matrisalar uslubiy

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1031 KB

Ko'chirib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ALISHER NAVOIY NOMIDAGI
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
Algebra va geometriya kafedrasi
MATRITSALAR ALGEBRASI
«Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish
uchun uslubiy tavsiyalar
« 5 460100 MATEMATIKA »
ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari uchun
(Uslubiy qo‘llanma)
SamDU o‘quv-uslubiy kengashi tomonidan
2011 yil ______da nashrga tavsiya etilgan.
Samarqand – 2011

Matrisalar algebrasi. «Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy
mashg’ulotlar o’tkazish uchun uslubiy tavsiyalar. . Uslubiy qo‘llanma. –
Samarqand: SamDU nashri, 2011. – 37 bet.
Ushbu uslubiy qo‘llanma « Algebra va sonlar nazariyasi » fani
bo‘yicha «5460100 – matematika» ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari va
«5A460100 – Matematik mantiq, Algebra va sonlar nazariyasi» mutaxassisligi
magistrantlari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, unda shu fanning namunaviy o‘quv
dasturidan kelib chiqib, matrisalar algebrasi ning usullariga oid qisqacha
nazariy ma’lumotlar, bu usullarning taqbiqiga oid namunaviy misollar
yechimlari, mustaqil ish topshiriqlari va boshqa tarqatma materiallar
keltirilgan. Bular talabalarga shu fanni yanada chuqurroq o‘ zlashtir ishga
yaqindan yordam beradi degan umiddamiz .
Tuzuvchilar: U.X. Narzullaev. A.S. Soleev
Mas‘ul muharrir fizika-matematika fanlari nomzodi,
dotsent Nosirova H.N.
Taqrizchilar : fizika-matematika fanlari doktori,
professor Ikromov I.A.
fizika-matematika fanlari nomzodi,
dotsent Yaxshiboyev M.Y.

Tayanch iboralar: matritsa; satr; ustun; matritsa elementlari; kvadrat
matritsa; matritsalar yig’indisi; matritsalarni transponirlash; qo’shma
kompleks matritsa; qo’shma ermit matritsa; nol matritsa; matritsaning izi;
diagonal matritsa; birlik matritsa; matritsaviy ko’phad; matritsa
kommutatori; matritsalarning Yordan ko’paytmasi; teskari matritsa;
matritsaning elementar almashtirishlari; teskarilanuvchi matritsa; xos
(maxsus) matritsa; xosmas (maxsusmas) matritsa; matritsaviy tenglama;
skalyar matritsa; unimodulyar matritsa; o’rin almashtirish matritsasi;
elementar matritsa; yuqori uchburchakli matritsa; pastki uchburchakli
matritsa; simmetrik matritsa; kososimmetrik matritsa; ermit matritsasi;
kosoermit matritsasi; ortogonal matritsa; unitar matritsa; manfiymas
matritsa; stoxastik (markov) matritsa; nilpotent matritsa; davriy ; blokli
(katakli) matritsa; matritsalarning (o’ng) Kroneker ko’paytmasi (yoki o’ng
to’g’ri ko’paytmasi).
1-§. Matritsalar ustida amallar
Sonlardan tuzilgan quyidagi to’g’ri burchakli jadvalga (tablisaga)
matritsa deb aytiladi:
.
Matritsaning gorizontal qatoridagi sonlari uning satrlari , vertikal
qatoridagi sonlari uning ustunlari deb aytiladi. a
ij sonlar matritsaning
elementlari deb aytiladi. Matritsa m ta satrlarga va n ta ustunlarga ega bo’lsa,
uni matritsa deb aytiladi. Agar bo’lsa, bunday matritsa n-tartibli
kvadrat matritsa deb aytiladi.
B matritsa A matritsa bilan sonning ko’paytmasidan iborat deb
aytiladi, agar ularning hamma elementlari uchun tenglik bajarilsa ( A
va B matritsalarning o’lchovlari bir xil) va deb belgilanadi.
Uchta A, B, C  matritsalar bir xil o’lchovli bo’lsin. C matritsa A va
B matritsalarning yig’indisi deb aytiladi va C = A + B deb belgilanadi, agar i
va j indekslarning hamma qiymatlari uchun tenglik bajarilsa.
Faraz qilaylik, -o’lchovli va -o’lchovli
matritsalar berilgan bo’lsin. Bu matritsalarning ko’paytmasi deb shunday

matritsaga aytiladiki, uning elementlari quyidagi formula bilan
beriladi:
.
B matritsa A matritsaga nisbatan transponirlangan matritsa deb
aytiladi va deb belgilanadi, agar B matritsaning ustunlari A
matritsaning mos satrlari bo’lsa, ya’ni hamma i, j indekslar uchun .
A matritsadan A T
matritsaga o’tish amali A matritsani transponirlash deb
aytiladi. Agar A matritsa o’lchovli bo’lsa, A T
matritsa o’lchovli
bo’ladi.
B matritsa A kompleks matritsaga nisbatan qo’shma kompleks matritsa
deb ataladi va deb belgilanadi, agar hamma i, j indekslar uchun
tenglik bajarilsa. B matritsa A matritsaga nisbatan qo’shma ermit matritsa deb
aytiladi va deb belgilanadi, agar hamma i, j lar uchun tenglik
bajarilsa.
A matritsa nol matritsa deb aytiladi, agar uning hamma elementlari 0
ga teng bo’lsa va A=0 deb belgalanadi. A matritsa indeksli birlik
matritsa deb aytiladi, agar bo’lib, qolgan elementlari nolga teng
bo’lsa.
elementlar n tartibli kvadrat matritsaning bosh
dioganalini tashkil qiladi va uning diagonal elementlari deb aytiladi.
Matritsaning diagonal elementlari yig’indisi A matritsaning izi deb aytiladi va
deb belgilanadi. Shunday qilib, .
Kvadrat matritsa diagonal matritsa deb aytiladi, agar uning diagonalida
bo’lmagan elementlari 0 ga teng bo’lsa, ya’ni , . n- tartibli diagonal
matritsa deb belgilanadi. Diagonal elementlari 1 ga teng
bo’lgan n- tartibli diagonal matritsa birlik matritsa deb aytiladi va E yoki E
n
deb belgilanadi. Birlik matritsaning elementlari deb belgilanadi: ,
Bizga - ko’phad berilgan bo’lsin.
matritsa A matritsadan ko’phad deb aytiladi va
deb belgilanadi.
1-m i s o l. Matritsalarning chiziqli kombinasiyasi topilsin:
■.
2-m i s o l. Matritsalarning ko’paytmasi topilsin:
.

Yechish. Matritsalarni ko’paytmasi formulasiga asosan quyidagi tenglik
kelib chiqadi:
■
3-m i s o l. Quyidagi matritsa bilan o’rin almashinuvchi hamma
matritsalar topilsin.
.
Yechish. Shunday X matritsa topishimiz AX=XA bo’lsin.
deb belgilaymiz. U holda
.
Bundan
.
Shunday qilib,

Bu sistemani yechib quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
, bu yerda va -ixtiyoriy
sonlar.
Izlanayotgan matritsa quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
, C .■
4-m i s o l. ni hisoblang, agar:
.
Yechish. Matritsaviy ko’phad ta’rifiga asosan quyidagi tenglikka ega
bo’lamiz:
.
M A S H Q L A R
1 . Matritsalarning chiziqli kombinasiyasi topilsin:
a) b)
c)

d) ; ye)
f)
2 . Qanday shartlarda quyidagi ayniyatlar o’rinli bo’ladi:
a) b) ;
c) ; d)
e) .
3 . Matritsalarning ko’paytamsi hisoblansin:
a) b) ; c) ;
d) ; e) ;
f) ; g)
h) ; i) ;
j) ; k) ;
l) m)
n) o) ,
bu yerda .
4 . A va B matritsalar qanday shartlarni qanoatlantirganda quyidagilar
o’rili bo’ladi:
a) AB ko’patma mavjud bo’ladi;
b) BA ko’paytma mavjud bo’ladi;
e) AB va BA ko’paytmalar mavjud bo’ladi.

5 . Ayniyatlarning to’g’riligini tekshiring ( A, B, C – matritsalar, –
son):
a) b) ;
s) ; d) ;
E) .
6 . Ko’paytmaning mavjudligini tekshiring va mavjud bo’lganda
hisoblang:
a) ; b) c) ;
d) .
7 . Hisoblang:
a) b) ; c)
d) e) f) ;
g) ; h) .
8 . Ayniyatlarning to’g’riligini tekshiring:
a) ; b)
c) ; d) .
9 . ( A va B matritsalarning kommutatori) matritsani
hisoblang, agar:
a) ;
b)
10 . Ayniyatlarning to’g’riligini tekshiring (9 misolga qarang):
a) b) ;
c) d) .
11 . matritsani hisoblang ( A va B matritsalarning
Yordan ko’paytmasi), agar:
a) ;
b)
12 . Ayniyatlarning to’g’riligini tekshiring:
a) ; b) ;
c) ; d) .

13 . f(A) ni hisoblang, agar
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) .
14 . Agar AB=BA shart bajarilsa, quyidagi tenglamalarning to’g’riligini
isbotlang:
a) b)
c)
d)
Agar bo’lsa, yuqoridagi tengliklar to’g’ri bo’ladimi?
15 . A matritsa bilan o’rin almashinuvchi bo’lgan hamma matritsalar
topilsin, agar:
a) b) c)
d) e)
f) bunda bo’lsa, .
16. p -tartibli skalyar matritsalar va faqat ular ixtiyoriy p -tartibli kvadrat
matritsa bilan o’rin almashinuvchi ekanligini isbotlang.
17 . Isbot qilingki,

18 . tenglikdan foydalanib,
ni hisoblang.
19 . tenglikdan
foydalanib, ni hisoblang.
20 . matritsa tenglamani
qanoatlantirishini isbotlang.
21 . Kvadrati birlik matritsaga teng bo’lgan ikkinchi tartibli matritsalar
topilsin.
22 . Kvadrati nol matritsaga teng bo’lgan ikkinchi tartibli matritsalar
topilsin.
2-§. Matritsalarni ko’paytirish bilan elementar
almashtirishlar orasidagi munosabat
Quyidagi uchta almashtirishlar matritsaning elementar almashtirishlari
deb aytiladi:
1) matritsaning biror satriga noldan farqli songa ko’paytirish;
2) matritsaning biror satrini songa ko’paytirib boshqa satriga qo’shish;
3) ikkita satrlarning o’rinlarini almashtirish.
Xuddi shunday uchta almashtirishlarni matritsaning ustunlari uchun
ham ta’riflash mumkin.

M A S H Q L A R
23 . Isbot qilingki, AB matritsaning k - ustuni A matritsa bilan B
matritsaning k - ustuni ko’paytmasiga tengdir.
24 . Matritsaning satrlari uchun 23-masalaga o’xshash masalani
ifodalang va uni isbot qiling.
25 . AB matritsaning k - ustuni koeffisiyentlari B matritsaning k - ustuni
elementlaridan iborat bo’lgan A matritsa ustunlarining chiziqli
kombinasiyasidan iborat ekanligini isbotlang.
26 . AB matritsaning satrlari uchun 25-masalaga o’xshash masalani
ifodalang va uni isbotlang.
27* . Isbot qiling:

a) agar A matritsaning ikkita satrlarining o’rinlari almashtirilsa, AB
matritsaning mos satrlarining ham o’rinlari almashadi;
b) agar A matritsaning k -ustuni soniga ko’paytirilsa, AB matritsaning
k -satri ham ga ko’paytiriladi;
c) agar A matritsaning k -satriga uning j -satrini qo’shsak, AB matritsa
bilan ham xuddi shunday elementar almashtirish bajariladi.
28 . matritsaning ustunlari uchun 27-masala hga o’xshash jumlalarni
ifodalab isbot qiling.
29* . Isbot qilingki, matritsa ikkita satrlarining o’zaro o’rin almashtirishi
uning satrlari ustida ketma-ket boshqa elementar almashtirishlar bilan
bajariladi: satrni noldan farqli songa ko’paytirish va biror satrini boshqa satrga
qo’shish.
30 . Ixtiyoriy A matritsa uchun ko’paytmani hisoblang ( bilan
mos tartibli birlik matritsaning i -satrini belgilang).
31 . Ixtiyoriy A matritsa va unga mos o’lchovli matritsaviy birlik
uchun quyidagi ko’paytmalarni hisoblang:
a) ; b) .
32* . A va B matritsalar shunday matritsalarki, ixtiyoriy a va b
ustunlar uchun (mos birlikka ega bo’lgan) tenglik o’rinlidir. A=B
tenglik o’rinli ekanligini isbotlang
33 . A – -o’lchovli matritsa , va - lar mos ravishda m va
n tartibli birlik matritsalar bo’lsa, tenglikni isbotlang.
34 . A – matritsani qanday matritsa ko’paytrish natijasida quyidagilar
hosil bo’ladi:
a) A matritsaning birinchi ustuni;
b) A matritsaning birinchi satri?
35 . Elementar matritsa K ni shunday tanlangki, A matritsadan KA
matritsa quyidagicha almashtirish natijasida hosil bo’lsin:
a) A matritsaning birinchi ikkita satrlari o’rin almashtirishdan;
b) birinchi satrni ikkinchi satrga qo’shishdan;
c) A ning birinsi satrini songa ko’paytirishdan.
36 . Elementar matritsa K shunday tanlab olinsinki, AK ko’paytma A
matritsadan ustunlarning berilgan elementar almashtirishi natijasida hosil
bo’lsin.
3-§. Teskari matritsa
A – matritsa n -chi tartibli kvadrat matritsa bo’lsin. A matritsa uchun
AB=BA=E tenglikni qanoatlantiruvchi B matritsa A ga teskari matritsa
deyiladi va u ko’rinishda belgilanadi. Teskari matritsa elementlarini

formula yordamida topish mumkin, bunda lar elementlarning
algebraik to’ldiruvchisidir. A matritsa teskarilanuvchi deb aytiladi, agar
, ya’ni A matritsa xosmas bo’lsa.
Har qanday xosmas A matritsani faqat satrlar (yoki faqat ustunlar)
elementar almashtirishlari yordamida birlik matritsaga keltirish mumkin.
Elementar almashtirishlarni xuddi shunday ketma-ketlikda E birlik matritsaga
tadbiq qilsak, teskari matritsa ni hosil qilamiz. A va E matritsalarni
chiziq yordamida qo’shni yozib ular ustida elementar almashtirishlarni bir
vaqtda bijarish juda qulaydir.
Teskari matritsani hisoblash matritsaviy tenglamalarni
yechish bir-biri bilan bog’langandir, bunda A, B – berilgan matritsalar, X, Y –
izlanayotgan noma’lum matritsalar. Agar A matritsa to’g’ri burchakli matritsa
yoki xosmas matritsa bo’lsa, matritsaviy tenglamalarni yechish X matritsaning
har bir ustuni yoki Y matritsaning har bir satri elementlari uchun hosil
bo’ladigan chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladi. Bu
tenglamalarni hosil qilish uchun tenglamaning har ikkala tomonidagi
matritsalarning mos elementlarini bir-biriga tenglashtirish lozim. Agar A
matritsa xosmas bo’lsa, matritsaviy tenglamalarning yechimlari qyidagi
formulalar yordamida topiladi:
.
1-m i s o l. Berilgan matritsa uchun teskari matritsa topilsin
Yechish. bo’lganligi uchun teskari matritsa A - 1
mavjud.
Matritsa elementlarining algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:
A
11 = 8, A
21 =- 29 , A
31 = 11 ,
A
12 = 5, A
22 =- 18 , A
32 = 7 ,
A
13 =- 1, A
33 = 3 , A
33 =- 1 .
Teskari matritsani topish formulasiga asosan bu algebraik
to’ldiruvchilarni (-1) ga bo’lib, teskari matritsani hosil qilamiz:
.■
2-m i s o l. Satrlarning elementar almashtirishlari yordamida teskari
matritsa A -1
ni toping
.
Yechish. Quyidagilarni hosil qilamiz:

Bunda R
i matritsaning i- satri.
Shunday qilib, teskari matritsa quyidagi ko’riniga ega bo’ladi:
.■
3-m i s o l. Quyidagi tenglamalardan X matritsani toping:
.
Yechish. va bo’lgani uchun A - 1
va B - 1
teskari matritsalar mavjud. Tenglamaning chap va o’ng tomonlarini chapdan
A - 1
ga, o’ngdan B - 1
ga ko’paytirsak, quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:
.
.
va bo’lganligi uchun kelib
chiqadi.
Bu tenglikka asosan X matritsani hisoblaymiz:
. ■
4-m i s o l. Har qanday qanday elementar almashtirishlar xosmas
matritsalarning ko’paytmasidan iborat ekanligini isbotlang.
Yechish. A matritsa satrlarining har qanday elementar almashtirishlari
A matritsani chapdan elementar matritsaga ko’paytirishdan iborat bo’lib, bu
elementar matritsani birlik matritsadan o’shanday elementar almashtirish
yordamida hosil qilish mumkin. Xosmas matritsani elementar almashtirishlar
yordamida birlk matritsaga keltirish mumkin. Shuning uchun quyidagiga ega
bo’lamiz:

bundan esa . matritsalar hamda
matritsalar ham elementar matritsalardir, ularni birlik matritsadan
satrlarning «teskari» elementar almashtirishi yordamida hosil qilish mumkin.
■
5-m i s o l. Berilgan matritsani elementar matritsalarning ko’paytmasiga
yoying: .
Yechish. To’rtinchi misolning yechimiga asosan bunda
matritsalar A matritsa satrlarining elementar almashtirishlariga
mos keladiki, uni birlik matritsaga keltiradi. matritsalarni tanlab
keyin larni topamiz. Bu jarayonni bitta qadamga kamaytirish
mumkinligini ko’rsatamiz. matritsani soddalashtiramiz.
Matritsaning ikkinchi satrini ga ko’paytirish A ni chap tomondan
matritsaga ko’paytirish bilan teng kuchlidir. Quyidagi tenglik hosil
bo’ladi:
(*)
B matritsa elementar matritsadir. Hisoblaymiz:
.
(*) tenglikning har ikkala tomonini chapdan S ga ko’paytirsak,
izlanayotgan yoyilma kelib chiqadi:
.■
6-m i s o l. A va B matritsalar satrlarining elementar almashtirishlari
yordamida A - 1
B ko’paytmani hosil qilish usulini keltiring.
Yechish. A va B matritsalarni ketma-ket yozamiz. ( AB ) matritsaning
satrlari bilan elementar almashtirishlarni bajaramiz. Bu almashtirishlar A
matritsani E matritsaga keltirsin. U holda bu almashtirishlar natijasida A
matritsa joyida E matritsa, B matritsa joyida A - 1
matritsa hosil bo’ladi.
Haqiqatdan ham, bo’lgani uchun bo’ladi. U
holda (4 misolga qarang).■
M A S H Q L A R
37 . To’g’ri burchakli matritsa teskarilanuvchi bo’ladimi?

38* . A –matritsa ikkinchi tartibli xos matritsa, m – natural son bo’lsin.
Shunday son mavjud bo’lib, tenglik hamma m lar uchun
bajarilishini isbotlang.
39 . kvadrat matritsa berilgan. A - 1
matritsa j- chi ustun
elementlari qanoatlantiruvchi tenglamalar sistemasini yozing.
40 . Teskari matritsani topish formulasidan foydalanib quyidagi
matritsalar uchun teskari matritsani toping:
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ;
h) ; i) ; j)
; k) ; l)
;
m) ; n) ;
o) ; p) .
41 . Elementar matritsaga teskari matritsa ham elementar matritsa
bo’lishini isbotlang.
42 . Quyidagi ayniyatlar o’rinli bo’ladimi?
a) ; b) ;
c) ; d) ;
e) ; f) .
43 . Berilgan matritsani elementar matritsalar ko’paytmasiga yoying:

a) ; b) ; c) .
44 . A matritsa uchun teskari matritsani toping, agar:
a) ; b) ; c) .
45 . Matritsaviy tenglamalar sistemasini yeching:
a) ; b) .
46 . bo’lsin. A matritsa xosmas matritsa ekanligini isbotlang
va A - 1
ni hisoblashning eng sodda usulini ko’rsating.
47 . Elementar almashtirishlar yordamida berilgan matritsa uchun teskari
matritsani toping:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) ;
g) ; h) ;
i) ; j) ;
k) ; l) .
48 . A, B matritsalar ustunlarining elementar almashtirishlari yordamida
AV -1
ko’paytmani hisoblash metodini asoslab ifodalang.
49 . bo’lsin. tenglikni isbotlang.
50 . A matritsa B matritsa bilan o’rin almashinuvchidir. Isbot qilish
lozimki, A - 1
matritsa B - 1
matritsa Bilan o’rinalmashinuvchi bo’ladi ( A va B
matritsalar teskarilanuvchidir).
51 . Quyidagi formula tekshirilsin: .
52 . va f(t) – ko’phad bo’lsin. tenglikni
isbotlang.

53 . A va C matritsalar xosmas matritsalar bo’lsin. Matritsaviy
tenglamalarni yeching:
a) AX=0 ; b) A(X+C)=B .
54 . Quyidagi tenglamalardan X matritsani toping:
a) ; b) ;
c) ; d) ;
e) ; f) ;
g) ; h) ;
i) ; j) ;
k) .
55 . Teskari A - 1
matritsa qanday o’zgaradi, agar berilgan A matritsada:
a) i -chi va j -chi satrlar joylari almashtirilsa?
b) i -chi satrni noldan farqli s soniga ko’paytirilsa?
c) j -chi satrni s soniga ko’paytirib, i -chi satriga qo’shsa yoki shunday
almashtirishni ustunlar ustida bajarsa?
4-§. Matritsalar bilan boshqa amallar.
Maxsus ko’rinishdagi matritsalar
Endi n –tartibli matritsaning ba’zi bir maxsus ko’rinishlarini qarab
chiqamiz: ) ( ija A 
skalyar matritsa :
) ,..., (   diag A  , 
– son;
unimodulyar matritsa: detA=1 ;
xos (maxsus)matritsa : detA=0 ;
xosmas (maxsusmas) matritsa: detA ≠ 0 ;
o’rinmalmashtirish matritsasi: A matritsa birlik matritsadan satrlarning
o’rinlarini almashtirishdan hosil bo’ladi;
elementar matritsa: A matritsa birlik matritsadan elemetar
almashtirishlar orqali hosil bo’ladi ;
yuqori uchburchakli matritsa:
0 
ij a agar j i ;
pastki uchburchakli matritsa:
0 
ij a agar ;
simmetrik matritsa : A T
=A ;

kososimmetrik matritsa : A T
=-A ;
ermit matritsasi : A N
=A ;
kosoermit matritsasi : A N
=-A ;
ortogonal matritsa : A T
=A - 1
;
unitar matritsa : A N
=A - 1
;
manfiymas matritsa: 0
ija
hamma i, j lar uchun;
Markov (stoxastik) matritsasi : 0 ija hamma i, j lar uchun va 

n
k ika
1
1
i=1, 2,…,n ;
nilpotent matritsa : k natural sonning qandaydir qiymatida A k
=0
(bunday k ning eng kichik qiymatiga A matritsaning nilpotentlik ko’rsatkichi
deb aytiladi);
davriy matritsa : k natural sonning qandaydir qiymatida A k
=E (bunday
k son A matritsaning davri deb aytiladi).
B matritsa katakli matritsa deb aytiladi, agar uning elementlari
j i n m 
o’lchovli B
ij matritsalardan iborat bo’lsa. bunda B matritsaning bitta satriga
qarashli bo’lgan hamma B
ij matritsalar bir xil balandlikka ega bo’ladi, B
matritsaning bitta ustuniga qarashli bo’lgan hamma B
ij matritsalar bir xil
enga ega bo’ladi. katakli matritsalar ustida bajariladigan amallar oddiy sonli
matritsalar ustida bajariladigan amallardan iborat. Agar A sonli matritsa
gorizontal va vertikal to’g’ri chiziqlar bilan B
ij kataklarga ajratilgan bo’lib,
tabiiy holda nomerlangan bo’lsa va bu kataklardan B=(B
ij ) katakli matritsa
tuzilgan bo’lsa, V matritsa A matritsadan kataklarga bo’lish natijasida hosil
bo’lgan deb aytiladi. B
ij matritsalarning elementlaridan tabiiy ravishda


j j
i i n m
o’lchovli sonli matritsani tuzish mumkin. bu holda A matritsa B
matritsa kataklarining birlashmasidan hosil bo’lgan deb aytiladi va A=B □
deb
yoziladi. Agar tushunmovchilik uchun asos bo’lmasa, □
belgisini qoldirib sonli
va katakli matritsalarni bir xil harflar bilan belgidash mumkin.
A =(a
ij ) va B – matritsalar, S=(s
ij ) – katakli matritsa
B a c ij ij tenglik
bilan hamma i, j lar uchun aniqlangan bo’lsin. S matritsa kataklarining
birlashmasidan hosil bo’lgan sonli matritsa A va B matritsalarning o’ng
kroneker ko’paytmasi deb aytiladi (yoki o’ng to’g’ri ko’paytmasi deyiladi ) va
A
 B deb belgilanadi.
1-m i s o l. A diagonal matritsa bo’lib, uning hamma diaganal
elementlari har xil bo’lsin va AB=BA . U holda B matritsa ham diaganal
ekanligini isbotlang.
Yechish. Bu tasdiqning to’g’riligini ikkinchi tartibli matritsa uchun
isbotlaymiz.






  






t z
y x
B d d
d
d
A , ,
0
0
2 1
2
1
bo’lsin. U holda

,
22 11





tdzd ydxd
AB






tdzd ydxd
BA2 1
2 1
.
AB=BA bo’lganligi uchun
y d y d
21  va z d z d
12  bo’ladi. bundan
esa
0 ) (,0 ) (
1221     z d d y d d , ya’ni 0 ,0   z y bo’ladi, chunki
0
21  dd
.
Xuddi shunday bu tasdiqni n -chi tartibli matritsalar uchun isbotlash
mumkin. ■
2-m i s o l. Har qanday n chi tartibli maxsusmas matritsa bilan o’rin
almashinuvchi matritsalarni toping.
Yechish. Dioganal matritsa diag(1, 2, …, n) maxsusmasdir. Bu
matritsadan foydalanib birinchi misolni qo’llasak, A matritsaning dioganalligi
kelib chiqadi. endi faqat A matritsaning hamma dioganal elementlari teng
ekanligini isbotlash qoladi. Agar A matritsa ikkinchi tartibli bo’lsa,





21
0 0


A
, uni chapdan va o’ngdan





 

0 1
1 0
S matritsaga
ko’paytiramiz. AS va SA matritsalarni tenglashtirib
21
  
tenglikni hosil
qilamiz. Xuddi shunday ixtiyoriy tartibli A dioganal matritsa uchun S ni
tanlab A matritsaning har qanday ikkita dioganal elementlarining tengligini
tekshiramiz. ■
3-m i s o l.





00
i i
A
matritsa ermit matritsasidir, chunki







 
0
0
i
i
A A
TH
. ■
4-m i s o l. matritsa o’rinalmashtirishmatritsasidir, chunki
bu matritsa birlik matritsadan 1-,2- chi va 3-, 4- chi satrlarning o’rinlarini
almashtirishdan hosil bo’ladi. ■
5-m i s o l.






1
1
2
1
i
i matritsa unitar matritsadir, chunki







   
1
1
2
1 1
i
i A A H
. ■
6-m i s o l. Agar A matritsa yuqori uchburchakli bo’lsa va uning hamma
dioganal elamentlari noldan farqli bo’lsa, A - 1
matritsa mavjudligini va yuqori
uchburchakli matritsa ekanligini isbotlang.
Yechish. Teskari matritsani ( A | E ) matritsadan satrlarning elementar
almashtirishlari yordamida izlaymiz. soddalashtirish prosessini oxirgi satrdan
boshlaymiz. bunda A va E matritsalarning bosh dioganaldan pastda joylashgan

elementlari o’zgarmaydi. natijada birlik matritsadan yuqori uchburchakli
matritsa hosil bo’ladi. ■
7-m i s o l. 




 

 
 
cos sin
sin cos
A matritsa ortogonal matritsadir,
chunki 1
cos sin
sin cos
 






 A AT
 
 
. ■
8-m i s o l.








1 1
1 1 matritsa nilpotentdir va uning nilpotentlik
ko’rsatkichi 2 ga teng, chunki bu matritsaning kvadrati nol matritsadir. ■
9-m i s o l. matritsa davriy matritsadir va uning davri 2 ga teng,
chunki uning kvadrati birlik matritsaga tengdir.
10-m i s o l. matritsa stoxastik matritsadir. ■
11-m i s o l. Œrinalmashtirish matritsasi davriy matritsa ekanligini
isbotlang.
Yechish. Faraz qilaylik, A - o’rin almashtirish matritsasi bo’lsin.
Mumkin bo’lgan barcha A k
matritsalarni qaraymiz. Tekshirish mumkinki,
o’rinalmashtirishlar matritsalarning ko’paytmasi yana o’rin almashtirish
matritsasi bo’ladi. Har xil o’rinalmashtirishlar matritsalarning bir xil tartibga
ega bo’lgan matritsalari soni cheklidir. Shuning uchun shunday p, q natural
sonlar mavjudki, q>p va bo’ladi. Bundan esa kelib chiqadi.
■
12-m i s o l. Berilgan A va B matritsalarni bloklarga ajratib AB
ko’paytmani toping.






























0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
,
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
B A
.
Yechish. Berilgan A va B matritslarani bloklarga quyidagicha
ajratamiz. Bu matritsalarni blokli matritsalarni ko’paytirish qoidasiga asosan
ko’paytirsak:






























0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
,
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
B A
.

quyidagi matritsa hosil bo’ladi 















0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
АВ . ■
13-m i s o l. Agar N =






E
A E
0 blokli matritsa bo’lsa, (N □
) - 1
matritsa
topilsin.
Yechish.
0 det   E H bo’lganligi uchun teskari matritsa mavjud.
algebraik to’ldiruvchilarni hisoblamaymiz.
E A A A A E A     
22211211 , ,0 , .
bundan esa (N □
) - 1
=





 
E
A E
0 kelib chiqadi. ■
14-m i s o l. A va B matritsalarning kroneker ko’paytmasini
hisoblang.






 






4 3
2 1
,
9 5
5 3
B A
.
Yechish. Kroneker ko’paytmasining ta’rifiga asosan quyidagiga ega
bo’lamiz:

















































 
36 27 20 15
18 9 10 5
20 15 12 9
10 5 6 3
4 3
2 1 9 4 3
2 1 5
4 3
2 1 5 4 3
2 1 3
B A
. ■
M A S H Q L A R
56 . A, B – bir xil tartibli diagonal matritsalar, α – son bo’lsin. isbot
qilish lozimki,
BA AB B A A , , ,   matritsalar ham diagonal matritsalardir va
AB=BA .
57 .
) ,..., ( 1 n diag A    bo’lsin. Isbot qilish lozimki:
1) BA matritsaning ustunlari V matritsaning ustunlarini
n  ,...,1
sonlarga ko’paytirishdan hosil bo’ladi;
2) AB matritsaning satrlari B matritsaning satrlarini
n  ,...,1 sonlarga
ko’paytrishdan hosil bo’ladi.
58 . A – diagonal matritsa, f(t) – ko’phad bo’lsin. u holda f(A) matritsa
ham diagonal matritsa ekanligi isbotlang.

59 . A matritsa diagonal matritsa bo’lib, uning hamma dioganal
elementlari har xil bo’lsin. va AB=BA . U holda B matritsa ham diagonal
matritsa ekanligi isbotlang.
60 . A matritsa ixtiyoriy n -tartibli dioganal matritsa bilan
o’rinalmashinuvchi bo’lsin. A matritsa n -tartibli dioganal matritsa ekanligini
isbotlang.
61* . A matritsa hamma n -tartibli matritsaviy birliklar bilan
o’rinalmashinuvchi bo’lsin. A matritsa skalyar matritsa ekanligini isbotlang.
62* . A matritsa n -tartibli har qanday matritsa bilan o’rinalmashinuvchi
bo’lsin. A matritsa skalyar matritsa ekanligini isbotlang.
63 . Berilgan matritsalarga qo’shma ermit matritsalar topilsin:
a) 





i
i
1
1 ; b)






 1
5
i
i ; c)






 

i i
i
2 1 2
1 ; d)








2 1 1
3 2 1
i
i .
64 . Ayniyatlarning to’g’riligini tekshiring:
a) HHH
B A B A    ) (
; b)   H H A A    ;
c)
  A A H H  ; d) HHH A B AB  ) (
; e) HH A A ) ( ) ( 11  
.
65 . Berilgan ikkinchi tartibli matritsalar dioganal, skalyar, uchburchakli,
simmetrik, kososimmetrik, ermit, kosoermit, unitar, ortogonal yoki
o’rinalmashtirish matritsalari ekanligini aniqlang:
a)






 i
i
1
1 ; b)




11 11
; c)








3 1
1 1
i
i ; d)






 1
5
i
i ;
e)






1 0
0 1 ; f)






4 1
0 4 ; g)






 0 2
2 0 ; h)





 
1 1
1 1
2
1 .
66 . Isbot qilingki:
a) kososimmetrik matritslarning hamma dioganal elementlari nolga
teng;
b) ermit matritsasining dioganal elementlari haqiqiydir;
c) kosoermit matritsaning dioganal elementlari mavhum sondir;
67 . Isbot qilish lozimki:
a) agar A ermit matritsasi bo’lsa, iA – kosoermit matritsasidir;
b) agar A kosoermit matritsasi bo’lsa, iA ermit matritsasidir.
68 . a) ikkinchi tartibli ermit matritsalarning umumiy ko’rinishi topilsin;
b) ikkinchi tartibli kosoermit matritsalarning umumiy ko’rinishi
topilsin;
c) hamma ikkinchi tartibli o’rinalmashtirishlarning matritsalarini
ko’rsating.
69 . Agar A diagonal matritsa bo’lib, uning hamma dioganal elementlari
noldan farqli bo’lsa, teskari A - 1
matritsa mavjud va dioganal matritsa
ekanligini isbotlang.

70 . Agar A – maxsusmas simmetrik matritsa bo’lsa, A - 1
ham simmetrik
matritsadir.
71 . Agar A – maxsusmas kososimmetrik matritsa bo’lsa, A - 1
ham
kososimmetrik matritsadir.
72 . Agar A – ortogona matritsa bo’lsa, A - 1
matritsa mavjud va
ortogonaldir.
73 . Agar A – unitar matritsa bo’lsa, A - 1
mavjud va unitardir.
74 . Agar A – o’rinalmashtirish matritsasi bo’lsa, A - 1
matritsa mavjud va
u ham o’rinalmashtirish matritsasi bo’ladi.
75 . Quyidagi matritsalar ortogonal ekanligini isbotlang va ularga teskari
matritsani toping:
a) 

















2 3
1
2
1
3
2
2 3
4 0
3
1
2 3
1
2
1
3
2 ; b)




 
51
0
52 102
21
101 102
21
101
;
c)


















6
1
3
1
2
1
6
2
3
1 0
6
1
3
1
2
1 ; d)




  
10 1
21
21
102 102
21
21
101 101
21
21
102 102
21
21
101
.
76 . Quyidagi matritsalar unitar ekanlini isbotlang va ularga teskari
matritsani toping:
a)






 0
0
i
i ; b)





0101 1010 00 00
21 ii ii
.
77 . A va B – matritsalar yuqori uchburchakli matritsalar bo’lsin. AB
matritsaning elementlarini A va B matritsalarning elementlari orqali
ifodalang.
78 . A va B – matritsalar yuqori uchburchakli matritsalar bo’lsin. U
holda A+B va AB – matritsalar ham yuqori uchburchakli matritsalar
ekanligini isbotlang.
79 . A va B matritsalar simmetrik matritsalar bo’lsin. Isbot qilish
lozimki:
a) A+B – simmetrik matritsadir;

b) har qanday k natural son uchun A k
– simmetrik matritsadir N k ;
c) AB matritsa simmetrik matritsa bo’lishi uchun A va B matritsalar
o’rin almashinuvchi bo’lishi zarur va yetarlidir.
80 . A va B – matritsalar kososimmetrik matritsalar bo’lsin. isbot qilish
lozimki:
a) A+B – kososimmetrik matritsa;
b) k toq son bo’lganda A k
– kososimmetrik matritsadir va k juft son
bo’lganda
s) AB matritsa simmetrik bo’lishi uchun A va B matriyalar
o’rinalmashuvchi bo’lishi zarur va yetarlidir;
d) A va B matritsalarning ko’paytmasi kososimmtrik matritsa
bo’lishining yetarli va zarur shartlarini ifodalang va ularni isbotlang.
81 . A – ixtiyoriy kvadrat matritsa bo’lsin. A + A T
va AA T
matritsalar
simmetrik, A - A T
matritsa kososimmetrik ekanligini isbotlang.
82 . Ixtiyoriy kvadrat matritsani simmetrik va kososimmetrik matritsalar
yig’indisi ko’rinishida ifodalash mumkinligini isbotlang. Bunday yoyilma
yagona bo’ladimi?
83 . Berilgan matritsalarni simmetrik va kososimmetrik matritsalar
yig’indisiga yoying:
a)








8 12
3 4 ; b)








1 1
1 1 ; c)





200 210 220
.
84 . Faraz qilaylik, S – xosmas matriya bo’lsin va
B AS ST  bo’lsin.
isbot qiling simmetriklik va kososimmetrik xossalarning har biri A va B
matritsalar uchun bir vaqtda bajariladi (ya’ni biror xossa A matritsa uchun
bajarilsa, B matritsa uchun ham bajariladi va aksincha).
85 . Har qanday haqiqiy ermit matritsasi simmetrik matritsa ekanligini
isbotlang.
86 . A va B matritsalar ermit matritsalari bo’lsin. Isbot qilingki:
a) A+B matritsa ermit matritsasidir;
b) AB matritsa ermit matritsasi bo’lishi uchun A va B matritsalar
o’rinalmashinuvchi bo’lishi zarur va yetarlidir.
87 . A – ermit matritsasi va A+B=iC bo’lsin, bunda B va C matritsalar
haqiqiydir. Isbot qilingki, B – simmetrik matritsa, C – kososimmetrik
matritsadir.
88 . Har qanday kvadrat matritsani ermit va kosoermit matritsalar
yig’indisiga yoyish mumkinligini isbotlang. Bunday yoyilma yagonami?
89 . Haqiqiy unitar matritsa ortogonal matritsa ekanligini isbotlang.
90 . Agar A va B matritsalar ortogonal bo’lsa, AB ortogonal
ekanligini isbotlang.
91 . Agar A va B matritsalar unitar bo’lsa, AB unitar ekanligini
isbotlang.

92 . Agar A – ortogonal matritsa bo’lsa, uning ixtiyoriy satr elementlari
kvadratlarining yig’indisi 1 ga teng, ikkita har xil satrlarining mos elementlari
ko’paytmalarining yig’indisi 0 ga teng ekanligini isbotlang. Bu xossalar
aniqlovchi bo’ladimi?
93 . Ortogonal matritsaning ustunlari uchun 92 masalaga o’xshash
xossalarini ifodalang va uni isbot qiling.
94 . Unitar matritsa uchun 92 va 93 masalalar xossalariga o’xshash
xossalarni ifodalang va ularni isbot qiling.
95* . O’rinalmashtirish matritsasi ortogonal ekanligini isbotlang.
96. A va B – o’rinalmashtirishlar matritsasi bo’lsa, AB ham
o’rinalmashtirish matritsasi ekanligini isbotlang.
97 . A matritsa dioganal va ortogonaldir. uning dioganal elementlari 
i
haqida nima atish mumkin?
98 . Berilgan matritslar davriy, nilpotent yoki stoxastik ekanligini
tekshiring, ularning davri, nilpotentlik ko’rsatkichini toping:
a)






1 1
1 1
2
1 ; b)





 
 
 
cos sin
sin cos ; c)










0 1 0
1 0 0
0 0 1 ;
d)










   3 2 1
4 2 1
1 2 1 ; e) ; f) ;
g) ; h)




 
0001 0010 0100 1000
; i)




 
0010 0001 1000 0100
;
j)




 
0110 0110 1001 1001
; k)




1222 2122 2212 2221
71
; l)




00...000 10...000 .................. 00...100 00...010
.
98–106 masalalarda ifodalangan kvadrat matritsalarning xossalarini
tekshiring.
99 . Nilpotent matritsa doimo xos matritsadir, davriy matritsa xosmasdir.

100 *. Agar A – ikkinchi tartibli nilpotent matritsa bo’lsa, 0 2 А
bo’ladi.
101 . Uchburchakli matritsa nilpotent bo’lishi uchun uning hamma
dioganal elementlari nolga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.
102*. Agar A va B matritsalar nilpotent va o’rinalmashuvchi bo’lsa,
A+B va AB matritsalar nilpotentdir.
103 . Agar A va B matritsalar davriy va o’rinalmashtiruvchi bo’lsa,
AB – davriy matritsadir. uning birorta davrini A va B matritsalarning
davrlari orqali ifodalang.
104* .
0 ... 1     E A Amm
bo’lsin. A – matritsa davriy ekanligini
isbotlang.
105 . A matritsa bir vaqtda unitar va ermit matritsasi bo’lsin. A matritsa
davriy ekanligini isbotlang.
106 . S – xosmas matritsa va
BASS  1
bo’lsin. U holda A va B
matritsalar uchun davriylik va nilpotentlik xossalarning har biri bir vaqtda
bajariladi (ya’ni agar bu xossalar A matritsa uchun bajarilsa, B matritsa
uchun ham bajariladi va aksincha).
107 . Agar A va B matritsalar nomanfiy bo’lsalar A+B, AB –
matritsalar ham nomanfiydir.
108 . I – ustun birlardan iborat bo’lsin va A matritsa nomanfiy bo’lsin.
AI=I – shart A matritsaning stoxastikligining yetarli va zaruriy sharti
ekanligini isbotlang.
109 . Agar A va B matritsalar stoxastik bo’lsa, AB ham stoxastik
matritsa ekanligini isbotlang.
110 . A matritsa stoxastik bo’lsin. A - 1
matritsa mavjudmi? Agar A - 1
mavjud bo’lsa. stoxastik bo’ladimi?
111 . Qaysi holda stoxastik matritsa ortogonal bo’ladi?
112 . Ayniyatlarni isbotlang:
a)
trB trA B A tr    ) ( ; b) trBA trAB  .
113* . A – uchburchakli matritsa, m – natural son bo’lsin. A m
matritsaning izi topilsin.
114 . A – ixtiyoriy matritsa bo’lsin. H isoblang:
a)
) ( A A tr T
; b) ) ( A A tr Н
; c) agar ) ( A A tr Н
= 0 bo’lsa, A = 0
ekanligini isbotlang.
115 . Agar A – ikkinchi tartibli nilpotent matritsa bo’lsa, trA = 0
bo’lishini isbotlang.
116 . AB – BA = E tenglikni qanoatlantiruvchi A va B matritsalar
mavjud emasligini isbotlang.
117 . A va B – matritsalar ikkinchi tartibli katakli matritsalar bo’lsin. bu
matritsalarni ko’paytirish mumkinligi shartlarini ifodalang. Agar AB
ko’paytma mavjud bo’lsa, (AB) □
= A □
B □
ekanligini isbotlang.

118 . A va B – matritsalar ikkinchi tartibli yuqori katakli uchburchakli
matritsalar bo’lsin va AB ko’paytma mavjud bo’lsin. A □
B □
matritsani
hisoblash formulasini keltirib chiqaring.
119 . A – ikkinchi tartibli katakli matritsa bo’lsin, B – katakli matritsa
ikkita katakdan iborat bo’lgan ustun bo’lsin.
a) AB ko’paytma mavjud bo’lishi shartlarini ifodalang.
b) agar AV mavjud bo’lsa, (AB) □
= A □
B □
ekanligini isbotlang.
c) A □
B □
ko’paytmani hisoblash formulasini keltirib chiqaring.
120 . A va B – matritsalar katakli dioganal matritsalar bo’lsin. shunday
shartlarni ifodalangki, ular bajarilganda:
a) AB ko’paytma aniqlangan bo’lsin;
b) (AB) □
= A □
B □
;
c) AB va BA ko’paytmalar aniqlangan bo’lsin;
d) AB=BA .
121 . Ayniyatlarning to’g’riligini tekshiring:
a) (A+B) □
= A □
+B □
; b) (AB) □
= A □
B □
,
bunda A va B matritsalar ixtiyoriy katakli matritsalar.
122 . Berilgan matritsalarni kataklarga ajratib matritsalar ko’paytmasini
hisoblang:
a)









1000 2100 3210 4321
0100 1000 0001 0010
;
b)









1000 2100 1210 0121
1000 2100 3210 4321
;
c)








 
4321 3000 2000 1000
2000 0336 0202 0132
;

d)




 




0010 0021 1012 2101
1100 1100 1101 1111
;
e)








32100 22100 11100 00043 00021
32100 22100 11100 66643 55521
.
123 . (N □
) -1
matritsani toping, agar N – quyidagi ko’rinishdagi katakli
matritsa bo’lsa:





C BA
H
0 , bunda A va C matritsalar teskarilanuvchidir.
124 . E – r -tartibli birlik matritsa, D – ixtiyoriy r×s o’lchovli matritsa,
o, b, x – ustunlar bo’lsin. Tenglamani yeching:
a) (ED) □
x = 0 ; b) (ED) □
x = b .
125 . Matritsalarning kroneker ko’paytmasi hisoblansin:
a) 












2
4
9 5
5 3 ; b)












 9 5
5 3
2
4 ; c)












1
1
4 3
2 1 ;
d)












4 3
2 1
1
1 ; e)












9 5
5 3
4 3
2 1 ; f)












2 1
1 1
1 0
1 1 .
126 . a=(a
1 …a
n ), b=(b
1 …b
m ) T
bo’lsin. a
 b, b  a larni hisoblang va ba
bilan taqqoslang.
127 . Quyidagi ayniyatlarning to’g’riligini tekshiring:
a)
  ) ( B A B A      ;
b)
  C B C A C B A       ;
c)
  C A B A C B A       ;
d)
  C B A C B A      ) ( ;
e)
) )( ( D B C A CD AB     ;
f)
  1 1 1       B A B A .

JAVOBLAR
IV bob. Matritsalar
1-§
1 . a) 0; b) ; c) ; d) ; e) ;
f) .
2 . a), b), d) lar o’rinlidir, agar matritsalar bir xil o’lchovli bo’lsa; c),
e) lar doimo o’rinli.
3 . a) (-1); b) ; c) ; d) (1 1); e) ;
f) ; g) ; h)(6, 9, 12); i) ; j) E ; k) ;
l) ; m) ; n) ;
o) .
4 . a) A ning bo’yi V ning balandligiga teng; b) A ning bo’yi V ning
bo’yiga teng;
c) A ning bo’yi V ning bo’yiga teng, A ning balandligi V ning bo’yiga
teng.
5 . Ayniyatlar to’g’ridir, agar ularda foydalanilgan amallar bajarilsa.
6 . a) mavjud emas; b) ; c) ; d) .
7 . a) ; b) ; c) ; d) 0 agar n > 1
bo’lsa;
e) ; f) ; g) ; h) E.

8 . b), c), d) lar o’rinli, agar ularda foydalanilgan amallar bajarilsa; a)
doimo o’rinlidir.
9 . a) ; b) 0.
11 . a) ; b) .
13 . a) 0; b) 0; c) 0; d) - E ; e) ; f) ; g)
0.
14 . Yo’q.
15 . a) ; b) ;
c) ; d), e) ;
f) diagonal matritsalar.
18 . .
19 . .
21 . ± E yoki , bunda a 2
+ bc = 1.
22 . , bunda a, b, c – lar ixtiyoriy sonlar va a 2
+bc = 0 tenglikni
qanoatlantiradi.
2-§
24 . AB matritsaning k -satri A ning k -ustuni bilan B matritsaning
ko’paytmasiga teng.
26 . AB matritsaning k -ustuni A ning k -satri koeffisiyentlari bilan B
matritsa satrlarining chiziqli kombinasiyasiga teng.
27 . Ko’rsatma : 24-masalaga qarang.
28 . a) B matritsaning ikkita ustunlarining o’rinlari almashsa, AB ning
ham mos ustunlarining o’rinlari almashadi. b) agar B matritsaning k -ustuni λ
songa ko’paytirilsa, AB ning ham k -ustuni λ songa ko’paytiriladi c) agar B
ning i -chi ustuniga j -chi ustunini qo’shsak, AV matritsa ustida ham xuddi
shunday elementar almashtirish bajariladi.
29 . Ko’rsatma : ikkita elementdan iborat ustun uchun almashtirishlar
quyidagichadir:

.
30 . , agar .
31 . a) shunday matritsaki, uning hamma satrlari nollardir i -chi satrdan
tashqari va uning o’rnida j -chi satr joydashgandir; b) shunday matritsaki,
uning hamma ustunlari nollardir, j - chi ustundan tashqari va uning o’rnida i -chi
ustun joylashgandir.
32 . Ko’rsatma. a va b lar sifatida birlik matritsaning mumkin bo’lgan
barcha ustunlarini olish lozim.
34 . a) A matritsani o’ngdan ustunga ko’paytirish
kerak; b) A matritsani chapdan satrga ko’paytirish kerak.
35, 36 . K matritsa E matritsadan xudi shunday elementar almashtirish
yordamida kelib chiqadi.
3-§
38 . Ko’rsatma . Agar bo’lsa, bo’ladi.
39 .
yoki matritsaviy shaklda , bunda – E matritsaning j – chi ustuni.
40 . a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) ;
g) ; h) ; i) ;
j) ; k) ;
l) ;

m) ;
n) ; o) ;
p) ;
42 . f) tasdiq umumiy holda noto’g’ridir.
43 . mumkin bo’lgan javoblarning bittasini keltiramiz.
a) ;
b) ; c) .
44 . a) ; b) ; c) agar detA =0 bo’lsa, A - 1
mavjud
emas, agar bo’lsa, .
45 . a) ;
b) , bunda X – ikkinchi tartibli ixtiyoriy matritsa.
46 . .
47 . a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f)
;
g) ; h) ;
i) ; j) ;
k) ; l) .
48 . matritsaning ustunlari bilan B ni E ga o’tkazadigan elementar
almashtirishlar bajaramiz. Natijada A matritsa o’rnida AB - 1
matritsa hosil
bo’ladi.
53 . a) 0; b) A - 1
B - C .
54 . a) ; b) ; c) ; d) ;
e) yechimlar mavjud emas; f) bunda a va b ixtiyoriy sonlar;
g) , a, b, c – lar ixtiyoriy sonlar;
h) ; i) ; j) yeichmlar mavjud emas;

k) .
55 . a) i -chi va j - chi ustunlarning o’rinlari almashadi;
b) i -chi ustun songa ko’paytiriladi;
c) j -chi ustundan i - chi ustunning s soniga ko’paytmasi ayriladi.
4-§
61 . Ko’rsatma . 60chi masaladan foydalaning.
62 . 61-masalaga qarang.
63 . a) ; b) ; c) ; d) .
65 . a) kosoermit; b) simmetrik; s), d) ermit; h) ortogonal; e) diagonal;
f) uchburchakli; g) kososimmetrik.
68 . a) ; b) , bunda a, b, c, d – ixtiyoriy
haqiqiy sonlar; c) , .
75 . Teskari matritsa berilgan matritsaga ermitli qo’shma matritsadir.
76 . Teskari matritsa berilgan matritsaga ermitli qo’shma matritsadir:
a) ; b) .
77 . bo’lsin. U holda S ning bosh
dioganalida , qo’shimcha dioganalida: , m -
chi qo’shimcha dioganalida:
.
Bosh dioganalining pastida nollar.
80 . d) AV = - VA .
82 . Yoyilma yagonadir: .
83 . a) ; b) ;
c) .
88 . Yoyilma yagonadir: .
92 . Bu xossalar matritsaning ortogonalligini ta’minlaydi.

95 . Ko’rsatma . 92-masalada ifodalangan ortogonal matritsalarning
xossalarini tekshiring.
96 . Ko’rsatma . Chap tomondan o’rinalmashtirish matritsasiga
ko’paytirish ko’paytuvchi matritsada satrlarning o’rinlarini almashtirishga
teng kuchlidir.
97 . Diagonal elementlari 1 ga yoki -1 ga teng.
98 . a), c), k) stoxastikdir; d), f), g), j), e) nilpotentlik darajasi mos
ravishda 3, 2, 2, 3, n ga teng nilpotent matritsadir; s), h), i) davrlari mos
ravishda 2, 4, 4 ga teng davriy matritsalardir; b) bo’lganda davriydir,
bo’lganda ( r – butun son, q – natural son kasr qisqarmasdir) va
bo’lganda davri 1 ga teng.
100 . Ko’rsatma . 99 va 38 masalalardan foydalanilsin.
102 . Ko’rsatma . Agar bo’lsa, va
bo’ladi.
103 . AB ning davri k= lm ga teng, bunda l, m – A, B larning davrlari.
104 . Ko’rsatma . Tenglikning ikala tomonini E – A ga ko’paytiring.
109 . Ko’rsatma . 107 va 108-masalalarning natijalarini qo’llang.
110 . Har doim emas. Misol: teskarilanuvchi emas,
stoxastik emas, lekin o’rinalmashtirish matritsalari o’zlarining teskari
matritsalari Bilan birga stoxastikdir.
111 . Agar matritsa o’rinalmashtirish matritsasi bo’lsa.
113 . , agar bo’lsa. Ko’rsatma . 77-masalaga
qarang.
114 . a) ; b) , agar A = bo’lsa.
117. Agar A = , B = ( i =1,2) bo’lsa, u holda AB ning mavjud
bo’lishi uchun katakli matritsaning ta’rifidan kelib chiqadigan shartlardan
tashqari, A
11 ning bo’yi B
11 ning balandligiga, A
12 ning bo’yi B
21 ning
balandligiga teng bo’lishi zarurdir.
118. □ □
= □
.
119. a) Agar A = , B= bo’lsa, katakli matritsaning
ta’rifidan kelib chiqadigan shartlardan tashqari A
11 matrsaning bo’yi B
1 ning
balandligiga, A
12 ning bo’yi B
2 ning balandligiga teng bo’lishi zarurdir.
c) A □
B □
= □
.
120. a), b), c) A, B matritsalarning dioganallarida kataklar soni bir xildir
va bir xil nomerli dioganal kataklarning tartiblari ham o’zaro tengdir;
d) AB=BA bo’lishi uchun a) shart va bir xil nomerli dioganal kataklarning
o’rinalmashinuvchi bo’lishi zarurdir.

122 . a) ; b) E; c) ;
d) ; e) .
123 . .
124 . a) □
h ; b) □
h + □
( E - birlik matritsa va tartibi s ga teng,
0 - noldan iborat ustun va tartibi s ga teng, h - tartibi s ga teng ixtiyoriy
ustun).
125 . a) ; b ) ; c ) ; d )
e) ; f) .
126 . a b = b a = ba .
Foydalanilgan adabiyotlar
1. B.L. Van der Varden. Algebra. M., Nauka, 1976.
2. Kostrikin A.I. Vvedeniye v algebru. M., 1977, 495 str.
3. Leng S. Algebra. M. Mir, 1968.
4. Faddeyev D.K. Leksii po algebre. M., Nauka, 1984, 415 st.
5. Faddeyev D.K., Sominskiy I.S. Sbornik zadach po vysshey algebre.
M., Nauka, 1977.
6. Sbornik zadach po algebre pod redaksiyey. A.I. Kostrikina, M.,
Nauka, 1985.
7. Xojiyev J., Faynleb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi,
Toshkent, «O’zbekiston», 2001.
8. Narzullayev U.X., Soleyev A.S. Algebra i teoriya chisel. I - II chast,
Samarkand, 2002.

Mundarija
1-§. Matritsalar ustida amallar
2-§. Matritsalarni ko’paytirish bilan elementar
almashtiishlar orasidagi munosabat
3-§. Teskari matritsa
4-§. Matritsalar ustida boshqa amallar. Maxsus ko’rinishdagi
matritsalar

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI ALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI Algebra va geometriya kafedrasi MATRITSALAR ALGEBRASI «Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish uchun uslubiy tavsiyalar « 5 460100 MATEMATIKA » ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari uchun (Uslubiy qo‘llanma) SamDU o‘quv-uslubiy kengashi tomonidan 2011 yil ______da nashrga tavsiya etilgan. Samarqand – 2011

Matrisalar algebrasi. «Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish uchun uslubiy tavsiyalar. . Uslubiy qo‘llanma. – Samarqand: SamDU nashri, 2011. – 37 bet. Ushbu uslubiy qo‘llanma « Algebra va sonlar nazariyasi » fani bo‘yicha «5460100 – matematika» ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari va «5A460100 – Matematik mantiq, Algebra va sonlar nazariyasi» mutaxassisligi magistrantlari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, unda shu fanning namunaviy o‘quv dasturidan kelib chiqib, matrisalar algebrasi ning usullariga oid qisqacha nazariy ma’lumotlar, bu usullarning taqbiqiga oid namunaviy misollar yechimlari, mustaqil ish topshiriqlari va boshqa tarqatma materiallar keltirilgan. Bular talabalarga shu fanni yanada chuqurroq o‘ zlashtir ishga yaqindan yordam beradi degan umiddamiz . Tuzuvchilar: U.X. Narzullaev. A.S. Soleev Mas‘ul muharrir fizika-matematika fanlari nomzodi, dotsent Nosirova H.N. Taqrizchilar : fizika-matematika fanlari doktori, professor Ikromov I.A. fizika-matematika fanlari nomzodi, dotsent Yaxshiboyev M.Y.

Tayanch iboralar: matritsa; satr; ustun; matritsa elementlari; kvadrat matritsa; matritsalar yig’indisi; matritsalarni transponirlash; qo’shma kompleks matritsa; qo’shma ermit matritsa; nol matritsa; matritsaning izi; diagonal matritsa; birlik matritsa; matritsaviy ko’phad; matritsa kommutatori; matritsalarning Yordan ko’paytmasi; teskari matritsa; matritsaning elementar almashtirishlari; teskarilanuvchi matritsa; xos (maxsus) matritsa; xosmas (maxsusmas) matritsa; matritsaviy tenglama; skalyar matritsa; unimodulyar matritsa; o’rin almashtirish matritsasi; elementar matritsa; yuqori uchburchakli matritsa; pastki uchburchakli matritsa; simmetrik matritsa; kososimmetrik matritsa; ermit matritsasi; kosoermit matritsasi; ortogonal matritsa; unitar matritsa; manfiymas matritsa; stoxastik (markov) matritsa; nilpotent matritsa; davriy ; blokli (katakli) matritsa; matritsalarning (o’ng) Kroneker ko’paytmasi (yoki o’ng to’g’ri ko’paytmasi). 1-§. Matritsalar ustida amallar Sonlardan tuzilgan quyidagi to’g’ri burchakli jadvalga (tablisaga) matritsa deb aytiladi: . Matritsaning gorizontal qatoridagi sonlari uning satrlari , vertikal qatoridagi sonlari uning ustunlari deb aytiladi. a ij sonlar matritsaning elementlari deb aytiladi. Matritsa m ta satrlarga va n ta ustunlarga ega bo’lsa, uni matritsa deb aytiladi. Agar bo’lsa, bunday matritsa n-tartibli kvadrat matritsa deb aytiladi. B matritsa A matritsa bilan sonning ko’paytmasidan iborat deb aytiladi, agar ularning hamma elementlari uchun tenglik bajarilsa ( A va B matritsalarning o’lchovlari bir xil) va deb belgilanadi. Uchta A, B, C  matritsalar bir xil o’lchovli bo’lsin. C matritsa A va B matritsalarning yig’indisi deb aytiladi va C = A + B deb belgilanadi, agar i va j indekslarning hamma qiymatlari uchun tenglik bajarilsa. Faraz qilaylik, -o’lchovli va -o’lchovli matritsalar berilgan bo’lsin. Bu matritsalarning ko’paytmasi deb shunday

matritsaga aytiladiki, uning elementlari quyidagi formula bilan beriladi: . B matritsa A matritsaga nisbatan transponirlangan matritsa deb aytiladi va deb belgilanadi, agar B matritsaning ustunlari A matritsaning mos satrlari bo’lsa, ya’ni hamma i, j indekslar uchun . A matritsadan A T matritsaga o’tish amali A matritsani transponirlash deb aytiladi. Agar A matritsa o’lchovli bo’lsa, A T matritsa o’lchovli bo’ladi. B matritsa A kompleks matritsaga nisbatan qo’shma kompleks matritsa deb ataladi va deb belgilanadi, agar hamma i, j indekslar uchun tenglik bajarilsa. B matritsa A matritsaga nisbatan qo’shma ermit matritsa deb aytiladi va deb belgilanadi, agar hamma i, j lar uchun tenglik bajarilsa. A matritsa nol matritsa deb aytiladi, agar uning hamma elementlari 0 ga teng bo’lsa va A=0 deb belgalanadi. A matritsa indeksli birlik matritsa deb aytiladi, agar bo’lib, qolgan elementlari nolga teng bo’lsa. elementlar n tartibli kvadrat matritsaning bosh dioganalini tashkil qiladi va uning diagonal elementlari deb aytiladi. Matritsaning diagonal elementlari yig’indisi A matritsaning izi deb aytiladi va deb belgilanadi. Shunday qilib, . Kvadrat matritsa diagonal matritsa deb aytiladi, agar uning diagonalida bo’lmagan elementlari 0 ga teng bo’lsa, ya’ni , . n- tartibli diagonal matritsa deb belgilanadi. Diagonal elementlari 1 ga teng bo’lgan n- tartibli diagonal matritsa birlik matritsa deb aytiladi va E yoki E n deb belgilanadi. Birlik matritsaning elementlari deb belgilanadi: , Bizga - ko’phad berilgan bo’lsin. matritsa A matritsadan ko’phad deb aytiladi va deb belgilanadi. 1-m i s o l. Matritsalarning chiziqli kombinasiyasi topilsin: ■. 2-m i s o l. Matritsalarning ko’paytmasi topilsin: .

Yechish. Matritsalarni ko’paytmasi formulasiga asosan quyidagi tenglik kelib chiqadi: ■ 3-m i s o l. Quyidagi matritsa bilan o’rin almashinuvchi hamma matritsalar topilsin. . Yechish. Shunday X matritsa topishimiz AX=XA bo’lsin. deb belgilaymiz. U holda . Bundan . Shunday qilib, Bu sistemani yechib quyidagi tengliklarni hosil qilamiz: , bu yerda va -ixtiyoriy sonlar. Izlanayotgan matritsa quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi: , C .■ 4-m i s o l. ni hisoblang, agar: . Yechish. Matritsaviy ko’phad ta’rifiga asosan quyidagi tenglikka ega bo’lamiz: . M A S H Q L A R 1 . Matritsalarning chiziqli kombinasiyasi topilsin: a) b) c)

O'xshashlar

determinant uslubiy

komplex son uslubiy

MATNDA JAMLOVCHI OLMOSHLARNING AYRIM FUNKSIONAL-USLUBIY XUSUSIYATLARI

MAXSUS FANLARNING O’QUV-USLUBIY TA’MINOTINI ISHLAB CHIQISH

MATNDA GUMON OLMOSHLARINING AYRIM SEMANTIK VA FUNKSIONAL-USLUBIY XUSUSIYATLARI