logo
  1. Bosh sahifa
  2. Diplom ishlar
  3. Umumiy
  4. SIRT INTEGRALLARINING MAYDONLAR NAZARIYASIGA

SIRT INTEGRALLARINING MAYDONLAR NAZARIYASIGA

Yuklangan vaqt:

20.11.2024

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1364.001953125 KB
Ko'chirib olish
1 О‘ZBЕKISTОN RЕSPUBLIKАSI ОLIY TА’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VАZIRLIGI SHАRОF RАSHIDОV NОMIDАGI SАMАRQАND DАVLАT UNIVЕRSITЕTI ABDUMAJIDOV HASAN JOLG’OSHEVICH SIRT INTEGRALLARINING MAYDONLAR NAZARIYASIGA TADBIQLARI 5130100 -M аtеm аtik а ta’lim y о‘n аlishl аr b о‘yi сhа bakalavr d аrаjаsini оlish u сhun MALAKAVIY BITIRUV ISHI Ilmiy r аhb аr: dots.B.Fayzullayeva SAMARQAND - 2024 2 M U N D A R I J A Kirish ……………………………………………………………… …………. 3 I bob. Sirt integrallari……………………………………………… ………... 5 1.1. Sirt tushunchasi va uning berilish usullari…………………… ………. 5 1.2. Birinchi tur sirt integrali va uni hisoblash …………………… ………12 1.3. Ikkinchi tur sirt integrali va uni hisoblash…………………… ………17 1.4. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog‘lanish… …….20 1.5. Stoks formulasi. ……………………………………………… ………...22 1.6. Gauss -Ostrogradiskiy formulasi……………………….…… …………23 II bob. Maydonl ar nazariyasining elementlari ga sirt integrallarining tadbiqlari …………………… ………………………………………… …… .25 2.1. Skalyar maydonlar. Yo’nalish bo’yicha hosila. Gradient ta’rifi va xossalari………………………………………………………………… ……25 2.2. Vektor maydon, fizik kattaliklar maydoni, vekt or naychalari. ......................................................... ............................... ... 29 2.3. Vektor maydon oqimi va vector maydon divergensiyasi …………… .30 2.4. Gauss -Ostrogradski teoremasi ning vektor ko`rinishi ………… …… .35 2.5. Vektor maydonda chiziqli integral. Vektor maydon uyurmasi (rotori) ……… ………………………………………………………………………....38 2.6 . Solenoidal maydonlar, maydonning solenoidal bo`lish sharti ……… ..41 2.7.Vektor maydon sirkulyasiyasi va Stoks formulasi ning vektor ko`rinishi…………………………………… ……………. ………………… ...42 2.9. Potensial maydonlar, maydonning potensial bo`lish sharti ………. … 45 Xulosa……………………………………………………………………… .… 47 Foydalanilgan adab iyotlar ro`yxati…………………………………………. 48 3 Kirish Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy - tadqiqotlarni rivojlantirish chora - tadbirlari to‘g‘risida prezident qarorlari qabul qilindi. Shunga ko‘ra hozirda har bir sohada va hatto bog‘cha yoshidagi bolalarda ham matematik ongni rivojlantiri shga katta e’tibor qaratilmoqda. Ushbu bitiruv malakaviy ishi “Sirt integrallarining maydonlar nazariyasiga tadbiqlari” mavzusiga bag‘ishlangan bo‘lib, unda sirt integrallari haqida ko‘plab tushunchalarga ega bo‘li b, ularni hisoblash usullari to’liq o’rga nilgan hamda maydonlar nazariyasida sirt integrallari yordamida hisoblanadigan tushunchalar to’liq kiritilgan . Bitiruv malakaviy ish mavzusinig asoslanishi va uning dolzarbligi: Sirt tusunchasini, birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari va ularni hiso blashni, Stoks va Gauss -Ostrogradskiy formularini, maydonlar nazariyasining asosiy elementlarini hamda sirt integrallarining maydonlar nazariyasida qo`llanilishini o`rganishdan iborat. Tadqiqot maqsadi va vazifalari: Ishda sirt haqida asosiy tushunchalar, I va II tur sirt integrallarini hisoblash, Stoks va Gauss -Ostrogradskiy formulalari o`rganiladi, maydonlar nazariyasining asosiy elementlari to`g`risida ma`lumotlarga ega bo`lib, sirt integrallarining maydonlar nazari yasida qo`llanilishini tadqiq qilishdan iborat. Tadqiqotda qo‘llanilgan uslublarning qisqacha tavsifi: Ishda matematik analizning aniq integrallarni va karrali integrallarni hisoblash usullari, analitik geometriyaning sirtlar haqidagi asosiy tushunchalar i, sirtlarni proeksiyalash va ular asosida sirt integrallarini hisoblash usullari yordamida maydonlar nazariyasining sirt bo`yicha vektor oqimi, Gaus -Ostrogradskiy formulasining vektor ko’rinishi , vektor oqimining fizik ma`nosi, vektor maydon sirkulyatsiya si, kuch maydonida bajarilgan ish, Stoks formulasining vektor ko’rinishi , solenoidli va potensialli maydonlar o`rganiladi Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati : sirt to`g`risidagi, sirt integrallari va ularni hisoblash to`g`risidagi, Sto ks va Gauss -Ostrogradskiy formulalari to`g`risidagi hamda maydonlar nazariyasining asosiy tusunchalari haqidagi nazariy ma`lumotlarga ega bo`linadi, har mavzudagi misollar yordamida tadqiqot natijalarining amaliy ahamiyati ochib beriladi. Tadqiqotning ilm iy yangiligi: Ishda sirt integrallari va ularni hisoblash usullarining maydonlar nazariyasi elementlarini hisoblashdagi ahamiyati katta ekanligi ko`rsatiladi. 4 Bitiruv malakaviy ish tarkibining qisqacha tavsifi: Ish kirish qismi, xulosa, ikki ta bob, o‘n ol tita bo`limlar va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat bo‘lib , u quyidagi mazmunda yoritilgan. I-bobda sirt integrallari , ularning xossalari, hisoblash usullari hamda va ularning tadbiqlari, Stoks va Gauss -Ostrogradiskiy formulalari keltirilgan bo`lib, u ettita bo`limdan iborat . Bu bobda keltirilgan tushuncha va tasdiqlar misollar yordamida yoritilgan. II -bobda maydonlar nazariyasining elementlari ga sirt integrallarining tadbiqlari qaral gan bo`lib, u to’qqiz bo`limdan iborat. Ularda skalyar va vektor maydon, yo’nalish bo’yicha hosila, gradient, vektor maydon oqimi, divergensiyasi, maydon sirkulyasiyasi, uyurmasi kabi tushunchalar o`rganilgan va misollar yordamida amaliy tadbiqlari ko`rsatilgan bo`lib, vektor maydon oqimi va Gauss - Ostrogradski teoremasi, vektor maydon oqimining fizik ma’nosi, solenoidal maydonlar, maydonn ing solenoidal bo`lish sharti, vektor maydon sirkulyasiyasi va Stoks formulasi, p otensial maydonlar, maydonning potensial bo`lish sharti kabi bo`limlardan iborat. Bu bobda Sto ks va Gauss –Ostrogradski formulalarining vektor ko`rinishi va ularning fizik masalalarga tadbiqlari misollar yordamida batafsil yoritilgan. 5 I BOB. SIRT INTEGRALLARI 1.1. Sirt tushunchasi va uning berilish usullari Sirtning berilish usullari. Chizma geometriyada sirtlari asosan analitik, kinematik va karkas usulida beriladi. Analitik usulda berilishi. Analitik geometriyada sirtlar bitta xususiyatga ega bo`lgan nuqtalar to`plami sifatida qaraladi. Sirtdagi biror ixtiyoriy A nuqtaning x, y, z koordinatalari orasidagi bog`lanish orqali undagi hamma nuqtalarga tegishli xususiyatni ifodalovchi tenglama sirtning tenglamasi deyiladi: 1) Sirtni funksiyaning grafigi sifatida aniqlaydigan oshkor ko`rinishda b erish mumkin:. 2) Sirt umumiy ko`rinishdagi oshkormas funksiya tenglamasi orqali berilishi mumkin: 3) Sirt parametrlari orqali berilishi mumkin, uni vektor orqali ifodalab, quyidagicha yozish mumkin: Sirtlarning analitik usulda berilishi ularning chizmalarini kompyuterda chizish, sirtlarning differensial xossalarini tekshirish, ularning yoyilmalarini aniq bajarish imkoniyatlarini beradi. Kinematik usulda berilishi. Biror chiziqning fazodagi uzluksiz harakatidan kinematik sirt hosil bo`ladi. Unda sirtning o`zi ham uzluksiz bo`ladi. Kinematik harakatning oddiy asosiy turlari: ilgarilanma, aylanma va bu ikki harakatnin g yig`indisidan hosil bo`lgan vintsimon harakatdir. 1.1.1 -ta`rif. Yasovchisining kinematik harakati natijasida hosil bo`lgan sirtga kinematik sirt deyiladi. Harakatning turiga qarab, ilgarilanma harakat natijasida hosil bo`lgan sirt tekis parallel ko`chir ish sirti , aylanma harakatdan hosil bo`lgan sirt aylanish sirti , vintsimon harakat natijasida hosil bo`lgan sirt vint sirti deb ataladi. 1.1. 2-ta`rif. Yasovchisining ma`lum yo`naltiruvchi bo`yicha doimo o`z - o`ziga parallel ravishda harakatlanishidan hos il bo`lgan sirt tekis parallel ko`chirish sirti deyiladi. Karkas usulda berilishi. Ba`zi bir sirtlarni aniq geometrik qonuniyatlar bilan berib bo`lmaydi.Bunday sirtlar shu sirt ustida yotuvchi bir nechta nuqtalar yoki chiziqlar bilan beriladi. 2 ) , (), , ( R y x y x f z     3 ) , (), , ( R y x y x f F     ( , ) r r u v 2 ), (),, ( ),, ( ),, ( R v u v uz z v uy y v ux x       6 Sirtni uning ustida yotuvchi bir nechta nuqtalar yoki chiziqlar bilan berilishi uning karkas usulda berilishi deb yuritiladi. Sirt ustida tanlangan chiziqlar to`plamiga sirtning karkaslari deyiladi ( 1.1 .2-chizma). Sirt nuqtali karkas yoki chiziqli karkasl ar bilan berilishi mumkin. Sirt nuqtali karkas bilan berilsa bu nuqtalar to`plami shunday tanlanishi kerakki, unga asosan sirtning va uning har bir bo`lagining ko`rinishi va shaklini tasavvur qilish mumkin bo`lsin. Sodda sirt tushunchasi . soha chegaralangan va funksiyalar yopiq to`plamda uzluksiz differensiallanuvchi bo`lsin, bu yerda chiziq sohaning chegarasi. (1. 1. 1) formulalar bilan berilgan akslantirishni uzluksiz differensiallanuvchi deb ataymiz. Bunda, agar (1. 1. 2) funksional matrisaning rangi har bir nuqtada ikkiga teng bo`lsa, akslantirishni silliq deb ataladi. Agar soha yopiq, chegaralangan to`plam bo`lib, akslantirish silliq, va to`plamlar o`zaro bir qiymatli bo`lsa, u holda to`plamga fazoda sodda sirt deb ataladi, (1 .1 .1 ) tenglamaga sodda sirtning parametrik tenglamasi deyiladi. soha sodda, silliq yoki bo`lakli silliq kontur bilan chegaralangan bo`lsin. konturning silliq akslantirishdagi obraziga sodda sirtning chegarasi deyiladi va kabi belgilanadi. Agar kontur , tenglama bilan berilsa, u holda sodda sirtning chegarasi kontur (1. 1. 3) tenglama bilan beriladi. yopiq, chegaralangan sohada uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaning grafigi (1. 1. 4) parametrik tenglamalar bilan aniqlangan sodda sirt bo`ladi, bunda matrisa birlik matrisa bo`lib, ( 1. 2) matrisaning rangi ikkiga teng bo`ladi. 2R   ( , ), ( , ), ( , )u v u v u v           ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) x u v y u v z u v u v        ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) u u u v v v u v u v u v u v u v u v       ( , )uv  3 : R F   2R   3 : R F    () F     3R     3 : R F      ( ), ( ), u u t v v t t        ( ( ), ( )), ( ( ), ( )), ( ( ), ( )), [ , ] x u t v t y u t v t z u t v t t         2R   ( , ) z f x y , , ( , ), ( , ) x u y v z f u v u v     uu vv xy xy   7 1.1 .1 -misol. funksiyaning grafigi sodda sirt bo`ladi, chunki, bu sirtning chegarasi aylanma paraboloid va tekislikning kesimida hosil bo`lgan aylanadan iboratdir, u silliq sodda chiziqdan iboratdir. (1. 1. 1 ) sodda sirt tenglamasini (1. 1. 5) vektorli ko`rinishda yozish mumkin. Sirtda egri chiziqli koordinatalar . sodda sirt ( 1.1 .5) vektorli tenglama bilan berilgan bo`lsin. chegaralangan soha qavariq va uning u o`qqa proeksiyasi bo`lsin. Agar bo`lsa, u holda to`g`ri chiziq soha bilan kesma bo`ylab kesishadi(3 -chizma). Bu kesmaning (1 .1. 1) akslantirish yordamidagi obrazi sodda sirtda yotuvchi (1. 1. 6) chiziq bo`ladi. Bu chiziqqa koordinata egri chizig`i deb aytamiz. kesmadan ga barcha qiymatlarni berganimizda 1. 1. 3-chizma koordinata egri chizig`lari oilasini hosil qilamiz. Xuddi shunday, koordinata egri chizig`lari oilasi hosil qilinadi. (1. 1.1 ) akslantirish o`zaro bir qiymatli bo`lgani uchun sirtning har bir A nuqtasi va koordinata egri chizig`larining kesishmasida bir qiymatli aniqlanadi. juftlikka sirtdagi A nuqtaning egri chiziqli koordinatalari deyiladi. yozuv sirtdagi A nuqta egri chiziqli koordinatalari bilan berilganligini anglatadi. Masalan, sferik koordinatalar sistemasida ikkita meridian va ikkita parallellar bilan chegaralangan sferaning qismi, egri chiziqli koordinatalar sistemasida quyidagicha beriladi: . 2 2 2 2 , ( , ) , ( {( , ) : 1}) z x y x y x y x y        22 z x y 1 z ( , ), ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) r r u v u v r u v u v i u v j u v k           2R   [ , ]ab 0 ( , ) u a b  0 uu   0, u u v      0 ( , ), r r u v v     0 uu  [ , ]ab 0 uu  u const  v const  0 uu  0 vv 00 ( , )uv  00 ( , )A u v  00 ( , )uv 2 2 2 2x y z a    , 1 2 1 2 ,           8 Sferada koordinata egri chiziqlari meridianlar, koordinata egri chiziqlari parallellar bo`ladi. To`g`ri silindrda koordinata egri chiziqlari silindrning yasovchilari va unga perpendikulyar bo`lgan tekislik bilan kesganda hosil bo`lgan aylanalar bo`ladi. vektor -funksiya parametrning uzluksiz differensiallanuvchi funksiyasi bo`ladi va bundan ( 1. 1. 6) tenglik bilan aniqlanuvchi koordinata egri chizig`i ham uzluksiz differensiallanuvchi bo`ladi. vektor -funksiya bu koordinata egri chizig`iga A nuqtada o`tkazilgan urinma bo`ladi. Xuddi shunday, vektor -funksiya koordinata egri chizig`iga A nuqtada o`tkazilgan urinmadir. va vektorlar nolga aylanmaydi, chunki bu holda ( 1.1. 2) matrisa rangi ikkidan kichik bo`lib qoladi. Demak, sodda sirtning koordinata egri chiziqlari silliq bo`ladi. Agar soha qavariq bo`lmasa, nuqta sohaning ichida yotsa, nuqtaning soha ichida yotgan qavariq atrofini olamiz. U holda bu qavariq atrofning obrazi sirtning bo`lagi bo`lib, koordinata chiziqlarini sirtning shu bo`lagida yasash mumkin bo`ladi. Sirtga o`tkazilgan urinma tekislik va normal tushunchalari. sodda sirt (1. 1. 1) parametrik tenglamasi yoki ( 1. 1. 5) vektorli tenglamasi bilan berilgan bo`lsin. sirtda nuqtani olaylik, nuqta sohaning ichki nuqtasi bo`lsin. Bu nuqtadan o`tuvchi va koordinata egri chizig`larini yasaylik. Mos ravishda va vektorlar bu koordinata egri chizig`lariga urinmalar bo`ladi. Quyidagi lemmalarni isbotsiz keltiramiz. 1. 1.1 -lemma. sodda sirtdagi har qanday nuqtada va vektorlar kollinear bo`lmaydi. vektorning yo`nalishi, sirtni paramertlash usuli o`zgarganda, yo o`zgarmaydi, yo qarama -qarshisiga o`zgaradi. 1. 1. 3-ta`rif. vektorlarga sodda sirtning nuqtasiga o`tkazilgan normal vektori deb ataladi. 1. 1. 2-lemma. sodda sirtdagi nuqtada o`tkazilgan normal vektor, sirtdagi nuqtadan o`tuvchi va bu sirtda yotgan barcha silliq chiziqlarga ortogonal bo`ladi. 1. 1. 4-ta`rif. sodda sirtning nuqtasidan o`tgan va normal vektoriga ortogonal bo`lgan tekislikka, sirtning nuqtasidan o`tuvchi urinma tekislik deb ataladi. const   const   0 ( , )r u v v 0 uu  00 ( , )vr u v 0 uu  00 ( , )ur u v 0 vv 00 ( , )ur u v 00 ( , )vr u v  00 ( , )uv  00 ( , )uv     ( , )A u v ( , )uv  ( , )A u v v const u const  00 ( , )ur u v 00 ( , )vr u v  ( , )A u v 00 ( , )ur u v 00 ( , )vr u v [ , ] uv n r r  [ , ] uv n r r   ( , )A u v  00 ( , )A u v  00 ( , )A u v  ( , )A u v n ( , )A u v 9 Sirtning tomoni tushunchasi . sodda silliq sirt berilgan bo`lsin, uningbiror nuqtasidan o`tgan normalni olaylik. nuqtadan o`tuvchi va sirtning chegaralari bilan umumiy nuqtalarga ega bo`lmagan yopiq kontur bo`ylab nuqtani normal vektor bilan birga vektor sirtga doim normal bo`ladigan qilib uzluksiz ko`chiramiz. Bunda nuqta boshlang`ich holatiga normalning berilgan yo`n alishi bilan qaytsa, bu sirtga ikki tomonli sirt deyiladi. Agar nuqta boshlang`ich holatiga normalning berilgan yo`nalishiga qarama -qarshi yo`nalish bilan qaytsa, bunday sirtga bir tomonli sirt deyiladi. Agar sodda silliq sirt yopiq bo`lsa va jismni chegaralasa, u holda sirtning musbat yoki tashqi tomoni deb, uning normal vektorlari jismdan tashqariga yo`nalgan tomoniga, manfiy yoki ichki tomoni deb normal vektorlar jismga qarab yo`nalgan tomoniga aytiladi. Sirtning ma`lum tomonini tanlashga sirtni orientasiyalash (tomonini aniqlash) deyiladi. Agar sirtning tomoni tanlangan bo`lsa, u holda bu sirt orientirlangan deyiladi. Kelgusida biz faqat orientirlangan sirtlarni qaraymiz. Sirtning birinchi kvadratik formasi. sodda silliq sirt ( 1. 1. 5) vektorli tenglamasi bilan berilgan bo`lsin. vektorning skalyar kvadratini topamiz. Quyidagi (1. 1. 7) belgilarni kiritamiz, u holda (1. 1. 8) formula o`rinli. (1.1 .8) tenglikning o`ng tomonidagi ifodaga sirtning birinchi kvadratik formasi deb ataladi. sonlarga sirtning birinchi kvadratik formasining koeffisientlari deyiladi. 1. 1. 3-lemma. Agar bo`lsa, sodda sirtning birinchi kvadratik formasi musbat aniqlangan, ya`ni bo`ladi. Sodda sirtning yuzi tushunchasi . sodda silliq sirt ( 1. 1. 5) vektorli tenglamasi bilan berilgan bo`lsin. Bu sirtda koordinata chiziqlari bilan chegaralangan egri chiziqli parallelogramni qaraymiz. va vektorlar sirtning nuqtasidan o`tuvchi( 1.1. 4-chizma) 3R   ( , )A u v ()nA A A ()nA ()nA  A A 3R   ()V ()V ()V 3R   ( , ) ( , )uv d r r u v du r u v dv  ( , ), ( , ), ( , ) u u v v u v E r r F r r G r r    2 2 2 | | ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , )d r d r d r E u v du F u v dudv G u v dv     ,,E F G 22 ( ) ( ) 0du dv   2 | | 0dr  3R   , , ,u u u v v v     ( , )ur u v u  ( , )vr u v v  ( , )A u v 10 1. 1. 4 -chizma koordinata chiziqlariga urinmalar bo`lib, ularning uzunliklari (9) formulaga asosan egri chiziqli parallelogramning tomonlaridan da mos raishda va ga farq qiladi.Shuning uchun egri chiziqli parallelogramning yuzi va vektorlarda qurilgan parallelogrammning yuziga taqriban teng bo`ladi. Bundan, bo`lganda parallelogramm yuzini topish formulasiga ko`ra (1. 1. 10) tenglik o`rinli bo`ladi. ( 1. 1.10) ifodaga sirt yuzi elementi deb ataladi. sodda silliq sirtning yuzini, soha Jordan bo`yicha o`lchovli deb, formal ravishda quyidagi ikki karrali integral bilan aniqlaymiz: . (1. 1. 11) Bu ( 1. 1. 10) formula yuqorida keltirilgan mulohazalarga va quyidagi sirt yuzi xossalariga asoslanadi. 1. 1. 1-xossa. yuza qiymati sodda silliq sirtni parametrlashga(ya`ni sirt tenglamalarida parametrlarni qanday kiritishga) bog`liq emas. 1. 1. 2-xossa. Agar tenglamalar bilan berilgan sirt Jordan bo`yicha o`lchovli tekis soha bo`lsa, u holda uning yuzi ( 1. 1.11) formula bilan hisoblangan tekis sohaning yuzi bilan teng bo`ladi. 1. 1. 3-xossa. yuza sirtga nisbatan additivlik xossasiga ega, ya`ni, bo`lsa, u holda . 1. 1. 4-xossa. Agar sirt Jordan bo`yicha o`lchovli tekis sohada uzluksiz differensiallanuvchi funksiyaning grafigi bo`lsa, u holda ( 1.1. 11) formula (1. 1. 12) ko`rinishga keladi. 0, 0 uv    ()ou  ()ov  ( , )ur u v u  ( , )vr u v v  dS 0, 0 uv    2 | [ , ] | uv dS r r u v EG F dudv      3R   ()S  3R   2 ( ) | [ , ]| uv S r r du dv EG F dudv        ()S  3R   , , 0, ( , ) x u y v z u v      2R    ()S  1 2 1 2 ,           12 ( ) ( ) ( )S S S       2R   ( , ), ( ( , ) ) z f x y x y   22 ( ) 1 xy S f f dx dy        11 1. 1. 2 -misol. sferaning silindr bilan kesib olingan qismining yuzini toping ( 1.1 .5-chizma). Yechish. Sferik sirtning XOY va XOZ koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrikligini e`tiborga olib, birinchi oktantdagi qismining yuzini topib to`rtga ko`paytiramiz. silindr sferik sirtni , (1. 1. 13) 1. 1. 5–chizma 1. 1. 6-chizma tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to`plamida kesadi. (1. 1. 14) formulalar yordamida sferik koordinatalar sistemasiga o`tamiz, u holda (1. 1. 13) sistemadagi tenglik va tengsizliklar va ( 1. 1. 14) almashtirishlarga ko`ra ni olamizki, ular parametrlar tekisligida uchburchakli sohani aniqlaydi.( 1. 1. 6-chizma). Bizga berilgan sirt ( 1. 1. 14) akslantirish yordamida sohaning obrazi yordamida aniqlanadi. Bu sirtning birinchi kvadratik formasining koeffisiyentlarini topamiz: . sferaning silindr bilan kesib olingan qismining yuzi, quyidagiga teng: 2 2 2 2x y z a    22 0 x ax y    22 0 x ax y    2 2 2 2x y z a    22 0, 0, 0, 0 x ax y x y z       cos cos , cos sin , sin x a y a z a         0 2     ( , )   ( cos cos , cos sin , sin ), r a a a       ( sin cos , sin sin , cos ), r a a a         ( cos cos , cos sin , 0), r a a      22 2 2 2, ( , ), cos E r a F r r G r a           2 2 2 2x y z a    22 0 x ax y    / 2 / 2 2 2 2 2 0 ( ) 4 4 cos 4 ( 1). 2 S EG F d d d a d a                   12 1.2. Birinchi tur sirt integrali va uni hisoblash funksiya silliq yoki bo’lakli -silliq sirtda berilgan bo’lsin. Bu sirtning bo’linishini va bu bo’linishning har bir bo’lagida ixtiyoriy nuqtani olaylik. Berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymatini ning yuziga ko’paytirib, quyidagi yig’indini tuzamiz: (1 .2 .1) 1.2 .1 -ta’rif. Ushbu (1 .2 .1) yig’indi funksiyaning integral yig’indisi (yoki Riman yig’indisi) deb ataladi. sirtning shunday (1 .2 .2) bo’linishlarini qaraymizki, ularning mos diametr lar ida n tashkil topgan ketma -ketlik nolga intilsin, ya’ni bo`lsin. Bunday bo’linishlarga nisbatan funksiyaning integral yig’indilarini tuzamiz: (1 .2 .3) 1.2 .2 -ta’rif. Agar sirtning har qanday (1 .2 .2) bo’linishlari ketma -ketligi olinganda ham, unga mos integral yig’indilar qiymatlaridan iborat ketma -ketlik, nuqtalarni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda , da hamma vaqt bitta ?????? songa intilsa, bu ?????? son ??????yig’indining limiti deb ataladi va u (1 .2 .4) kabi belgilanadi. 1.2 .3 -ta’rif. Agar da, funksiyaning integral yig’indisi ?????? chekli limitga ega bo’lsa, funksiya sirt bo’yicha integrallanuvchi deyiladi. Bu yig’indining chekli limiti ?????? esa funksiyaning birinchi tur sirt integrali deyiladi va u ( , , )f x y z 3 ()SR  P ( ) ( 1, 2,..., ) kS k n  ( , , ) k k k   ( , , ) k k k   ( , , ) k k k f    ( ) ( 1, 2,..., ) kS k n  kS 1 ( , , ) n k k k k k fS        ( , , )f x y z ()S 12, ,..., ,... m P P P 12, ,..., ,... m P P P   0 mP  , ( 1, 2,...)mPm  ( , , )f x y z 12, ,..., ,... m    ()S { }, ( 1, 2,...) mPm  { }, ( 1, 2,...) m m   ( , , ) k k k   max 0 m PP m   00 1 lim lim ( , , ) PP n k k k k k f S J            0 P  ( , , )f x y z ( , , )f x y z ()S ( , , )f x y z 13 kabi belgilanadi. (1 .2 .5) Faraz qilaylik, fazoda silliq yoki bo’lakli -silliq sirt oshkor tenglama bilan berilgan bo’lib, funksiya chegaralangan sohada uzluksiz va uzluksiz , xususiy hosilalarga ega bo’lsin. 1.2 .1 -teorema. Agar funksiya sirtga berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiyaning sirt bo’yicha birinchi tur sirt integrali mavjud va agar ?????? sirtning Oxy tekislikka proyeksiyasi bir qiymatli bo’lsa, ya’ni Oz o’qqa parallel har qanday to’g’ri chiziq ?????? sirtni faqat bitta nuqtada kessa, mos birinchi tur sirt integralni hisoblashni ushbu formula orqali ikki o’lchovli integralni hisoblashga keltirish mumkin: (1 .2 .6) bo’ladi. 1.2 .1 -eslatma. sirt tenglama bilan aniqlangan bo’lib, funksiya ( funksiya), ( ) sohada uzluksiz va xususiy hosilalarga ( xususiy hosilalarga) ega hamda bu hosilalar da uzluksiz bo’lsin. Agar funksiya shu sirtda berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiyaning birinchi tur sirt integrali mavjud va (1 .2 .7) ( ) (1.2. 8) bo’ladi. (1 .2 .6) formulani quyidagicha ham yozish mumkin: xy () ( , , ) S f x y z ds  0 1 () ( , , ) lim ( , , ) P n k k k k k S f x y z ds f S          3R ()S ( , ) z f x y ( , ) z f x y ()D ( , )xz x y ( , )yz x y ( , , )f x y z ()S ()S () ( , , ) S f x y z ds  22 ( ) ( ) ( , , ) ( , , ( , )) 1 ( , ) ( , ) xy SD f x y z ds f x y z x y z x y z x y dxdy       ()S ( , ) ( ( , )) x x y z y y z x ( , ) x x y z ( , ) y y z x ()D 2 ()DR  ( , ), ( , )yzx y z x y z ( , ), ( , ))zxy z x y z x ()D ( , , )f x y z ()S () ( , , ) S f x y z ds  22 ( ) ( ) ( , , ) ( ( , ), , ) 1 ( , ) ( , ) yz SD f x y z ds f x y z y z x y z x y z dydz       22 ( ) ( ) ( , , ) ( , ( , ), ) 1 ( , ) ( , ) zx SD f x y z ds f x y z x z y z x y z x dzdx       14 (1 .2 .9) bu yerda sirtga nuqtadao’tkazilgan normalning birlik vektori va o’qining musbat yo’nalishi orasidagi burchak. Normalning yo’naltiruvchi cosinuslarini, agar va deb belgilash olinsa, quyidagicha yozish mumkin: (1 .2 .10) Bu yerda radikal belgisi oldidagi ishora sirt tomoniga ko’ra tanlanadi. Xuddi ( 1.2 .9) formulaga o’xshash (1 .2 .11) (1 .2 .12) formulalarni yozish mumkin. Agar silliq yoki bo’lakli -silliq sirt parametrik tenglamalari (1 .2 .13) bilan berilgan bo’lib, bu sirtda chegaralangan funksiya aniqlangan hamda, soha &#3627408482; va &#3627408483; parametrlarning o’zgarish sohasi bo’lsa, u holda quyidagi formula o’rinli bo’ladi: , (1 .2 .14) Bu yerda larga Gauss koeffisientlari deyiladi: 1.2 .1 -misol. integralni konusning tashqi yon tomoni bo’yicha hisoblang. Yechish. Konusning tashqi yon tomoniga o’tkazilgan normal Oz o’qi musbat yo’nalishi bilan o’tmas burchak tashkil etadi, shuning uchun (1 .2 .10) formulada “ − ” ishora olamiz: ( ) ( ) ( , , ) ( , , ( , )) cos SD dxdy f x y z ds f x y z x y       ( , , ) M x y z Oz z p x    z q y    2 2 2 2 22 cos ; cos ; 11 1 cos 1 pq p q p q pq                      ( ) ( ) ( , , ) ( , ( , ), ) cos SD dzdx f x y z ds f x y z x z     ( ) ( ) ( , , ) ( ( , ), , ) cos SD dydz f x y z ds f x y z y z     ()S ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) ( ) x x u v y y u v z z u v u v     ( , , )f x y z () 2 ( ) ( ) ( , , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) S f x y z ds f x u v y u v z u v EG F dudv     ,,E G F  2 2 2 2 2 2 , , , u u u v v v u v u v u vx y z E x y z G x x y y z z F                     () ( cos cos cos ) S x y z dS      2 2 2 (0 ) x y z z h     15 Birinchi tur sirt integrallarining xossalari ham ikki karrali Riman integrallari xossalari kabi xossalarga ega bo’ladi. Ikki karrali integralning xossalari XV mavzuda o’rganilgan. Yuqorida keltirilgan teorema funksiyaning birinchi tur sirt integralining mavjudligini tasdiql abgina qolmasdan, uni hisoblash yo’lini ham ko’rsatadi. Demak, birinchi tur sirt integrallar i ikki karrali Riman integrallariga keltirib, (1 .2 .6) -(1 .2 .14 ) formulalarga asosan hisoblanadi. 1.2 .2-misol. Ushbu sirt integralini hisoblang, bunda sirt quyidagi tekislikning birinchi oktantdagi qismi . Yechish. Ravshanki, sirt tenglama bilan aniqlangan , soha esa &#3627408436;&#3627408450;&#3627408437; uchburchakdan iboratdir. Bu sohada funksiya uzluksiz bo’lib, uzluksiz xususiy hosilalarga ega. sirtda berilgan funksiya esa shu sirtda uzluksiz. Unda (1 .2 .6) formulaga ko’ra 2 2 2 2 , , , 1 ( ) ( ) x y x y xy z x y z z ds z z dxdy zz             22 1 ( / ) ( / ) 2 . x z y z dxdy dxdy     2 2 2 2 cos ; 12 px p q x y      2 2 2 2 cos ; 12 qy p q x y      22 11 cos . 2 1 pq        () ( cos cos cos ) S x y z dS        2 2 2 22 22 2 2 2 2 [ ] 2 0 2 22 x y h xy xy dxdy x y x y         () (6 4 3 ) S x y z ds  ()S 2 3 6 x y z    ()S  1(6 2 ) 3 z x y   ()D  ( , )z x y 1, 3 xz 2 3 yz ()S   , , 6 4 3 f x y z x y z    22 ( ) ( ) 1 1 2 (6 4 3 ) [6 4 3 (6 2 )] 1 ( ) ( ) 3 3 3 SD x y z ds x y x y dxdy               62 3 ( ) 0 0 14 14 (5 2 6) (5 2 6) 33 y D x y dxdy dy x y dx            33 62 22 0 00 14 5 14 5 [( 2 6 ) | ] [ (6 2 ) 2(6 2 ) 6(6 2 )] 3 2 3 2 y x xy x dy y y y y dy             16 Demak, 1.2 .3-misol. integral hisoblansin. Bunda sirt sferaning tekislik dan yuqorida joylashgan qismi. Yechish. Ravshanki, sirt tenglama bilan aniqlangan bo’lib, bu sirtda berilgan funksiya uzluksizdir. (1 .2 .6) formulaga ko’ra bo’ladi, bunda , Demak, Qutb koordinatalari sistyemasiga o`tib, integralni hisoblaymiz: 3 22 0 14 5 ( (36 24 4 ) 12 4 36 12 ) 32 y y y y y dy          3 22 0 14 [90 60 10 12 4 36 12 ) 3 y y y y y dy          3 23 3 2 0 0 14 14 [126 60 6 ] (126 60 6 ) | 3 3 2 3 yy y y dy y           23 14 (126 3 30 3 2 3 ) 54 14. 3        () (6 4 3 ) 54 14. S x y z ds    () () S J x y z ds     ()S  2 2 2 2x y z r    0 z ()S  2 2 2 z r x y     ,, f x y z x y z    2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) [ ] 1 ( , ) ( , ) xy SD J x y z ds x y r x y z x y z x y dxdy               2 2 2 2 ( ) {( , ) : }D x y R x y r     2 2 2 ( , ) ;x x z x y r x y    2 2 2 ( , ) ;y y z x y r x y    22 1 ( , ) ( , ) xyz x y z x y    22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) . xy r x y r x y r x y             2 2 2 2 2 2 () 1 [] D J x y r x y dxdy r x y          2 2 2 () [ 1] ; D xy dxdy r x y     cos , sin , 0 2 , 0 : x y r              17 Demak, 1.3. Ikkinchi tur sirt integrali va uni hisoblash funksiya silliq yoki bo’lakli -silliq ikki tomonli sirtda berilgan bo’lsin. Bu sirtning ma’lum bir tomonini olaylik. Ma’lumki, sirtning tomonini unga o’tkazilgan normalning yo’nalishi aniqlaydi. Sirtni silliq yoki bo’lakli -silliq chiziqlar bilan biror &#3627408451; bo’linishini va bu bo’linishning har bir bo’lagid a ixtiyoriy nuqtani olaylik. Berilgan funksiyaning nuqtadagi qiymatini ning tekislikdagi proyeksiyasining yuzi ga ko’paytrib, quyidagi integral yig’indini tuzamiz: (1 .3 .1) sirtning shunday (1 .3 .2) bo’linishlarini qaraymizki, ularning mos diametrlaridan tashkil topgan ketma -ketliknolga intilsin: . Bunday bo’linishlarga nisbatan funksiyaning integral yig’indilarini tuzamiz: (1 .3 .3) 1.3 .1-ta’rif. Agar sirtning har qanday (1 .3 .2) bo’linishlari ketma -ketligi olinganda ham, unga mos integral yig’indilar qiymatlaridan iborat ketma -ketlik, nuqtalarni tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan holda, da hamma vaqt bitta ?????? songa intilsa, bu ?????? son ??????yig’indining limiti deb ataladi 1.3 .2-ta’rif. Agar da, funksiyaning (1 .3 .1) integral 2 22 00 (cos sin ) [ 1] r J r d d r               22 22 0 0 0 0 (cos sin ) rr r d d r d d r                     2 2 3 22 00 (cos sin ) 2 . 2 r dr r d r r r               3 () ( ) . S J x y z ds r       ( , , )f x y z 3 ()SR  ( ) ( 1, 2,..., ) kS k n  ( , , ) k k k   ( , , ) k k k   ( , , ) k k k f    ( ) ( 1, 2,..., ) kS k n  Oxy ( ) ( 1, 2,..., ) k xyS k n 1 ( , , ) ( ) n k k k k xy k fS          ()S 12, ,..., ,... m P P P 12, ,..., ,... m P P P   0 mP  , ( 1, 2,...)mPm  ( , , )f x y z 12, ,..., ,... m    ()S {} mP {} m  ( , , ) k k k   max 0 m PP m   0 P  ( , , )f x y z 18 yig’indisi ?????? chekli ?????? songa intilsa, bu limiti k qiymat funksiyaning ikk inchi tur sirt integrali deyiladi va u (1 .3 .4) Xuddi shunday sirtda aniqlangan , funksiyalar uchun ham (1 .3 .5) (1.3.6 ) (1 .3 .7) integrallarni aniqlash mumkin. Sirt integrallarining tadbiqlarida ko’pincha (1 .3.5 )- (1 .3 .7 ) integrallar birgalikda qaraladi: . (1 .3 .8) Ikkinchi tur sirt integrallarining xossalari xuddi birinchi tur sirt integrallari kabi ikki karrali integrallar xossalari kabi bo’ladi. Ikkinchi tur sirt integralining qiymati sirt tomoni o’zg arganda qarama -qarshisiga o’zgaradi, o’zgarmas ko’paytuvchini integral belgisi tashqarisiga chiqarish mumkin, ikki yoki bir nechta funksiyalar yig’indisining integrali bu funksiyalar integrallarining yig’indisiga teng, additivlik xossasi o’rinli, o’rta qi ymat haqidagi teorema ham o’rinli. Agar - sirt o’qiga parallel silindrik sirt bo’lsa, u holda bo`ladi. Xuddi shunday sirt mos ravishda va o’qiga parallel silindrik sirtlar bo’lsa, u holda bu sirtlar bo’yicha ikkinchi tur sirt integrallar nol bo’ladi. Ikkinchi tur sirt integralini hisoblash unga mos ikki karrali integralni hisoblashga keltiriladi. sirtning (1 .1 .1) parametrik tenglamalariga asosan (1 .3 .4) ning chap tomonidagi integralni parametrlarning o’zgarish sohasi bo’yicha ikki karrali integralga keltiramiz: ( , , )f x y z 0 1 () ( , , ) lim ( , , ) ( ) P n k k k k xy k S f x y z dxdy f S            ()S ( ) ( , , ),P M P x y z  ( ) ( , , ) Q M Q x y z  ( ) ( , , )R M R x y z  0 1 () ( , , ) lim ( , , ) ( ) P n k k k k yz k S P x y z dydz P S            0 1 () ( , , ) lim ( , , ) ( ) P n k k k k zx k S Q x y z dzdx Q S            0 1 () ( , , ) lim ( , , ) ( ) P n k k k k xy k S R x y z dxdy R S            () ( , , ) ( , , ) ( , , ) S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy   ()S Oz () ( , , ) 0 S R x y z dxdy   Ox Oy ()S () 2 2 2 cos ; A A B C      2 2 2 dS A B C du dv    19 bo’lgani uchun (1 .3 .9) ga ega bo’lamiz, bu yerda (1 .3 .9) dagi ishoralar sirtning tomoniga ko’ra tanlanadi, xususiy holda &#3627408482;&#3627408483; tekislikdagi yo’nalish sirtning yo’nalishiga mos kelsa, “+” ishora, aksincha “ -” ishora olinadi. Xuddi shunga o’xshash ikkinchi tur sirt integrallarining boshqa hollari uchun ham yuqoridagidek mulohaza yuritiladi. Barcha natijalar birlashtirilib, birinchi va ikkinchi tur sirt i ntegrallarini o’zaro bog’lovchi quyidagi ifodaga kelamiz: (1 .3 .10 ) Bu yerda funksiyalar sirtda aniqlangan chegaralangan funksiyalar, lar sirtning qaralayotgan tomoniga o'tkazilgan normalning yo'naltiruvchi kosinuslari. (1 .3 .10 ) formuladan ikkinchi tur sirt integralini ikki karrali integralga keltiruvchi formulaga ega bo’lamiz: . (1 .3 .11 ) 1.3 .1-misol. integral hisoblansin. Bunda sirt yarim sferaning yuqori qismi. Yechish. Sirt tenglamasini quyidagicha yozib olamiz: Berilgan sirtning xOy tekislikka proeksiyasi tenglamasi bo’lgan doiradan iborat. (1 .3 .9) formulaga ko’ra ga ega bo’lamiz. Oxirgi karrali integralni hisoblash uchun qutb koordinatalariga o’tamiz: ( ) ( ) ( , , ) ( ( , ), ( , ), ( , )) S f x y z dxdy f x u v y u v z u v Cdudv     ; uu vv yz A yz    ; uu vv zx B zx    . uu vv xy C xy    ()S ()S () ( , , ) ( , , ) ( , , ) S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy     () ( cos cos cos ) . S P Q R dS        ( , , ), ( , , ), ( , , ) P P x y z Q Q x y z R R x y z  ()S cos , cos , cos     () ( , , ) ( , , ) ( , , ) S P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy     () ()PA QB RC dudv       2 () () S z R dxdy  ()S  2 2 2 2, x y z Rr    2, R z R  2 2 2 2 ( ) 0, x y z R R      2 2 2 . z R R x y    2 2 2x y R  2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) S z R dxdy R x y dxdy        20 1.4. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog‘lanish Faraz qilaylik, fazoda silliq yoki bo’lakli -silliq sirt oshkor tenglama si bilan berilgan bo’lib, funksiya chegaralangan sohada uzluksiz va uzluksiz , xususiy hosilalarga ega bo’lsin. 1.4.1. -teorema. Agar funksiya sirtga berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda bu funksiyaning sirt bo’yicha birinchi tur sirt integrali mavjud va (1.4.1) bo’ladi. Isbot . Bu teoremaning isboti xususiy holda (1.2.14) formuladan kelib chiqadi, bunda sirt ning (1.1.1) parametrik tenglamalarida deb olinsa, (1.4.1) formula kelib chiqadi. 1.4. 1-eslatma. sirt tenglama bilan aniqlangan bo’lib, funksiya ( funksiya), ( ) sohada uzluksiz va xususiy hosilalarga ( xususiy hosilalarga) ega hamda bu hosilalar da uzluksiz bo’lsin. Agar funksiya shu sirtda berilgan va uzluksiz bo’lsa, u holda b u funksiyaning birinchi tur sirt integrali mavjud va (1.4.2) ( ) (1.4.3) bo’ladi. (1.2.14) formulani quyidagicha ham yozish mumkin: (1.4.4) 3R ()S ( , ) z f x y ( , ) z f x y ()D ( , )xz x y ( , )yz x y ( , , )f x y z ()S ()S () ( , , ) S f x y z ds  22 ( ) ( ) ( , , ) ( , , ( , )) 1 ( , ) ( , ) xy SD f x y z ds f x y z x y z x y z x y dxdy       ()S 2 , , ( , ), ( , ) ( ) x x y y z f x y x y D     ()S ( , ) ( ( , )) x x y z y y z x ( , ) x x y z ( , ) y y z x ()D 2 ()DR  ( , ), ( , )yzx y z x y z ( , ), ( , ))zxy z x y z x ()D ( , , )f x y z ()S () ( , , ) S f x y z ds  22 ( ) ( ) ( , , ) ( ( , ), , ) 1 ( , ) ( , ) yz SD f x y z ds f x y z y z x y z x y z dydz       22 ( ) ( ) ( , , ) ( , ( , ), ) 1 ( , ) ( , ) zx SD f x y z ds f x y z x z y z x y z x dzdx       ( ) ( ) ( , , ) ( , , ( , )) cos SD dxdy f x y z ds f x y z x y     2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) R S z R dxdy R x y dxdy d R d                  2 2 4 4 0 2 ( ) | . 2 4 2 R RR        21 bu yerda sirtga nuqtada o’tkazilgan normalning birlik vektori va o’qining musbat yo’nalishi orasidagi burchak. Normalning yo’naltiruvchi kosinuslarini, agar va deb belgilash olinsa, quyidagicha yozish mumkin: (1.4.5) Bu yerda radikal belgisi oldidagi ishora sirt tomoniga ko’ra tanlanadi. Xuddi (1.4.2)formulaga o’xshash (1.4.6) (1.4.7) formulalarni yozish mumkin. 1.4.1 -misol. integralni konusning tashqi yon tomoni bo’yicha hisoblang. Yechish. Konusning tashqi yon tomoniga o’tkazilgan normal Oz o’qi musbat yo’nalishi bilan o’tmas burchak tashkil etadi, shuning uchun (1.4.5) formulada “ ” ishora olamiz: . ( , , ) M x y z z p x    z q y    2 2 2 2 22 cos ; cos ; 11 1 cos 1 pq p q p q pq                      ( ) ( ) ( , , ) ( , ( , ), ) cos SD dzdx f x y z ds f x y z x z     ( ) ( ) ( , , ) ( ( , ), , ) cos SD dydz f x y z ds f x y z y z     () ( cos cos cos ) S x y z dS      2 2 2 (0 ) x y z z h     2 2 2 2 , , , 1 ( ) ( ) x y x y xy z x y z z ds z z dxdy zz             22 1 ( / ) ( / ) 2 . x z y z dxdy dxdy     2 2 2 2 cos ; 12 px p q x y        2 2 2 2 cos ; 12 qy p q x y        22 11 cos . 2 1 pq        () ( cos cos cos ) S x y z dS        2 2 2 22 22 2 2 2 2 [ ) 2 0 2 22 x y h xy xy dxdy x y x y           Oz 22 1.5. Stoks formulasi ikki tomonli silliq sodda sirt bo’lib, bo’lakli -silliq kontur bilan chegaralangan bo’lsin. (1.1.1) formulalar yordamida bu sirtning nuqtalari va tekislikdagi kontur bilan chegaralangan tekis soha nuqtalari o’zaro bir qiymatli bog’langan, deb qaraylik. Sirtning biror tomonini tanlab, unga mos yo’nalishni olaylik. Aniqlik uchun konturning musbat yo’nalishiga konturni ng ham musbar yo’nalishi mos kelsin. U holda (1.4.5) formulalar ikki tomonli sirtning tanlangan tomonini aniqlaydi. 1.5.1 -teorema (Stoks). sodda silliq sirtda va uning chegarasi konturda uzluksiz va barcha argumentlari bo’yicha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lgan funksiya aniqlangan bo’lsin. U holda quyidagi (1.5. 1) (1.5.1 ) formulada ikkinchi tur sirt integrali (1.4.1 ) formulaga ko`ra birinchi tur bilan almashtirilishi mumkin, u holda ( 1.5. 1) formula quyidagi ko’rinishda bo’ladi: (1.5 .1*) Bu ( 1.5. 1) va (1.5 .41*) formulalarga Stoks formulasi deyiladi. 1.5.1 -misol. Stoks formulasidan foydalanib egri chiziqli integralni hisoblang, bunda L- chiziq , sirtlar kesishmasidagi aylanadan iborat bo`lib, yarim sferani chegaralaydi ( 1.5. 1-chizma). Yechish. (1.5.1 ) Stoks formulasi bilan integralni solishtirib ni aniqlaymiz hosilalarni Stoks formulasiga qo’yib, quyidagini olamiz: ()S ()L uv ()Г  2 2 2 0 A B C    ()Г 3 ) ( R S  ()L ( , , ), P P x y z  ( , , ), Q Q x y z  ( , , ) R R x y z  () () ( ) ( ) ( ) L S Pdx Qdy Rdz Q P R Q P R dxdy dydz dzdx x y y z z x                        ( ) ( ) {( ) cos ( ) cos ( ) cos } . LS Q P R Q Pdx Qdy Rdz x y y z PR ds zx                       23 ()L K x y dx dy zdz     2 2 2x y a  0 z 2 2 2 z a x y   23 , 1, P x y Q R z    22 3 , 0, PP yx yz    0, Q x    0, Q z    0, R x    1 R z    ()S 23 1.5 .1-chizma , b u yerda soha sirtning tekislikka proeksiyasi bo`lib, doiradan iborat. Ikki karrali integralda qutb koordinatalar sistemasiga o`tib integralni hisoblaymiz: dan foydalanib, ni olamiz. 1.6. Gauss -Ostrogradiskiy formulasi 1.6.1 -teorema (Ostrogradskiy -Gauss). - sodda, chegaralangan sohada va uning chegarasi silliq yoki bo’lakli silliq yopiq sirtda funksiyalar o’zlarining xususiy hosilalari bilan birgalikda uzluksiz bo’lsin. U holda (1. 6.1 ) yoki (1. 6.1 *) Ostrogradskiy -Gauss formulasi o’rinlidir. 2 3 2 2 ( ) ( ) (0 3 ) (0 0) (0 0) LS K x y dx dy zdz x y dxdy dydz dzdx             2 2 2 2 ( ) ( ) 33 SD x y dxdy x y dxdy       ()D ()S 0 z 2 2 2x y a  cos , sin , , 0 , 0 2 x r y r I r r a            22 62 2 2 5 2 2 ( ) 0 0 0 3 sin 2 3 3 cos sin 64 a D a K x y dxdy d r d d                   266 0 1 cos 4 8 2 8 aa d          3 ) ( R V  ()S ( , , ), P P x y z  ( , , ), Q Q x y z  ( , , ) R R x y z  ,, P Q R x y z       ( ) ( ) () VS P Q R dxdydz Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z              ( ) ( ) ( ) [ cos( , ) cos( , ) VS P Q R dxdydz P n x Q n y x y z              cos( , )] R n z dS 24 Ostrogradskiy -Gauss formulasi fazoviy chegaralangan sodda soha bo’yicha olingan uch karrali integralni shu sohani chegaralab turgan silliq yoki bo`lakli - silliq sirtning tashqi tomoni bo’yicha olingan sirt integrali bilan bog’lovchi formuladir. 1. 6. 1 -misol. Ostrogradskiy -Gauss formulasidan foydalanib, integralni hisoblang, bunda aylanma paraboloid, silindrik sirt va , , koordinata tekisliklari bilan chegaralangan soha chegarasi ning birinchi oktantda joylashgan qismining tashqi tomoni ( 1. 6.1 -chizma). Yechish. (1.6 .1) Ostrogradskiy -Gauss formulasida , , deb olamiz, u holda . 1. 6.2 -chizma Oxirgi integralda almashtirish yordamida silindrik koordinatalar sistemasiga o`tamiz: 22 ()S I y z dxdy xz dydz x y dxdz    ()S  22 z x y   22 1 xy    0 x 0 y 0 z 3 ) ( R V  ( , , )P x y z xz  2 ( , , ) Q x y z x y  2 ( , , )R x y z y z  2 2 2 2 ( ) ( ) () SV I y z dxdy xz dydz x y dxdz z x y dxdydz        cos , sin , x r y r z z     2 2 / 2 1 1 2 2 2 2 2 0 ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) | 22 r r V z I z x y dxdydz d rdr z r dz r r z dr                 11 46 1 45 0 00 33 ( ) ( | ) . 2 2 4 4 6 8 rr r r dr r dr           25 II BOB. MAYDONLAR NAZARIYASINING ELEMENTLARIGA SIRT INTEGRALLARINING TADBIQLARI 2.1. Skalyar maydonlar. Yo’nalish bo’yicha hosila. Gradient ta’rifi va xossalari Fizikada, mexanikada ko’pgina masalalarni yechishda skalyar va vektor kattaliklar bilan ish ko’rishga to’g’ri keladi. Fizikada “maydon” tushunchasi fazoning biror fizik hodisasi qaralayotgan qismi uchun ishlatiladi. Masalan, fazoning turli nuqtalaridagi havo temperaturasi temperatura maydonini, atmosfera bosimi bosim maydonini tashkil etadi. Elektr zaryadi o’z atrofida elektrostatik maydonni hosil qiladi. Maydonning biror nuqtasidagi har bir elektr zaryadiga miqdori va yo’nalishi bo’yicha to’la aniqlangan kuch ta’sir etadi (Kulon qonuni). 2.1.1 –ta’rif . Fazoning har bir nuqtasiga biror skalyar kattalikning son qiymati mos keladi gan qismi (yoki biror butun fazoning o’zi) skalyar maydon deb ataladi. Masalan, harorat maydoni, bir jinslimas muhitda zichlik maydoni, kuch maydon potensiyali. Agar kattalik vaqtga bog’liq bo’lmasa, bu kattalik statsionar yoki barqaror kattalik deyiladi. Aks holda maydon nostatsionar(statsionar bo’lmagan) maydon deyiladi. Biz faqat statsionar maydonlarni qarab chiqamiz. Shunday qilib, kattalik vaqtga bog’liq bo’lmasdan, balki faqat nuqtaning fazodagi o’rniga bo’g’liq bo’ladi, ya’ni kattalik M nuqtaning funksiyasi sifatida qaraladi, u=u(M ) ko’rinishda belgilanadi va maydon funksiyasi deb ataladi. Endi skalyar maydonlarga misol keltiraylik: 1. Elektrostatik maydonlarga potensiali formula bilan aniqlanadi, bu yerda e – zaryad, koordinata boshidan zaryad joylashgan nuqta gacha masofa. R=0 bo’lsa, potensial ∞ ga aylanadi, demak, bu funksiya r=0 dan boshqa hamma nuqtalarda skalyar maydonni aniqlaydi. 2. funksiya bo’lgan nuqtalarda aniqlangan, shuning uchun bu funksiya markazi koordinata boshida, radiusi R bo’lgan sfera bilan chegaralangan fazoning qismida skalyar maydonni aniqlaydi. Skalyar maydonlar ko’pincha geometrik nuqtai nazardan sath sirtlari yordamida t asvirlanadi. M u u t u t M u r e u  2 2 2 z y x r    2 2 2 2 z y x R u     2 2 2 2 R z y x    26 2.1.2 – ta’rif . Skalyar maydonning sath sirti (yoki ‘ekvipotensial sirti) deb fazoning u=u (x,y,z ) maydon funksiyasi bir xil c qiymatga ega bo’ladigan barcha nuqtalari to’plamiga aytiladi. Skalyar maydonning muhim tushunchalaridan biri yo’nali sh bo’yicha hosiladir. Faraz qilaylik, skalyar maydon differensiallanuvchi u=u(x,y,z ) funksiya orqali berilgan bo’lsin. Bu maydondagi biror M (x,y,z ) nuqtani va shu nuqtadan chiquvchi biror nurni qaraymiz. Bu nurning Ox , Oy , Oz o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklarini α, β, γ orqali belgilaymiz. Agar birlik vektor bu nur bo’yicha yo’nalgan bo’lsa, u holda quyidagiga ega bo’lamiz: . Faraz qilaylik, biror nuqta shu nurda yotgan bo’lsin. M va M 1 nuqtalar orasidagi masofani bilan belgilaymiz: . Skalyar maydon funksiyasi qiymatlari ayirmasi bu funksiyaning yo’nalish bo’yicha shu nuqtadagi orttirmasi deb ataymiz va bilan belgilaymiz. U holda yoki 2.1.3 -ta’rif . U =u(x,y,z ) funksiyaning yo’nalish bo’yicha M (x,y,z ) nuqtadagi hosilasi deb, ushbu limitga aytiladi, bu limit tarzida belgilanadi. Shunday qilib, . l  0l     cos cos cos 0 k j i l        ) , , (1 z z y y x x M       l 1 MM l  0l  ul ) ( ) ( 1 M u M u ul    ). , , ( ) , , ( z y x u z z y y x x u ul          l  l ul l    0 lim l u   l u l u l l       0 lim y c x z  y x M   1 M l  27 yo’nalish bo’yicha hosila u funksiyaning M nuqtadagi mazkur yo’nalish bo’yicha o’zgarish tezligini xarakterlaydi. Hosilaning yo’nalish bo’yicha absolyut miqdori M nuqtadagi tezlikning kattaligini aniqlaydi, ishorasi esa u funksiya o’zgarishini aniqlaydi; agar bo’lsa, funksiya o’sadi, bo’lsa, kamayadi. 2.1.1 -teorema . Agar u(x,y,z ) funksiya differensiallanuvchi bo’lsa, u holda uning ixtiyoriy yo’nalish bo’yicha hosilasi mavjud va quyidagiga teng: (2. 1.1 ) bunda - vektorning yo’naltiruvchi kosinuslari. 2.1.1 - misol . u=xyz funksiyaning M( -1,2,4) nuqtadagi, shu M nuqtadan M( -3,4,5) nuqtaga tomon yonalishdagi hosilasini toping. Yechish. vektorni topamiz: va unga mos birlik vektor Shunday qilib, vektor quyidagi yo’naltiruvchi kosinuslarqa ega: Endi u=xyz funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz: . Ularning M( -1,2,4) nuqtadagi qiymatini hisoblaymiz: Xususiy hosilalarning va yo’naltiruvchi kosinuslarning topilgan qiymatlarini (6.1) formulaga qo’yamiz: “-” ishora berilgan yo’nalishda u=xyz funksiya kamayishini ko’rsatadi. l  l  l u   0    l u 0    l u l     cos cos cos z u y u x u l u             cos, cos, cos l  1 MM k j i k j i MM                 2 2 )4 5( )2 4( )1 3 ( 1 . 3 1 3 2 3 2 1 2 )2 ( 2 2 2 2 2 1 1 0 k j i k j i MM MM                    0  .3 1 cos ;3 2 cos ;3 2 cos       xy z u xz y u yz x u          , , ;8   M x u ;4   M y u .2   M z u   .0 3 26 1 4 8 3 2 3 1 2 3 2 4 3 2 8                     u 28 2.1.2 - misol . skalyar maydonni ng gradientini toping, bu yerda . Yechish. formulaga ko’ra berilgan maydonning gradientini topamiz: Bundan bu yerda nuqtaga mos radius -vektor. Demak 2.1.4 -ta’rif . u=u(x,y,z ) differensiallanuvchi funksiya bilan aniqlanuvchi skalyar maydonning M (x,y,z ) nuqtadagi gradienti deb, grad u bilan belgilanuvchi vektorga aytiladi, bunda lar mos ravishda gradient vektorning Ox , Oy , Oz o’qlaridagiga proeksiyalari. Gradient vektorning moduli fo rmula bilan ifodalanadi. Gradientning ta’rifidan foydalanib, yo’nalish bo’ yicha hosilani ifodalovchi formulani ko’rinishda yozish mumkin. Skalyar ko’paytma ta’rifidan foydalanib deb yozsak, bo’lgani uchun )(r f u 2 2 2 z y x r    u grad u F u F grad ) ( ) (   ;2 2 2 z y x x x r      ;2 2 2 z y x y x r      ;2 2 2 z y x z x r      ,r r r kz jy ix kr z j r y ir x r grad               ) , , ( z y x M r  . )( )( )( r r r f r grad r f r f grad                   kz u j y u ix u u grad z u y u x u       , , 2 2 2                        z u y u x u u grad l  ) , ( 0l grad l u      cos0l gradu l u     1 0  l   cosu grad l u    29 bo’ladi. Bundan yo’nalish bo’yicha hosila cos α=1 bo’lganda, ya’ni da eng katta qiymatga erishadi va 2.1.3 - misol . Ushbu funksiyaning nuqtadan nuqtaga qarab yo'nalgan yo'nalish bo'yicha hosilasini toping. Yechilishi. ??????⃗ birinchi kvadratning ?????? 0(2,2) nuqtasidan o'tuvchi va &#3627408450;(0,0) nuqtadan ?????? 0(2,2) nuqtaga qarab yo'nalgan bissektrisadan iborat bo'ladi. formulaga asosan, ?????? = ?????? 4. Berilgan funksiya ?????? 0(2,2) nuqtada differensiallanuvchi bo'Igani uchun, uning yo'nalish bo'yicha hosilasini formula bo'yicha topamiz: ???????????? (&#3627408485;,&#3627408486;) ????????????⃗ = ???????????? (&#3627408485;,&#3627408486;) ??????&#3627408485; cos ?????? 4+ ???????????? (&#3627408485;,&#3627408486;) ??????&#3627408486; cos ?????? 4 = (2&#3627408485; − &#3627408486; + 2&#3627408486; − &#3627408485;)√2 2 = √2 2 (&#3627408485; + &#3627408486;). Demak , 2.2. Vektor maydon ta’rifi.Fizik kattaliklar maydoni, vektor naychalari 2. 2.1 –ta’rif . Har bir M nuqtasiga biror vektor mos qo’yilgan fazoning biror qismiga (yoki butun fazo) vektor maydon deyiladi. Masalan, og’irlik kuchi maydoni, elektr maydoni, elektromagnit maydon, oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydoni va hokazo. Agar G soha uch o’lchovli fazoda bo’lsa, vektor maydonni aniqlovchi vektorni x,y,z skalyar argumentning yoki M nuqtaga mos radius – vektorning vektor - funksiyasi deb qarash mumkin. 0   2 2 2 max                                    z u y u x u gradu l u xy y x y x f    2 2 ) , ( )0;0(O )2;2(0 M i 2 2 )2,2(    l f a a r ) ( ) , , ( r a z y x a a       y x z o ) ( 0 M gradu ) ( 0 M u 0 ) , , (  z y x u 30 2.2.2 –ta’rif . vektor maydonning vektor chizig’i deb, shunday chiziqqa aytiladiki, uning har bir nuqtasida urinmaning yo’nalishi shu nuqtaga mos kelgan vektorning yo’nali shi bilan bir xil bo’ladi. Vektor maydonlarning berilishiga ko’ra vektor chiziqlari ma’lum fizik ma’noga ega bo’ladi. Agar oqayotgan suyuqlikning tezliklari maydoni bo’lsa, u holda vektor chiziqlari suyuqlikning oqish chiziqlari bo’ladi, ya’ni suyuqlik zarralari harakatlanayotgan chiziqlar bo’ladi. Agar elektr maydon bo’lsa, u holda vektor chiziqlari bu maydonning kuch chiziqlari bo’ladi. 2.2.3 –ta’rif . sirt bo’lagining nuqtalari orqali o’tuvchi hamma vektor chiziqlar to’plami vektor naychalari deb ataladi. 2.3. Vektor maydon oqimi va vector maydon divergensiyasi fazodagi biror sohaning har bir nuqtasida vektor aniqlangan bo’lsa (bu yerda funksiyalar bu sohada uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, vektorning proeksiyalari), u holda bu sohada vektor maydon berilgan deymiz. Bu sohada ikki tomonli sirt berilgan bo’lsin, unin g tomonini bu sirtga o’tkazilgan birlik normal vektor aniqlaydi: bu yerda -normal vektorning koordinata o’qlari bilan tashkil qilgan burchaklari. Agar sirt tenglama bilan berilgan bo’lsa, u holda ) (M a ) (M a ) (M a ) (M a  Oxyz  ) , , ( z y x M kz y x R j z y x Q iz y x P M a     ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) (    R Q P , , ) (M a   n k j i n        cos cos cos       , ,  ) , ( y x f z  ) , , ( z y x M ) (M a 31 (2. 3. 1) bo’lib, ‘+’ishora normal vektor Oz o’qi bilan o’tkir burchak, ‘ -’ ishora esa o’tmas burchak tashkil etganda olinadi. Agar sirt tenglama bilan berilgan bo’lsa, (2. 3. 2) bo’ladi, bu yerda ishora sirtning tanlangan tomoniga mos olinadi. Agar sirt bir nechta bo’lakdan tashkil topsa, u holda normal vektor sirt tenglamasining berilishiga qarab, har bir bo’lakda alohida ( 2.3 .1) yoki ( 2. 3. 2) formulalar yordamida topiladi. 2.3.1 -ta’rif. vektor maydonning ikki tomonli sirt bo’yicha vektor oqimi deb, quyidagi (2. 3. 3) formulaga ko’ra topiladigan skalyar miqdorga aytiladi, bu yerda – sirtning tanlangan tomonidagi ixtiyoriy nuqtasiga o’tkazilgan birlik normal vektor . Agar sirtning xOy tekislikdagi proeksiyasi soha bo’lsa,u holda bu sirt bo’yicha vektor maydon oqimi (2. 3. 4) formula yordamida topiladi, bu yerda (2. 3. 1)) formuladagi oldidagi koeffisientdir. ( 2. 3. 4)) ga o’xshash quyidagilar o’rinli: 2 2 2 ) ( ) ( ) ( dz df dy df dx df k j dy df i dx df n           0 ) , , ( ) (   z y x F M F 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z F y F x F kz F j y F ix F M gradF M gradF n                     ) (M a    d M n M a O ) ( ) (   ) (M n M  xyD ) (M a dxdy na d M n M a O yxfz ),( cos ) ( ) (              cos k  32 ; . (2. 3. 5) Vektor maydon divergensyasi ta’rifi. Divergensiya xossalari Bizga Oxyz fazodagi sohada vektor maydon berilgan bo’lsin. Ma’lumki, sohani chegaralovchi yopiq sirt bo’yicha vektor oqimi vektor maydon divergensiyasi tushunchasiga olib keladi. 2.3.2 -ta’rif. vektor maydonning divergensiyasi deb, quyidagi (2. 3.6 ) skalyar miqdorga aytiladi, bu yerda P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) funksiyalar berilgan vektorning koordinatalari bo’lib, xususiy hosilalarning qiymatlari qaralayotgan M nuqtada hisoblanadi. Vektor maydon divergensiyasi uchun quyidagi xossalar o’rinli: 1. . 2. , bunda c- o’zgarmas son. 3. , bu yerda skalyar maydon funksiyasi. Endi misollar qaraylik. 2.3 .1 - misol. Tomonlari 1 va 2 ga teng bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak &#3627408450;&#3627408485; o‘qning musbat qismida unga perpendikular joylashgan. Shu to‘g‘ri orqali o‘tuvchi ??????⃗= ??????⃗ vektor maydonning oqimini toping. Yechilishi. (??????) sirt orqali o‘tuvchi vektor maydon oqimini formulaga asosan hisoblaymiz. Misolning shartiga ko‘ra ??????⃗= ??????⃗ , ??????⃗⃗ L �����& teng. Demak, (??????⃗,??????⃗⃗�; L �:�����á�,�& ���& ) = 1 bo’ladi. To‘g‘ri to‘rtburchakning yuzi 2 ga tengligini e’tiborga olsak, vektor maydon oqimi &#3627408450; = ∬ (??????⃗,??????⃗⃗�;���@�O (??????) = ∬ ???????????? (??????) = 2 bo’ladi. dxdy na O zyxx ),( cos      dxdz na O zxyy ),( cos       kz y x R j z y x Q iz y x P M a     ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) (      ) (M a z R y Q x P M a div         ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ( M b div M a div M b M a div        ) ( ) ( M a div c M a c div      ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( M gradu M a M a div M u M a M u div      ) (M u 33 2.3.2 -misol. vektor maydonning aylanma paraboloidning birinchi oktantdagi qismining tekislik bilan chegarangan bo’lagining tashqi tomoni bo’yicha vektor oqimini toping. Yechish . Berilgan sirt tenglamasini ko’rinishda yozib olib, ni topamiz. Bu yerda bo’lgani uchun vektor berilgan sirtga tashqi normal bo’ladi. z 1 y=x 2+z 2 O 1 y x 1 Shuning uchun bo’lib,(8.5)formulalarga ko’ra proeksiya doiraning to’rtdan bir qismi bo’ladi, shuning uchun bu integralni qutb koordinatalari sistemasiga o’tib hisoblash qulay: almashtirishlar olinsa, bo’ladi. ▲ kxz jx i x a        2 2 2 y x z   )1 0(1    y y 0 ) , , ( 2 2     y z x z y x F 2 2 4 1 4 2 2 z x kz j ix gradF gradF n           0 4 1 4 1 cos 2 2     z x  n n ]1 ) (2[ cos 2 2 ),(     z x x na zxyy          xz xz D D zxyy dxdz z x x dxdz na O ]1 ) (2[ cos 2 2 ),(   xzD   sin , cos q z q x            1 0 2 4 2 0 2 2 . 15 1 ) 2( cos ]1 ) (2[ dq q q d dxdz z x x O xyD    34 2.3. 3-misol. vektorning yopiq sirt bo’yicha oqimini toping. Yechish: Berilgan sirt yopiq bo’lganligi uchun vektor oqimi formulasida Gauss -Ostrogradskiy formulasiga asosan ga ega bo’lamiz. Bu integralni o’zgaruvchilar bo’yicha sferik koordinatalar sistemasiga o’tib hisoblash qulay: , bo’lgani uchun . ▲ 2.3.4 -misol. vektorning divergensiyasini toping. Yeshich. Divergensiya formulasiga asosan . ▲ 2.3.5 -m isol. vektorning divergensiyasini toping, bu yerda koordinata boshidan M(x,y.z) nuqtagacha bo’lgan masofa. Yechish. Divergensiyaning 3 - xossasiga asosan quyidagini olamiz: Bu yerda ni e’tiborga olsak, bo’ladi. ▲ k z j y i x a     2 2 2    )0 (0 ,2 2 2 2      z z R z y x      dz y x O ) 2 2 2(  , ,r      cos , sin sin , cos sin r z r y r x       d d dr r dv sin2                d drd r r r r O sin ) cos sin sin cos sin ( 2 2                  2 0 2/ 0 0 3 ) cos sin sin cos (sin sin 2 R drr d d            2 0 2/ 0 4 4 2 sin cos 4 2 R d d R kx z jz y iy x M a     2 2 2 ) (    ) (2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 zx yz xy zx yz xy z x z y z y x y x a div              r r r rr a    )( )( 0       r r  ).)( , ( )( r r grad r r div r r a div        0 2 )( )( ))( ( )( ,3 r r r r r r grad r r r r grad r div             )( )( 2 )( )( )( 3 ) , )( )( ( 3)( 0 2 r r r r r r r r r r r r r r r r r a div                       35 2.4. Gaus -Ostrogradskiy formulasining vektor ko’rinishi Endi (1.6.1 ) Gauss -Ostrogradskiy formulasining vektor ko’rinishini qaraylik: (2.4 .1 ) Bu Gauss -Ostrogradskiy formulasining chap tomoni koordinatalar sistemasiga bog’liq bo’lmagan holda ma’noga ega bo’lib, belgilash olinsa, uni (2.4.2) vektor ko’rinishda yozish mumkin. Bu tenglikka o’rta qiymat haqidagi teoremani qo’llasak, (2.4.3) ga ega bo’lamiz, bu yerda nuqta shu soha ichida. da limitga o’tilsa, P, R, Q funksiyalar xususiy hosilalari bilan birgalikda uzluksiz funksiyalar bo’lgani uchun (2.4.4 ) formulaga ega bo’lamiz. ( 2. 4.1 ) tenglikning o’ng tomoni koordinatalar sistemasiga bog’liq bo’lmagani uchun ham koordinatalar sistemasining tanlanishiga bog’liq bo’lmasdan bir xil qiymatlar qabul qiladi. [ ( , , ) cos ( , , ) cos ( , , ) cos ]P x y z Q x y z R x y z d          () P Q R d x y z             ) , , ( z y x z R y Q x P               dz y x d n a ) , , ( ) , (        V M d n a ) ( ) , ( 0   ) , , ( 0 0 0 0 z y x M M M 0 z R y Q x P       , ,             d n a M M ) , ( lim ) ( ) ( lim 0 0 0   z R y Q x P         36 ( 2.4.4 ) formuladan foydalanib, ( 2.4.1 ) ni quyidagi vektor ko’rinishda yozish mumkin: . (2.4.5 ) Divergensiyani (4.1) formula bilan aniqlash koordinata o’qlarini tanlash bilan bog’liq. (4.3) formulaga ko’ra (4.1) ni deb yozish mumkin. Bunga ko’ra divergensiyaning koordinata o’qlariga bog’liq bo’lmagan ta’rifini berish mumkin. 2.4.2 -ta’rif. (divergensiyaning invariant ta’rifi). M nuqtada vektor maydonning divergensiyasi deb, M nuqtani o’rab olgan yopiq sirt orqali o’tuvchi maydon oqimining shu sirt bilan chegaralangan qismining hajmga nisbatining bu hajm nuqtaga tortilgandagi, ya’ni dagi limitiga aytiladi. Vektor maydon oqimining fizik manosi Ma’lumki, vektorning yopiq sirt orqali tashqi normal yo’nalishidagi O oqimi shu sirt bilan chegara lan ib, vaqt birligi ichida oqib kirgan va oqib chiqqan suyuqlik miqdorlari orasidagi ayirmani ifodalashi aniqlangan edi, Endi vektor maydon oqimining fizik ma’nosini beraylik. sirt orqali o’tayotgan tezlik vektorining O oqimi shu sirt orqali vaqt birligi ichida orientirlangan sirt yo’nalishida oqib o’tgan suyuqlik miqdoridir. Bunda, agar O=0 bo’lsa, sohaga undan qancha suyuqlik oqib chiqib ketsa, shuncha suyuqlik oqib kiradi. Agar O >0 bo’lsa, u hol da sohadan unga oqib kiradigan suyuqlikdan ko’proq suyuqlik oqib chiqadi. Agar O <0 bo’lsa, bu hol qurdum (stok)lar borligini ko’rsatadi, ya’ni suyuqlik oqimdan uzoqlashadigan joylar borligini ko’rsatadi (masalan, bug’lanadi). Shunday qilib, integral manbalarning va qurdumlarning umumiy quvvatini beradi. 2.4.1 -misol. vektorning yopiq sirt bo’yicha oqimini toping. Yechish: Vektor oqimi formulasiga asosan       d M a div d n a ) ( ) , (      O div M a div 0 ) (     0   ) (M a   a    dna k z j y i x a     2 2 2    )0 (0 ,2 2 2 2      z z R z y x 37 ga ega bo’lamiz. Bu integralni sferik koordinatalar sistemasiga o’tib hisoblash qulay: , bo’lgani uchun . Ushbu nisbat hajm birligiga bo’lingan suyuqlik miqdorini aniqlaydi, ya’ni manbaning (O > 0 bo’lganda) yoki qurdumning ( O > 0 bo’lganda) o’rtacha hajmiy quvvatini ifodalaydi. 2. 4.2 -m isol. vektorning divergensiyasini toping. Yeshich. Divergensiya formulasiga asosan . Misol. vektorning divergensiyasini toping, bu yerda koordinata boshidan M(x,y.z) nuqtagacha bo’lgan masofa. Yechish. Divergensiyaning 3 - xossasiga asosan quyidagini olamiz: Bu yerda ni e’tiborga olsak,      dz y x O ) 2 2 2(  , ,r      cos , sin sin , cos sin r z r y r x       d d dr r dv sin2                d drd r r r r O sin ) cos sin sin cos sin ( 2 2                  2 0 2/ 0 0 3 ) cos sin sin cos (sin sin 2 R drr d d            2 0 2/ 0 4 4 2 sin cos 4 2 R d d R     dn a O   ) , (   kx z jz y iy x M a     2 2 2 ) (    ) (2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 zx yz xy zx yz xy z x z y z y x y x a div              r r r rr a    )( )( 0       r r  ).)( , ( )( r r grad r r div r r a div        0 2 )( )( ))( ( )( ,3 r r r r r r grad r r r r grad r div             38 bo’ladi. 2.5. Vektor maydonda chiziqli integral. Vektor maydon uyurmasi (rotori) 2.5.1 -ta’rif. Bizga Oxyz fazodagi sohada vektor maydon va yo’nalishi aniqlangan chiziq berilgan bo’lsin. (2.5.1 ) egri chiziqli integralga vektor maydonning chiziq bo’yicha chiziqli integrali deyiladi, bu yerda vektor chiziqqa urinma birlik vektor, chiziqning yoyi differensiali, vektor chiziq nuqtalarini tasvirlovchi radius -vektor. Agar vektor maydon kuch maydoni bo’lsa, u holda ( 2.5.1 ) integral chiziq bo’yicha kuch maydoni bajargan ishni beradi: (2.5.2 ) Agar chiziq , parametrik tenglamalari bilan berilgan bo’lsa, ( 2.5.1 ) integral (2.5.3 ) integralga keladi. Agar chiziq tenglamalari bilan berilgan bo’lsa, u holda ( 2.5.1 ) integral (2.5.4 ) kabi hisoblanadi. Agar chiziq ochiq chiziq, ya’ni boshlang’ich nuqtasi A, oxiri B dan iborat yoy ya’ni, bo’lsa, )( )( 2 )( )( )( 3 ) , )( )( ( 3)( 0 2 r r r r r r r r r r r r r r r r r a div                        kz y x R j z y x Q iz y x P M a     ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) (    L         L L L dzz y x R dyz y x Q dxz y x P dra ds a ) , , ( ) , , ( ) , , (    a L  L  ds r L ) (M a L  L ds a A  L        t tz z ty y tx x ),( ),( ),(             dt t z tz ty tx R t y tz ty tx Q t x tz ty tx P )( )]( ),( ),( [ )( )]( ),( ),( [ )( )]( ),( ),( [ L b x a x z z x y y     ), ( ), (         b a dx x z x z x y x R x y x z x y x Q x z x y x P ) ( )] ( ), ( , [ ) ( )] ( ), ( , [ )] ( ), ( , [    AB L       AB BA rda rda A     39 o’rinli. 2.5.1 -misol . vektor maydonning paraboloidni koordinata tekisliklari bilan kesilganda hosil bo’lgan ABCA kontur bo’yicha sirkulyasiyasini toping. Yechish. Sirkulyatsiya formulasidan foydalanamiz, bunda chiziqli integral xossalariga ko’ra, . 1). bundan . Paraboloid tenglamasidan ni e’tiborga olinsa, yoki va ni olamiz. U holda va . Bundan 2). Bundan va 3). ya’ni Shunday qilib ▲ 2.5.2 -misol. kuch maydonining ellipsning nuqtasidan nuqtasigacha yoyi bo’ylab bajargan ishini toping. Yechish. Ellipsning parametrik tenglamasi k z j x i y a     2 2 2    y z x    1 2 2         CA BC ABCA AB rda rda rda rda Г         ,0 ,0 :   dz z AB j x i y a    2 2   0z y x  1 2 2 1 x y   xdx dy 2 j xdx i dx j dy i dx rd      2    dx x x x dx x x dx x dx y rda ]1 2 2 [ ] 2 ) 1[( 2 2 3 4 3 2 2 3 2           . 30 31 ) 3 2 4 2 5 1( ]1 2 2 [ 01 3 4 5 0 1 2 3 4            x x x x dx x x x rda AB   . ; ,0 ,0 : 2 2 k dz j dy rd k z i y a dx x BC             1 0 , 2    z dz z rda   .3 1 1 0 2     BC dz z rda   , , ,0 ,0 : 2 2 k dz i dx rd k z j x a dy y CA             , 2dz z rda   .3 1 0 1 2     CA dz z rda   . 30 31 3 1 3 1 30 31     Г ) sin cos ( jt b it a F      0 ,1 2 2 2 2    z b y a x )0,0, (a M )0, ,0( b N 0 , sin , cos    z t b y t a x 40 bo’lib, va bo’lgani uchun kuch masydonida bajarilgan ish formulasiga ko’ra ▲ Maydo n uyurmasi ta’rifi va xossalari Ushbu vektor maydon berilgan bo’lib, P, Q, R funksiyalar uzluksiz va uzluksiz birinchi tartibli xususiy hosilalarga ega bo’lsin. 2.5.2 -ta’rif . vektor maydonning uyurmasi (rotori) deb, (2 .5.5) formula bilan aniqlanadigan vektorga aytiladi. Vektor maydon uyurmasi quyidagi xossalarga ega: 1. , - o’zgarmas vektor. 2. , bu yerda -vektor maydonlar, - ixtiyoriy o’zgarmaslar. 3. (2.5 .6 ) 2.5.3 -misol . bo’lsin. vektor maydon uyurmasini toping. Yechish . Rotorni topish formulasiga ko’ra ni deb olib hisoblaymiz: va 0 Mt .2  Nt 0 , cos )( , sin )(      z t b t y t a t x         2 0 2 0 2 2 cos sin ) ( ] cos sin ) sin ( cos [   tdt t a b dtt bt b t a t a A      2 0 2 2 2 2 . 2 ) (sin sin ) (  b a t td b a        kz y x R j z y x Q iz y x P M a , , , , , ,      M a   k y P x Q j x R z P i z Q y R M a rot                                  0c rot c 2 2 1 1 2 2 11 ] [ a rot c a rotc a c ac rot    2 1,a a 2 1,c c   ] , [ a u grad a urot au rot   kx jz iy a    2 2 2 z y x kx jz iy r a b       r a ro t r u 1  3 2 2 1 1 r r r kz jy ix r gradr r gradu       k j i k y y x z j x x z y i z z y x a rot                                     41 bo’lgani uchun rotor xossalariga asosan ▲ 2.5 .4 -m isol. Cheksiz uzun simdagi tokning magnit maydonidagi kuchlanganlik vektorining uyurmasini toping. Yechish . Magnit maydondagi kuchlanganlik vektori ni quyidagicha yozamiz: , bunda (2.5.5 ) formulaga asosan Demak, O z o’qidan tashqari hamma joyda vektorning uyurmasi nol, ya’ni maydon uyur masi z bo’ladi, chunki Oz o’qida yotuvchi nuqtalar da formula o’z ma’nosini yo’qotadi. ▲ 2.6 . Solenoidli maydon tushunchasi , maydonning solinoidal bo’lish sharti 2.6 .1 -ta’rif. Agar 41 ector maydonning divergensiyasi sohaning har bir nuqtasida nolga teng bo’lsa, ya’ni (2.6 .1 ) bo’lsa, bu 41 ector maydon shu sohada solenoidli (solenoiydal) yoki naychasimon maydon deyiladi. Solenoidli maydon uchun Gauss -Ostrogradskiy teoremasiga ko’ra 2 33 22 3 3 3 3 [] a i j k xy z rot urota gradu a i r r r r yz x xz y jk r r r r                                       2 2 2 3 11 i j k xy z i zy x j xz y k rr                    2 2 2 2 2 2 3 1 . x y xy i y z zy j x z xz k r             H  ri H , 2 2   H jzI iy I z y x I kj i H 2 2 2 2 2 0 0 2       2 2 2 y x        0 ,0 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2                                               y x k y x y y x y x x y x I k y x Iy y y x Ix x H rot H ) (M a 0 ) (  M a div  42 bo’ladi, bunda yopiq sirt bo’lib, sohani chegaralaydi va sirtga o’tkazilgan tashqi normal bo’yicha orientirjangan. Solenoidli maydonning asosiy xossasi shundan iboratki, bu maydonda 42 ector naycha ning har bir va kesimidan o’tkazilgan 42 ector chiziqlari yo’nalishidagi vektorlar oqimi bir xil bo’ladi, ya’ni manbasiz va qurdumsiz maydonda 42 ector nay chaning har bir kesimidan bir xil miqdorda suyuqlik oqib o’tadi .Solenoidli maydonda 42 ector chiziqlar hech qayerda yo’qolmaydi va yangisi paydo ham bo’lmaydi, ya’ni munosabat o’rinli. 2.6 .1 -m isol. 42 ector maydonning solenoidal bo’lish yoki bo’lmasligini aniqlang. Yechish. 42 ector maydonning divergensiyasini toping: demak, bo’lgani uchun ber ilgan maydon solenoidal ekan. ▲ 2.6 .2 -m isol . 42 ector maydonning solenoidli bo’lish bo’lmasligini aniqlang. Yechish. Berilgan vektorning divergensiyasini topamiz: , demak, beri lgan maydon solenoidal emas. ▲ 2.7 . Vektor maydon sirkulyasiyasiva Stoks formulasining vektor ko’rinishi 2.7 .1 -ta’rif . 42 ector maydonning sirkulyasiyasi deb, yopiq chiziq bo’yicha olingan (2.7 .1 ) chiziqli integralga aytiladi. 0   dn a       0 1      1 0     dn a dn a     j xy x i y y x a    ) ( ) ( 2 2 3 2     a ,0 2 2 ) ( ) ( 2 2 3 2            xy xy xy x y y y x x div 0a div  k x yz j y zx i z xy a        2 ( ) ( ) ( ) 0xy zx yz y zx y div a x z y y z x z y x              a L  L rda Г   43 Agar 43 ector maydon koordinatalar bilan berilsa ( 2.7 .1 ) formula (2.7 .2 ) ko’rinishda bo’ladi. (2.5.5 ) formuladan foydalanib, Stoks formulasini quyidagicha yozish mumkin: , ( 2.7.3 ) (2.7.3 ) dan uning L yopiq kontur bo’ylab, sirkulyasiyasi 43 ector uyurmasining L 43 ector bilan chegaralangan ( ) sirt orqali o’tuvchi 43 ector o’qimiga teng. ( ) sirtning normali bo’lgani uchun ( 2.5.5 ) formulaga ko’ra ( 2. 7.3 ) ni quyidagicha yozish mumkin: (2.7.4 ) 2.7 .1 -teorema (Stoks formulasining 43 ector ko’rinishi ). Agar funksiyalar birinchi tartibli hosilalari bilan birgalikda yopiq chiziqda va bu chiziq chegaralab turgan ( ) sohada uzluksiz funksiyalar bo’lsa, u holda quyidagi formula o’rinli: (2.7 .3 ) bu yerda lar sirt normalining yo’naltiruvchi kosinuslari. ( 2.7 .3 ) formula Stoks formulasi ning vector ko’rinishi deyiladi. Bu formulada yopiq chiziq yo’nalishi ( ) sirtning tanlangan tomoni bo’yicha shunday mos keladiki, bunda qaralayotgan tomon normalining oxiridan chiziqni aylanib chiqish soat milig a qarshi yo’nalgan. 2.7 .1 -m isol. 43 ector maydonning chiziq bo’yicha sirkulyasiyasi topilsin. Yechish. chiziq silindrning tekislik bilan kesimida hosil bo’ladi. Bu chiziqning har qanday nuqtasining xOy tekislikka proeksiyasi aylanada yotadi va chiziqning 43 ector 43 ric tenglamasi ) (M a a   ) , , ( ), , , ( ), , , ( z y x R z y x Q z y x P     L dzz y x R dyz y x Q dxz y x P Г ) , , ( ) , , ( ) , , (           L L dn a rot dzz y x R dyz y x Q dxz y x P rda       ) , , ( ) , , ( ) , , ( a a   k j i n    cos cos cos                    )( ] cos) ( cos) ( cos) [(      d y P x Q x R z P z Q y R Г ) , , ( ), , , ( ), , , ( z y x R z y x Q z y x P L  ( , , ) ( , , ) ( , , ) L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz rot a n d            cos, cos, cos  L  k xz j yz i xy a                1 ,1 : 2 2 z y x y x L L 1 2 2   y x 1   z y x 1 2 2   y x 44 ko’rinishda bo’ladi: Sirkulyatsiya formulasiga ko’ra maydon sirkulyasiyasi dan topiladi.Bundan ▲ 2.7 .2 -m isol . 44 ector maydonning paraboloidni koordinata tekisliklari bilan kesilganda hosil bo’lgan ABCA kontur bo’yicha sirkulyasiyasini toping. Yechish. Sirkulyatsiya formulasidan foydalanamiz, bunda chiziqli integral xossalariga ko’ra, . 1). bundan . Paraboloid tenglamasidan ni e’tiborga olinsa, yoki va ni olamiz. U holda va . Bundan 2). Bundan 2 0 , sin cos 1 , sin , cos        t t t z t y t x . ) cos (sin , cos , sin dtt t dz tdt dy tdt dx           L L xzdz yzdy xydx rd a Г ) , (              dt t t t t t t t t t t t Г 2 0 2 )] cos )(sin sin cos 1( cos cos) sin cos 1( sin sin cos [             2 0 2 0 2 2 2 2 2 ) (sin sin 3 ) cos cos sin cos 2 sin cos sin3 ( t td dtt t t t t t t                   2 0 2 0 2 0 2 0 20 4 2 2 4 sin 3 ) (sin ) sin 1( )2 cos 1( 2 1 ) (cos cos 2 sin t t dt dtt t td tdt k z j x i y a     2 2 2    y z x    1 2 2         CA BC ABCA AB rda rda rda rda Г         ,0 ,0 :   dz z AB j x i y a    2 2   0z y x  1 2 2 1 x y   xdx dy 2 j xdx i dx j dy i dx rd      2    dx x x x dx x x dx x dx y rda ]1 2 2 [ ] 2 ) 1[( 2 2 3 4 3 2 2 3 2           . 30 31 ) 3 2 4 2 5 1( ]1 2 2 [ 01 3 4 5 0 1 2 3 4            x x x x dx x x x rda AB   . ; ,0 ,0 : 2 2 k dz j dy rd k z i y a dx x BC             1 0 , 2    z dz z rda   . 3 sin sin 2 sin4 1 )0 2(2 1 3 cos 2 cos2 1 20 3 20 20 20 3 20                t t t t t 45 va 3). ya’ni Shunday qilib ▲ 2.8 . Vektor maydon potensiali , maydonning potensial bo’lish sharti 2.8 .1 -ta’rif. Agar 45 ector maydon uyurmasi sohaning hamma nuqtalarida nolga teng bo’lsa, bu maydon shu sohada potensial (yoki gradientli, yoki uyurmasiz) maydon deyiladi. Ta’rifga ko’ra potensial maydonning har bir nuqtasi uchun ya’ni (2.8 .1 ) (2.8 .1 ) ayniyatlar 45 ector maydonning potensiallik sharti bo’ladi. 2.8 .1 -ta’rif. Gradienti 45 ector maydonni vujudga keltiruvchi skalyar funksiya shu 45 ector maydonning potensial funksiyasi yoki potensiali deyiladi. Potensial maydon munosabat bilan ifodalanadi, bunda yoki . Agar fazoviy bir bog’lamli soha bo’lsa, u holda potensial maydondagi chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasdan, balki shu yo’lning boshlang’ich A hamda oxirgi B nuqtalarining koordinatalari ga bog’liq bo’ladi va funksiyaning shu nuqtalardagi orttirmasiga teng bo’ladi.Bu holda potensial funksiyani hisoblash formulasi quyidagicha bo’ladi: .3 1 1 0 2     BC dz z rda   , , ,0 ,0 : 2 2 k dz i dx rd k z j x a dy y CA             , 2dz z rda   .3 1 0 1 2     CA dz z rda   . 30 31 3 1 3 1 30 31     Г ) (M a  0  a rot . ; ; y P x Q x R z P z Q y R                ) , , ( z y x a ) , , ( z y x u a kz u j y u ix u u grad               0  a rot 0u grad rot  ) , , ( z y x u 46 (2.8 .2 ) bunda 2.8 .1 -m isol. 46 ector maydonning potensial maydon ekanligini isbotlang va uning potensialini toping. Yechish: Potens ial maydon ta’rifiga asosan (2.8.1 ) potensiallik shartini tekshiramiz: Demak, va berilgan maydon potensial maydon ekan. Endi uning potensialini toppish formulasidan foydalanib topamiz, M 0 nuqta sifatida koordinata boshi O(0,0,0) ni olamiz.U holda , bu yerda C – ixtiyoriy o’zgarmas son. ▲           B A x x y y z z dzz y x R dyz y x Q dxz y x P Rdz Qdy Pdx z y x u 0 0 0 , ) , , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( . // , // , // ), , , ( ,) , , ( ), , ( ), , , ( 0 0,0 0 0 0 Oz DB Oy CD Ox AC z y x B z y x D z y x C z y x A      ky x j z x iz y a       , ) , , ( , ) , , ( , ) , , ( y x z y x R z x z y x Q z y z y x P       ,1   y R ,1   z Q ,1   z P ,1   x R ,1   x Q ,1   y P 0a rot               x z y C yz xz xy dz y x dy x dx z y x u 0 0 0 ) ( )0 ( )0 0( ) , , ( 47 Xulosa Ushbu bitiruv malakaviy ishni o’rganish jarayonida quyidagi xulosalarga kelindi. Ma zkur bitiruv malakaviy ishda bir karrali, ikki karrali integral va uning matematikada tadbiqlari misollar keltirilgan holda o’rganildi. Vektorlar serk ulyatsiyasi hamda maydon rotori o’rganildi. Shuningdek Stoks fo rmulasini 47 ector ko’rinishi olindi. Vektor kattaliklar deverginsiyasi o’rganildi hamda Ostrogradskiy formulasini 47 ector ko’rinishi o’rganildi Skolyar va 47 ector kattaliklarni uch o’zgaruvchili funksiyalar orqali ifodalab va bu funksiyalarning gradient tushu nchasi, biror sirtdan o’tuvchi vektorlar oqimini karrali integrallar orqali ifodalanishi o’rganildi. Sirt tusunchasini, birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari va ularni hisoblashni, Stoks va Gauss -Ostrogradskiy formularini, maydonlar nazariyasining aso siy elementlarini hamda sirt integrallarining maydonlar nazariyas ida qo`llanilishini o’rgandim. 48 Foydalanilgan adabiyotlar ro`yxati : 1. Alimov S h.,Ashurov R. Matematik analiz. I, II, III –qism lar , darslik, -Toshkent: “Mumtoz so’z”, 2018. 2. Xudayberganov G., Vorisov A.K., Mansurov X.T., Shoimqulov B.A. Matematik analizdan ma’rizalar, I , II qismlar .T. “Voris -nashriyot”. 2010. 3. Азларов Т.А., Мансуров Х.Т. Математик анализ, 1, 2 қ. Т. “Ў қитувчи”. 1994, 1995. 4. Тер -Крикоров А.М., Шабунин М.И. – Курс математического анализа М.: «БИНОМ» 2015. 5. Демидович Б.П. Сборник задач по математическому анализу. М. «Наука». 1990. 6.Кудрявцев Л .Д .,КутасовА. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. –Сборник задач по математическом у анализу М. «Наука». 1986 том 1, 2, 3. 7. Fayzullayeva B, Vektor va tenzor analizi asoslari fanidan amiliyot mashg’ulotlari. Samarqand -2012.

1 О‘ZBЕKISTОN RЕSPUBLIKАSI ОLIY TА’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VАZIRLIGI SHАRОF RАSHIDОV NОMIDАGI SАMАRQАND DАVLАT UNIVЕRSITЕTI ABDUMAJIDOV HASAN JOLG’OSHEVICH SIRT INTEGRALLARINING MAYDONLAR NAZARIYASIGA TADBIQLARI 5130100 -M аtеm аtik а ta’lim y о‘n аlishl аr b о‘yi сhа bakalavr d аrаjаsini оlish u сhun MALAKAVIY BITIRUV ISHI Ilmiy r аhb аr: dots.B.Fayzullayeva SAMARQAND - 2024

2 M U N D A R I J A Kirish ……………………………………………………………… …………. 3 I bob. Sirt integrallari……………………………………………… ………... 5 1.1. Sirt tushunchasi va uning berilish usullari…………………… ………. 5 1.2. Birinchi tur sirt integrali va uni hisoblash …………………… ………12 1.3. Ikkinchi tur sirt integrali va uni hisoblash…………………… ………17 1.4. Birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari orasidagi bog‘lanish… …….20 1.5. Stoks formulasi. ……………………………………………… ………...22 1.6. Gauss -Ostrogradiskiy formulasi……………………….…… …………23 II bob. Maydonl ar nazariyasining elementlari ga sirt integrallarining tadbiqlari …………………… ………………………………………… …… .25 2.1. Skalyar maydonlar. Yo’nalish bo’yicha hosila. Gradient ta’rifi va xossalari………………………………………………………………… ……25 2.2. Vektor maydon, fizik kattaliklar maydoni, vekt or naychalari. ......................................................... ............................... ... 29 2.3. Vektor maydon oqimi va vector maydon divergensiyasi …………… .30 2.4. Gauss -Ostrogradski teoremasi ning vektor ko`rinishi ………… …… .35 2.5. Vektor maydonda chiziqli integral. Vektor maydon uyurmasi (rotori) ……… ………………………………………………………………………....38 2.6 . Solenoidal maydonlar, maydonning solenoidal bo`lish sharti ……… ..41 2.7.Vektor maydon sirkulyasiyasi va Stoks formulasi ning vektor ko`rinishi…………………………………… ……………. ………………… ...42 2.9. Potensial maydonlar, maydonning potensial bo`lish sharti ………. … 45 Xulosa……………………………………………………………………… .… 47 Foydalanilgan adab iyotlar ro`yxati…………………………………………. 48

3 Kirish Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy - tadqiqotlarni rivojlantirish chora - tadbirlari to‘g‘risida prezident qarorlari qabul qilindi. Shunga ko‘ra hozirda har bir sohada va hatto bog‘cha yoshidagi bolalarda ham matematik ongni rivojlantiri shga katta e’tibor qaratilmoqda. Ushbu bitiruv malakaviy ishi “Sirt integrallarining maydonlar nazariyasiga tadbiqlari” mavzusiga bag‘ishlangan bo‘lib, unda sirt integrallari haqida ko‘plab tushunchalarga ega bo‘li b, ularni hisoblash usullari to’liq o’rga nilgan hamda maydonlar nazariyasida sirt integrallari yordamida hisoblanadigan tushunchalar to’liq kiritilgan . Bitiruv malakaviy ish mavzusinig asoslanishi va uning dolzarbligi: Sirt tusunchasini, birinchi va ikkinchi tur sirt integrallari va ularni hiso blashni, Stoks va Gauss -Ostrogradskiy formularini, maydonlar nazariyasining asosiy elementlarini hamda sirt integrallarining maydonlar nazariyasida qo`llanilishini o`rganishdan iborat. Tadqiqot maqsadi va vazifalari: Ishda sirt haqida asosiy tushunchalar, I va II tur sirt integrallarini hisoblash, Stoks va Gauss -Ostrogradskiy formulalari o`rganiladi, maydonlar nazariyasining asosiy elementlari to`g`risida ma`lumotlarga ega bo`lib, sirt integrallarining maydonlar nazari yasida qo`llanilishini tadqiq qilishdan iborat. Tadqiqotda qo‘llanilgan uslublarning qisqacha tavsifi: Ishda matematik analizning aniq integrallarni va karrali integrallarni hisoblash usullari, analitik geometriyaning sirtlar haqidagi asosiy tushunchalar i, sirtlarni proeksiyalash va ular asosida sirt integrallarini hisoblash usullari yordamida maydonlar nazariyasining sirt bo`yicha vektor oqimi, Gaus -Ostrogradskiy formulasining vektor ko’rinishi , vektor oqimining fizik ma`nosi, vektor maydon sirkulyatsiya si, kuch maydonida bajarilgan ish, Stoks formulasining vektor ko’rinishi , solenoidli va potensialli maydonlar o`rganiladi Tadqiqot natijalarining nazariy va amaliy ahamiyati : sirt to`g`risidagi, sirt integrallari va ularni hisoblash to`g`risidagi, Sto ks va Gauss -Ostrogradskiy formulalari to`g`risidagi hamda maydonlar nazariyasining asosiy tusunchalari haqidagi nazariy ma`lumotlarga ega bo`linadi, har mavzudagi misollar yordamida tadqiqot natijalarining amaliy ahamiyati ochib beriladi. Tadqiqotning ilm iy yangiligi: Ishda sirt integrallari va ularni hisoblash usullarining maydonlar nazariyasi elementlarini hisoblashdagi ahamiyati katta ekanligi ko`rsatiladi.

4 Bitiruv malakaviy ish tarkibining qisqacha tavsifi: Ish kirish qismi, xulosa, ikki ta bob, o‘n ol tita bo`limlar va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat bo‘lib , u quyidagi mazmunda yoritilgan. I-bobda sirt integrallari , ularning xossalari, hisoblash usullari hamda va ularning tadbiqlari, Stoks va Gauss -Ostrogradiskiy formulalari keltirilgan bo`lib, u ettita bo`limdan iborat . Bu bobda keltirilgan tushuncha va tasdiqlar misollar yordamida yoritilgan. II -bobda maydonlar nazariyasining elementlari ga sirt integrallarining tadbiqlari qaral gan bo`lib, u to’qqiz bo`limdan iborat. Ularda skalyar va vektor maydon, yo’nalish bo’yicha hosila, gradient, vektor maydon oqimi, divergensiyasi, maydon sirkulyasiyasi, uyurmasi kabi tushunchalar o`rganilgan va misollar yordamida amaliy tadbiqlari ko`rsatilgan bo`lib, vektor maydon oqimi va Gauss - Ostrogradski teoremasi, vektor maydon oqimining fizik ma’nosi, solenoidal maydonlar, maydonn ing solenoidal bo`lish sharti, vektor maydon sirkulyasiyasi va Stoks formulasi, p otensial maydonlar, maydonning potensial bo`lish sharti kabi bo`limlardan iborat. Bu bobda Sto ks va Gauss –Ostrogradski formulalarining vektor ko`rinishi va ularning fizik masalalarga tadbiqlari misollar yordamida batafsil yoritilgan.

5 I BOB. SIRT INTEGRALLARI 1.1. Sirt tushunchasi va uning berilish usullari Sirtning berilish usullari. Chizma geometriyada sirtlari asosan analitik, kinematik va karkas usulida beriladi. Analitik usulda berilishi. Analitik geometriyada sirtlar bitta xususiyatga ega bo`lgan nuqtalar to`plami sifatida qaraladi. Sirtdagi biror ixtiyoriy A nuqtaning x, y, z koordinatalari orasidagi bog`lanish orqali undagi hamma nuqtalarga tegishli xususiyatni ifodalovchi tenglama sirtning tenglamasi deyiladi: 1) Sirtni funksiyaning grafigi sifatida aniqlaydigan oshkor ko`rinishda b erish mumkin:. 2) Sirt umumiy ko`rinishdagi oshkormas funksiya tenglamasi orqali berilishi mumkin: 3) Sirt parametrlari orqali berilishi mumkin, uni vektor orqali ifodalab, quyidagicha yozish mumkin: Sirtlarning analitik usulda berilishi ularning chizmalarini kompyuterda chizish, sirtlarning differensial xossalarini tekshirish, ularning yoyilmalarini aniq bajarish imkoniyatlarini beradi. Kinematik usulda berilishi. Biror chiziqning fazodagi uzluksiz harakatidan kinematik sirt hosil bo`ladi. Unda sirtning o`zi ham uzluksiz bo`ladi. Kinematik harakatning oddiy asosiy turlari: ilgarilanma, aylanma va bu ikki harakatnin g yig`indisidan hosil bo`lgan vintsimon harakatdir. 1.1.1 -ta`rif. Yasovchisining kinematik harakati natijasida hosil bo`lgan sirtga kinematik sirt deyiladi. Harakatning turiga qarab, ilgarilanma harakat natijasida hosil bo`lgan sirt tekis parallel ko`chir ish sirti , aylanma harakatdan hosil bo`lgan sirt aylanish sirti , vintsimon harakat natijasida hosil bo`lgan sirt vint sirti deb ataladi. 1.1. 2-ta`rif. Yasovchisining ma`lum yo`naltiruvchi bo`yicha doimo o`z - o`ziga parallel ravishda harakatlanishidan hos il bo`lgan sirt tekis parallel ko`chirish sirti deyiladi. Karkas usulda berilishi. Ba`zi bir sirtlarni aniq geometrik qonuniyatlar bilan berib bo`lmaydi.Bunday sirtlar shu sirt ustida yotuvchi bir nechta nuqtalar yoki chiziqlar bilan beriladi. 2 ) , (), , ( R y x y x f z     3 ) , (), , ( R y x y x f F     ( , ) r r u v 2 ), (),, ( ),, ( ),, ( R v u v uz z v uy y v ux x      

O'xshashlar

Maydon nazariyasi elementlari, ularning tadbiq etilishi
«e^-+e^+→μ^-+μ^+ jarayonni fundamental massali kvant maydonlar nazariyasi asosida effektiv kesimini hisoblash
Dielektriklarda fizik jarayonlar
MARGANES IONLAR IMPLANTATSIYA QILINGAN KREMNIY MONOKRISTALLARI SIRT MORFOLOGIYASINI ATOM KUCH MIKROSKOPI YORDAMIDA TADQIQ QILISH
Vektor maydoni xossalari va Stoks, Gaus-Ostragradskiy formulalari.