Ko’chish maydoni. Moddiy hosila. Chekli deformatsiya tenzori. Cheksiz kichik deformatsiyalar nazariyasi . Deformatsiyalarning birgalik tenglamalari REJA: 1. Deformatsiya nazariyasi. 2. Ko’chish vektori. 3. Jismning deformatsiyalangan holati. 4. Deformatsiyaning chiziqlimas tenzori va kichik burilish tenzori. Tayanch iboralar: Deformatsiyalar, ko’chish , deformatsiya tenzori, deformatsiyalangan holat, chiziqlimas tenzor. Deformatsiya nazariyasi. Ko‘chish vektori. Jismning deformatsiyalangan holati. Tashqi kuchlar ta’siri ostida jism o‘zining o‘lchamlarini va shaklini o‘zgartiradi, ya’ni deformatsiyalanadi. Faraz qilaylik, jism tutash muhit sifatida, boshlang‘ich holatda (tashqi kuchlar ta’sir etguniga qadar) uch o‘lchovli Evklid fazosida biror V hajmni egallasin (4.1- rasm). Jism ixtiyoriy nuqta sining (odatda fazo-ning shu nuqtasidan farq qilish uchun uni moddiy nuqta deb Dekart koordinatalari sistemasidagi koordinatalarini belgilaymiz. Ushbu M nuqtaning vaziyati n aniqlanadi va uning komponentalari xi lardan iborat bo‘ladi. Biror tashqi ta’sir natijasida jism nuqtalari ko‘chib biror yangi V' vaziyatni egallash. Bunda biror M (xi)∈V nuqta ko‘chish natijasida M '(xi')∈V (4.1-rasm) vaziyatni egallaydi. M (xi) moddiy nuqta- ning boshlang‘ich va oxirgi x 3 v w M o x 2 x 1 4.1-rasm.

vaziyatlarini tutashtiruvchi ⃗u=⃗M M ' vektori, M (xi) moddiy nuqtaning ko‘chish vektori deyiladi. Bunday ko‘chishda tutashlik gipotezasiga ko‘ra jism tutash muhitligicha qoladi. Shuning uchun V' soha nuqtalarining jismning boshlang‘ich V holatidagi moddiy nuqtalarning x1,x2,x3 koordinatalarining uzluksiz va bir qiymatli funksiyalari bo‘lishlari kerak: xi'=xi'(x1,x2,x3) (4.1) Ushbu xi' funksiyalari hamma xj(j=1,2,3) koordinatalar bo‘yicha uzluksiz hosilalarga ega va |∂xi '/∂xk|≠0 deb faraz qilamiz. Boshqacha aytganda, (4.1) tenglamalar sistemasini xi larga nisbatan yechish mumkin deb hisoblaymiz: xi=xi(x1',x2',x3') (4.2) U holda ⃗u ko‘chish vektorining ui komponentalari x1,x2,x3 larning funksiyalari sifatida ui= xi'− xi=xi'(x1,x2,x3)−xi=ui(xk) (4.3) yoki x1',x2',x3' larning funksiyalari sifatida ui= xi'− xi=xi'− хi(x1',x2',x3')=ui¿(xk') (4.4) Ma‘lumki, ko‘chishni yoki umuman jism harakatini (4.3) bilan boshlang‘ich x1,x2,x3 koordinatalar yordamida tavsiflash ushuli Lagrang usuli, x1',x2',x3' lar yordamida tavsiflash usuliga yoki (4.4) ga Eyler usuli deyiladi. Ikkinchi usuldan ko‘proq gidromexanikada foydalaniladi. Jismning V holatidan V' holatiga o‘tishida uning nuqtalarining orasidagi masofa o‘zgarmasdan qolsa, jismning bunday ko‘chishi bikr ko‘chish deyiladi. Agar jismning V holatdan V' holatiga o‘tishi uning nuqtalarining orasidagi masofalar o‘zgarishi natijasida sodir bo‘lsa, jismning yangi V' holati jismning deformatsiyalangan holati deyiladi. Agar jismning har bir nuqtasi uchun ui=ui(xk) funksiyalar ma’lum bo‘lsa, jismning deformatsiyalangan holati to‘liq aniqlanadi. Jismning deformatsiyalangan holatini aniqlovchi ui=ui(xk) funksiyalar chiziqli funksiyalar bo‘lsa, bunday deformatsiya bir jinsli deyiladi, unga mos keluvchi holat esa bir jinsli deformatsiyalangan holat deyiladi. Bu holda хi= хi+ui funksiyalar ham chiziqli bo‘lganligi sababli jismning V holatidagi ixtiyoriy to‘g‘ri chiziq yoki tekislik uning V' holatida yana to‘g‘ri chiziq yoki tekislikka o‘tadi. Bir jinsli bo‘lmagan deformatsiyalangan holatga ui=ui(xi) funksiyalar chiziqli bo‘lmaydi. Lekin bu holatda ham jism nuqtasining juda kichik atrofida deformatsiyalangan holatini bir jinsli deb hisoblash mumkin, ya’ni deformatsiyalanmagan jism М (xi) nuqtasining cheksiz kichik, kichik atrofidagi to‘g‘ri chiziqli moddiy elementlar (to‘g‘ri chiziq, tekislik va h.k.), deformatsiyalangan holatidagi М '(xi) nuqtaning cheksiz kichik atrofidagi to‘g‘ri chiziqli elementlarga o‘tadi. Ana shu mulohazalarga asoslangan holda deformatsiya tenzori tushunchasini kiritamiz.

Deformatsiya chiziqlimas tenzori . Faraz qilaylik, jism umumiy deformatsiyalangan (bir jinsli emas) bo‘lsin. Bunda uning boshlang‘ich V holati orasidagi masofasi |d⃗r|=ds bo‘lgan М (xi) va N(xi+dx i) ikki nuqtasi. V' deformatsiyalangan V' holatidagi М '(xi') va N'(xi'+dxi') nuqtalariga ko‘chadi. Natijada М va N nuqtalar bilan chegaralangan chiziqli ds=|d⃗r| elementi М ' va N' nuqtalar bilan chegaralangan chiziqli ds'=|d⃗r'| elementga almashadi. koordinat o‘qlariga ds elementning proyeksiyalari d⃗r vektorining dхi komponenelementnini d⃗r vektorining dхi'=dх i+du i komponentalariga teng. U holda ds 2= dx 12+dx 22+dx +32¿dх idx i (4.5) xuddi shunday ds¿= d xi'dxi'= (dx i+du i)(dx i+du i)= dx idx i+2dx i⋅du i+du idu i yoki ds¿=dx 2+2dx idu i+du idu i (4.6) keltirilgan formulalarda va 4.2 - rasmda vektorlarning orttirmalari kichik bo‘lganligidan ularning to‘liq diffe- rensiali bilan almashtirilgandir, ya’ni Δ⃗r~d⃗r; Δ⃗u~d⃗u ; Δx i= dx i. Vektor d⃗u ning du i komponentalari ( d⃗u - N nuqta- ning M nuqtaga nisbatan ko‘chish vektor) quyidagicha tpiladi: du i=d[ui(x1,x2,x3)]=∂ui ∂x1 dx1+∂ui dx 2 dx2+∂ui dx3 dx3=ui,jdx j (4.7) demak, du i⋅du i=du kdu k=ukidx iuk,jdx j=uk,iuk,jdx idx i x 3 ⃗u+d⃗u N' N d⃗u d⃗r d⃗r' M ⃗u M ' ⃗r ⃗r'

U holdads¿−ds 2=2dx idu i+du idu i=2dx i⋅ui,jdx j+uk,iuk,jdx idx j=(2ui,j+uk,iuk,j)dx idx j yoki ds¿−ds 2(2ui,j+uk,i⋅uk,j)dx idx j (4.8) Oxirgi (4.8) ifodaning chap tomoni skalyar miqdor. Shunga ko‘ra tenglikning o‘ng tomonidagi ifoda (ortonirmal bazisdagi 3к ta sonlar majmuasining rangi к ga teng tenzor ekanligi uchun) ikkinchi rang tenzordir. Bunda ui,j≠uj,i hamda uк,i⋅uк,j=uк,j⋅uк,i bo‘lganliklari uchun (ui,j) - simmetrik bo‘lmagan, (uк,i⋅uk,j) esa-simmetrik tenzorlardir. Yuqoridagi (4.7) formulaga asosan (ui,j) tenzorning komponentalari nisbiy ko‘chish vektori d⃗u ning d⃗ui komponentalarini aniqlaydi. Shuning uchun bu (ui,j) tenzor nisbiy ko‘chish tenzori deyiladi. Ushbu tenzorni simmetrik va antisimmetrik tenzorlarga ajratamiz ui,j=(ui,j+uj,i)/2+(ui,j−uj,i)/2. bundan ui,jdx idx j= 1 2(ui,j+uj,i)dx idx j (4.9) Chunki ixtiyoriy (tij) tenzori uchun kvadratik shakl 1 2(tij+uji)xixj=1 2(tijxixj+tjixixj)=1 2(tijxixj+tjixjxi)= (ikkinchi qo‘shiluvchida i va j lar gung indekslar bo‘lganliklari uchun j ni i ga, i ni esa j ga almashtirishga haqqimiz borligidan foydalanamiz) = 1 2(tijxixj+tijxixj)=tijxixj, ya‘ni tijxixj kvadratik shakl, (tij) teenzorini uning simmetrik tuzuvchisi 1 2(ti,j+ti,j) bilan almashtirilganda o‘zgarmaydi. Endi (4.9) ni (4.8) ga qo‘yamiz ds¿−ds2=(ui,j+uj,i+uk,iuk,j)dxidx j yoki ds¿−ds2=2eijdx idx j (4.10) buyerda eij=1 2(ui,j+uj,i+uk,i+uk,j). (4.11) Komponentalari (4.11) formulalar bilan aniqlanuvchi (eij) tenzori-ikkinchi rang simmetrik tenzordir. Ko‘chish vektori ⃗u ning komponentalaridan olingan hosilardan eij larning bog‘lanishi chiziqli emas. Shuning uchun (eij) deformatsiyaning chiziqlimas tenzori deyiladi. Ushbu tenzorning o‘zaro bog‘lanmagan olti komponentasini (4.11) ga asosan quyidagi tengliklar bilan aniqlanadi:

. 2 1 ; 2 1 ; 2 1 ; 2 1 ; 2 1 ; 2 1 3 3 1 3 3 2 1 2 3 1 1 1 3 1 1 3 31 3 3 2 3 3 2 2 2 3 1 2 1 2 3 3 2 23 2 3 1 3 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 12 2 3 3 2 3 2 2 3 1 3 3 33 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 2 22 2 1 3 2 1 2 2 1 1 1 1 11                                                                                                                                                                                     x u x u x u x u x u x u x u x u e x u x u x u x u x u x u x u x u e x u x u x u x u x u x u x u x u e x u x u x u x u e x u x u x u x u e x u x u x u x u e (4.12) Deformatsiyalarning chiziqlimas tenzorining matrisasi E=¿ ‖e11e12e13¿‖‖e21e22e23¿‖¿ ¿ ¿¿ (4.13) matrisasidan iborat. Deformatsiya chiziqlimas tenzori, ikkinchi rang tenzor sifatida, xuddi kuchlanish tenzori kabi, koordinat o‘qlarini burishda ers'= αriαsjeij (4.14) qonun bo‘yicha almashtiriladilar. Bu yerda αri -yangi xr' va eshi xi o‘lari orasidagi, αsj− x3' va xj o‘qlari orasidagi burchaklar kosinuslari. Koordinat o‘qlarini ixtiyoriy burish mumkin bo‘lganligi sababli (4.14) formulalar jismning berilgan nuqtasiga chiquvchi istalgan o‘zaro perpendikulyar r va s yo‘nalishlar bo‘yicha err' va ers' larni aniqlashga imkon beradi: err'=e11αr12+e22αr22+e33αr32+2e12αr1αr2+2e23αr2αr3+2e31αr3αr1, ers '=e11αr1αs1+e22αr2αs2+e33αr3αs3+e12(αr1αs2+αr2αs1)+ +e23(αr2αs3+αr3αs2)+331(αr3αs1+αr1αs3). (4.15) Demak, agar hamma koordinat tekisliklaridagi eij lar aniqlangan bo‘lsalar istalgan normali r va urinma s bo‘lgan maydoncha nuqtasidagi normal va urinma yo‘nalishlaridagi deformatsiyalarini va demak, ko‘chishlarini ham aniqlay olamiz.