardan   himoyalash   poyezdlar,
samolyotlar,   kemalar   harakatining   havfsizligini   oshirishda,   muhandislik
inshootlarini   zararli   tebranishlaridan   qutulishda,   yuqori   qavatli   inshootlarning
zilzila   bardoshligini   oshirishda   keng   qo’llaniladi.   Bu   masalaning   dolzarbligi
qurilmalar   o’lchamlarining   o’zgarishi,   qurilmalarning   tebranishlariga
qo’yiladigan   talablarning   ortishi,   texnikada   turli   kompozision   materiallarning
qo’llanilishining kengayib  borishi  bilan  ortib boradi. Ushbu yo’nalish bo’yicha
Snoudon,   K.V.Frolov,   M.Z.Kolovskiy,   A.M.Alekseyeva,   A.K.Sborovskiy,
I.Yu.Iorish,   S.V.Yeliseyev,   G.P.Nerubenko,   V.S.Ilinskiy,   V.B.Yakovenko,
M.A.Pavlovskiy,   L.M.Rijkov,   V.B.Yakovenko,   O.M.Dusmatov   v.b.larning
monografiyalari bilan bir qatorda ko’plab maqolalarni sanab o’tish mumkin.  Bu
ishlarda dinamik so’ndirgichli mexanik sistemalarning statsionar va nostatsionar
tasodifiy tebranishlari tadqiq etilgan. «Oq shovqin» turidagi qo’zg’atishlar ta’sir
etganda   bir   massali   mexanik   sistemaga   dinamik   so’ndirgichning   o’rnatilishi
himoyalanayotgan   obyektning   tezliklarining   o’rta   kvadratik   qiymatlarini
o’zgartirmas   ekan,   tebranishlarning   miqdorini   kamaytirish   uchun   dinamik
12 so’ndirgichga   dempfer   o’rnatiladi.   Bunday   sistemalarning   optimallashtirilish
masalasi qarab o’tiladi.
Bu   ishlarning   ba’zilari   himoyalanayotgan   sistemada   o’tish   jarayonining
kechishini   tekshirishga   bag’ishlangan.   Dinamik   so’ndigichlarda
dempferlashning   mavjudligi   o’tish   jarayonining   kechishiga   sezilarli   ta’sir
o’tkazadi.   Kubik   qonuniyat   bo’yicha   o’zgaradigan   chiziqli   bo’lmaganlikka   ega
bo’lgan   sistemalar,   bikrlikning   giperbolik   sinus   qonuniyati   bo’yicha
o’zgaruvchi,   bo’lakli   chiziqli   bo’lmaganlikka   ega   bo’lgan   sistemalarning
tebranishlari   masalalari   qaraladi.   Izoklinalar   usulllari,   Galyorkin   metodlari
yordamida   chiziqli   bo’lmagan   mexanik   sistemalarda   tebranishlar   chastotasi
tebranishlar   amplitudalariga   bog’liq   bo’lishligi   ko’rsatib   o’tilgan,   shu   bois
bunday   mexanik   sistemalarda   ustuvor   bo’lmagan   tebranishlar   mavjud   bo’lishi
mumkin. Chiziqli bo’lmagan demferlashga ega bo’lgan dinamik so’ndirgichlar,
suyuqlik   bo’g’iniga   ega   bo’lgan,   zarbali   dinamik   so’ndirgichlar,   turli
qatlamlarga   ega   bo’lgan   dinamik   so’ndirgichlarning   dinamikasi   o’rganilgan.
Dinamik   so’ndirgichlarning   effektivligiga   bag’ishlangan   adabiyotlar   ham
yetarlicha.  
[15] da ikki massali mexanik sistemalardan tortib, murakkablashtirilgan –
richagli,   ko’p   massali,   chiziqli   bo’lmagan   elastik   xarakteristikali   dinamik
so’ndirgichlar   qatnashgan   mexanik   sistemalarning   dinamikasi   tekshirilgan.
Barqarorlashgan   harakatlar,   o’tish   jarayonlari   tekshirilgan,   qurish   jarayonida
mexanik   sistema   parametrlarini   xatoliklarining   sistema   tebranishlariga   ta’siri
o’rganib chiqilgan. 
Suyuqlik   ichiga   o’rnatilgan   osma   jismlarning   vibroustuvorligi   masalasi
[ 16 ] da qarab o’tilgan. Unda bunday sistemalar muvozanat holati ustuvorligining
zahirasi   tashqi   sfera   aylanishining   ortishi   bilan   ortib   borib,   ichki   sferaning
aylanishi bilan kamayishi ko’rsatilgan.
13 Bundan   tashqari   yetaklovchi   jismlarga   sharnir   vositasida   biriktirilgan
rolikli   kovushoq   elastik   xarakteristikali   dinamik   so’ndirgichlarning   harakati
dinamikasi   o’rganilgan.   Garmonik   qo’zg’alishlardagi   mexanik   sistema   va
dinamik   so’ndirgich   parametrlari   orasidagi   bog’lanishlar   qanday   bo’lganda
sistema harakatlari optimal bo’lishligi masalasi yechilgan.
Yuqorida   keltirilgan   sharhlardan   xulosa   chiqarish   mumkinki,   ko’pgina
ishlar   tebranishlardan   himoyalanuvchi   sistemalarning   dinamikasi
o’rganilayotganda   qovushoqli   yoki   geometrik   chiziqli   bo’lmaganlikka   ega
bo’lgan   dinamik   so’ndirgichlarga   ega   mexanik   sistemalar   tekshiriladi.   Lekin
ko’plab   tajribalar   shuni   ko’rsatadiki,   ko’pchilik   kompozision   materiallar
gisterezis   tipidagi   elastik   xarakteristikaga   egaligini   ko’rsatdi.   [ 9,13,14 ]   da
gisterezis   tugunlarini   ifodalash   uchun   turli   olimlar   tomonidan   taklif   etilgan
ifodalarning bir nechta variantlari keltirilgan.
Shu   bilan   birga   nomukammal   elastik   xarakteristikali   mexanik   sistemalar
o’ziga   xos   xususiyatlarga   ega   bo’lishi   –   tebranishlar   chastotasining
amplitudalarga   bog’liqligi   bunday   mexanik   sistemalarning   ustuvorligini
tekshirish masalasining dolzarbligi oshadi. Shunday masalalarga [ 4-7,10 ] ishlar
misol   bo’la   oladi.   Ularda   elastiklik   xarakteristikasi   kvadratik   va   kubik
bog’lanishlarda bo’lgan chiziqli bo’lmagan sistemalar qarab o’tilgan. Noustuvor
yechimlar mavjud bo’lishi mumkinligi ko’rsatib o’tilgan. 
Nomukammal   elastik   xarakteristikali   mexanik   sistemalarning   chiziqli
bo’lmagan   tebranishlari   masalalari   turli   ko’rinishda   [ 4 -5]   da   qarab   o’tilgan.
Bunday mexanik sistemalarni tekshirish uchun matematik apparatlar keltirilgan.
Ekvivalent va statistik chiziqlashtirish usullarining chastotaga bog’liq va bog’liq
bo’lmagan ko’rinishlardagi ifodalari qo’llaniladi. 
Gisterezis   elastik   xarakteristikali   balkaning   ko’ndalang   tebranishlari
masalasi   qarab   o’tilgan.   Qisqa   polosali   tasodifiy   jaraynlar   uchun   vertikal
urinmalar   usuli   qo’llanilgan.   Qaralayotgan   mexanik   sistema   statsionar
14 tebranishlarining   ustuvorligi   masalasi   qaralgan.   Chiziqlashtirish
koeffitsiyentlarining   amplitudaga   bog’liqligi   kvadratik   va   kubik   bo’lgan   hollar
uchun   ustuvorlik   shartlari   va   ustuvorlik   sohalari   olingan.   Gisterezis   elastik
xarakteristikali   mexanik   sistemalarning   tebranishlarini   asimptotik   metodlar
yordamida   tekshirgan.   Unda   rezonans   egri   chizig’ining   tebranishlar
amplitudasiga   bog’liqligi   ko’rsatilgan.   Sistema   tebranishlarining   dinamikasi   va
optimallashtirish   masalasi   qarab   o’tilgan.   Dinamik   so’ndirgichlarning
rostlanishining   amplituda-chastota   xarakteristikasida   invariant   nuqtalarning
mavjudligidan foydalanib optimallik kriteriylari berilgan. 
Aytilganlardan   ko’rinib   turibdiki,   gisterezis   elastik   xarakteristikali
tebranishlardan   himoyalanuvchi   sistemalarning   dinamikasini   tekshirish,
tebranishlarining   ustuvorligini   tadqiq   etish   muammolari   oxirigacha
yechilmagan. 
1.2 -§   Gisterezis tipidagi elastik dissipativ xarakteristikalari haqida
asosiy tushunchalar
Har qanday mexanik tebranish tizimining energiyasini ma'lum bir tebranish
siklidagi   o'lchovi   tizimning   elastik   elementi   potentsial   energiyasining
amplituda viy   qiymati   bo'lishi   mumkin.   Ma'lumki,   har   bir   real   hayotdagi
mexanik   tebranish   tizimida   tebranish   energiyasini   yutilishning   turli   manbalari
mavjud bo'lib, bu erkin tebranishlarning vaqt o'tishi bilan to'xtab qolishiga olib
keladi va majburiy tebranishlarni ushlab  turish va tizimda tarqalgan energiyani
qoplash uchun uchun tashqi tomondan uzluksiz energiya ta'minoti talab qilinadi.
Deformatsiyaning   potentsial   energiyasining   amplituda   qiymati   prujina
materialining   har   bir   birlik   hajmidagi   potentsial   energiyalarning   amplituda
qiymatlarining   integral   xarakteristikasi   bo'lganligi   sababli,   tebranish   tizimining
energiyasining   ikkinchisida   energiya   tarqalishi   tufayli   kamayishi   mumkin.
energiyani   yo'qotish   sabablaridan   qat'i   nazar,   ma'lum   deformatsiya   amplitudasi
15 bilan   siklik   deformatsiyalangan   prujina   materialining   har   bir   birlik   hajmi
bo'yicha energiya yo'qotishlarining yig'indisi sifatida ifodalanadi.
Shu bilan birga, har bir sikldagi energiya yo'qotishlarini stress-deformatsiya
koordinatalarida   ba'zi   histerezis   halqalari   sifatida   ko'rsatish   mumkin,   ularning
maydoni   energiyaning   tarqalish   miqdori,   ya'ni   energiya   miqdori   bilan
tavsiflanadi. tebranishli  prujinaning siklik deformatsiyalangan hajmining birligi
tebranish   sikli   tizimlari   uchun   kamayadi.   Ushbu   yondashuv   bilan   tebranuvchi
tizim   tomonidan   har   bir   siklda   yo'qotilgan   umumiy   energiyaning   qiymatini
prujinaning   siklik   deformatsiyalangan   materialining   butun   hajmi   bo'ylab
integrallash   orqali,   ikkinchisining   kuchlanish   holatini   bilish   orqali   osongina
olish mumkin.
Tebranishlar   paytida   energiyaning   tarqalishini   hisobga   olishning   taklif
qilingan usuli  prujina materialida histerezis  yo'qotishlarini hisobga olgan holda
tebranishlarni   hisoblashda   bir   necha   marta   sinovdan   o'tkazildi,   buning   uchun
chiziqli bo'lmagan mexanikaning matematik apparati muvaffaqiyatli qo'llanildi.
Agar   mexanik   tizim   tebranishlarining   susayishi   tebranish   sistemasi
energiyasining   kamayishi   bilan   bog‘liq,   degan   fizik   jihatdan   asosli   pozitsiyani
asos qilib olsak, bu elastik element deformatsiyasining potensial energiyasining
amplituda   qiymati   bilan   tavsiflanishi   mumkin.   Sikldan   siklga   materialdagi
energiya yo'qotishlarini  hisobga olish bo'yicha ishlab chiqilgan metodologiyani
hisobga olgan holda kengaytirishning tebranish tizimidagi  har  qanday energiya
yo'qotishlari, bu yo'qotishlarning tabiatidan qat'i nazar qonuniyligi aniq bo'ladi.
Mexanik   tizimlarning   tebranishlarini   hisoblash   usulini   umumlashtirib,
siklik   deformatsiyalangan   materialda   chiziqli   bo'lmagan   sharoitda   energiya
yo'qotilishini hisobga olgan holda, tizimda har qanday kelib chiqadigan energiya
yo'qotishlari   mavjud   bo'lganda   hisoblash   uchun   biz   quyidagi   nochiziqlilardan
kelib chiqamiz. bahor materialining har qanday siklik deformatsiyalangan birlik
hajmida   kuchlanish   σ   va   yuqoriga   va   pastga   harakatlanish   uchun   nisbiy
16 deformatsiya   ξ   va   deformatsiya   amplitudasi   ξ
a   o'rtasidagi   bog'liqlik ,   har   bir
siklda histerezis halqasining shakllanishiga olib keladi.
1.3-§ Gisterezis tipidagi elastik xarakteristikalari haqidagi asosiy
gepotezalar
Tebranuvchan   mexanik   sistemaning   har   bir   sikldagi   energiya   o’lchovi
bo’lib   elastik   element   (prujina)   potensial   energiyasining   amplitudaviy   qiymati
xizmat   qilishi   mumkin.   Ma’lumki,   haqiqiy   mexanik   sistemalarning   barchasida
turli   xildagi   energiya   «yutuvchi»   manbalar   mavjud.   Bu   esa   vaqt   o’tishi   bilan
erkin tebranishlarning so’nishiga olib keladi, erkin tebranishlarni  so’ndirmaslik
uchun esa yo’qotilgan energining o’rnini doimiy ravishda to’ldirib borish kerak
bo’ladi.   Shu   bilan   birga   bir   sikl   davomida   yo’qotilgan   energiyani   kuchlanish-
deformatsiya   koordinalarida   ifodalangan   gisterezis   tugunlari   orqali   ifodalash
mumkin, bunda gisterezis tugunining yuzi tarqalayotgan energiyaning miqdorini
bildiradi. 
Energiya   yo’qotilishini   ifodalash   uchun   ξ   deformatsiya   bilan   prujina
materialining   birlik   hajmidagi   ξ
a   deformatsiya   amplitudasiga   nisbati   orasidagi
quyidagi chiziqli bo’lmagan munosabatni qabul qilib olamiz:⃗σ=	E	
[
ξ+α(ξa−	nξ	−	ξn
ξa
n−1)]
;	
σ=	E	
[
ξ−	α(ξa+nξ	−	ξn
ξa
n−1)]
(1.1) 
bunda  E  – materialning elastiklik moduli;  n  va  α   – parametrlar.
(1.1)   tengliklar   bilan   ifodalangan   munosabatlar   quyidagi   tengliklarni
qanoatlantirishini ko’rish qiyin emas:
17 (
d	⃗σ	
dξ	)ξ=ξa
=	(
dσ
dξ	)ξ=−ξa
;	(
d	⃗σ	
dξ	)ξ=−ξa
=	(
d	σ	
dξ	)ξ=ξa
;	
(
d⃗σ
dξ	)ξ=−ξa
=	(
d	σ	
dξ	)ξ=ξa
=	E	.    σ
                                                     
                     - ξ
a                                               ξ
                                                                              ξ
a      
1.1-rasm. Gisterezis tuguni
α   parametrni   topish   uchun   (1.1)   ifoda   orqali   ifodalangan   gisterezis
tugunining yuzini integrallash yordamida hisoblab topib olamiz:	
Δu	=∫−ξa	
ξa	⃗σdξ	−∫−ξa	
ξa	σdξ	=	4n	
n+1
αEξ	a
2
(1.2)
Ikkinchi   tomondan   siklik   deformatsiyalangan   prujina   birlik   hajmidagi
potensial energiyaning amplitudaviy qiymatini	
u=	Eξ	a2
2
,
18 va  δ  tebranishlar dekrementi yoki  ψ =2 δ  nisbiy energiya yo’qotilishini
Δ u= ψ u=2 δ u=E δξ
a 2
(1.3)
formula   yordamida   hisoblash   mumkin.   (1.2)   va   (1.3)   formulalarning   o’ng
tomonlarini tenglashtirib,  α  parametrga nisbatan yechsak,α=	n+1	
4n	
δ
                                                    (1.4)
ni olamiz.  α  uchun topilgan ushbu qiymatini (1.1) formulaga qo’ysak, (1.4)
formulani olamiz, bunda o’ng tomonga yo’naltirilgan strelka – gisterezis tuguni
konturining yuqoriga chiqish shoxiga, chapga yo’naltirilgani esa, pastga ushish
shoxiga   tegishli.   n   parametr   ixtiyoriy   son   bo’lib,   talab   etilayotgan
hisoblashlarning aniqlik darajasiga va hajmiga qarab tanlab olinadi.
Eng sodda talablar uchun   n=2   qiymatni olish juda qulay. Bu holda (1.1)
munosabatlar   G.S.Pisarenko   taklif   etgan   quyidagicha   munosabat   orqali
tasvirlanishi mumkin [5]:	
⃗σ=	E	
[
ξ±	3
8	δ(ξa)(ξa∓	2ξ−	ξ2
ξa)]
. (1.5)
(1.5)   formulalarni   keltirib   chiqarishda   energiya   tarqalishining   tabiati
e’tiborga   olinmadi.   Bu   o’z   navbatida   turli   turdagi   energiya   tarqalishlarining
yig’indisi deb qarashga imkon yaratadi. Shu bilan birga tebranishlar dekrementi
deformatsiya  amplitudasidan chiziqli  bo’lmagan holda bog’langan bo’lsa,  (1.5)
munosabatlar   ancha   murakkablashadi.   Bunda  	
δ(ξa)   ni   eksperimental   ravishda
aniqlangan 	
δ	(ξa)=	aξ	a+	bξ	a
2+	cξ	a
3
                                (1.6)
19 ifoda   ko’rinishida   tasvirlash   mumkin,   bunda   a,   b,   c   –   haqiqiy   energiya
tarqalishi egri chizig’idan eksperimental ravishda aniqlanadigan parametrlar. 
O’z   ichiga   tebranishlar   dekrementini   olgan   (1.5)   ko’rinishidagi
munosabatlarning qo’llanilishi ikkita ketma-ket kelgan amplitudalar nisbatining
natural logarifmi tushunchasidan kelib chiqqan:δ=	ln	
ai	
ai+1
(1.7)
Amalda 	
ai	
ai+1  nisbat birdan juda kam farq qilganligi uchun (1.7) tenglikni
δ=	
ai	
ai+1
−	1=	
ai−	ai+1	
ai+1	
=	Δa
a
(1.8)
ko’rinishida   tasvirlash   mumkin.   Bu   ifodaga   ikkita   ketma-ket   kelgan	
ai,	ai+1
  chetlanishlardagi potensial energiyalarning amplitudaviy qiymatlaridan
ham kelish mumkin:	
ui=	1
2	
ca	i
2	,	ui+1=	1
2	
ca	i+1
2
(1.9)
bunda   c   –   tebranayotgan   sistema   bikrligi.   (1.9)   ifodadan   kelib   chiqqan
holda bir sikl davomida energiyaning kamayishini 	
Δu	=	c
2	(ai
2−	ai+1	
2	
)=	c
2	(ai−	ai+1)(ai+	ai+1)≈	ca	iΔa	i
(1.10)
bunda	
Δa	i=	ai−	ai+1
.
20 U holda nisbiy energiya tarqalishiψ	=	2δ=	
Δu	i	
ui	
=	
ca	iΔa	i	
1
2	
ca	i
2	
=	
2	Δa	i	
ai
, (1.11)
bundan	
δ=	Δa
ai
,
oxirgi topilgan natija (1.8) bilan bir xil va uni bir sikl davomida tarqalgan
energiyaning   maksimal   potensial   energiyaning   ikkilangan   qiymatiga   nisbati
ko’rinishida talqin etish mumkin.
Shuni aytib o’tish muhimki, gisterezis tugunini ifodalovchi (1.1) va (1.5)
munosabatlardan tashqari quyidagicha munosabatlar keng qo’llaniladi:
N.N.Davidenkov munosabati	
⃗σ	(ξ)=	E	{ξ∓	η
n	[(ξ2±	ξ)
n−	2n−1ξ2
n
]}
(1.12)
Ye.S.Sorokin munosabati
21 ⃗σ	(ξ)=	E	
{
ξ∓	
ψξ	2	
2	π	√	
1−	ξ2
ξ2
2}(1.13)
Ya.G.Panovko munosabati	
⃗σ	(ξ)=	E	{ξ∓	aξ	2
n
√	
1−	ξ2
ξ2
2}
(1.14)
bunda  a, ψ, η, n  lar qandaydir parametrlar. 
22 I-BOB BO’YICHA XULOSALAR
Ushbu   bobda   gisterezis   elastik-dempferlovchi   xarakteristikalarga   ega
bo’lgan   mexanik   sistemalarni   matematik   modellashtirishda   gisterezis   tipidagi
chiziqli   bo’lmaganlikka   ega   bo’lgan   elementlarining   matematik
modellashtirilishi,   gisterezis   tipidagi   elastik   xarakteristikalari   haqidagi   asosiy
gepotezalari yoritilgan. Tebranishlar jarayonidagi siklik ravishda ro’y beradigan
kuchlanishlar   va   deformatsiyalar   orasidagi   munosabatlarni   ifodalovchi
tengliklar,   gisterezis   tugunining   mos   ravishda   yuqorida   aytib   o’tilgan   olimlar
tomonidan taklif etilgan  (1.12), (1.13) va (1.14) ifodalar bilan berilgan gisterezis
tugunlarining   ko’rinishlari   keltirilgan   va   ularning   taqribiy   grafiklari   Maple   7
matematik dasturi vositasida olingan.
23 II-BOB. TEBRANISHLARDA ENERGIYA TARQALISHI
XARAKTERISTIKALARINI ANIQLASHNING ASOSIY USULLARI
2.1 -§  Energetik va termik usullar
Energetik   usul.   Materialdagi   energiya   tarqalishini   ifodalovchi
parametrlarni   olish   uchun   ikkita   bir-biridan   tubdan   farq   qiluvchi   usullardan
foydalanish mumkin: bevosita tebranish siklidagi energiya tarqalishini hisoblash
orqali va energiya tarqalishining nisbiy xarakteristikalarini topish orqali.
Bevosita   usullardan   energetik,   termik   hamda   gisterezis   tuguni   usullarini;
bilvosita usullardan so‘nuvchi tebranishlar usuli, rezonans egri chizig‘i usuli va
fazaviy usullarni aytib o‘tish mumkin.
Bilvosita usullarning qo‘llanilishi tebranishlar xarakteri to‘g‘risida u yoki
bu farazlarning qabul qilinishi bilan bog‘liq. Tebranishlarning xarakteri haqidagi
ma’lum munosabatlarning qabul qilinishi tebranma harakatlarning garmonikligi
to‘g‘risidagi   farazlarga   asoslanadi.   Elastik   bo‘lmagan   tebranishlarda   ham
dempferlash tezlikning birinchi darajasiga proporsional, ya’ni chiziqli sistemalar
deb olinadi.
Magistrlik   dissertatsiyasining   ushbu   bobida   elastik   sistemalarning
tebranma   harakatlarida   energiya   tarqalishini   ifodalovchi   xarakteristikalarini
aniqlashning   asosiy   usullari   bayon   qilingan.   Asosiy   masala   sifatida   chiziqli
bo’lmagan gisterezis elastik xarakteristikali mexanik sistemalarning dempferlash
xarakteristikalarini aniqlashga qaratilgan.
Ushbu   usul   sinalayotgan   element   tebranma   harakatlarni   doimiy   ravishda
saqlab   turish   uchun   kerak   bo‘ladigan   energiya   va   quvvatni   hisoblash   asosida
olib   boriladi.   Sistemaga   berilayotgan   butun   quvvat   N
1   dan   uning   faqatgina   N
0
qismigina   sistemadagi   garmonik   tebranishlarni   saqlab   turish   uchun   sarflanadi.
Quvvatning qolgan  N
2   qismi esa muhitning yoki boshqa qismlarning qarshiligini
24 yengish uchun sarflanadi. Bu quvvatlarni hisoblash uchun elastik elementga mos
boshqa   sinamadan   foydalaniladi.   Sinama   materialdagi   tebranma   harakatlardagi
nisbiy energiya tarqalishi ψ=	
N	1−	N	2	
fW
(2.1)
formula   asosida   hisoblanadi;   bunda   f   –   sinamaning   tebranma   harakatlari
chastotasi;   W   –   tebranishlar   amplitudaviy   deformatsiyasi   uchun   sinamaning
potensial energiyasi. 
Termik   usul.   Elastik   elementdagi   energiya   tarqalishi   asosan   uning
issiqlik   chiqarishi   bilan   bog‘liq.   Uning   qizishi   vaqt   birligi   ichida   issiqlik
chiqarishi   bilan   aniqlanadi.   Tebranishlarning   katta   chastotalari   va
amplitudalarda metallning juda qizib ketishigacha olib keladi.
Ushbu   usul   sinama   materialdagi   issiqlikning   suvga   berilgan   miqdorini
aniqlashga   asoslangan.   Biror   t   vaqt   oralig‘ida   f   chastota   bilan   tebranayotgan
sistema 
Q=m Δ T, (2.2)
issiqlik   ajratadi.   Bunda   m   –   kalorimetrdagi   suv   massasi;   Δ T   –   tajriba
boshida va oxiridagi suvning temperaturasi.
Sinama materialdagi energiya tarqalishi 
Δ W=Q/(tf)= m Δ T/(tf), (2.3)
formula yordamida aniqlanadi.
Termik  usulning  boshqa   variantlari  sinama   materialdagi   temperaturaning
ortishini juda sezgir termometrlar vositasida aniqlanadi.
25 2.2 -§   Gisterezis tugunining statik va dinamik usullari
Statik usul.  Ushbu usul bevosita gisterezis tugunini  P  tashqi kuch (yoki  σ
kuchlanish) –  S  ko‘chish (yoki  ε  deformatsiya) koordinatalarida zinasimon statik
yuklanishlarni   amalga   oshirgan   holda   o‘lchashlardan   hosil   qilinadi.   Sinama
materialning   dempferlash   xossalari   nisbiy   energiya   tarqalishini   hisoblashga
asoslanadi.   Bu   parametr   S   ko‘chish   (yoki   ε   deformatsiya)   da   gisterezis   tuguni
yuzasi  Δ W  ning elastik energiya  W  ga nisbati sifatida baholanadi.
Bu   usul   deformatsiyalarni   hisoblashda   aniqlikni   talab   etadi   va   energiya
tarqalishining   chastotaga   bog‘liqligi   va   aerodinamik   energiya   tarqalishini
e’tiborga   olmaydi.   Bu   usul   ko‘proq   sezilarli   katta   gisterezisga   ega
materiallarning elastik dempferlash xarakteristikalarini aniqlashda qo‘llaniladi.
Dinamik usul.   Ushbu usul   odatda chidamlilik chegarasi va undan keyingi
holatdagi kuchlanishlarda energiya tarqalishini tekshirishda  qo‘llaniladi. Bunda
davriy   ravishdagi   tebranishlar   davomidagi   kuchlanish   va   deformatsiyalarni   bir
vaqning   o‘zida   aniqlanishi   bilan   yuzasi   energiya   tarqalishini   ifodalovchi
gisterezis   tuguni   eksperimental   ravishda   topiladi.   Bunday   usul   bilan   topilgan
energiya  tarqalishi   ifodalari   aniqlik  borasida   statik   usuldan   qoladi,  lekin   ushbu
tajribalarni   rezonans   chastotalarda   amalga   oshirilsa,   tadqiqotlarning   aniqlik
darajasi   ortadi.   Ushbu   usulning   o‘ziga   xos   jihatlariga   to‘xtalganda   shuni   aytib
o‘tish   kerakki,   masalan   massasi   m   bo‘lgan   yuk   gisterezislik   xossasiga   ega
prujinaga   osilgan   bo‘lsin   va   bu   prujinaning   dissipativlik   xossasi   R(u)   funksiya
bilan   aniqlansin.   U   holda   bu   mexanik   sistemaning   P=P
0 sin( ωt+γ )   tashqi
garmonik kuch ta’siridagi tebranma harakat differensial tenglamasim	¨u+cu	+R(u)=	P0sin	(ωt	+γ)
(2.4)
ko‘rinishida bo‘ladi.
26 Umumlashgan   kuch   bu   holda   chap   tomondagi   oxirgi   ikki   qo‘shiluvchiga
teng bo‘ladiN=	cu	+R(u)
. (2.5)
Bu ifoda esa gisterezis tugunini ifodaydi.
(2.1)   differensial   tenglamadan   t   parametrni   yo‘qotib,   gisterezis   tugunini
uyg‘otuvchi   kuch   P   –   u   ko‘chish   koordinatalardagi   ifodasini   olish   mumkin.
Buning uchun birinchi yaqinlashishda	
u=	u0sin	ωt
deb olib,  t=0  hamda  	
t=	π
2ω paytlarda bajarilishi shartligidan kelib chiqamiz.
Shakl almashtirishlardan so‘ng	
P=[R(0)ctg	γ−	R(u0)]
u
u0
+R(u).
(2.6)
Shu bilan birga  R (0) uyg‘otuvchi kuch amplitudasi bilan quyidagi tenglik 
orqali ifodalanadi:
R (0)= P
0 sin γ (2.7)
(2.7) va (2.6) ni e’tiborga olsak, quyidagi ifodalarni hosil qilamiz:
P (0)= R (0)= P
0  sin γ (2.8)
P ( u
0 )= R (0) ctg γ = P
0  cos γ (2.9)
(2.6)   tenglama   bo‘ylama   o‘qi   θ   og‘ish   burchagiga   ega   bo‘lgan   dinamik
gisterezis tugunini ifodalaydi, bunda og‘ish burchagi
27 tg	θ=	[R(0)ctg	γ−	R(u0)]	
u0	
.(2.10)
ga teng.
(2.6)   va   (2.10)   tenglamalardan   berilgan   u
0   ko‘chishlarda   gisterezis   tuguni
P-u   koordinatalarda   fazalar   siljishi   γ   burchak   bilan   aniqlanadi.   Bu   burchak
berilgan   amplitudalarda   uyg‘otuvchi   kuch   chastotasining   rezonans   chastotaga
nisbati sifatida aniqlanadi.
Rezonans holatida  γ = π /2  da gisterezis tuguni tenglamasi 	
P=−	R(u0)u
u0
+R(u)
(2.11)
ko‘rinishiga o‘tadi. 
Bunda gisterezis tugunining og‘ish burchagi	
tg	θ=	−	R(u0)	
u0	
.
(2.12)
ga teng bo‘ladi.
Tebranishlar   dekrementi   gisterezis   tuguni   yuzi   Δ W   ning   elastik   energiya
amplitudaviy qiymatining ikkilanganiga nisbatiga teng bo‘ladi.
2.3 -§   Fazaviy usul
Ushbu   usul   tashqi   garmonik   kuch   va   buning   ta’sirida   hosil   bo‘lgan
deformatsiyaning fazalar siljishi  γ  orasidagi munosabatga asoslangan. 
Materialdagi nisbiy energiya tarqalishi uchun hisob munosabati
28 ψ=	2π(1−	ω2
p2)tg	γ(2.13)
Majburiy   tebranishlarda   energiya   tarqalishi   quyidagi   ifoda   bilan
aniqlanishini 	
ψ=	2πh
p2ω=	ψ0
ω
p
(2.14)
e’tiborga olsak, u holda	
tg	γ=	hω
p2−	ω2
(2.15)
ni hosil qilamiz, bunda  ψ
0   – rezonans holatidagi nisbiy energiya tarqalishi.
Gisterezis   tipidagi   chiziqli   bo’lmagan   sistemalar   uchun   tebranishlar
dekrementini aniqlashning hisoblash munosabatlarini keltirib o‘tamiz.
Birinchi   yaqinlashishda   tebranishlar   chastotasi,   amplitudasi   va   fazalar
siljishi orasidagi bog‘lanish quyidagi	
1−	ω2
p2+
A1(u0)	
u0	
=	
B1(u0)	
u0	
tg {	¯ψ.¿
(2.16)
ifoda orqali aniqlanadi  
B
1 ( u
0 ) ni tebranishlar dekrementi   δ   orqali ifodalab, tebranishlar dekrementi
va fazalar siljishi orasidagi 	
δ=π[1−	ω2
p2+A1(u0)	
u0	]ctg {	¯ψ¿
(2.17)
munosabatni hosil qilamiz.
29 Tebranma  harakatlarni  u=u0sin	(ωt	−	γ)   ko‘rinishida  izlab,   fazaviy   burchak
uchun   dekrement   formulasini   hosil   qilamiz   (rezonans   paytida  	
γ=−	π
2−	¯ψ
ekanligini hamda 	
A1(u0)=	1
2π∫
0
2π
⃗Ф	(u)cos	θdθ	=0.  ekanligini e’tiborga olgan holda)	
δ=	π	1
p2[p02−ω2]tg	γ
(2.18)
bu yerda  p
0   – sistemaning energiya tarqalishini e’tiborga olgan holdagi 	
p02=	p2
[1+	A1(u0)	
u0	]
(2.19)
rezonans chastotasi. 
(2.19) ifodani taqribiy 	
p02−	p2≈(p0−	p)2p
almashtirish olib	
p0=	p[1+	A1(u0)	
u0	]
. (2.20)
Tebranishlar  dekrementining fazalar siljishidan bog‘liq bo‘lgan (2.17) va
(2.18) munosabatlar (2.15) va (2.16) ifodalardan farq qiladi. Faqatgina gisterezis
tugunini elliptik ko‘rinishda deb faraz qilinsa, bu ifodalar ustma-ust tushadi (bu
holda  A
1 ( u
0 ) nolga teng bo‘ladi).
Tebranishlar   dekrementini   aniqlashga   kirishishdan   oldin   yana   ba’zi
mulohazalarni keltirsak.
1. Rezonans holatida tebranishlar dekrementi
30 δ0=	πk	α
Δω	α
p(2. 2 1)
ifoda yordamida topiladi.
2. k
α   miqdor 	
kα=	α	
sin {	¯ψα
=	α	
cos	γα
¿
(2.22)
ifoda yordamida topiladi.
Xususiy   holda   energiya  tarqalishi   qovushoq   ishqalanish   (vyazkoe   treni y e)
ko‘rinishida bo‘lsa, ushbu koeffitsiyent	
kα=	α	
√1−	α2
(2.22 ’ )
ko‘rinishini oladi.
3. Tebranishlar dekrementi	
δα=	δα
α	cos {	¯ψα=	δα
α	sin	γα¿
(2. 23 )
ifoda yordamida topiladi.
4. Tebranishlar dekrementi	
δ=π	
1−	ω2
p2	
1+d	tg	γtg	γ
(2.24)
ifoda yordamida topiladi.
5. (2.24) ifodadagi  d  parametr  n  parametrga bog‘liq ravishda	
dn=π22n−1	
n−1	
[Г(n+1
2)]
2	
Г(2n)
(2.25)
31 ifoda yordamida topiladi.
Yoki  n  parametrning musbat butun qiymatlari uchundn=π	22n−1	
22n−1(n−1)
(2n−1)!	
((n−1)!)2
(2.26)
ifoda yordamida topiladi.
Gamma-funksiya uchun quyidagi xossalar o‘rinli	
Г(n+1)=n!
,	
Г(0,5	)=√π;
,	
Г(n+1)=	nГ	(n)
,
Gamma-funksiyaning xossalarini e’tiborga olgan holda
n=2          uchun      	
d2=	3π
4	;
n=3          uchun      	
d3=15	π	
32	;
n=4          uchun      	
d2=35	π	
96	.
ifodalarning qiymatlarini hosil qilamiz.
2.4 -§  Materiallarning dempferlash xossalarini ifodalovchi
xarakteristikalar
  Elastik gisterezis  tuguni
32 Elastik   gisterezis   –   Mexanik   kuchlanishning   siklik   qo'llanilishi   va   yukni
olib   tashlash   jarayonida   elastik   jismning   deformatsiyasiga   noaniq   bog'liqligi.
Kuchlanish   σ   deformatsiya   ε   ning   grafigi   Guk   qonuniga   mos   keladigan   to g riʻ ʻ
chiziq segmentidan farq qiladi va gisterezis tugunidir. Ushbu tugunning yuzi sikl
davomida   tarqaladigan   (issiqlikka   aylanadigan)   mexanik   energiyaga
mutanosibdir.
Metallarda elastik gisterezisning paydo bo'lishi  ba'zi  polikristal  donalarida
mikrokuchlanishlarning namunadagi o'rtacha kuchlanishlardan sezilarli darajada
oshishi   bilan   bog'liq   bo'lib,   bu   plastik   deformatsiyalarning   paydo   bo'lishiga   va
shuning   uchun   mexanik   energiyaning   tarqalishiga   olib   keladi.   Ba'zi   hollarda
elektromagnit hodisalar elastik gisterezisga yordam beradi.
Haqiqiy   elastik   jism   bilan   ideal   elastik   jism   o'rtasidagi   farqning   ko'rinishi
sifatida   elastik   gisterezis   barcha   qattiq   jismlarda,   hatto   juda   past   haroratlarda
ham   kuzatiladi.   Elastik   gisterezis   elastik   jismlarning   erkin   tebranishlarini
susaytirishi,   ulardagi   tovush   tarqalishini   susaytirishi,   noelastik   ta'sir   paytida
tiklanish koeffitsiyentining pasayishi  va hokazolarni keltirib chiqaradi.Umumiy
holatda   elastiklikning   idealdan   chetga   chiqishi   ichki   ishqalanish   tushunchasiga
kiradi. .
Yuqori   haroratlarda   elastik   gisterezis   tuguni   o'zgarmaydi   va   o'rtacha
haroratlarda n parametr bir yoki ikkiga teng qabul qilinadi .
Bir   qator   tajribalarda   strukturaviy   materiallar   gisterezis   tuguni   elastik
gisterezis   tugunining   qiymati   bilan   taqqoslanadigan   qiymatgacha   pasaygan
holatga o'tdi .
Gisterezis   tuguni   ichidagi   yuza   har   bir   deformatsiya   davri   davomida
issiqlik   energiyasiga   aylanadigan   qaytarilmas   xususiy   energiyaga   (ish)   miqdor
jihatdan   teng.   Kuchlanishlardan   kuchlanishning   kechikishi   va   u   tomonidan
33 yaratilgan elastik gisterezis tuguni materialning  ichki ishqalanishi  deb ataladigan
narsa bilan bog'liq.
[27]   da   tizimlarning   elastik   tebranishlarini   ko'rib   chiqishda   ichki
ishqalanish   natijasida   hosil   bo'lgan   gisterezis   tugunining   mavjudligi   erkin
tebranishlarning   so'nishi   va   rezonans   sohasida   majburiy   tebranishlar
amplitudalarining   barqarorlashuviga   sabab   bo'lishi   ko'rsatilgan.   Har   bir
tebranish davrida gisterezis tugunidagi yuzaga teng bo'lgan maxsus ish tarqaladi.
Vaqti-vaqti   bilan   o'zgarib   turadigan   kuchlanish   har   doim   bir   xil   belgida
qolsa,   lekin   sikl   davomida   nolga   tushsa,   elastik   gisterezis   tuguni   rasmda
ko'rsatilgan   shaklga   ega   bo'ladi.   Nihoyat,   vaqti-vaqti   bilan   o'zgarib   turadigan
kuchlanishlar   oquvchanlik   kuchidan   oshib   ketadigan   maksimal   qiymatga   ega
bo'lsa,   lekin   bir   xil   belgida   qolsa   va   nolga   yetsa,   u   holda   gisterezis   tuguni
rasmda ko'rsatilgandek olinadi.
Chidamlilik   va   proporsionallik
chegarasidan   oshmaydigan   kuchlanishlarda
alohida   metall   donalaridagi   siklik   plastik
deformatsiyaga ma’lum energiya sarflanadi va
elastik gisterezis tuguni hosil bo‘ladi (rasm).
Ayrim   elementlarda  plastik   deformatsiya
uchun   bir   siklda   sarflangan   energiyaga
mutanosib   bo'lgan   tugun   yuzasi   siklik
yuklanish   ostida   materialda   energiyaning
tarqalishini   tavsiflaydi.   Gisterezis   tuguni
yuzasining   kuchlanish   amplitudasi   darajasiga,   davrlar   soniga,   materialning
holatiga,   haroratga   va   boshqa   omillarga   bog'liqligini   o'rganish   charchoqning
buzilishi   mexanizmini   chuqurroq   tushunishga   imkon   beradi   va   zarur   shart-
sharoitlarni yaratadi. 
34Rasm. Bir tomonlama
deformatsiya paytida gisterezis
tuguni Ko'p   sonli   sikllar   bilan
qattiqlashtiriluvchi   materiallarning
deformatsiya diagrammasi ancha tor tugunga
qisqaradi,   uning   kengligi   elastik   gisterezis
tuguni   bilan   taqqoslanadi   va   biz   cheklovchi
holatda   deformatsiya   diagrammasi   sifatida
ifodalanishi   mumkin   deb   taxmin   qilishimiz
mumkin.   to'g'ri   chiziq   yakuniy   qoldiq
deformatsiya qiymati bilan siljigan 
Disk   ma'lum   bir   kuch   yoki   kuchlar
momenti ta'sirida aylanayotganda, ma'lum bir
tarzda   ikkala   jismning   deformatsiyalanadigan   materiallari   zarralari   o'rtasida
ichki ishqalanish kuchlari paydo bo'ladi va natijada boshqacha holat kuzatiladi -
tashqi   kuchlarning   bajargan   ishi   tarqaladi.   Nomukammal   elastik   jismlar   uchun
bu   ishni   kuch-deformatsiya   koordinata   tizimidagi   elastik   gisterezis   tuguni
yuzasidan   aniqlash   mumkin.   Ushbu   jismlarning   siqish   platformasi   hududida
yuklash   va   yuksizlanish   jarayoni   doimo   gisterezisning   namoyon   bo'lishi   uchun
qulay sharoitlarda davom etadi. 
Agar bunday materiallardan yasalgan sterjen cho'zilgandan so'ng, yuk olib
tashlansa, u holda tushish egri chizig’i O nuqtasidan o'tmasa, OS kesimi   qoldiq
deformatsiya   deb   ataladi.   Yukning   keyingi   qo'yilishi   COE   egri   chizig'i   bo'ylab
o'tadigan   deformatsiyani   beradi,   bu   tushish   egri   chizig'i   bilan   elastik   gisterezis
tugunini   hosil   qiladi.   Plastmassali   materiallarga   xos   kuchlanish-deformatsiya
diagrammasi paydo bo’ladi.
Ichki   ishqalanish   –   mexanik   tebranishlarning   elastik   energiyasining   bir
qismini   issiqlik   energiyasiga   aylantirish   uchun   siklik   yuk   ostidagi   qattiq
jismning   xususiyati.   Ichki   ishqalanish   qattiq   jismning   erkin   tebranishlarini
susaytirishda,   shuningdek,   elastik   gisterezis   tuguni   mavjudligida   namoyon
35Rasm .  Elastik gisterezis tuguni bo'ladi.   Yuqori   ichki   ishqalanish   (yuqori   tarqalish   qobiliyati   yoki   boshqacha
tarzda   yuqori   dempferlash   qobiliyati)   va   ichki   ishqalanish   past   bo'lgan
materiallar mavjud. 
Temperaturaning o’zgarmaslik sharti ko'p
amaliy   vaziyatlarda   qoniqtirilmaydi,   chunki
sovutish-isitish   siklidagi   plastik   deformatsiya
sezilarli   darajada   metallning   mexanik
xususiyatlariga,  siklik deformatsiyalar  paytida
qattiqlashuv   xususiyatlariga,   ko'pincha
sovutish-isitish   va   boshqa   parametrlarga
bog'liq.   Temperatura   elastik-plastik   gisterezis
tugunlarining   ko’rinishiga   sezilarli   darajada
ta'sir qilishi mumkin.
Shuni ham hisobga olish kerakki, materialning termal charchashida ma'lum
bir harorat oralig'ida siklik deformatsiya sodir bo'ladi va isitish va sovutishning
yarim davrlari metallga turli xil ta'sir ko'rsatishi mumkin. [ 23 ]
Plastik   deformatsiyaning   amplitudasi   elastik-plastik   gisterezis   tugunining
yarim kengligi sifatida aniqlanadi.
Plastiklik   hududida   kuchlanish   va   deformatsiya   o'rtasidagi   bog'liqlikni
aniqlash   o'zgaruvchan   yuk   ostida   ishlaydigan   konstruktsiyalarni   loyihalashda
katta   nazariy   va   amaliy   ahamiyatga   ega.   Bugungi   kunga   qadar   adabiyotlarda
ushbu muammoni hal qilishning ikkita yondashuvi ma'lum. Ulardan biri klassik
elastiklik   va   plastiklik   nazariyasidan   foydalangan   holda   fenomenologik
tushunchalarga   asoslanadi,   masalan,   ikkinchisi   dislokatsiyalarning   statistik
nazariyasiga asoslanadi [27].
Dislokatsiyalarning   statistik   nazariyasiga   asoslanib,   deformatsiyaning
boshlang'ich   egri   chizig'ining   deformatsiya   va   kuchlanish   o'rtasidagi
36 Rasm. Gisterezis tuguni, abssissa
o’qi bo’ylab deformatsiya,
ordinata o’qi bo’ylab kuchlanish bog'liqliklar, simmetrik mexanik gisterezis  tugunining tushuvchi  va ko'taruvchi
tarmoqlari   olingan.   Ushbu   bog'liqliklar   qo'llaniladigan   kuchlanishning   kattaligi
bo'yicha cheksiz darajali qatorlari sifatida taqdim etiladi, ular uchun dislokatsiya
zichligi   doimiy   deb   hisoblanishi   mumkin.   Yetarlicha   yuqori   kuchlanishlarda
(deformatsiyalarda) eksperimental ma'lumotlar dislokatsiya zichligi o'zgarishini,
mexanik gisterezis tugunlari esa assimetrik va ochiq ekanligini ko'rsatadi. 
Metall   elastik   deformatsiyadan   oshmaydigan   chegaralarda   yuklanganda,
yuklash   chizig'i   yuksizlanish   chizig'iga   to'g'ri   kelmaydi.   Elastik   gisterezis   deb
ataladigan   bu   nomuvofiqlik   namunani   yuklashda   sarflangan   deformatsiya   ishi
yuk   tushirilganda   qaytib   keladigan   deformatsiya   ishidan   kattaroq   ekanligini
ko'rsatadi.   Shuning   uchun,   elastik   gisterezis   yuklash   va   yuksizlanishning
birinchi   davrlarida   deformatsiyaning   biroz   kechikishi   bilan   bog'liq   deb
hisoblanadi.   Plastik   gisterezis   kuchlanish   va   deformatsiya   o'rtasidagi   kechikish
bilan   tavsiflanadi.   Gisterezis   tugunining   kengligi   siklik   qovushoqlikni
tavsiflaydi .
  Deformatsiya   tensorining   har   bir
komponentasini ikkita komponentaning
-   elastik   va   noelastik   komponentaning
yig'indisi deb hisoblash mumkin degan
farazga   asoslanib,   uning   tarkibiy
qismlarining   proportsional   o'zgarishi
bilan   murakkab   kuchlanish   holati
uchun   energiya   tarqalishi   o'rtasida
bog'liqlikni o'rnatilgan.
Boshqa   yo'nalish   tebranishlar   paytida   energiyani   pasaytirish   mexanizmida
plastik   deformatsiyalarning   rolini   hisobga   oladi.   Bu   yerda   ikkita   farazni   qayd
etamiz.   Avvalo,   bu   N.   N.   Davidenkov   tomonidan   taklif   qilingan   elastik
gisterezis   gepotezasidir.   Ko'p   marta   yuklanganda   kuchlanishning
37Shakl. Gisterezis halqasining shaklining
o'zgarishi a - elastik histerezis uchun, b -
plastik histerezis uchun deformatsiyaga bog'liqligi tezlik bilan emas, balki deformatsiyaning amplitudasi
bilan   belgilanadigan   darajali   funktsiya   deb   olinadi.   N.N.Davidenkovning
gepotezasi   ko'plab   tarafdorlarni   topdi,   u   ko'plab   konstruktiv   materiallar   uchun
eksperimental ma'lumotlar bilan tasdiqlangan.
Shuningdek,   Ye.   S.   Sorokinning   siklik   yuklanish   ta’sirida   kuchlanish   va
deformatsiya o‘rtasidagi  bog‘liqlikni kompleks ko’rinishda oladi, bunda elastik
bo‘lmagan   siklik   deformatsiya   elastik   deformatsiyadan   fazada   90°   ga   orqada
qoladi.   Gisterezis   tuguni   uchun   Ye.   S.   Sorokinning   gepotezasi   hisob-kitoblar
uchun qulay bo'lgan elliptik bog'liqlikni beradi [ 22 ].
Siklik   deformatsiya   diagrammasi   formulalar   asosida   uchta   chiziqli
kesimdan   iborat   siniq   chiziq   shaklida   qurilgan.   Bu   yaqinlashuvchi   siniq   chiziq
haqiqiy   deformatsiya   diagrammasiga   mos   keladi   va   u   yerda   har   qanday
assimetriya koeffitsiyenti R bo'lishi mumkin.
C
a  va C miqdorlari approksimatsiyalovchi chiziqning sinishiga to'g'ri keladi
va   j   ni   siklik deformatsiya  paytida  texnik oquvchanlik  chegarasi   deb  hisoblash
mumkin.   Qattiqlik   koeffitsiyenti   EJ   nazariy   deformatsiya   egri   chizig'ining
birinchi   chiziqli   kesimining   qiyaligi   tangensi,   qolgan   ikkita   qattiqlik
koeffitsiyenti haqiqiy siklik deformatsiya diagrammasidan aniqlanadi. 
2.5 -§  Materiallarning siklik deformatsiyalanishida energiya
tarqalishiga ta’sir etuvchi sabablar
Oquvchanlik sohasi  tushunchasi,  shuningdek, siklik deformatsiya bo'yicha
tajribalarni   talqin   qilishda   ziddiyatga   olib   keladi.   Ma'lumki,   kuchlanish
amplitudasining pasayishi bilan plastik gisterezis tugunining kengligi nolga teng
bo'lmaydi,   faqat   asta-sekin   kamayadi,   chunki   bu   holda   tangens   moduli   elastik
modulga yaqin bo'lib, u uchli shaklga ega. Elastik gisterezis tushunchasi elastik
xususiyatlarning   ma'lum   bir   nomukammalligi   sifatida   vaziyatni   saqlab
38 qolmaydi, chunki charchoqning buzilishi  materialning mikro hajmlarida plastik
kesishning paydo bo'lishi bilan bog'liq. 
Nihoyat, siklik barqaror materiallarda (masalan, o'rta uglerodli va ostenitik
po'latlar)   elastoplastik   gisterezis   tugunining   kengligi   amalda   deformatsiya
davrlari   soniga   bog'liq   emas.   Juft   va   toq   yarim   davrlarda   turli   xil   tugun
kengliklari   bilan   deformatsiyaning   bir   tomonlama   to'planishi   sodir   bo'ladi.
Yarim   davrlarning   ma'lum   sonida   stabillashadigan   bunday   materiallar   uchun
tugun kengligi bilan aniqlanadi. 
Har   bir   siklda   doimiy   umumiy   deformatsiya   amplitudasi   bilan   yuk   ostida
past   siklli   charchoq   sohasidagi   chidamlilik   mexanik   gisterezis   tugunining
parametrlari bo'yicha aniqlanadigan elastik va plastik qismlarga bog'liq.
Ma'lumki,   bu   parametr   kichik   va   10%   dan   oshmaydi   .   Barcha   yarim
sikllardagi   yuksizlanish
moduli birinchi yarim sikldagi
yuksizlanish   moduliga   teng
ravishda   olingan.
Diagrammaning   elastik   va
elastik-plastik   sohalari
orasidagi   shartli   chegaralar
ko'rsatilgan, 0,05% bardoshlik
darajasida   o'rnatiladi.   Bunday
diagrammaga   ko'ra,   har   bir
yarim   sikl   boshida   C(x)
funktsiyasining   qiymatlarini
aniqlash   mumkin.   X   parametrining   tegishli   qiymatlari   plastik   gisterezis
tugunining eni bo‘ylab topiladi, bu funksiya (R) grafigini tuzish imkonini beradi.
Siklik   yuklar   ostida   mikroplastik   deformatsiyalarning   paydo   bo’lishi
xususiyatlarini ko'rib chiqaylik. Polikristalli qotishmaning mahalliy hududlarida
39Rasm .  Elastik   gisterezis   tuguni   parametrlari deformatsiyaning   aniq   bir   xilsizligining   mavjudligi   sikllar   sonining   ko'payishi
bilan   kuchsiz   mikrohajmlarning   plastik   deformatsiyasiga   bosqichma-bosqich
kirishi   uchun   zarur   shart-sharoitlarni   yaratadi.   Bundan   tashqari,   har   bir   yukni
yuksizlanish   siklida   va   mexanik   gisterezis   tugunining   ko'tarilgan   va   tushuvchi
shoxlarini   chetlab   o'tishda   kuchlanishning   o'zgarishi   bilan   elastik   bo'lmagan
deformatsiyalanmaydigan   mikrohajmlarning   nisbati   doimiy   ravishda   o'zgaradi.
Umumiy   elastik   deformatsiyasi   fonida   o'tadigan   bunday   mahalliy   plastik
deformatsiyalar qoldiq deformatsiyaning chiqishiga olib kelmaydi.
Tarqatilgan   ushbu   ishning   asosiy   qismi   issiqlikka   aylanadi   va   issiqlik
uzatish   orqali   tarqaladi   va   bir   qismi,   nisbatan   juda   kichik   qismi,   past   siklli
charchoqning   shikastlanishini   rivojlantirishga   sarflanadi.   Moslashuv   mavjud
bo'lganda, faqat yuqori siklli charchoq paydo bo'lishi  mumkin, bu materialning
makroskopik hajmlarining o'zgaruvchan plastik deformatsiyasi bilan emas, balki
alohida   kristalli   donalarda   mahalliy   plastik   deformatsiyalarning   rivojlanishi
bilan bog'liq. 
Plastik   gisterezis   kuchlanishdan   kuchlanishning   kechikishi   bilan
tavsiflanadi.   Gisterezis   tugunining   kengligi   siklik   qovushqoqlikni,   ya'ni   siklik
takrorlanuvchi   bir   tomonlama   yoki   o'zgaruvchan   kuchlanishlar   ta'sirida
metallning   qaytarib   bo'lmaydigan   shaklda   energiyani   yutish   qobiliyatini
tavsiflaydi. 
Siklik siljish va  relaksatsiya . Holat tenglamalarini chiqarishda reonomik va
skleronomik   sterjenlarning   deformatsiya   diagrammalari   orasidagi   farq   hisobga
olinmaydi.   Yuklashning   har   bir   bosqichida   deyarli   sezilmaydigan   natijada
xatolik   muayyan   sharoitlarda   to'planishi   mumkin.   Masalan,   ko'rsatilgan
tenglamalarga   muvofiq   siklik   assimetrik   yuklanish   yopiq   (qattiq)   plastik
gisterezis   tugunini   beradi;   Aslida,   materialning   reonomik   xususiyati   tufayli
tugunning   asta-sekin   siljishi   ko'pincha   kuzatiladi   –   sharoitga   qarab,   ta'sirlar
40 paydo   bo'ladi   va   ular   siklik   polzuchest   (kuchlanishlar   berilgan)   yoki   siklik
relaksatsiya (deformatsiyalar berilgan) deb ataladi.
Modelning   sterjenlarida   deformatsiyalar   kinetikasini   to'g'ridan-to'g'ri
hisoblashda   (holatning   ushbu   tenglamalarini   chiqarishda   qabul   qilingan
gepotezalardan   foydalanmasdan)   bu   ta'sirlar   aks   ettirilgan.   Shu   bilan   birga,
umumiy   shaklda   asimptotik   yechimlarni   olish,   ya'ni   gisterezis   tugunlarining
sudraluvchi   chegaralarini,   agar   ular   mavjud   bo'lsa,   ularni   aniqlash   uchun
allaqachon   ko'rib   chiqilgan   tahlil   usullaridan   (elastik   deformatsiyalar   taqsimoti
diagrammalarini o'rganish) foydalanish mumkin. 
Shuni ta'kidlash kerakki, 5-10 siklgacha bo'lgan yuklamalar soni past siklli
charchoq   mintaqasiga   tegishli.   Bu   sikllar   soni   bo'yicha   pastki   chegaraga   to'g'ri
keladi,   undan   yuqori   siklli   charchoq   sohasidagi   sinovlar   an'anaviy   ravishda
boshlanadi.   5-10   gacha   bo'lgan   davr   raqamlari   oralig'ida,   keng   qo'llaniladigan
konstruktiv po'latlar va qotishmalar kabi o'rtacha quvvatli egiluvchan materiallar
elastoplastik   gisterezis   tuguni   mavjudligida   elastiklik   chegarasidan   tashqarida
siklik yuklash sharoitida deformatsiyalanadi. 
II-BOB BO’YICHA XULOSALAR
Magistrlik   dissertatsiyasining   II   bobi   bo’yicha   quyidagi   xulosalarni   aytish
mumkin: 
- Chiziqli bo’lmagan tebranma harakatlarda gisterezis tuguni paydo bo‘lishi
va   bu   tugun   yuzi   tebranma   harakatning   bitta   siklida   yo‘qotilgan   energiyaga
tengligi ko‘rsatildi.
-   Gisterezis   tugunini,   sistemada   energiya   tarqalishini   ifodalash   uchun
asosiy gepotezalarda uchragan parametrlarni aniqlash metodikalari keltirildi.
-   Sistema   elastik-dissipativ   materialining   asosiy   xarakteristikalari   va
parametrlari haqidagi tushunchalar keltirildi.
41 -   Sistemada   energiya   tarqalishi   qanday   sabablardan   vujudga   kelishi
keltirildi.
42 III-BOB. ICHKI ENERGIYA TARQALISHIGA EGA TURLI
MATERIALLAR UCHUN GISTEREZIS TUGUNI
PARAMETRLARINING QIYMATLARINI ANIQLASH
3.1 -§   Materiallar uchun gisterezis tuguni parametrlari qiymatlarini
aniqlash
Magistrlik   dissertatsiyasining   ushbu   paragrafida   [28]   adabiyotdagi
ma’lumotlardan   foydalangan   holda   tanlab   olingan   bir   material   uchun   elastik-
dissipativ   xarakteristikalarni   topish   masalasi   qaraladi.   Gisterezis   tugunini
ifodalash   uchun   magistrlik   dissertatsiyasining   birinchi   bobida   keltirilgan
N.N.Davidenkov munosabati olinadi.⃗σ(ξ)=	E	{ξ∓	ν
n[(ξ2±	ξ)n−	2n−1ξ2
n
]}
(1.12)
bunda  ν , n  lar aniqlanishi talab etilayotgan parametrlar. 
Ushbu parmetrlar orqali tebranishlar dekrementi	
δ=	
2n+1v(n−1)ε0
n−1	
n(n+1)
(3.1)
formula yordamida yoki	
δ=	2n+1v(n−1)σ0n−1	
n(n+1)Еn−1
(3.2)
formula yordamida aniqlanadi.
(3.2)   formula   n   va   v   parametrlarni   aniqlash   uchun   asosiy   formula
hisoblanadi. 
43 Agar tebranishlar dekrementining munosabatlari siklik deformatsiyalardan
foydalanib topilgan bo‘lsa,   n   va   v   parametrlarni aniqlash uchun dekrementning
δ
1   va   δ
2   qiymatlarini  hamda ularga mos  kuchlanishlarning   σ
1   va   σ
2   qiymatlarni
bilish kerak bo‘ladi.
Bunda n=	1+
ln	
δ1
δ2	
ln	
σ1
σ2	
;
(3.3)	
v=	
δ1(n+1)nE	n−1	
2n+1(n−1)σn−1;
(3.4)
Namuna sifatida po‘lat 40X materialini olamiz.  
[29] dagi ma’lumotlar asosida quyidagilarni keltirish mumkin:
1.   Mexanik   xossalari:   σ
m =847,5   MPa;   σ
o =515   MPa;   nisbiy   uzayish   20%
gacha; nisbiy qisqarish 58% gacha;  E =21,75*10 4
 MPa.
2. Materialning holati: toblangandan keyin.
3.   Namunalarning   tebranishlar   chastotasi:   a)   1000   Gs   (bo‘ylama
tebranishlar); 
4. Tajriba harorati: 20 0
 C.
5.   Namunadagi   kuchlanish:   a)   σ =2-24   kG/mm 2
  (bir   jinsli   cho‘zilish-
siqilish); 
6. Tajriba natijalari ochiq havoda o‘tkazilgan sinovlar asosida olingan.
44 σ,
MPa 80 120 160 200 240
δ, % 0,15 0,23 0,32 0,38 0,43
1) Jadvalda   keltirilgan   son   qiymatlardan   foydalanib,   izlanayotgan
parametrlarni topamiz
n =2,15;           
bo‘lgani uchun 
n= 2
deb olamiz.
2) v=3,13
3.1-rasm. k
α   koeffitsiyentning  α  dan parametrdan bog‘liq ravishda o‘zgarish grafigi
45 3) (2.22)  ifodadan  foydalanib,   k
α   ning qiymatini  hisoblaymiz.  Fazalar
siljishi 30 0
 va 45 0
 bo‘lgan hollar uchun mos ravishda ushbu parametrkα1=	1
√3
;	kα2=	1
ga teng.
Endi   topilgan   parametrlar   uchun   Maple   matematik   paketlar   dasturi
yordamida o‘zgarish grafiklarini tasvirlarini olamiz. 
Dastlab   qaralayotgan   sinama   materialidagi   gisterezis   xarakteristikasining
qovushoqligini   ifodalovchi   (2.22)   ifoda   bilan   aniqlanuvchi   k
α   parametrning
gisterezis tuguni chiziqlarining og‘ish burchagi  α   dan bog‘liq ravishda o‘zgarish
grafigini   tasvirlaymiz.   3.1-rasmda   ushbu   bog‘liqlik   grafigi   tasvirlangan.
Chizmadan ko‘rinib turibdiki,  α  parametrning 1 ga yaqinlashishi bilan  k
α   miqdor
ortib boradi.
3.2-rasm. Sinama materialidagi tebranishlar dekrementining amplitudadan bog‘liq
ravishda o‘zgarish grafigi (amplituda mm da, tebranishlar dekrementi % larda)
46 3.3-rasm. n
  parametrga bog‘liq ravishda tebranishlar dekrementining o‘zgarish
grafigi
3.3-rasmda   n
  parametrga   bog‘liq   ravishda   tebranishlar   dekrementining
o‘zgarish   grafigi   tasvirlangan.   Rasmdan   shunday   xulosa   qilish   mumkinki,
gisterezis   tugunining   ushbu   parametri   ortishi   bilan   tebranishlar   dekrementi
keskin   ortib   boradi.   Bunda   sistema   tebranma   harakatlari   chiziqli   tebranishlar
xarakteridan uzoqlashib, chiziqli bo’lmagan tebranishlar vujudga keladi. Bunday
chiziqli   bo’lmagan   tebranishlar   uchun   tebranishlar   chastotasining   tebranishlar
amplitudasiga bog‘liq o‘zgarishi kuzatiladi [29].
3.4-rasmda nisbiy chastotaga bog‘liq ravishda bog‘liq ravishda tebranishlar
dekrementining o‘zgarish grafigi (α=30 0
, 45 0
, 60 0
 uchun) tasvirlangan. Rasmdan
ko‘rinib   turibdiki,   α   parametrning   ortishi   bilan   tebranishlar   dekrementi   ortib
boradi.
47 3.4-rasm. Nisbiy chastotaga bog‘liq ravishda bog‘liq ravishda tebranishlar
dekrementining o‘zgarish grafigi (α=30 0
, 45 0
, 60 0
 uchun)
48 3.2 -§   Erkinlik darajasi birga teng sistemalarning majburiy
tebranishlari
Erkinlik   darajasi   birga   teng   sistemalarning   tebranuvchan   harakatini
o‘rganishda   odatda   og’irligi   Q   bo‘lgan   massasini   e’tiborga   olmasa   ham
bo‘ladigan   vertikal   prujinaga   osilgan   yuk   qaraladi.   Yukning   prujina   osilgan
nuqtasining   davriy   ko‘chishidagi   majburiy   tebranishlarini   prujina   materialida
ichki energiya tarqalishini  e’tiborga olgan holda qaraymiz. Harakat differensial
tenglamasini tuzish uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:   ξ
0  – prujina osilgan
nuqtaning vertikal ko‘chishi;  ξ  – yukning boshlang’ich holatiga nisbatan prujina
deformatsiyasi; ¯ξ  - yukning natijaviy ko‘chishi:	
¯ξ=	ξ0+ξ
(3.5)
Prujinaning yuqori nuqtasi kichik davriy tebranishlar qiladi, ya’ni  ξ
0  
ko‘chish  ε  kichik parametrga proporsional deb olamiz:
ξ0=	εβ	sin	ωt
(3.6)
bunda 	
εβ  - prujina yuqori nuqtasi majburiy tebranishlarning  amplitudaviy
qiymati, 	
εβ	=	(ξ0)max ;  ω  –  tashqi ta’sir chastotasi.
D’Alamber   prinsipidan   foydalanib,   prujinaga   osilgan   yuk
tebranishlarining harakat differensial tenglamasini tuzamiz:	
Q	+cξ	−	(Q	−	Q
g	
d2¯ξ	
dt	2)+cεФ	(ξ)=	0,
  (3.7)
49 bunda   c   –   bikirlik   koeffitsiyenti;   g   –   erkin   tushish   tezlanishi;  εФ	(ξ)   -
prujina materialidagi energiya yuqotishlarini ifodalovchi «qarshilik kuchi». (3.7)
tenglamadan   tenglamaning   har   ikkala   qismini   Q   bo‘lib,  	
¯ξ   natijaviy
ko‘chishning qiymatini qo‘yib,	
d2ξ	
dt	2+	p2[ξ+ε⃗Ф	(ξ)]=	εq	sin	ωt
, (3.8)
tenglamani   hosil   qilamiz.   Bunda   p   –   sistemaning   xususiy   doiraviy
chastotasi;   t   –   vaqt;  	
ε⃗Ф	(ξ,t)   –   (1.5)   munosabat   orqali   ifodalangan   prujina
materialidagi energiya tarqalishini ifodalovchi chiziqli bo’lmagan funksional, bu
ifodaning   yuk   pastga   qarab   harakatlanayotgandagi   qiymati  	
ε⃗Ф	(ξ,t)   uning
yuqoriga   qarab   harakatlanayotgandagi   qiymati  	
εФ	(ξ,t)   dan   farq   qiladi;   ε   –
kichik   parametr;   ε q   –   tashqi   uyg’otuvchi   kuchning   amplitudasi;   ω   –   tashqi
uyg’otuvchi   kuchning   doiraviy   chastotasi.   ε   kichik   parametrning   mavjudligi
uyg’otishlarning   kichikligidan   dalolat   beradi,   ya’ni   (3.8)   tenglamaning   so‘nish
va   uyg’otishlarsiz   erkin   garmonik   tebranishlari   chiziqli   differensial
tenglamalariga yaqinligini bildiradi:	
d2ξ	
dt	2+	p2ξ=	0.
 (3.9)
50 (3.9) chiziqli bo’lmagan differensial tenglamalarni yechish uchun chiziqli
bo’lmagan   mexanikaning   asimptotik   metodlarini   qo‘llash   maqsadga   muvofiq.
Unga   asosan,   ξ (t)   deformatsiya   funksiyasi   va  ε⃗Ф	(ξ,t)     funksionalni   ε   kichik
parametr darajalari orqali yoyilmasidan foydalaniladi:	
ξ=	ξacos	(ωt	+ψ	)+εu	1(t)+ε2u2(t)+...;
(3.10)	
⃗Ф	(ξ	,t)=	⃗Ф	(ξacos	(ωt	+ψ	))+ε⃗Ф	ξ
¿
(ξacos	(ωt	+ψ	))+ε2...,
(3.11)
bunda   u
1 (t),   u
2 (t),…   funksiyalar   ω   chastotali   bosh   garmonikani   o‘z   ichida
saqlamaydi;  ψ  – fazalar siljishi.
(3.10) va (3.11) yoyilmalarni (3.8) tenglamaga qo‘yib, bosh garmonikani
o‘z ichiga olgan hadlarini yig’ib, 	
d2u0(t)	
dt	2	+	p2[u0(t)+ε⃗Ф	(u0(t))b.g.]=	εq	sin	ωt
,  (3.12)
tenglamani hosil qilamiz, bunda 	
u0(t)=	ξacos	(ωt	+ψ	)
. (3.13)
Undan keyin  ε  kichik parametrning birinchi, ikkinchi va hokazo darajalari
oldidagi hadlarini nolga tenglashtirib,
51 d2u1(t)	
dt	2	+	p2u1(t)+	p2⃗Ф	(ξacos	(ωt	+ψ	))b.g.y.=	0;
(3.14)	
d2u2(t)	
dt	2	+	p2u2(t)+	p2⃗Ф	ξ
¿(ξacos	(ωt	+ψ))b.g.y.u1(t)=	0
; 
(3.15)
……………………………………….
tenglamalarni   hosil   qilamiz.   Bunda   b.g.y.   indeksi   bu   ifodalarda   bosh
garmonikasi yo‘q hadlari olinganligini bildiradi. 
(3.12)   tenglamadan   ε =0   bo‘lgan   holda   sistema   xususiy   tebranishlari
chastotasini   aniqlash   uchun   bizga   ma’lum   bo‘lgan   tenglamani   olamiz.   (3.14),
(3.15)   tenglamalar   yordamida   majburiy   tebranishlar   chastotasining   turli
yaqinlashishlardagi qiymatini topish mumkin. 	
ε⃗Ф	(ξ,t)
 chiziqli bo’lmagan funksionalning yuqorida aks ettirilgan ifodalari
kuchlanish   va   deformatsiya   orasida   chiziqli   munosabatlarning   mavjud
emasligini bildiradi. U holda   	
ε⃗Ф	(ξ,t)      funksional  ifodasining 0 dan 2 π   gacha
qiymatlar   qabul   qiluvchi   θ = ω t+ ψ   ( ψ   –   tebranishlarning   boshlang’ich   fazasi)
siklik o‘zgaruvchi kiritishdan keyingi ifodasini quyidagicha tasvirlash mumkin:
n=2k  da
52 ε⃗Ф	(ξ,t)=±	E	n+1	
4n	
δ(ξa)ξa(1∓	ncos	θ−	cos	nθ)(3.16)
n=2k+1  da 	
ε⃗Ф	(ξ,t)=±	E	n+2	
4(n+1)
δ(ξa)ξa(1∓	(n+1)cos	θ−	cos	n+1θ)
  (3.17)	
ε⃗Ф	(ξ,t)
  funksionalni   o‘z   ichida   saqlovchi   tenglamalarni   integrallashda
tebranishlar sikli bo‘yicha integrallashni qo‘llash kerak	
∮	ε⃗Ф	(ξ,t)dξ	=	∫
0
2π
ε⃗Ф	(ξ,t)dξ	=	∫
π
2π
ε⃗Ф	(ξ,t)d[ξ(θ)]+∫
0
π	
εФ	(ξ,t)d[ξ(θ)]
(3.18)
(3.18)   tenglama   yordamida   qaralayotgan   masala   birinchi   yaqinlashishda
yechiladi. Bu holda yechimlarning aniqlik darajasi injenerlik hisoblashlar uchun
yetarli   bo‘ladi,   chunki   keyingi   yaqinlashishlar   bilan   olingan   natijalar   egilish
funksiyalarining   aniqligini   1   %   ga,   amplituda-rezonans   chizig’ining   ba’zi
nuqtalaridagi   qiymatlari   aniqligini   esa   2   %   orttirganda,   bajariladigan   ishlar
hajmi bir necha marta ortadi.	
ε⃗Ф	(ξ,t)
  funksionalni   θ = ω t+ ψ   va   ξ =   ξ
a cos θ   ifodalarni   e’tiborga   olgan
holda Fure qatoriga yoyamiz	
⃗Ф	(ξacos	θ)=	A	(ξa)+∑
k=1
∞	
[Ak(ξa)cos	kθ	+	Bksin	kθ	]
(3.19)
bunda
53 A(ξa)=	1
2π	∫
0
2π
⃗Ф	(ξacos	θ)dθ	;	
Ak(ξa)=	1
2π	∫
0
2π
⃗Ф	(ξacos	θ)cos	kθdθ	;	
Bk(ξa)=	1
2π	∫
0
2π
⃗Ф	(ξacos	θ)sin	kθdθ	.(3.20)
(3.20) formulani (3.14) tenglamaga qo‘yib,	
d2u1(t)	
dt	2	+	p2u1(t)+	p2A	(ξa)+	
+	p2∑
k=1
∞	
[Ak(ξa)cos	k(ωt	+ψ	)+	B	ksin	k(ωt	+ψ	)]=	0
(3.21)
tenglamani olamiz.
Bu tenglamadan	
u1(t)=	−	A	(ξa)+	p2∑
k=1
∞	Ak(ξa)cos	k(ωt	+ψ	)+	Bksin	k(ωt	+ψ	)	
k2ω	2−	p2
.
(3.22)
ga kelamiz.
(3.12) tenglamadan foydalanib,   ω   chastota va   ψ   fazalar siljishini birinchi
yaqinlashishda topish uchun garmonik balans tenglamalrini yozish mumkin:	
∫
0
2π
{
d2ξ	
dt	2+	p2[ξ+ε⃗Ф	(ξ,t)]−	εq	sin	ωt	}cos	ω	tdt	=	0
,  (3.23)
54 ∫
0
2π
{
d2ξ	
dt	2+	p2[ξ+ε⃗Ф	(ξ,t)]−	εq	sin	ωt	}sin	ω	tdt	=	0 (3.24)
Shunday   qilib,   (3.8)   differensial   tenglamaga   kiruvchi   kosinus   va   sinusli
bosh garmonikalar ajraladi.
(3.22)   va   (3.23)   tenglamalarga   (3.10)   va   (3.11)   yoyilmalarni   qo‘yib,
integrallashni   bajarib,   shu   bilan   birga   kichik   parametrning   nolinchi   va   birinchi
darajalarinigina saqlab qolib,  ω  va  ψ  kattaliklarni birinchi yaqinlashishda topish
uchun quyidagi ifodalarni hosil qilamiz:	
π(p2−	ω2)ξacos	ψ+	p2∫
0
2π
ε⃗Ф	(ξacos	(ωt	+ψ))cos	ω	tdt	=	0	;
 (3.25)	
−	π(p2−	ω2)ξasin	ψ	+	p2∫
0
2π
ε⃗Ф	(ξacos	(ωt	+ψ	))sin	ω	tdt	−	εqπ	=	0	;
(3.26)
(3.25)   va   (3.26)   tenglamalarni   (3.19)   ifodalarni   e’tiborga   olgan   holda
quyidagicha yozish mumkin:	
[(p2−	ω2)ξa+	p2εA	1(ξa)]cos	ψ	+	p2εB	1(ξa)sin	ψ	=	0	;
(3.27)	
−	[(p2−	ω2)ξa+	p2εA	1(ξa)]sin	ψ	+	p2εB	1(ξa)cos	ψ	=	εq	.
 (3.28)
(3.27)   va   (3.28)   tenglamalardan   amplituda-rezonans   egri   chizig’ining
grafigini tasvirlash uchun formula va fazalar siljishining qiymatini topish uchun
birinchi yaqinlashishdagi ifodalarni topish mumkin	
(
ω
p)
2
=	1+	
εA	1(ξa)	
ξa	
∓	
√(	
εq
p2ξa)
2
−	
ε2B1
2(ξa)	
ξa2	
;
(3.29)
55 tg	ψ	=	∓	√ε2q2−	ε2B12(ξa)p4	
p2εB	1(ξa)	
;(3.30)
bunda Furening birinchi garmonikasi	
A1(ξa)=	1
2π	∫
0
2π
⃗Ф	(ξacos	θ)cos	θdθ	;	
B1(ξa)=	1
2π	∫
0
2π
⃗Ф	(ξacos	θ)sin	θdθ	.
  (3.31)
(3.16)   va   (3.17)   ifodalarni   qo‘llab,   (3.31)   munosabatga   asosan   A
1 ( ξ
a )   va
B
1 ( ξ
a )   funksiyalarning   qiymatlarini   aniqlaymiz   va   (3.29)   formulaga   olib   kelib
qo‘yamiz.   U   holda   erkinlik   darajasi   birga   teng   bo‘lgan   mexanik   sistemaning
bo‘ylama   tebranishlarining   amplituda-rezonans   egri   chizig’ini   tasvirlash   uchun
quyidagi formulani olamiz:
juft  n=2k  lar uchun	
(
ω
p)
2
=	1−	
(n+1)δ(ξa)	
4	∓	
√(	
εq
p2ξa)
2
−	
δ2(ξa)	
π2	;
  (3.32)
toq  n=2k+1  lar uchun	
(
ω
p)
2
=	1−	
(n+2)δ(ξa)	
4	∓	
√(	
εq
p2ξa)
2
−	
δ2(ξa)	
π2	.
  (3.33)
Oxirgi   formulalar   yordamida   (3.2)   va   (3.3)   chiziqli   bo’lmagan
munosabatlarning   erkinlik   darajasi   birga   teng   sistemaning   amplituda-chastota
xarakteristikasiga   ta’sirini   tahlil   etish   maqsadida   40X   (E=2,175   MPa)   markali
po‘latdan yasalgan prujinada osilgan yukning tebranishlarini qaraymiz.
56 (3.32)   va   (3.33)   formulalarga   mos   koeffitsiyentlarning   qiyomatlarini
qo‘yib,   tashqi   uyg’otuvchi   kuch   amplitudasini   rezonans   holatida   σ
a =240   MPa
bo‘lgan   maksimal   kuchlanish   va   ξ
a =10 -3
  nisbiy   deformatsiya   hosil   qiladi   deb
olib,   ba’zi   natijalar   olingan,   va   ular   asosida   majburiy   tebranishlarning
amplituda-rezonans   egri   chiziqlari   n   parametrning   bir   nechta   qiymatlari   uchun
olingan.
III-BOB BO’YICHA XULOSALAR
Magistrlik dissertatsiyasining III bobi bo’yicha quyidagi xulosalarni aytish
mumkin: 
- amplituda-rezonans egri chizig’ining qalinligi faqat materialdagi energiya
tarqalishiga bog’liq;
- bu tarqalgan energiya faqat tebranishlar dekrementidan, ya’ni (3.2), (3.3)
munosabatlar bilan berilgan gisterezis tugunining yuziga bog’liq;
- rezonans   egri   chizig’i   nafaqat   qaralayotgan   sistemaning   dempferlash
xususiyati  δ  ga, balki  n  parametrning kattaligiga ham bog’liq;
- ushbu   parametrlarni   aniqlash   metodikasi   po‘lat   40X   materiali   uchun
spravochniklarda keltirilgan tajriba natijalari asosida olindi;
- olingan natijalar  asosida  gisterezis  tugunining parametrlarining o‘zgarish
grafiklari Maple matematik paketi asosida qurildi;
- bu   parametr   gisterezis   tugunining   ko‘rinishini   ifodalaydi,   materialning
xossalarigagina   bog’liq   bo‘lib   qolmay,   siklik   deformatsiya   ko‘rinishiga
(cho‘zilish-siqilish,   buralish)   ham   bog’liq,   shuning   uchun   umumiy   holda   har
qanday qiymatlar qabul qilishi mumkin.
57 Xulosa  
Ushbu   magistrlik   dissertatsiyasi   elementlarning   ichki   energiya
tarqalishida   ahamiyatga   ega   bo‘lgan   gisterezis   tugunlari   uchun   ifodalarda
qatnashgan   parametrlarni   hisoblashga   bag‘ishlangan   bo‘lib,   dissertatsiya   ishi
bo‘yicha quyidagilarni xulosa qilib aytish mumkin:
- Ichki   energiya   tarqalishi   oqibatida   tebranishlarning   bitta   siklida
yo‘qotilgan   energiya   miqdori   gisterezis   tugunining   yuziga   teng   bo‘lib,
gisterezis   tugunining   qalinligi   o‘zgarishi   bilan   sistema   tebranishlarida
chiziqlimaslik xususiyatlari ortib boradi;
- ko‘plab   olimlar   gisterezis   tugunini   ifodalash   uchun   matematik   ifodalar
keltirgan,   bular   Ye.S.Sorokin,   N.N.Davidenkov,   G.S.Pisarenko   va
boshqalar;
- dissertatsiya ishida gisterezis tuguni parametrlarini anqlashning energetik
va   termik,   statik   va   dinamik,   fazaviy   usullari   o‘rganilib,   ular   asosida
elastik   elementlar   uchun   gisterezis   tugunining   parametrlari   aniqlangan,
xususan Pisarenko G.S., Yakovlev A.P., Matveev V. lar tomonidan chop
etilgan   spravochnik   qo‘llanmasi   asosidagi   berilgan   kuchlanish,   statik
deformatsiya,   tebranishlar   dekrementi,   elastiklik   moduli   qiymatlari
asosida  n, k  va  v  parametrlarning qiymatlari aniqlangan.
- Aniqlangan   parametrlar   uchun   o‘zgarish   grafiklari   olingan   va   qanday
parametrlar   gisterezis   tugunining   parametrlarining   o‘zgarishiga   olib
kelishi aniqlangan
58 A D A B I Y O T L A R   R O’ Y X A T I
1. Atajanov   B.,   Krasinskaya   Ye.M.   K   ustoychivosti   statsionarnix
dvijeniy negolonomnix sistem  // Izv. AN UzSSR, ser. texn. nauk, 1985, №1. –
s.–41–46.
2. Bogolyubov N.N., Mitropolskiy Yu.A. Asimptoticheskie metodi v 
teorii nelineynix kolebaniy. – 1971. – 768 s.
3. Buranov   X.M.   Issledovanie   ustoychivosti   vibrozashitnix   sistem   s
uprugo-dissipativnimi xarakteristikami gisterezisnogo tipa // Problemi mexaniki,
2004, № 5-6, s. 3-7.
4. Vibratsii   v   texnike/   Sprav.   T.   6,   /   pod   red.   K.V.   Frolova.   -   M.:
Mashinostroyenie, 1981. – 456 s.
5. Vorotnikov   V.I.,   Rumyansev   V.V.   Ustoychivost   i   upravlenie   po
chasti   koordinat   fazovogo   vektora   dinamicheskix   sistem:   teoriya,   usuli   i
prilojeniya. – M.: Nauchniy mir, 2001,-320 s.
6. G.Korn,   T.Korn.   Spravochnik   po   matematike.   M.:   Nauka,   gl.   red.
fizmat literaturi, 1984 g. – 832 s.
7. Den-Gartog Dj.  Mexanicheskie kolebaniya. –M.: Fizmatgiz,1960. –
580s.
8. Dusmatov   O.M.,   Buranov   X.M.   Issledovanie   ustoychivosti
vibrozashitnix   sistem   po   grafiku   amplitudi   kolebaniy   //   Uzbekskiy
matematicheskiy jurnal, 2006, №3, s. 36-39.
9. Dusmatov   O.M.,   Buranov   X.M.   Ustoychivost   nelineynix   sistem
vibrozashiti   s   uchetom   dissipatsii   energii//   Materiali   mejdunarodnoy   nauchnoy
59 konferensii  «Differensialnie uravneniya s chastnimi proizvodnimi i rodstvennie
problemi analiza i informatiki», Tashkent, 2004, t 1. s. 37-38.
10. Dusmatov   O.M.,   Buranov   X.M.,   Absalomov   T.   Issledovanie
ustoychivosti   vibrozashitnix   sistem   po   grafiku   amplitudno-chastotnoy
xarakteristiki//   Materiali   Mejdunarodnoy   nauchno-texnicheskoy   konferensii
«Sovremennie problemi i perspektivi mexaniki» // g. Tashkent, 2006 god, s. 30-
32.
11. Dusmatov   O.M.,   Mamzenko   Yu.A.   Kolebaniya   nesovershenno
uprugogo   sterjnya   s   dinamicheskim   gasitelem   pri   garmonicheskix   i   sluchaynix
vozdeystviyax/   tezisi   dokladov   1-nauchno-texnicheskoy   konferensii   molodix
uchenix,   spesialistov   i   studentov   «Fundamentalnie   i   prikladnie   problemi
kosmonavtiki», Kiev, 1988.
12. Korenev   B.G.,   Reznikov   L.M.   Dinamicheskie   gasiteli   kolebaniy:
Teoriya i texnicheskie prilojeniya. – M.: Nauka, 1988. – 304 s.
13. Pavlovskiy   M.A.,   Rijkov   L.M.   Ob   ekvivalentnoy   linearizatsii   pri
reshenii   zadach   kolebaniy   mexanicheskix   sistem   gisterezisnogo   tipa.   //   Probl.
prochnosti. №4. 1987. – s. 105-109.
14. Pavlovskiy M.A., Rijkov L.M., Yakovenko V.B., Dusmatov O.M..
Nelineynie zadachi dinamiki vibrozashitnix sistem. K.: Texnika, 1997.-204 s.
15. Pisarenko   G.S.   Obobshennaya   nelineynaya   model   ucheta
rasseyaniya energii pri kolebaniyax. – K.: Nauk. Dumka, 1981. – 220 s.
16. Pisarenko   G.S.,   Boginich   O.Ye.   Kolebaniya   kinematicheski
vozbujdaemix mexanicheskix sistem s uchetom dissipatsii energii.  K.: Naukova
dumka, 1981.   -   220 s.
60 17. Radish   Yu.V.,   Pavlovskiy   M.A.   Ob   ustoychivosti   tverdogo   tela   v
poplavkovom  podvese.  //  Mexanika  giroskopicheskix  sistem,  vip. 6, 1987. – s.
99-105.
18. Reznikov   I.I.,   Rijkov   L.M.,   Osipchuk   S.N.   Kolebaniya   sistem   s
nesovershennoy   uprugostyu   materiala   pri   sluchaynix   kolebaniyax.   //   Mexanika
giroskopicheskix sistem, vip. 6, 1987. – 105-109 s.
19. Rijkov   L.M.   O   statsionarnix   poperechnix   kolebaniyax   sterjnya   s
gisterezisnim  rasseyaniem  energii. // Problemi  prochnosti. №4. 1987. – s. 102-
105.
20. Rijkov   L.M.   Sluchaynie   kolebaniya   sistemi   s   gisterezisnim
rasseyaniem energii. // Dokladi AN USSR. Ser. A. 1984. №5. S. 41-43. 
21. Sveshnikov A.A. Prikladn ie metodi teorii sluchaynix funk s iy. – M.:
Nauka, 1968. – 464 s.
22. Sorokin Ye.S. K teorii vnutrennego treniya pri kolebaniyax uprugix
sistem. – M.: Gostexizdat, 1960. – 132 s.
23. Ziner   K.,   Uprugost   i   neuprugost   metallov,   per.   s   angl.,   v   kn.:
Uprugost i neuprugost metallov, M., 1954: 
24. Mikroplastichnost. [Sb. st.1, per. s angl.], M., 1972; 
25. Hovik   A.,   Berri   B.,   Relaksatsionnie   yavleniya   v   kristallax,   per.   s
angl., M., 1975; 
26. Xandros L., Arbuzova I., Martensitnoe prevrashenie, effekt pamyati
i sverxuprugost, v kn. Metalli, elektroni, reshetka, K., 1975; 
27. Golovin S., Pushkar  A., Mikroplastichnost  i  ustalost  metallov, M.,
1980.   V. M. Rozenberg .
61 28. Pisarenko G.S., Yakovlev A.P., Matveev V.Vibropogloshayushie 
svoystva konstruktivnix materialov. / Spravochnik. Kiev: Nakova Dumka, 1971.
– 371 s.
29. Kauderer G. Nelineynaya mexanika. – M.: IL, 1961. – 788 s. 
30. Bauer   G.F.   Ustanovivshiesya   garmonicheskie   i   kombinatsionnie
kolebaniya   nelineynogo   dinamicheskogo   poglotitelya   kolebaniy.   //   TR.
Amer. O-va inj.-mexanikov. Prikladnaya mexanika. – 1966. – t.33, №1. –
s. 64-66.
31. Bolotin V.V. Nekonservativnie zadachi teorii uprugoy ustoychivosti. M.:
Fizmatgiz, 1961.
32. Ganiev R.F., Kononenko V.O. Kolebaniya tverdix tel. – M.: Nauka, 1979.
– 432 s.
33. Davidenkov   N.N.   O   rasseyanii   pri   vibratsiyax.   –   Jurnal   texnicheskoy
fiziki. – 1938, 8. – vipusk 6. – s. 483-499.
62 MUALLIFNING CHOP QILINGAN ILMIY ISHLARI RO’YXATI
1. Буранов Х.М., Эшкобилов У. Определение демпфирующих 
параметров упругих элементов гистерезисных систем
2. УСТОЙЧИВОСТЬ ГАРМОНИЧЕСКИХ  КОЛЕБАНИЙ БАЛКИ С 
ДИНАМИЧЕСКИМ ГАСИТЕЛЕМ КОЛЕБАНИЙ И 
ГИСТЕРЕЗИСНЫМ РАССЕЯНЕМ ЭНЕРГИИ    Буранов Хiояр 
Махмадиярович  ф.-м.н.,  доцент Кiратов   A нвар Эргашович  PhD 
стiент, Эшкобилов Улугбек  Рузикулович магистрант Тиллоев Азиз
Шамси угли стiент Самаркандский госiарственный университет, 
Узбекистан .    Пенза 2022
63

Ichki energiya tarqalishiga ega turli materiallar uchun gisterezis tuguni parametrlarining qiymatlarini aniqlash MUNDARIJA KIRISH …………………………………………………3-7 1-BOB. MATERIALLARNING NOMUKAMMAL ELASTIKLIK XOSSALARI HAQIDA 1.1 -§. Masalaning zamoniy holati va adabiyotlar bilan tanishish ………………………………………….……8-14 1.2 - §. Gisterezis tipidagi elastik dissipativ xarakteristikalari haqida asosiy tushunchalar ……………………………….…14-16 1.3 - §. Gisterezis tipidagi elastik xarakteristikalari haqidagi asosiy gepotezalar ………………………………………...…16-21 I-bob bo’yicha xulosalar …………………………22 2-BOB. TEBRANISHLARDA ENERGIYA TARQALISHI XARAKTERISTIKALARINI ANIQLASHNING ASOSIY USULLARI 2.1 - §. Energetik va termik usullar …………………………….23-24 2.2 - §. Gisterezis tugunining statik va dinamik usullari .……..25-27 2.3 - §. Fazaviy usul ……………………………………….…..27-31 2.4 - §. Materiallarning dempferlash xossalarini ifodalovchi xarakteristikalari…………………………………….…31-37 2.5 - §. Materiallarning siklik deformatsiyalanishida energiya tarqalishiga ta’sir etuvchi sabablar .................................37-40 II-bob bo’yicha xulosalar ……………………... 40 3-BOB. ICHKI ENERGIYA TARQALISHIGA EGA TURLI MATERIALLAR UCHUN GISTEREZIS TUGUNI PARAMETRLARINING QIYMATLARINI

ANIQLASH 3.1 - §. Materiallar uchun gisterezis tuguni parametrlari qiymatlarini aniqlash …………………………………………..…...41-46 3.2 - §. Erkinlik darajasi birga teng mexanik sistemalarning majburiy tebranishlari …………………………….…46-54 III-bob bo’yicha xulosalar …………………… 54-55 XULOSA………………………………………………… 56 ADABIYOTLAR RO’YXATI………………………. 57-61 KIRISH 3

Magistrlik dissertatsiyasi mavzusining asoslanishi va uning dolzarbligi. Dunyoning yirik sanoat korxonalari va ilmiy-tadqiqot markazlarida zararli tebranishlarni so‘ndirish muammolarini hal etishda murakkab texnik sistemalarni matematik modellashtirish, dinamikasini tekshirish, mexanik sistemalarning optimal parametrlar i ni aniqlash masalalari ustida ilmiy izlanishlar olib bormoqda va olingan natijalar amaliyotga tadbiq etilib, mukammallashtirilmoqda hamda rivojlantirilmoqda. Bu borada, jumladan ichki energiya tarqalishini e’tiborga olgan holda tekis to’plangan va taqsimlangan parametrli sistemalar harakatini tekshirish, ya’ni chiziqli bo’lmagan sistemalarning amplituda va chastota orasidagi bog’lanish xarakteristikalarini, ustuvorlik shartlari va sohalarini konstruktiv parametrlarga bog‘liq holda aniqlash, ustuvorlikka tekshirish usullarini takomillashtirishga qaratilgan ilmiy tadqiqotlar muhim vazifalardan biri hisoblanadi. Texnikada qo’llaniladigan ko’pgina qurilmalarning ehtiyot qismlari bikrligi chekli bo’lgan garmonik yoki tasodifiy tebranuvchan asosga o’rnatilgan bo’ladi. Bu ehtiyot qismlarga tashqi uyg’otuvchi kuchlarning ko’rsatadigan ta’siri turli sharoitlarda turlicha bo’ladi. Zararli tebranishlar mashina, mexanizm va boshqaruv tizimlarining ishlab chiqarish quvvatining pasayishiga, sifatiga va chidamliliga ta’sir etadi. Shuning uchun bu ehtiyot qismlarining harakatini o’rganish uchun ularning harakat differensial tenglamalarini chiqarish muammosi paydo bo’ladi. Ko’pincha, bu harakat differensial tenglamalarni tuzish uchun elementar mexanika usullari kerakli natijalarni bermaydi. Ikkinchi tomondan haqiqiy harakatlar hamma vaqt chiziqli bo’lmagan differensial yoki integro-differensial tenglamalar bilan ifodalanadi. Bu tenglamalarda chiziqli bo’lmagan hadlarni e’tiborga olmaslik, ba’zan umuman haqiqiy yechimlardan farq qiluvchi, noto’g’ri xulosalarni keltirib chiqaradi. Keltirilgan mulohazalardan shunday xulosa qilish mumkinki, zamonaviy fan taraqqiyoti chiziqli bo’lmagan mexanik sistemalarning yechimini aniqroq 4

topishni, bu sistemalarning harakatlarini tahlil etishda zamonaviy metodlardan foydalanishni taqozo etadi. Shuning uchun mexanik sistemalarni matematik modellashtirishda sistema harakatiga ta’sir etuvchi ko’pgina omillarni e’tiborga olishga to’g’ri keladi. Demak, chiziqli bo’lmagan mexanik sistemalarni matematik modellashtirish, ularning dinamikasini tadqiq etish masalalari mexanikaning dolzarb masalalaridan hisoblanadi. M.A.Pavlovskiy, L.M.Rijkov, V.B.Yakovenko, O.M.Dusmatovlarning ishlarida gisterezis tipidagi elastik dissipativ xarakteristikali taqsimlangan parametrli chiziqli bo’lmagan sistemalarning harakati garmonik va tasodifiy qo‘zg‘alishlar uchun matematik modellashtirilgan va dinamikasi o‘rganilgan. Bugungi kunda garmonik va tasodifiy qo‘zg‘alishlar ta’sirlarida gisterezis tipidagi elastik dissipativ xarakteristikali taqsimlangan parametrli sistemalarning chiziqli bo’lmagan tebranishlari dinamikasini tekshirish yechilishni talab etadigan dolzarb masalalardan hisoblanadi. Tadqiqot ob’ekti va predmeti. Tadqiqot ob’ekti – tebranma harakatlanuvchi gisterezis tipidagi elastik dissipativ xarakteristikali sistemalarning elastik elementlari. Tadqiqot predmeti – keltirilgan gepotezalar asosida elastik-dissipativ xarakteristikalarini ifodalovchi gisterezis tuguni ifodalari. Ishning maqsadi va vazifalari . Magistrlik dissertatsiyasining maqsadi taqsimlangan parametrli tebranma harakat etayotgan mexanik sistemalar uchun qo‘llanilgan materiallarining elastik-dissipativ xarakteristikalarini ifodalovchi va turli gepotezalarga asoslangan gisterezis tuguni ifodalarini olgan holda bu sistemalarning dinamikasini tekshirish . Ushbu maqsadga erishish uchun magistrlik dissertatsiyasida quyidagilar amalga oshirildi : 5

- N.N.Davidenkov, G.S.Pisarenko, A.M.Pavlovskiy gepotezalaridan foydalanib, turli elastik materiallarning gisterezis tugunlari matematik modellashtirish; - tebranma harakatlar uchun chiziqli bo’lmagan mexanika masalalarini yechishning taqribiy metodlari – qatorlarga yoyish metodlarini qo’llab, qaralayotgan mexanik sistemaning yechimini nolinchi va birinchi yaqinlashishdagi yechimlarini olish; - birinchi yaqinlashishda olingan amplituda-chastota xarakteristikalarining grafiklarini olish, ular bo’yicha sistema dinamikasini tahlil qilish. Tadqiqot vazifalari – yuqorida keltirilgan gepotezalarga tayangan holda va fizik-texnik ma’lumotnomalar asosida tanlangan elastik materiallar uchun elastik-dissipativ xarakteristikalarini ifodalovchi gisterezis tuguni ifodalarini olish va ularni qo‘llagan holda erkinlik darajasi birga teng va tebranishlardan himoyalanuvchi sistemalar dinamikasini tekshirish. Tadqiqotning ilmiy yangiligi. Turli gepotezalar asosida elastik-dissipativ xarakteristikalarini ifodalovchi gisterezis tuguni ifodalari tuziladi, qo‘zg‘aluvchi asosga o‘rnatilgan balkaning ichki energiya tarqalishi ifodalarini e’tiborga olgan holda garmonik tebranishlari dinamikasi tekshiriladi va amplituda-chastota xarakteristikalari tuziladi. Tadqiqotning asosiy masala lari va farazlari . Taqsimlangan parametrli tebranma harakatlarni sodir etuvchi mexanik sistemalar uchun qo‘llanilgan materiallarining elastik-dissipativ xarakteristikalarini ifodalovchi va turli gepotezalarga asoslangan gisterezis tuguni ifodalarida qatnashadigan parametrlarning qiymatlarini olish . Magistrlik dissertatsiyasida olingan farazlar mexanik sistemalarning elastik elementlari uchun gisterezis tugunining ifodasini tuzish uchun Davidenkov 6