KOʻP OʻLCHOVLI TASODIFIY MIQDORLAR UCHUN BA’ZI NATIJALAR
![ni olamiz. Bu yerdan umumiy ko‘paytuvchi P(A) ni qavs tashqarisiga chiqarib,
hamda 1 − P ( B ) = P ( B )
tenglikdan foydalansak, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:
P ( A B ) = P ( A ) ( 1 − P ( B ) ) = P ( A ) P ( B ) .
Bu tenglik 4.2-ta’rifga ko‘ra A
va B
hodisalarning bog‘liqsizligini ko‘rsatadi.
Endi
A va B hodisalarning bog‘liqsizligini ko‘rsatamiz. Ikkilik munosabatiga
ko‘ra
A ⋅ B = A + B = Ω − ( A + B )
tenglik o‘rinli. P ( C ) = 1 − P ( C )
tenglikdan quyidagi tenglikni olamiz:
P ( A ⋅ B ) = 1 − P ( A + B ) = 1 − P ( A ) − P ( B ) + P ( AB ) .
A
va
B hodisalarning bog‘liqsizligi P ( AB ) = P ( A ) P ( B )
dan
P ( A ⋅ B ) = 1 − P ( A ) − P ( B ) + P ( A ) P ( B ) = [ 1 − P ( A ) ] [ 1 − P ( B ) ] = P ( A ) P ( B ) .
Bu tenglik
A va B hodisalarning bog‘liqsizligini isbotlaydi.
1.4-misol. Mavzuni 50 %
ga o‘zlashtirgan talabaga oraliq nazorat uchun 4 ta
savol berildi. Agar talaba barcha (4 ta) savolga to‘g‘ri javob bersa, unga a’lo – 5
baho qo‘yiladi. Faqat bitta savol javobini ko‘chirish shartida talabaning a’lo baho
olish ehtimolini toping. Uni shartsiz ehtimol bilan taqqoslang.
Yechish. Talabaning bitta savolga to‘g‘ri javob berish hodisasini A
bilan
belgilaylik. Masala shartiga ko‘ra P ( A ) = 1
2 va P ( A ) = 1
2 ekanligini olamiz. Quyidagi
AAAA,AAAA,AAAA,AAAA,AAAA(1.6 )
hodisalarning istalgan biri ro‘y berganda talaba a’lo baho oladi. Ya’ni
B= AAAA+AAAA+AAAA+AAAA+AAAA(1.7 )
talabaning a’lo baho olish hodisasidir. Chunki,
AAAA− ¿ talaba 4 ta savolning
barchasiga to‘g‘ri javob berish hodisasi, A A A A − ¿
talaba 1 , 2 ,
va 3 savollarga
to‘g‘ri javob beradi, lekin unda 4 – savolga to‘g‘ri javob yo‘q (u 4 – savolga
11](/data/documents/362c93d9-bea4-4f67-9c92-0b6554f1255b/page_10.png)
![Absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorning taqsimot zichligi. X−¿ absolyut
uzluksiz (1.7-ta’rifga qarang) tasodifiy miqdor, p ( x ) − ¿
uning zichlik funksiyasi
bo‘lsin.
Zichlik funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz:
1.1-xossa. Zichlik funksiya manfiymas, ya’ni
p(x)≥0.
1.2-xossa. Absolyut uzluksiz X
tasodifiy miqdorning
(a;b) oraliqdan
qiymatlar qabul qilish ehtimoli zichlik funksiyadan shu oraliq bo‘yicha olingan
aniq integralga teng:
P({ω∈Ω :a<X (ω)<b})=∫a
b
p(x)dx = F(b)− F(a).(1.10 )
1.3-xossa. Zichlik funksiyasidan ( − ∞ , ∞ )
oraliq bo‘yicha olingan xosmas
integralning qiymati 1 ga teng, ya’ni
∫−∞
∞
p(x)dx =1
tenglik o‘rinli.
Endi eng ko‘p ishlatiladigan absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorlarni
keltiramiz. Biz absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorlarning taqsimot funksiyasi
hamda zichlik funksiyasini beramiz.
Tekis taqsimot.
[a;b] kesmada tekis taqsimlangan tasodifiy miqdor absolyut
uzluksiz tasodifiy miqdor bo‘lib, uning zichlik funksiyasi
p(x)=
{
1
b−a,agar x∈[a;b]
0,agar x∈R¿[a;b¿]
taqsimot funksiyasi esa
F
( x ) =
{ 0 , x ∈
( − ∞ ; a ) ,
x − a
b − a , agar x ∈
[ a ; b ] ,
1 , agar x ∈
( b ; ∞ )
19](/data/documents/362c93d9-bea4-4f67-9c92-0b6554f1255b/page_18.png)
![ko‘rinishga ega. Tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorning [ a , b ]
kesma ichidagi
(x1,x2)
intervaldan qiymat qabul qilish ehtimoli, F ( x
2 ) − F ( x
1 ) = x
2 − x
1
b − a ga teng bo‘lib,
u shu intervalning uzunligiga proporsional.
Eksponensial taqsimot. Musbat
λ>0 uchun
p(x)={
0,x<0,
λe−λx,x≥0
zichlik funksiyaga ega bo‘lgan tasodifiy miqdorga
λ−¿ parametrli eksponensial
qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.
Bu tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
F
( x ) = { 0 , x < 0 ,
1 − e − λx
, x ≥ 0
ko‘rinishga ega ekanligini topish qiyin emas.
Normal taqsimot. Zichlik funksiyasi
φ
a , σ
( x ) = 1
σ √ 2 π e −
( x − a ) 2
2 σ 2
ko‘rinishga ega bo‘lgan tasodifiy miqdorga
(
a , σ 2 )
, a ∈ R , σ > 0 , parametrli normal
(yoki Gauss) qonun bo‘yicha taqsimlangan tasodifiy miqdor deyiladi.
Uning taqsimot funksiyasi quyidagi ko‘rinishga ega
Φa,σ(x)= 1
σ√2π∫−∞
x
e
−(t−a)2
2σ2 dt .(1.11 )
Xususan
a=0,σ=1 bo‘lganda normal taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot
zichligi va taqsimot funksiyasi
φ
0,1
( x ) = 1
√
2 π e − x 2
2
, Φ
0,1
( x ) = Φ ( x ) = 1
√
2 π ∫
− ∞x
e − t 2
2
dt
ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Φ (x) taqsimotga standart normal qonun deyiladi.
20](/data/documents/362c93d9-bea4-4f67-9c92-0b6554f1255b/page_19.png)
![Φa,σ(x)=Φ(
x−a
σ )tenglik o‘rinli bo‘lganligi uchun normal qonunning
a va σ parametrlariga
taqsimotning "siljish" va "masshtab" parametrlari deb ataladi.
1.10-misol.
X tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi FX(x)= K(x)
bo‘lsin. K − ¿
Kantorning zinapoya funksiyasi. X
ning singulyar uzluksiz tasodifiy
miqdor ekanligini ko‘rsating va
X tasodifiy miqdorning A = [ 1
3 ; 2
3 ]
oraliqdan
qiymatlar qabul qilish ehtimolini toping.
Yechish. Kantorning zinapoya funksiyasi
K singulyar uzluksiz ([3] yoki [5]
ga qarang) bo‘lganligi uchun 1.10-ta’rifga ko‘ra X
singulyar uzluksiz tasodifiy
miqdor bo‘ladi.
Endi
{ω∈Ω :X (ω)∈A} hodisa ehtimolini hisoblaymiz:
P ( { ω ∈ Ω : X ( ω ) ∈ A } ) = P ( { ω ∈ Ω : 1
3 ≤ X ( ω ) ≤ 2
3 } ) = K ( 2
3 ) − K ( 1
3 ) = 1
2 − 1
2 = 0.
1.11-misol.
Ω=[−π;π] , A
esa Ω dagi Borel to‘plamlari sistemasi,
P ( A ) = 1
2 π μ ( A )
. Bu yerda
μ Lebeg o‘lchovi.
ξ : Ω → R ; ξ ( ω ) = 1 − cos ω tasodifiy
miqdorning absolyut uzluksizligini ko‘rsating, uning taqsimot funksiyasi va zichlik
funksiyasini toping.
Yechish. Tasodifiy miqdor ξ ( ω ) = 1 − cos ω
ning qiymatlar sohasi
[0;2]
kesmadan iborat. Shunday ekan
x=0 va x=2 nuqtalar muhim nuqtalar hisoblanadi.
Taqsimot funksiya ta’rifiga ko‘ra (1.4-ta’rif) har bir
x∈R uchun
P ( { ω ∈ Ω : ξ ( ω ) ≤ x } )
ehtimolni hisoblashimiz kerak. Demak,
21](/data/documents/362c93d9-bea4-4f67-9c92-0b6554f1255b/page_20.png)
![{ω∈[− π;π]:1−cos ω ≤x}={ω∈[− π;π]:1− x≤cos ω}={ω
∅, x<0
, 0≤x≤2
Ω , x>2. Bu tenglikning ikkala tomonidan ehtimol olib quyidagilarni olamiz:
F
ξ ( x ) = P { ω ∈ Ω : 1 − cos ω ≤ x } =
{ 0 , x < 0
1
π arccos ( 1 − x ) , 0 ≤ x < 2
1 , x ≥ 2.
Ma’lumki, taqsimot funksiyadan olingan hosila zichlik funksiyaga teng,
ya’ni
p
ξ ( x ) = F
ξ'
( x ) =
{ 0 , x < 0
1
π 1 √
x ( x − 2 ) , 0 < x < 2
0 , x > 2.
1. 3-§. Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari
1.12-ta’rif.
(Ω ,A,P) – ehtimolliklar fazosi va ξ : Ω → R
tasodifiy miqdor
bo‘lsin. Har bir
x haqiqiy songa
P({ω∈Ω :ξ(ω)≤x})= Fξ(x)
sonni mos qo‘yuvchi akslantirishga
ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi
deyiladi.
Demak,
ξ tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi Fξ(x) yoki qisqacha
F ( x )
ko‘rinishida belgilanadi.
Amaliyotda ko‘p uchraydigan tasodifiy miqdorlardan ushbu ikki xilini
ajratish mumkin: diskret tasodifiy miqdorlar va uzluksiz tasodifiy miqdorlar.
Bu mavzuda biz faqat diskret tasodifiy miqdorlar bilan ishlaymiz.
Tasodifiy miqdorning eng sodda misoli sifatida
A∈A hodisaning indikatori
IA(ω)
ni qarash mumkin.
1.12-misol.
A∈A hodisaning indikatori IA(ω) quyidagicha aniqlanadi:
22](/data/documents/362c93d9-bea4-4f67-9c92-0b6554f1255b/page_21.png)
![1.5-xossa. Taqsimot funksiya uchun quyidagi limit munosabatlar o‘rinli: limx→−∞F(x)=0;limx→+∞F(x)=1.
1.6-xossa. F ( x )
taqsimot funksiya o‘ngdan uzluksiz:
lim
x → x
0 , x > x
0 F ( x ) = F ( x
0 ) .
1.4 − 1.6
xossalar taqsimot funksiyaning xarakteristik xossalari hisoblanadi.
1.4 −1.6
xossalarga ega bo‘lgan har qanday F ( x )
funksiya uchun shunday
ξ tasodifiy
miqdor mavjudki uning taqsimot funksiyasi F ( x )
ga teng bo‘ladi.
Taqsimot funksiyaning 1.4 va 1.5 xossalaridan uning qiymatlari 0 va 1
orasida joylashishi kelib chiqadi, ya’ni
0≤F(x)≤1.
Taqsimot funksiyaning xossalaridan quyidagi tasdiqlar ham kelib chiqadi: ξ
tasodifiy miqdorning
¿ oraliqdan qiymatlar qabul qilish ehtimoli taqsimot
funksiyaning shu oraliqdagi orttirmasiga teng
P ( { ω ∈ Ω : α < ξ ( ω ) ≤ β } ) = F ( β ) − F ( α ) .
1.7-xossa. Agar tasodifiy miqdorni qiymatlari
[a;b] oraliqda bo‘lsa, u holda
barcha x ∈ ( − ∞ ; a )
larda F ( x ) = 0
va barcha
x∈¿ larda F(x)=1 bo‘ladi.
1.13-misol. ξ
diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan:
Uning
taqsimot ko‘pburchagini yasang.
Yechish. To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida abssissalar o‘qiga
mumkin bo‘lgan
xi qiymatlarni, ordinatalar o‘qiga esa mos pi ehtimollarni
qo‘yamiz. Natijada
M 1(1;0,2 ), M 2(3;0,1 ) , M 3(6;0,4 ) va M 4(8;0,3 ) nuqtalarni
topamiz. Bu nuqtalarni to‘g‘ri chiziq kesmalari bilan tutashtirib, izlanayotgan
taqsimot ko‘pburchagini hosil qilamiz.
24
ξ
1 3 6 8
P
0,2 0,1 0,4 0,3](/data/documents/362c93d9-bea4-4f67-9c92-0b6554f1255b/page_23.png)
![2.1-xossa ∀ x
1 0 ≤ F( x
1 , x
2 , … x
n ) ≤ 1
ya ni taqsimot funksiya chegaralangan. ʻ
2.2-xossa F
( x
1 , x
2 , … x
n ) funksiya har qaysi argumenti bo yicha kamayuvchi ʻ
emas va chapdan uzluksiz.
2.3-xossa Agar biror x
1 → + ∞
bo lsa, u holda
ʻ
limx→∞F(x1,x2,…xn)= F(xn,,… x1∞x1,… xn)
= F
N
1 , N
2 , .. N
n ( X
1 , X
2 , … X
n ) (2.2)
2.4-xossa Agar biror x
1 → + ∞
bo lsa, u holda
ʻ limx→∞F(x1,x2,…xn)=1 3-xossa
yordamida keltirib chiqarilgan (2.2) taqsimot funksiyaga marginal(xususiy)
taqsimot funksiya deyiladi. X=
(X1,X2,…Xn) tasodifiy vektorning barcha marginal
taqsimot funksiyalari soni
k = C
n1
+ C
n2
+ ... + C
nn − 1
=
∑
k = 0n
C
nk
− C
nk
− C
nn
=
2n− 2 ga tengdir.
Masalan,
X=(X1,X2,…Xn)(n= 2) ikki o lchovlik tasodifiy vektorning marginal ʻ
taqsimot funksiyalari soni
k=22−2=2 ta bo lib, ular quyidagilardir: ʻ
F(x2,,+∞)= F1,(x1)= P(X¿¿1,<x2);F(+∞ ,x2)= F2,(x2)= P(X ¿¿2<x2)¿¿
Kelgusida biz uchun tasodifiy miqdorlar bilan bir qatorda tasodifiy vektorlar
yokiko p o lchovli tasodifiy miqdorlar tushunchasi ham judazarur.
ʻ ʻ
Biz asosan ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlarlar haqida ma’lumotlar
keltiramiz, n
o‘lchovli tasodifiy miqdor ta’rifi va ular haqidagi qo‘shimcha
ma’lumotlarni masalan, [3] adabiyotdan qarab olish mumkin.
2.3-ta’rif. Faraz qilaylik,
(Ω ,A,P) ehtimollar fazosida aniqlangan ξ
va η
tasodifiy miqdorlar berilgan bo‘lsin.
ζ=(ξ,η) vektorga tasodifiy vektor yoki ikki
o‘lchamli tasodifiy miqdor deyiladi.
Bizga
a1<b1,a2<b2 tengsizliklarni qanoatlantiruvchi a1,a2 va b1,b2 haqiqiy
sonlar berilgan bo‘lsin. U holda
{ω∈Ω :a1<ξ(ω)≤b1,a2<η(ω)≤b2}=¿
¿{ω ∈Ω :a1<ξ(ω)≤b1} {ω∈Ω :a2<η(ω)≤b2}∈A(2.3 )
27](/data/documents/362c93d9-bea4-4f67-9c92-0b6554f1255b/page_26.png)
![Fξ,η(x,y)= P({ω∈Ω :ξ(ω)≤x,η(ω)≤ y})ikki o‘lchovli funksiya ζ = ( ξ , η )
tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi yoki ξ
va
η
tasodifiy miqdorlarning birgalikdagi taqsimot funksiyasi deyiladi.
Ikki o‘lchovli taqsimot funksiya F
ξ , η ( x , y )
ni biz ba’zan, qulaylik uchun ξ , η
indekslarini tushirib qoldirib,
F(x,y) shaklida yozamiz.
Δ
a
1 b
1 F
orqali
F(x,y) funksiyaning x argumenti bo‘yicha ¿
yarim intervaldagi
Δ
a
1 b
1 F ( x , y ) = F ( b
1 , y ) − F ( a
1 , y )
orttirmasini belgilaylik. Agar
¿ × ¿ = { ( x , y ) ∈ R 2
: a
1 < x ≤ b
1 , a
2 < y ≤ b
2 }
orqali
R 2
dagi yarim ochiq to‘g‘ri to‘rtburchakni belgilasak, u holda
P
ζ
(( a
1 , b
1 ] × ( a
2 , b
2 ]) = Δ
a
2 b
2 Δ
a
1 b
1 F ( x , y ) = Δ
a
2 b
2 ( F ( b
1 , y ) − F ( a
1 , y ))
¿ F
( b
1 , b
2 ) − F ( b
1 , a
2 ) − [ F ( a
1 , b
2 ) − F ( a
1 , a
2 )] ( 2.5 )
tenglik o‘rinli. (2.5) tenglik
ζ tasodifiy vektorning ¿×¿ yarim ochiq to‘g‘ri
to‘rtburchakdan qiymatlar qabul qilish ehtimolidir.
Ikki o‘lchovli taqsimot funksiyalarning xossalari. F ( x , y )
funksiya
ζ=(ξ,η)
tasodifiy vektorning taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Ikki o‘lchovli F ( x , y )
taqsimot funksiyaning asosiy xossalarini keltiramiz:
2.5-xossa. Monotonlik xossasi:
F(x,y) funksiya tayinlangan x da y
argument bo‘yicha kamaymaydigan va o‘ngdan uzluksiz. Xuddi shunday bu
funksiya tayinlangan
y da x bo‘yicha kamaymaydigan va o‘ngdan uzluksizdir.
2.6-xossa.
limx→+∞Fξ,η(x,y)= Fη(y),limy→+∞Fξ,η(x,y)= Fξ(x).
2.7-xossa. lim
x → − ∞ F
ξ , η ( x , y ) = lim
y → − ∞ F
ξ , η ( x , y ) = 0.
2.8-xossa. barcha a
1 < b
1 , a
2 < b
2 lar uchun
Δa1b1Δa2b2F(x,y)≥0.
29](/data/documents/362c93d9-bea4-4f67-9c92-0b6554f1255b/page_28.png)
![2.1-lemma. (2.11) tenglik bilan aniqlangan ξ1,ξ2,… ,ξn tasodifiy miqdorlar
birgalikda bog‘liqmas bo‘lishi uchun
A1,A2,… ,An hodisalar birgalikda bog‘liqmas
bo‘lishi zarur va yetarli.
2.2-lemma. (2.11) tenglik bilan aniqlangan ξ
1 , ξ
2 , … , ξ
n tasodifiy miqdorlar
bir xil taqsimlangan bo‘lishi uchun
P(A1)= P(A2)=… = P(An) va
x1= x2=… = xn,y1= y2=… = yn
tengliklarning bajarilishi zarur va yetarli.
Bog‘liqmas n
ta tajriba o‘tkazilgan bo‘lsin. Faraz qilaylik, Ω
k ,
k − ¿
tajribaning elementar hodisalar fazosi,
Ak esa Ωk ning qism to‘plamlaridan tashkil
topgan algebra (yoki σ
algebra), P
k esa ( Ω
k , A
k )
o‘lchovli fazoda kiritilgan ehtimol
o‘lchovi bo‘lsin. U holda
(Ωk,Ak,Pk) ehtimollar fazosini k – tajribaning matematik
modeli va ( Ω
1 , A
1 , P
1 ) ,
( Ω
2 , A
2 , P
2 )
,
… , ( Ω
n , A
n , P
n )
ketma-ketlikni esa tajribalar
ketma-ketligining modeli deb atash mumkin. Ko‘p hollarda
ξ1:Ω1→ R, ξ2:Ω2→ R,
..., ξ
n : Ω
n → R
tasodifiy miqdorlar tajribalar bog‘liqmas bo‘lganligi uchun ular
bog‘liqmas tasodifiy miqdorlar bo‘ladi deb tasdiq aytishadi.
Buni biz quyidagi matematik model yordamida tushuntirishga xarakat
qilamiz. Faraz qilaylik,
Ωk sonlar o‘qi R yoki uning biror qismi [ak,bk] kesma
bo‘lsin. A
k = B ( Ω
k )
ya’ni Ω
k dagi Borel to‘plamlari sinfi, P
k esa
(Ωk,Ak) o‘lchovli
fazoda kiritilgan ehtimol o‘lchovi bo‘lsin. Xususan,
Ωk=[ak,bk] bo‘lganda
P
k ( A ) = 1
b
k − a
k μ ( A )
deyish mumkin. Bu yerda
μ sonlar o‘qidagi Lebeg o‘lchovi.
O‘tkazilgan n
ta bog‘liqmas tajribaning matematik modeli quyidagicha bo‘ladi.
Elementar hodisalar fazosi
Ω= Ω1×Ω2×⋯×Ωn dekart ko‘paytma, A = B ( Ω )
esa
Ω= Ω1×Ω2×⋯×Ωn
dagi Borel to‘plamlari sinfi, ehtimol o‘lchovi P esa Pk
o‘lchovlarning dekart ko‘paytmasi bo‘ladi. Xususan, Ω
k = [ a
k , b
k ]
bo‘lganda
P ( A ) = 1
b
1 − a
1 1
b
2 − a
2 ⋯ 1
b
n − a
n μ ( A )
bo‘ladi. Bu yerda μ ,
esa
Rn dagi Lebeg o‘lchovi.
38](/data/documents/362c93d9-bea4-4f67-9c92-0b6554f1255b/page_37.png)
![bilan bog‘liqmasligi kelib chiqadi. C1,C2 va D hodisalar ko‘paytmasi
C
1 C
2 D =
( 0 , π
2 ) ekanligidan
P
( { ω ∈ ¿ : ξ
1 ( ω ) = 1 , ξ
2 ( ω ) = 1 , ξ
3 ( ω ) = 1 } ) = P ( C
1 C
2 D ) = 1
4
tenglikni olamiz. Ikkinchi tomondan
P
( { ω : ξ
1 ( ω ) = 1 } ) ⋅ P ( { ω : ξ
2 ( ω ) = 1 } ) ⋅ P ( { ω : ξ
3 ( ω ) = 1 } ) = 1
2 ⋅ 1
2 ⋅ 1
2 = 1
8 ≠ 1
4 .
Demak,
ξ1,ξ2,ξ3 tasodifiy miqdorlarni birgalikda bog‘liqmas emas.
2.4-misol. Ω = ¿ × ¿
– elementar hodisalar fazosi. σ
– algebra A
sifatida Ω
dagi Borel to‘plamlari sistemasini qaraymiz, ehtimol o‘lchovi
P sifatida
P ( A ) = μ ( A )
ni olamiz. Bu yerda μ
tekislikdagi Lebeg o‘lchovi. ( Ω , A , P )
ehtimollar
fazosida
ξ(ω)=ξ(ω1,ω2)= ω1
va
η ( ω ) = I
A ( ω ) =
{ 1 , ω ∈ A
0 , ω ∉ A .
tasodifiy miqdorlarni qaraymiz. Bu yerda
A=¿×¿.
ξ
va η
tasodifiy miqdorlarni bog‘liqmaslikka tekshiring.
Yechish. 1 – usul. Tasodifiy vektor ζ = ( ξ , η )
ning taqsimot funksiyasini
topamiz:
{ω∈Ω :ξ(ω)≤x,η(ω)≤y}=
{
∅, x<0yoki y<0
׿, 0≤x<1,0≤y<1
×[0;1], 0≤x<1,y≥1
A, x≥1,0≤ y<1
Ω , x≥1,y≥1.
(2.17 )
( 2.17 )
tenglikning ikkala tomonidan ehtimol olib, ξ
va η
tasodifiy miqdorlarning
birgalikdagi taqsimot funksiyasi
Fξ,η(x,y) ni olamiz:
42](/data/documents/362c93d9-bea4-4f67-9c92-0b6554f1255b/page_41.png)
![XULOSA
Ushbu bitiruv malakaviy ishi ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlar uchun ba’zi
natijalarga bag’ishlangan bo’lib, asosan ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarning
taqsimot funksiyalari va bog’liqmasligiga doir masalalar qaralgan. Jumladan
ishning birinchi bobida bog’liqmaslik tushunchasi dastlab hodisalar uchun kiritildi.
Keyin esa bir o’lchovli tasodifiy miqdor va uning taqsimot funksiyasiga doir
asosiy ta’rif va tasdiqlar keltirildi. Taqsimot funksiyani qurish usullari diskret va
absolyut uzluksiz tasodifiy miqdorlar uchun misollarda tushuntirildi.
Bitiruv ishining ikkinchi bobida ko’p o’lchovli tasodifiy miqdorlar haqida
so’z boradi. Bu bobda ko’p o’lchovli tasaodifiy miqdorlar uchun asosiy ta’rif
tushunchalar keltirildi va ikki o’lchovli tasodifiy miqdorlarning bog’liqmasligiga
oid qiziqarli masalalar batafsil yechib ko’rsatilgan. Bundan tashqari II bobda ba’zi
ikki o’lchovli taqsimotlar keltirib o’tilgan.
Bitiruv malakaviy ishida keltirilgan nazariy ma’lumotlar ta’rif va xossalarni
keltirishda asosan [1], [2], [5], [8] adabiyotlardan foydalanildi. Masalalar va ularni
yechish usullari asosan [5] adabiyotdan tanlab olingan.
Ishni bajarish jarayonida ehtimollik fazolarda berilgan ko’p o’lchovli
tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot funksiyalari xossalaridan samarali
foydalanish usullari keltirildi.
45](/data/documents/362c93d9-bea4-4f67-9c92-0b6554f1255b/page_44.png)
KOʻP OʻLCHOVLI TA SODIFIY MI QDORLA R UCHUN BA’ZI N ATI J A LA R MUNDARIJA KIRISH ................................................................................................................. 3 I BOB. TASODIFIY HODISALAR. TASODIFIY MIQDORLAR ................6 1.1-§. Tasodifiy hodisalar. Hodisalarning bog‘liqmasligi ......................…………6 1. 2-§. Tasodifiy miqdorlar .....................................................................................13 1.3-§ Tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari ................... 22 II BOB. KO‘P O‘LCHOVLI TASODIFIY MIQDORLAR . 2.1-§. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdor va uning taqsimot funksiyasi ................. 26 2.2-§. Ba’zi muhim ikki o lchovlik taqsimotlar …..........................……….ʻ ….......31 2.3-§. Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqmasligi …......................................……….36 XULOSA ……………………………………………………………………........ 4 6 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ... ...........................................................47 2
KIRISH Mavzuning dolzarbligi. Respublikamiz iqtisodiyoti yuqori sur'atlar bilan rivojlanib borayotgan, iqtisodiyotga ilg or xorijiy tajribalar, texnika vaʻ texnologiyalar jadal kirib kelayotgan, axborot va kommunikatsiya texnologiyalarining oxirgi yutuqlari keng joriy etilayotgan sharoitda matematika, xususan, tatbiqiy matematika metodlariga ehtiyoj kuchaydi. Jumladan, oliy va o rta ʻ maxsus, kasb-hunar ta'limi muassasalarida, mutaxassislar malakasini oshirish va qayta tayyorlash markazlarida, ilmiy-tadqiqot markazlari va loyihalash institutlarida matematikani o qitishda va ilmiy tadqiqot ishlari olib borishda ilg or ʻ ʻ texnologiyalar va tatbiqiy matematika metodlaridan keng foydalanish, sug urta ʻ kompaniyalarida sug urtaning analitik modellarini tuzish va sug urta ishlarini ʻ ʻ tizimga solish, turli mulkchilik shaklidagi ishlab chiqarish korxonalarida, davlat boshqaruv organlarida, xususan, tabiiy ilmlar, muhandislik sohasi, tibbiyot, moliya, sug urta ishi, pensiya jamg armasi, demografiya va ijtimoy sohalarda stoxastik ʻ ʻ tajribalar natijasida olingan ma'lumotlarni tahlil qilishda hamda ilmiy asoslangan tavsiya va hulosalar berishda taqsimot funksiya va matematik statistika metodlaridan samarali foydalanish talab etilmoqda. Sharq mamlakatlari olimlarining qilgan ishlari XIV – XVI asrlar Yevropadagi ilm-fan rivojiga asos bo ldi desak, hech ham mubolag a bo lmaydi. ʻ ʻ ʻ Keyingi yillarda bu olimlarning davomchilari sifatida Respublikamizdan ko plab ʻ matematiklar yetishib chiqdi. Ular matematika fanining asosiy yo nalishlari ʻ bo yicha maktablar yaratdilar. Masalan, ehtimollar nazariyasi maktabiga V.I. ʻ Romanovskiy, S.X. Sirojiddinov, T.A. Sarimsoqov, T.A. Azlarov, Sh.Q. Farmonov, A. Abdushukurov, T. Zuparovlar asos soldilar. 3
Masalaning qo yilishi.ʻ Ehtmollar nazariyasi va matematik statistika fanida tasodifiy miqdorlar asosiy tushunchalardan biri hisoblanadi. Adabiyotlarda asosan bir o‘lchovli tasodifiy miqdorlar, ularning taqsimot qonuni sonli xarakteristikalari haqida umumiy tushunchalar keltirilgan. Ushbu bitiruv malakaviy ishida ko‘p o‘lchovli asosan ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning bog‘liqmasligi, taqsimot qonunlari va taqsimot funksiyalari qaralgan. Ishning maqsadi va vazifalari. O quvchilarda ehtimollar fazosi ʻ ( Ω , A , P ) da tasodifiy miqdorlar va ularning taqsimot funksiyalari to g risida umumiy ʻ ʻ tushuncha paydo qilish. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar yordamida ehtimoliy masalalarni yechish, ularni taqsimot noma’lum parametrlarini baholash masalalariga tatbiqlarini o rganish. Shu maqsadda har xil tipdagi misollarni ʻ keltirish va ularni yechish (hisoblash) namunalarini berishdan iborat. Ilmiy tadqiqot metodlari. Bitiruv malakaviy ishini bajarishda tasodifiy miqdorlar nazariyasi, matematik statistika metodlari stoxastik analiz nazariyasi elementlari va hisoblash usullaridan foydalanildi. Ishning ilmiy ahamiyati. Bitiruv ishini bajarish jarayonida ehtimollar nazariyasi, tasodifiy miqdorlarning maxsus xossalari, ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning bog‘liqmasligi, taqsimot funksiyasi uchun olingan natijalardan ilmiy xulosalar berishda olingan ma’lumotlarni tahlil qilishda foydalanish mumkin. Ishning amaliy ahamiyat i. Bitiruv malakaviy ishida to plangan ʻ materiallardan akademik litseylarda qiziqarli matematika fanini o qitish ʻ jarayonida, foydalaniladi. Taqsimot funksiya xossalaridan ehtimoliy masalalarni yechishda foydalanish mumkin. Tasodifiy miqdorlarning bog‘liqmasligi, taqsimot funksiyasi va sonli xarakteristikalari muhim kattaliklar hisoblanadi. Ular yordamida tasodifiy miqdor haqida to‘liq ma’lumotga ega bo‘lishimiz mumkin bo‘ladi. Ishning tuzilishi. Bitiruv malakaviy ishi kirish qismi, 2 ta bob 8 paragraf, xulosa hamda foydalanilgan adabiyotlar ro yxatidan iborat. 1-bob tasodifiy ʻ 4
miqdorlar deb nomlanadi va bu bobda tasodifiy miqdorlar haqida asosiy ma’lumotlar keltirilgan. Jumladan diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlarning taqsimot qonunlari va taqsimot funksiyalari haqidagi asosiy ta’rif, tasdiqlar bilan boyitilgan. Bitiruv malakaviy ishining ikkinchi bobida ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar haqida ma’lumot keltirilgan. Bu bobda asosan ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlar qaralgan bo‘lib, bu tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalarini topishga doir bir nechta masalalar yechib ko‘rsatilgan. Shu bilan birga ba’zi muhim ikki o‘lchovli taqsimotlar keltirib o‘tilgan. Belgilashlar ikki raqamli bo lib,ʻ ular orasi nuqta bilan ajratilgan. Birinchi raqam bob nomerini bildiradi, ikkinchi son esa tartib nomerini bildiradi. Masalan, 1.2-tarif yozuvi - birinchi bobning 2- tarifi ekanligini, (2.3) belgilash 2-bobdagi 3-formula ekanligini bildiradi. Olingan natijalarning qisqacha bayoni. Bitiruv malakaviy ishida ko‘p o‘lchovli t asodifiy miqdorlar va ularning taqsimot funksiyalari orasidagi bog lanishlar keltirildi. Ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorlarning bog‘liqmasligi, ʻ taqsimot funksiyalari va sonli xarakteristikalariga doir masalalar qaralgan. Bundan tashqari ba’zi ikki o‘lchovli muhim taqsimotlar keltirilgan va bu taqsimotlarning sonli xaraktersitikalari hisoblab ko‘rsatilgan. 5
I BOB. TASODIFIY HODISALAR. TASODIFIY MIQDORLAR 1.1-§. Tasodifiy hodisalar. Hodisalarning bog‘liqmasligi Ikkita A va B hodisalardan birining ro‘y berishi ikkinchisining ro‘y berishi yoki ro‘y bermasligiga bog‘liq bo‘lsa, ular bog‘liq hodisalar deb aytiladi, aks holda ular erkli hodisalar deb ataladi. Erkli hodisalar bog‘liqmas hodisalar deb ham yuritiladi. Faraz qilaylik auditoriyada 1-bosqichda va 2-bosqichda o‘qiyotgan talabalar bo‘lsin. tavakkaliga chaqirilgan talaba A – o‘g‘il bola bo‘lishi, B – o‘g‘il bola 1-bosqich talabasi bo‘lsa, u holda AB – 1-bosqich talabalaridan o‘g‘il bola chaqirilganligi bo‘ladi. Mana shu AB hodisaga A va B hodisalarning birgalikda ro‘y berishidan iborat hodisa deyiladi. Xuddi shunday ABC hodisa, A, B va C hodisalarning ro‘y berishidan iborat va u uchta hodisaning ko‘paytmasi deb aytiladi. Faraz qilaylik A va B lar erkli hodisalar, P(A) va P ( A ) lar mos ravishda ularning ehtimollari bo‘lsin. Quyidagi tasdiq to‘g‘ri to‘g‘riligi mustaqil isbotlansin. Ikkita erkli hodisaning birgalikda ro‘y berish ehtimoli ular ehtimollarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni P ( AB ) = P ( A ) ⋅ P ( B ) ( 4.3 ) Birgalikda bog‘liqmas uchta A, B va C hodisalar uchun P(ABC )= P(AB )⋅P(C)= P(A)⋅P(B)⋅P(C)(4.4 ) Ikkita ixtiyoriy A va B hodisalarni qaraylik. Bitta sinashda (tajribada) bu hodisalardan birining ro‘y berishi ikkinchisining ro‘y berishini inkor qilmasa, ular birgalikdagi hodisalar deyiladi. 6