komplex son uslubiy

Yuklangan vaqt:

08.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

2306.5 KB

Ko'chirib olish

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ALISHER NAVOIY NOMIDAGI
SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI
Algebra va geometriya kafedrasi
KOMPLEKS SONLAR NAZARIYASI
«Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish
uchun uslubiy tavsiyalar
« 5 460100 MATEMATIKA »
ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari uchun
(Uslubiy qo‘llanma)
SamDU o‘quv-uslubiy kengashi tomonidan
2011 yil ______da nashrga tavsiya etilgan.
Samarqand – 2011
1

Kopmpleks sonlar. «Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish
uchun uslubiy tavsiyalar. . Uslubiy qo‘llanma. – Samarqand: SamDU nashri, 2011. – 46 bet.
Ushbu uslubiy qo‘llanma « Algebra va sonlar nazariyasi » fani bo‘yicha «5460100 –
matematika» ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari va «5A460100 – Matematik mantiq,
Algebra va sonlar nazariyasi» mutaxassisligi magistrantlari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, unda
shu fanning namunaviy o‘quv dasturidan kelib chiqib, kompleks sonlar nazariyasi ning
usullariga oid qisqacha nazariy ma’lumotlar, bu usullarning taqbiqiga oid namunaviy misollar
yechimlari, mustaqil ish topshiriqlari va boshqa tarqatma materiallar keltirilgan. Keltirilgan
ma’lumotlar talabalarga shu fanni yanada chuqurroq o‘ zlashtir ishga yaqindan yordam beradi
degan umiddamiz .
Tuzuvchilar: U.X. Narzullaev. A.S. Soleev
Mas‘ul muharrir fizika-matematika fanlari nomzodi,
dotsent Nosirova H.N.
Taqrizchilar : fizika-matematika fanlari doktori,
professor Ikromov I.A.
fizika-matematika fanlari nomzodi,
dotsent Yaxshiboyev M.Y.
2

Tayanch iboralar: kompleks son; mavhum birlik; kompleks sonning
haqiqiy va mavhum qismi; kompleks-qo’shma son; kompleks tekislik; haqiqiy va
mavhum o’q; kompleks sonning absolyut qiymati va argumenti; kompleks
sonning trigonometrik shakli; yig’indining absolyut qiymati haqidagi teorema;
Muavr formulasi; kompleks sondan n-dara-jali ildiz chiqarish formulasi;
birning n-darajali ildizlari; birning n-darajali boshlang’ich ildizlari; doiraviy
ko’phad; Eyler formulasi; kompleks sonning ko’rsatkichli shakli.
1-§. Algebraik shakldagi kompleks sonlar
Kompleks son deb haqiqiy sonlarning tartiblangan juftligiga aytiladi. ( a , o )
kompleks sonni haqiqiy sondan farqlamaydilar. Barcha kompleks sonlar
to’plamini S orqali belgilanadi. (a,b) va (c,d) juftliklar ularning mos
koordintalari teng bo’lgandagina teng deyiladi, ya’ni
Kompleks sonlarni qo’shish va ko’paytirish amallari quyidagi tengliklar
yordamida kiritiladi
( a , v )+( c , d ) = ( a + c , b + d ),
( a , b ) × ( c , d ) = ( ac - bd , ad + bc )
(0,1) kompleks soni i harfi orqali belgilash va uni mavhum bir deb atash
qabul qilingan. i 2
+ 1 = 0 bo’lishini ko’rsatish qiyin emas, ya’ni i soni x 2
+ 1 = 0
tenglamaning ildizi bo’ladi.
Har qanday z kompleks sonni a + bi algebraik shaklda yozish mumkin.
Agar z = a + bi bo’lsa, a son z kompleks sonning haqiqiy qismi dyiladi va Re z
orqali belgilanadi, b son esa z kompleks sonning mavhum qismi deyiladi va Im z
orqali belgilanadi. z = a - bi kompleks son, z = a + bi kompleks sonning
kompleks qo’shma si deyiladi.
Agar a = c , b = d bo’lsa a + bi va c + di kompleks sonlar teng deyiladi.
Algebraik shakldagi kompleks sonlar ustida arifmetik amallar quyidagi
tengliklar yordamida aniqlanadi:
( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i,
( a + bi ) - ( c + di ) = ( a - c ) + ( b - d ) i,
( a + bi ) ( c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc ) i,
(c+di ¹ 0, ya’ni s 2
+d 2 ¹
0).
Boshqacha aytganda, agar i 2
= - 1 ekanligini hisobga olinsa, kompleks sonlar
ustida barcha arifmetik amallar haqiqiy sonlar ustidagi xuddi shunday amalar
kabi bajaradi.
Agar kompleks sonlarning yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va
bo’linmasidagi barcha sonlarni ularning kompleks-qo’shmasiga almashtirilsa,
natija ham o’zining qo’shmasiga almashadi:
3

, , ,
Kompleks sonni darajaga ko’tarish amali quyidagicha aniqlanadi:
.
Agar z ¹ 0 bo’lsa: deb qabul qilinadi.
Kompleks sonning butun ko’rsatkichli darajasi quyidagi xossalarga ega:
Kompleks son z ning n -darajali ildizi deb shunday kompleks
songa aytiladiki, .
1-m i s o l. Quyidagi tenglamadan x va y haqiqiy sonlarni toping:
( 5 x – 3 y ) + ( x – 2 y ) I = 6 + ( 8 – x + y ) i .
Yechish. Kompleks sonlarning tenglik shartidan foydalanib,
sistemani hosil qilamiz. Bu sistemadan x va y noma’lumlarni topamiz:
. ■
2-m i s o l. i ning darajalarini toping.
Yechish. Ta’rifga ko’ra i 0
= 1, i 1
= i va i 2
= - 1. Shuning uchun
i 3
= i 2
i = - i, i 4
= i 3
i = 1, i 5
= i 4
× i = i .
Umuman olganda: i 4n
= 1, i 4n+1
= i , i 4n+2
= - 1, i 4n+3
= - i , n Î N . ■
3-m i s o l. Darajaga ko’taring: (1+ i ) 20
, (1- i ) 21
.
Yechish. Bu masalani Nyuton binomi formulasidan foydalanib hal qilsa
bo’ladi, lekin uni quyidagicha yozish qulayroq:
(1+ i ) 2
= 2 i , (1- i ) 2
= - 2 i . U holda
■
Kompleks koeffisiyentli istagan kvadrat tenglamani yechish uchun,
avvalo kompleks sonning kvadrat ildizini topa olish kerak. Ta’rifga ko’ra x + yi
son a + bi sonning kvadrat ildizi bo’lishi:
( x + yi ) 2
= a + bi (*)
tenglikning bajarilishiga teng kuchli.
(*) tenglik quyidagi formulalar yordamida topiladigan ikkita har xil
yechimlarga ega bo’ladi:
,
bu yerda radikal arifmetik ildizni bildiradi, agar b > 0 bo’lsa, x va y larning
ishoralari bir xil qilib, b < 0 bo’lganda esa har xil qilib tanlanadi.
4-m i s o l. ildizning qiymatlari 5 - i va - 5 + i bo’ladi.■
4

Kvadrat ildizni to’g’ridan to’g’ri topish ham mumkin.
5-m i s o l. Ildizdan chiqaring:
Yechish. bo’lsin. Ildizning ta’rifiga ko’ra
( x + yi ) 2
= 5 + 12 i yoki ( x 2
- y 2
) + 2 x y i = 5 + 12 i ,
bundan
sistemani hosil qilamiz.
Bu sistemadagi ikala tenglikni kvadratga ko’tarib va ularni qo’shib, ( x 2
+
y 2
) 2
= 25 + 144 va x 2
+ y 2
= 13 larni hosil qilamiz.
U holda sistemadan x va y noma’lumlarni topamiz:
x = ± 3, y = ± 2.
Oldingi sistemaning ikkinchi tenglamasidan x va y larning bir xil ishorali
bo’lishi kelib chiqadi. Shuning uchun x
1 = 3, y
1 = 2; x
2 =-3,
y
2 =-2. Shunday qilib, ildiz ikkita 3 + 2 i va - 3 - 2 i qiymatlarga ega.■
Endi kompleks sonning kvadrat ildizini topishni bilgan holda aynan
maktab matematika kursidekdagi kompleks koeffisiyentli
ax 2
+ bx + c = 0
tenglamaning ildizlari
formula yordamida topilishini ko’rsatish mumkin.
6-m i s o l. (3 - i ) x 2
- 2(2 - 3 i ) x - 4 i = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari x
1 =
0,4 - 0,8 i va x
2 = 0,2 - 1,4 i sonlardan iborat. ■
7-m i s o l. Sistemani yeching:
.
Yechish. Sistemadagi birinchi tenglamaning ikkala tomonini
(1 - i ) ga, ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini esa (1 + i ) ga ko’paytirib
ni hosil qilamiz.
Bu tenglamalarni qo’shib, 4 z
1 = 4 i ga kelamiz. Bundan z
1 = i .
Birinchi tenglamadan ikkalasini ayirib - 4 z
2 i = 4 - 4 i ni hosil qilamiz.
Bundan .■
8-m i s o l. a ning qanday haqiqiy qiymatlarida
4 i 4
- 3ai 3
+ (2 - a ) i - 5 + a
son haqiqiy bo’ladi?
Yechish. i 4
= 1, i 3
= - i bo’lganligi sababli
.
5

Shuning uchun 2 a +2=0 bo’lganda bu son haqiqiy bo’ladi, ya’ni a = - 1. ■
9-m i s o l. tenglamani yeching.
Yechish. z = x + yi bo’lsin. U holda x 2
+ y 2
+ 2 x - 2 yi = 3 + 2 i . Haqiqiy va
mavhum qismlarini tenglashtirib
sistemani hosil qilamiz. Bundan . Natijada,
. ■
M A S H Q L A R
1. Berilgan z
1 va z
2 kompleks sonlarning yig’indisi va ko’paytmasini
toping:
a) z
1 = 5+4 i , z
2 = - 2+3 i ; b) z
1 = - 8 - 7 i, z
2 = - 3 i ;
c) .
2. z
2 - z
1 ayirmani va bo’linmani toping:
a) z
1 = 1+2 i , z
2 = 5; b) z
1 = - 1 + , ;
c) .
3. Hisoblang :

4. Kompleks sonning haqiqiy qismini toping:
a) ; b ) .
5. Kompleks sonning mavhum qismini toping:
a) b ) .
6. Tenglikni isbotlang:
.
7. Tenglamalar sistemasini yeching:

8. Hisoblang :
a) i 4
+ i 14
+ i 24
+ i 34
+ i 44
; b) i + i 2
+ i 3
+…+ i n
, n > 4 ;
c) i× i 2 ×
i 3 ×
i 4
…i 50
.
6

9. bo’lganda quyidagilarni hisoblang:
a) ; b) ;
c ) .
10. Tenglamani yeching:
a) ; b) ;
c) ; d) ;
e) ; f) .
11. Hisoblang:
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;
f) ; q) ; h) ; i) ; j) .
12. Tenglamani yeching:
a) ; b ) ;
c ) ; d ) ;
e) ; f) ;
g) ; h) .
2-§. Kompleks sonning geometrik tasviri va
trigonometrik shakli
Tekislikdagi nuqtalar bilan kompleks sonlar o’rtasida o’zaro bir qiymatli
moslik o’rnatamiz. Buning uchun tekislikda biror to’g’ri burchakga Dekart
koordinatalar sistemasi kiritamiz. Natijada, tekislikdagi har bir nuqtaga haqiqiy
sonlarning tartiblangan juftligi, ya’ni element mos qo’yiladi va
aksincha har bir kompleks songa tekislikdagi koordinatalari a va b ga
teng nuqta mos keladi. Shu munosabat bilan tekislikning o’zini kompleks deb
ataladi. Bunda haqiqiy sonlarga ko’rinishdagi, ya’ni abssissalar o’qida
yotuvchi nuqtalar mos keladi. Ordinatalar o’qidagi nuqtalarga esa
mavhum sonlar mos keladi. Shuning uchun kompleks tekislikning abssissalar
o’qini haqiqiy o’q , ordinatalar o’qini esa mavhum o’q deb ataladi.
Odatda, z = (a, b) kompleks son tekislikdagi koordinatalari a va b
sonlardan iborat nuqta orqali yoki abssissa va ordinatalar o’qidagi proyeksiyalari
mos ravishda a va b ga teng bo’lgan vektor orqali tasvirlanadi. Ko’pincha z
nuqta yoki z vektor ham deb aytiladi. Kompleks son z = a + bi ning absolyut
qiymati deb haqiqiy songa aytiladi. Absissalar o’qining musbat
yo’nalishi va z vektorning yo’nalishi orasidagi  burchak z kompleks sonning
argumenti deyiladi va arp z orqali belgilanadi. 0 sonning argumenti
aniqlanmagan.
Ixtiyoriy noldan farqli z = ( a , b ) kompleks sonni va tekislikda unga mos
keluvchi vektorni qaraymiz. z nuqtaning tekislikdagi holatini uning qutb
koordinatalari: koordinatalar boshidan z nuqtagacha bo’lgan masofa r, ya’ni
va absissa o’qining musbat yo’nalishi bilan z vektor yo’nalishi orasidagi
 = arg
z burchaklar to’liq aniqlaydi.
7

Agar z = a + bi bo’lsa, u holda . Bundan har bir z
kompleks son uchun kelib chiqadi. Kompleks sonning
bunday ko’rinishi uning trigonometrik shakli deyiladi.
Trigonometrik shakldagi kompleks sonlarni ko’paytirish va bo’lish
amallari quyidagicha amalga oshiriladi:
bo’lsin. U holda
1-m i s o l. - son tekislikda z ni tasvirlovchi nuqtadan koordinatalar
boshigacha bo’lgan masofadan iborat. Boshqacha aytganda son z kompleks
sonni ifodalovchi vektorning uzunligidir. ■
2-m i s o l. Kompleks tekislikda shartni qanoatlantiruvchi z
nuqtalar to’plami markazi koordinatalar boshida va radiusi 3 ga teng bo’lgan
aylanadan iborat. ■
3-m i s o l. Kompleks tekislikda shartni qanoatlantiruvchi z
nuqtalar to’plami markazi koordinatalar boshida va radiusi 3 ga teng bo’lgan
yopiq dioradan iborat. ■
4-m i s o l. Kompleks tekislikda shartni qanoatlantiruvchi z
nuqtalar to’plami markazi (1, - 2) nuqtada va radiusi 3 ga teng bo’lgan aylanadan
iborat. ■
5-m i s o l. Kompleks tekislikda shartni qanoatlantiruvchi z
nuqtalar to’plami markazi (1, - 2) nuqtada va radiusi 3 ga teng bo’lgan aylanadan
iborat. ■
6-m i s o l. bo’lsin. Tekislikda z
1 va z
2 sonlarni ifodalovchi
nuqtalar orasidagi masofa ga teng ( ayirmaning absolyut qiymati
haqidagi teorema ). ■
7-m i s o l. Uchlari o, z
1, z
2 nuqtalarda joylashgan uchburchakning
tomonlarini taqqoslab, yig’indining absolyut qiymati haqidagi teoremaga ega
bo’lamiz:
. ■
Bu teoremadan quyidagi tasdiq kelib chiqadi.
8-m i s o l. Barcha sonlar uchun
. ■
9-m i s o l. Tekislikda tengsizlikni qanoatlantiruvchi
kompleks sonlarni tasvirlaydigan nuqtalar to’plamini aniqlang.
Yechish. z = x + iy , x , y Î R bo’lsin. U holda .
Bundan < 4.
Bu tengsizlikni soddalashtirib, unga teng kuchili bo’lgan
yoki
8

tengsizlikni hosil qilamiz. Shunday qilib, izlanayotgan to’plam tekislikning
ellips bilan chegaralangan qismidan iborat. ■
10-m i s o l. Kompleks sonlar , shartlarni
qanoatlantiradi. Bunday kospleks sonlarni ifodalovchi nuqtalar qayerda
joylashgan?
Yechish. bo’lganligi uchun, bu nuqtalar markazi O nuqtada va
radiuslari 1 va 2 ga teng bo’lgan aylanalar bilan chegaralangan halqada yotadi.

y

2

1

x
0
1-rasm
bo’lganligi uchun masala shartini qanoatlantiruvchi nuqtalar 1-
rasmda ko’rsatilgan soha ichida yotadi. ■
11-m i s o l. shartni qanoatlantiruvchi kompleks sonlar
ichidan argumenti eng kichik bo’lgan sonni toping.
Yechish. shartni qanoatlantiruvchi sonlarga mos nuqtalar
markazi (0,25) nuqtada va radiusi 15 ga teng bo’lgan yopiq doirani hosil qiladi.

y
9

25

y M

0
x
2-rasm

Rasmdan ko’rinib turibdiki, eng kichik argumentli songa M nuqta mos keladi,
bunda OM to’g’ri chiziq aylanaga urinadi. OMC to’ g’ ri burchakli
uchburchakdan
,
.
Shuning uchun , ya’ni izlanayotgan
son z = 12 + 16 i . ■
12-m i s o l. Quyidagi kompleks sonlarni trigonometrik shaklga keltiring:
a) z = 1 - i ; b) z = - 3 - 4 i .
Yechish. a) a= 1 , b=- 1 , tg  = , .
Bu z soni ifodalovchi nuqta to’rtinchi chorakka tegishli. Shuning uchun

argumentning qiymati sifatida yoki ni olish mumkin.
Natijada,
.
Shuni ta’kidlaymizki, tenglik 1 - i sonning
trigonometrik shakli bo’lmaydi.
10

b) a = - 3, b = - 4, shuning uchun r = 5, tg = . Nuqta uchinchi
chorakda yotganligi uchun
 argumentning qiymati tg  = va
shartlardan aniqlanadi, ya’ni , bunda - burchak shartni
qanoatlantiruvchi o’tkir burchak. Shuning uchun , ya’ni -
. U holda . ■
13-m i s o l. kompleks soni trigonometrik shaklga keltiring,
bu yerda quyidagi shartni qanoatlantiruvchi berilgan burchak:
a) 0 <  < , b) .
Yechish. Berilgan z sonning ko’rinishini o’zgartiramiz:
a) .
bo’lganda bo’lganligi va qavs ichida bita argumentning
kosinusi va sinusi turganligi uchun oxirgi ifoda z kompleks sonning
trigonometrik shaklidan iborat;
b) bo’lganda va yuqorida olingan ifoda z sonning
trigonometrik shakli bo’lmaydi.
z sonning ko’rinishini boshqacharoq o’zgartiramiz:

Bu ifoda bo’lgan holda z sonning trigonometrik shakli bo’ladi. ■
14-m i s o l. w = z 2
- z sonning argumentini toping, bunda
.
Yechish.
Qavs ichidagi ifodalarni almashtirib, quyidagini hosil qilamiz:
bo’lganda va hosil qilingan ifoda w sonning
trigonometrik shaklidan iborat. Shuning uchun .
bo’lganda , bundan w = 0. Bu holda w sonning argumenti
aniqlanmagan. ■
11

M A S H Q L A R
13. Quyidagi kompleks sonlarni ifodalovchi nuqtalarni yasang:
1; - 1; i ; - i ; - 1 + i ; 2 - 3 i ; - 6 + 3 i ; cos 30  - i sin 30  ;
cos 150  + i sin 150  .
14. Kompleks tekislikda berilgan z
1 , z
2 , z
3 nuqtalar parallelogramning
ketma-ket uchlaridan iborat. Bu parallelogramning to’rtinchi uchini toping.
15. Kompleks tekislikda z
1 = 6 + 8 i , z
2 = 4 - 3 i nuqtalar berilgan. z
1 va z
2
vektorlar hosil qilgan burchak bissektrisasining nuqtalariga mos keluvchi
kompleks sonlarni toping.
16. Tenglamani yeching:
a) ; b) ; c) .
17. Tenglamalar sistemasini yeching: .
18. Tenglamalar sistemasini yeching:
19. Quyidagi nuqtalarga mos kompleks sonlarni toping:
a) markazi koordinatalar boshida, tomonlari koordinata o’qlariga parallel
va tomonlarining uzunligi 1 ga teng bo’lgan kvadratning uchlariga;
b) markazi koordinatalar boshida, bir tomoni ordinata o’qiga parallel, bita
uchi manfiy haqiqiy yarim o’qda joylashgan va tashqi chizilgan aylana radiusi 1
ga teng bo’lgan muntazam uchburchakning uchlariga;
c) markazi nuqtaga joylashgan, tomonlaridan biri abssissa o’qiga
parallel va tashqi chizilgan aylana radiusi 2 ga teng bo’lgan muntazam
oltiburchakning uchlariga.
20. Tekislikda quyidagi shartlarni qanoatlanturvchi z kompleks sonlarga
mos keladigan nuqtalar to’plamini tasvirlang:
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;
f) ; g) ; h) ; i) ;
j) ; k) ; l) ; m) ; n)
; o) ; p)
21. shartni qanoatlantiruvchi z kompleks sonlar ichidan eng
kichik musbat argumentga ega bo’lgan sonni toping.
22. shartni qanoatlantiruvchi z kompleks sonlar ichidan eng
kichik musbat argumentga ega bo’lgan sonni toping.
23. Oxy tekislikdagi qanday nuqtalar uchun quyidagi tengliklar
o’rinli:
a) . b) ?
24. Kompleks son moduli va argumentini unga qo’shma bo’lgan son
moduli va argumenti orqali ifodalang.
25. A va B nuqtalar Oxy tekislikda mos ravishda a = 6 + 8 i va
12

b = 4 - 3 i sonlarni ifodalaydi. Hech bo’lmaganda bita shunday c soni topingki,
unga mos keluvchi C nuqta AOB burchakning bissektrisasida yotsin.
26. Qanday shartlar bajarilganda:
a) ; b) ?.
27*. (-1) dan farqli va moduli 1 ga teng bo’lgan har qanday z kompleks
sonni , bunda , shaklda tasvirlash mumkinligi ni isbotlang.
28. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklga keltiring:
a) 7; b) i ; c) - 3; d) - 5 i ; e) 1+ i ; f) - 1+ i g)1 - i ; h) + i ;
i) - + i ; j) - - i ; k) - i ; l) 1+ i ; m) 2 + + i ;
n) 1 - (2 + i ) ; o) cos - i sin  ; p) sin  + i cos  ; q) ;
r) 1+ cos
 + isin  ; s) - sin  - i (1+ cos  ).
29. Kompleks sonlarni algebraik va trigonometrik shaklga keltiring:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) .
30. Kompleks sonlarni trigonometrik shaklga keltiring:
a) ; b) .
31. Ayniyatni isbotlang: . Bu ayniyat qanday
geometrik ma’noga ega?
3-§. Darajaga ko’tarish va ildiz chiqarish
bo’lsin. U holda har qanday n butun son uchun
Muavr formulasi o’rinli.
Muavr formulasi kompleks sondan italgan darajali ildiz chiqarish
masalasini hal qilishga imkon beradi. w kompleks son z kompleks sonning n -
darajali ildizi deyiladi, agar bo’lsa. z ning n -darajali ildizini
orqali belgilaymiz.
Berilgan z kompleks sonning n -darajali ildizi bir nechta qiymatlarga ega,
shuning uchun = w yozuv w son shu qiymatlardan biri ekanligini bildiradi.
Bitta mulohaza davomida ifoda z kompleks son n -darajali ildizining faqat
bitta qiymatini bildiradi.
13

Agar tekstdan ildizning aynnan shu qiymati haqida gapirilayotganligi
ma’lum bo’lsa, bu haqida alohida eslatilmaydi, masalan, kompleks son modulini
hisoblashda.
Agar bo’lsa, z ning n -darajali ildizi uchun
,
bu yerda , formula o’rinli. Bu formula z kompleks son n -darajali
ildizining n ta har xil qiymatilarini beradi.
1-m i s o l. Hisoblang: .
Yechish.
, ,
bo’lganligi sababli
■
2-m i s o l. Hisoblang: .
Yechish.
,
(28 ( r ) mashqqa qarang) bo’lganligi uchun bo’lganda
,
bo’lganda esa
. ■
3-m i s o l. ildizning barcha qiymatlarini toping.
Yechish. ni trigonometrik shaklga keltiramiz:
.
U holda ildiz chiqarish formulasiga ko’ra
, .
Natijada,
, ,
, . ■
14

4-m i s o l. to’plam elementlarining trigonometrik shaklini
yozing.
Yechish. va
bo’lganligi uchun
.
Natijada,
, ■
Muavr formulasi ba’zi trigonometrik ifodalarni almashtirishda qulayliklar
yaratadi.
5-m i s o l. ni orqali ifodalang.
Yechish. Darajaga ko’tarish formulasiga ko’ra
.
Nyuton binom formulasini qo’llab, quyidagini hosil qilamiz:
chunki . Mos ravishda haqiqiy va mavhum qismlarini
tenglashtirib,
munosabatlarni hosil qilamiz. Bulardan
.
Bu yerda biz kasrning surat va maxrajini ga bo’ldik. ■
6-m i s o l. ni kaðrali argumentlarning trigonometrik funksiyalari
orqali chiziqli ifodalang.
Yechish. bo’lsin, u holda ,
, ,
, , , .
Bularga ko’ra
= ■
Xuddi shunga o’xshash yo’l Bilan istalgan ifodani karrali
argumentning trigonometrik funksiyalari orqali chiziqli ifodalash mumkin.
15

M A S H Q L A R
32. Hisoblang: a) ; b) ;
c) ; d) ; e) ;
f) ; g) .
33. Isbotlang: .
34. Agar bo’lsa, bo’lishini isbotlang.
35. ifodani soddalashtiring, bu yerda .
36. Ildizning qiymatlarini trigonometrik shaklda yozing:
a) ; b) ; c) .
37. Ildizning qiymatlarini algebraik shaklda yozing:
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ;
h) ; i) ; j) ; k) ; l) ;
m) ; n) ; o) ; p) .
38. Tenglamani yeching: a) ; b) .
39. va sonlarning haqiqiy qismlari manfiy bo’lgan holda
sonning algebraik shaklini yozing.
40. tenglamaning haqiqiy qismlari manfiy bo’lgan
yechimlarini toping.
41. cos x va sin x lar orqali ifodalang:
a) sin 6 x + cos 6 x ; b) cos 8 x ; c) sin 8 x .
42. tg 7 x ni tg x orqali ifodalang.
43. tg nx ni tg x orqali ifodalang, bunda n – butun musbat son.
44*. va larni ( n – butun musbat son) x ga karali
burchaklarning sinusi va kosinuslarining birinchi darajali ko’phadi ko’rinishida
ifodalash mumkinligini isbotlang.
45. x ga karrali burchaklar trigonometrik funksiyalarining birinchi darajali
ko’phadlari ko’rinishida tasvirlang:
a) ; b) ; c) ;
d) ; e ) ; f) .
4-§. Yi g’ indi va ko’paytmalarni kompleks
sonlar yordamida hisoblash
1-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:
16

.
Yechish. Nyuton binomini qo’lab quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:
.
Bu tengliklarni hadlab qo’shib, undan keyin ayirib, kerakli ayniyatni hosil
qilamiz. ■
2-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:
.
Yechish. Quyidagi tenglikni qaraymiz:
.
Bu tenglikga ketma-ket x = 1, larni qo’yamiz, bu yerda .
Natijada quyidagi tengliklar hosil bo’ladi:
Lekin k son 3 ga bo’linmaganda , k son 3 ga bo’linganda esa
bo’ladi. Shuning uchun yuqoridagi tengliklarni hadlab qo’shib,
tenglikni hosil qilamiz.
deb olish mumkin bo’lganligi uchun
Shuning uchun . Bu yerdan
. ■
3-m i s o l. Tenglikni isbotlang:
.
Yechish. bo’lganligi uchun .
Shuning uchun .
Bundan yuqoridagi ayniyat kelib chiqadi. ■
4-m i s o l. Yig’indini hisoblang:
Yechish. ifodani qaraymiz. Bundan
.
17

Lekin . Shuning uchun
.
Bu yerdan n = 4 m bo’lganda , n = 4 m +1 bo’lganda
, n = 4 m +3 bo’lganda , n = 4 m +2 bo’lganda
bo’lishi kelib chiqadi. ■
5-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:
Yechish. Quyidagi ko’phadni qaraymiz:
.
Bundan
(*).
Bu tenglikka x = 1 ni qo’yib, izlanayotgan ayniyatni hosil qilamiz. ■
6-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:
.
Yechish. Tenglikning chap tomonidagi ifoda

ko’phaddagi x n
oldidagi koeffisiyentdan iborat. Bu ko’phadni quyidagicha
almashtiramiz:
kvadrat qavs ichidagi ko’phadda oldidagi koeffisiyent ga teng
bo’ladi. ■
7-m i s o l. tenglik o’rinli bo’lishini
ko’rsating.
Yechish. Quyidagi ko’phadlarni qaraymiz:
, .
U holda: tenglikdan
talab qilinayotgan tenglik kelib chiqadi. ■
8-m i s o l. Ayniyatni isbotlang:
.
Yechish. ko’paytmani qaraymiz. Bu ko’paytmani
quyidagicha yozish mumkin: .
Bu yerdan .
18

Natijada, . ■
9-m i s o l. Tenglikni isbotlang:
.
Yechish. tenglikda
deb olamiz. U holda ,
.
Bundan . Ikkinchi
yig’indida deb olamiz. U holda bu yig’indi quyidagi ko’rinishga
keladi:
.
Shunday qilib, .
Lekin . Shuning uchun
. ■
10-m i s o l. Tenglikni isbotlang:
.
Yechish. yi g’ indini kiritamiz. U holda isbot
qilinayotgan tenglikning chap tomonini B orqali belgilab
ni hosil qilamiz.
Bu geometrik progressiya hadlarining yig’indisidan iborat. Quyidagi
belgilashni kiritamiz: . U holda
.
Oxirgi kasrning surat va maxrajida  ning shunday darajalarini qavsdan
tashqariga chiqaramizki, qavs ichida
 ning qarama-qarshi ko’rsatkichli
darajalarining ayirmasi qolsin (buning mumkin bo’lishi uchun biz
ni emas ni belgilardik):
 
   -
   -
- 
1
2
  
   n n n
Bi A
19

Bu yerdan ni va bir vaqtda
ni hosil qilamiz. ■
Xuddi shunday
va
yig’indilarni ham hisoblash mumkin, agar argumentlar arifmetik
progressiyani, koeffisiyentlar esa gometrik progressiyani tashkil
etsa.
M A S H Q L A R
46*. Tengliklarni isbotlang:
a) , agar n - juft bo’lsa;
b) , agar n - toq bo’lsa.
47*. Tengliklarni isbotlang:
a) ;
b) .
48*. Quyidagi yi g’ indini hisoblang: .
49*. Ayniyatni isbotlang:
.
50*. Ayniyatni isbotlang: .
51*. tenglik o’rinli bo’lishini
ko’rsating.
52*. Ayniyatni isbotlang:
a) ;
b) .
53*. Quyidagi tengliklarni isbotlang:
a) ;
20

b) ;
c) .
54*. Tengliklarni isbotlang:
a ) ;
b ) .
55*. Yig’indilarni toping:
a ) ;
b ) .
56*. Yig’indilarni toping: .
57. Isbotlang:
a ) ;
b ) .
58*. Yig’indilarni toping:
a ) ;
b ) .
5-§. Birning ildizlari
Har qanday noldan farqli kompleks son kabi 1 sonning ham n –darajali
ildizi n ta qiymatga ega. bo’lganligi uchun 1 ning n- darajali
ildizlari uchun , formula o’rinli.
1 ning n - darajali ildizi boshlang’ich ildiz deyiladi, agar u 1 ning n dan
kichik darajali ildizi bo’lmasa. Boshqacha aytganda,  son 1 ning n - darajali
boshlang’ich ildizi bo’ladi, agar bo’lib, istagan uchun
bo’lsa. sonning 1 ning n - darajali boshdang’ich ildizi bo’lishi
ravshan, lekin n > 2 bo’lgandan undan boshqa boshlang’ich ildizlar ham
mavjud.
1-m i s o l. ( -butun sonlar) son 1 ning
darajali boshlang’ich ildizi bo’lishini ko’rsating, bu yerda d son k va n
larning eng katta umumiy bo’luvchisidan iborat. Bu yerdan kelib chiqadiki,

son 1 ning n - darajali boshlang’ich ildizi bo’lishi uchun k va n larning o’zaro
tub bo’lishi zarur va yetarlidir.
21

Yechish. bo’lsin, bu yera n
1 va 
1 o’zaro tub sonlar. U
holda .
 ni darajaga ko’tarib,
ni hosil qilamiz.
Agar bo’lsa, u holda , bunda yoki , ya’ni
son ga bo’linadi. Lekin va o’zaro tub. Shuning uchun m son
ga bo’linadi, bu esa 0 < m < shartga zid.
Shunday qilib, 0 < m < bo’lganda . m = bo’lganda esa
. Bu yerdan
 - son 1 ning darajali boshlang’ich
ildizi ekanligi kelib chiqadi. ■
Bu misoldan ko’rinadiki, 1 ning n -darajali boshlang’ich ildizlari soni n
dan kichik va n bilan o’zaro tub bo’lgan sonlar soniga, ya’ni Eyler
funksiyasining qiymatiga tengdir.
ko’phad, bu yerda ( ) - 1 ning
boshlang’iya ildizi, doiraviy ko’phad deyiladi.
2-m i s o l. Birning 6-darajali ildizlarini toping.
Yechilishi: 1 ning n -darajali ildizlari formulasidan:
ni hosil qilamiz. Natijada, izlanayotgan ildizlar quyidagilardan iborat bo’ladi:
, ,
, ,
, . ■
Agar 1 ning n - darajali ildizi 1 ning
 darajali boshlang’ich ildizi bo’lsa, 
son bu ildiz tegishli bo’lgan ko’rsatkich deyiladi.
3-m i s o l. Birning 6-darajali boshlang’ich ildizlarini yozing.
Yechish. 1-misolga ko’ra birning 6-darajali boshlang’ich ildizlari
lardan, ya’ni lardan iborat. ■
4-m i s o l. tenglamani algebraik yo’l bilan yechib, 1 ning 5-
darajali ildizlarini toping.
Yechish. Tenglamaning chap tomonini ko’paytuvchilarga ajratamiz:
.
Boshlang’ich ildizlar quyidagi tenglamaning ildizlari bo’ladi:
.
22

Bu tenglama tenglamaga teng kuchli. belgilash
kiritamiz. bo’lishini e’tiborga olsak, tenglama hosil
bo’ladi, bundan , .
1 ning ildizlari va tenglamalardan topiladi.
Bulardan va . z
1 va z
2 larning qiymatlarini qo’yib,
, , ,
larni hosil qilamiz.
Bularni formula bilan taqqoslab
ni hosil qilamiz.
Bundan r radiusli doiraga ichki chizilgan muntazam o’nburchakning
tomoni a
10 uchun formula keltirib chiqariladi:
.■
5-m i s o l. Birning 7 ko’rsatkichga tegishli bo’lgan 28-darajali ildizlarini
yozing.
Yechish. Ma’lumki, 1 ning 28-darajali ildizlari
,
lardan iborat. Bulardan 7 ko’rsatkichga tegishli bo’lganlari
lardir yoki ularni quyidagicha yozish mumkin:
. ■
6-m i s o l. ni haqiqiy koeffisiyentli ko’paytuvchilarga ajrating.
Yechish. bo’lsin, u holda tenglama ikkita 1, -1 haqiqiy
ildizlarga va ta kompleks ildizlarga ega.
Bunda ildiz
ildizga qo’shma.
Shunday qilib,
;
;
.
ni hosil qilamiz.
23

Agar n = 2 m +1 bo’lsa, shunga o’xshash yo’l bilan
ni hosil qilamiz. ■
7-m i s o l. Tenglikni isbotlang:
.
Yechish. 6-misolning natijasiga ko’ra:
ni hosil qilamiz.
x = 1 ni qo’yib, yoki va
nihoyat ni hosil qilamiz. ■
8-m i s o l. Tenglamani yeching: .
Yechish. Tenglamani shaklda yozish mumkin.
Bundan , bu yerda . U
holda bo’ladi. Bu ifodani soddalashtiramiz
.
Shunday qilib, .■
9-m i s o l. Agar a va b o’zaro tub sonlar bo’lsa, 1 ning ab- darajali
ildizlari 1 ning a- darajali va b- darajali ildizlarining ko’paytmasidan iborat
bo’lishini isbotlang.
Yechish. va mos ravishda 1 ning a -darajali va b -darajali ildizlari
bo’lsin, bunda ; .
Avvalo 1 ning a- darajali ildizining b- darajali ildiziga ko’paytmasi 1 ning
ab darajali ildizi bo’lishini ko’rsatamiz. Haqiqatan, bo’lsin. U
holda .
24

Endi larning har xil bo’lishini ko’rsatish yetarli. Faraz qilaylik,
. U holda , ya’ni . 13-masalaga ko’ra, =1,
ya’ni , . ■
10-m i s o l. Tenglamani yeching
.
Yechish.
,
bo’lsin.
U holda , , bu yerda
. Bulardan Tenglama
ko’rinishga keladi. Bu tenglamani yechib,
ni hosil qilamiz. ■
M A S H Q L A R
59. Birning quyidagi darajali ildizlarini toping:
a) 2; b) 3; c) 4; d) 8; e) 12; f) 24.
60. Birning quyidagi darajali boshlang’ich ildizlarini toping:
a) 2; b) 3; c) 4; d) 8; e) 12; f) 24 .
61. Birning a) 16; b) 20; c) 24 darajali har bir ildizi qaysi ko’rsatkichga
tegishli bo’lishini aniqlang.
62. - 1 ning 2 n- darajali boshlang’ich ildizi bo’lsa,
yig’indini hisoblang.
63. 1 ning barcha n- darajali ildizlari yig’indisini toping.
64. - 1 ning n -darajali ildizi bo’lsa, yig’indini
hisoblang.
65. - 1 ning n- darajali ildizi bo’lsin.
yig’indini hisoblang.
66. Yig’indilarni hisoblang :
67. 1 ning:
a) 15-chi; b) 24-chi; c) 30-chi darajali boshlang’ich ildizlari yig’indisini
toping.
25

68*. kompleks sonlar, n natural son bo’lsin.
tenglamaning ildizlari bitta aylanada yoki to’ g’ ri chiziqda
yotishini isbotlang.
69. Tenglamalarni yeching:
a) ;
b) ;
c*) ;
d) .
70*. Agar A moduli 1 ga teng bo’lgan kompleks son bo’lsa,
tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy va har xil bo’lishini isbotlang.
71*. Agar a va b o’zaro tub sonlar bo’lsa, va ko’phadlar
yagona umumiy ildizga ega bo’lishini ko’rsating.
72*. Agar a va b o’zaro tub sonlar bo’lsa, 1 ning a- darajali va b- darajali
bolang’ich ildizlarining ko’paytmasi 1 ning ab darajali boshlang’ich ildizi
bo’ladi va aksincha. Shu tasdiqni isbotlang.
73. a va b o’zaro tub sonlar bo’lsa, bo’lishini isbotlang,
bu yerda 1 ning n -darajali boshlang’ich ildizlari soni.
74*. Agar , -har xil tub sonlar bo’lsa,
tenglik o’rinli bo’lishini isbotlang.
75*. n > 2 bo’lganda 1 ning n -darajali boshlang’ich ildizlari soni juft son
bo’lishini isbotlang.
76. n ning quyidagi qiymtalari uchun doiraviy ko’phadni yozing:
a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5; f) 6; g) 7; h) 8;
b) i) 9; j) 10; k) 11; l) 12; m) 15; n) 105.
77. p tub son uchun ko’phadni yozing.
78*. ko’phadni yozing, p tub son.
79*. n>1 toq son uchun tenglikni isbotlang.
80*. Agar d son n sonning tub bo’luvchilaridan tashkil topgan bo’lsa, 1
ning nd- darajali boshlang’ich ildizi 1 ning n -darajali ildizining d- darajali ildizi
bo’ladi va aksincha. Shuni isbotlang.
81*. Agar , - har xil tub sonlar bo’lsa,
, bo’lishini isbotlang.
82*. orqali 1 ning n- darajali boshlang’ich ildizlari yig’inidsini
belgilaymiz. Agar n biror tub sonning kvadratiga bo’linsa, , agar n juft
sondagi har xil tub sonlarning ko’paytmasi bo’lsa, ; agar n toq sondagi
tub sonlarning ko’paytmasi bo’lsa bo’lishini isbotlang.
83*. Agar d n sonning barcha bo’luvchilari to’plamida o’zgarsa,
bo’lganda tenglik o’rinli bo’lishini ko’rsating.
26

84*. bo’lishini isbotlang, bu yerda d n sonning barcha
bo’luvchilari to’plamida o’zgaradi.
85*. ni toping.
86*. ni toping.
87*. Birning ikkitadan olingan n- darajali boshlang’ich ildizlari
yig’indisini toping.
88*. , bunda  – birning n –darajali boshlang’ich
ildizi. ni toping.
6-§. Kompleks o’zgaruvchining ko’rsatkichli va
logarifmik funksiyalari
z kompleks o’zgaruvchining ko’rsatkili funksiyasi quyidagi Eyler
formulasi yordamida aniqlanadi: .
Bu formulaga a = 0 ni qo’yib, ni hosil qilamiz.
b ni –b ga almashtirib, ni hosil qilamiz.
Bu tenglamalarni hadlab qo’shib va ayirib, quyidagi formulalarni hosil
qilamiz:
,
bular Eyler formulalari deb ataladi. Ular trigonometrik va mavhum ko’rsatkichli
funksiyalar o’rtasidagi bog’lanishni ifodalaydi.
Kompleks sonning trigonometrik shaklini
ko’rinishda yozish mumkin. Kompleks sonning bunday ko’rinishdagi yozuvi
uning ko’rsatkichli shakli deyiladi. Kompleks sonning ko’rsatkichli shaklini
quyidagicha yozish mumkin:
bu esa kompleks sonning natural logarifmini formula yordamida
aniqlash tabiiy bo’lishini ko’rsatadi, ya’ni kompleks son logarifmining haqiqiy
qismi esa uning argumentidan iborat. Bunday kiritilgan logarifmik funksiya
noldan farqli barcha kompleks sonlar to’plamida aniqlangan. Shuni ta’kidlash
kerakki, kompleks sonning argumenti ko’p qiymatli bo’lganligi sababli
logarifmik funksiya ham ko’p qiymatlidir. Xususiy holda, logarifmning –
ko’paytmaning logarifmi logarifmlar ko’paytmasiga teng – degan xossasi faqat
ko’pqiymatlilikni hisobga olgan holda to’g’ri.
1-m i s o l. ning qiymatlaridan biri 0 ga teng, (-1) ning
qiymatlaridan biri esa dan iborat, chunki . Lekin
. Bu ning 0 dan farqli qiymatlaridan biridir (chunki
). ■
 – noldan farqli kompleks son bo’lsin. U holda ning istalgan qiymati
uchun bo’ladi. Shuning uchun ta’rif bo’yicha deb hisoblash
27

tabiiydir. Bu ham ln ning ko’pqiymatliligi sababli  va  ning ko’p qiymatli
funksiyasi bo’ladi va u 2 qo’shiluvchi aniqligida aniqlangan.
2-m i s o l. nimaga teng?
Yechish. bo’lganligi uchun . Shunday qilib,
biz qandaydir ma’noda paradoksal natijaga keldik, ya’ni «juda mavhum»
bo’lgan ifodaning barcha qiymatlari haqiqiydir. ■
M A S H Q L A R
89*. Limitni toping: .
90*. Eyler formulasiga ko’ra kompleks sonlarni ko’paytirishdagi
argumentlarning qo’shilishi qoidasi nimaga o’tadi? Muavr formulasi uchun h am
shunday savolga javob bering.
91. H isoblang :
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; q) .
92. Limitni toping: .
93*. arctgx ni logarifmik funksiya orqali ifodalang .
JAVOBLAR. KO’RSATMALAR. YECHILISHLAR.
1-§.
1. a) ; ; b) ; c) 10; 28.
2. a) ; b) ;
c) .
3. a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; d) 4; h) 52 i ; i) 2; j) 1.
4. a) –2; b) 0.
5. a) 0; b) .
7. a) ; b)  ; c) .
8. a) 1; b) n = 4
 bo’lganda 0, n = 4  + 1 bo’lganda i ; n = 4  + 2 bo’lganda i -1; n = 4 
+ 3 bo’lganda -1; c) – i.
9. a) a 2
+ b 2
+ c 2
- ( ab + bc + ac ); b) a 3
+ b 3
;
c)
10. a) ; b) , ; c) ;
28

d) , ;
e) ; f)  .
11. a) ; b) ; c) ; d) ; e) ;
f) ; g) ; h) ;
i) ; j) .
12. a) x
1 = 3 -i ; x
2 = -1+2 i ; b) x
1 = 2+ i , x
2 = 1 - 3 i ;
c) x
1 = 1 -i ; ; d) x
1 = 2- i , x
2 = -2+ i , x
3 = 2+ i , x
4 = -2- i ;
e) , ; f) x
1 = 3+2 i , x
2 = 1+ i ;
g) , ; h) x
1 = - i , x
2 = -1+ i
2-§.
14. z
4 = z
1 + z
3 - 2 z
2 .
15. , t – ixtiyoriy musbat son.
16. a) ; b) 0, 3 i , -3 i ; c) bi , .
17. .
18. ; .
19. a) ; b) - 1, ;
c) , , , .
20. a) radiusi 1 ga teng va markazi koordinatalar boshiga joylashgan aylana;
b) koordinatalar boshidan chiquvchi va musbat haqiqiy yarim o’q bilan ga teng
burchak hosil qiluvchi nur;
s) radiusi 2 ga teng va markazi koordinatalr boshida bo’lgan yopiq doira;
d) radiusi 1 ga teng bo’lib, markazi 1 + i nuqtaga joylashgan doiraning ichki qismi;
ye) radiusi 5 ga teng bo’lib, markazi –3 - 4 i nuqtaga joylashgan yopiq doira;
f) radiuslari 3 va 5 ga teng bo’lib, markazlari koordinatalar boshiga joylashgan
aylanalar bilan chegaralangan halqaning ichki qismi;
g) radiuslari 1 va 2 ga teng, markazi 2 i nuqtaga joylashgan aylanalar bilan
chegaralangan halqa bo’lib, unga 1 radiusli aylana kiradi, 2 radiusli aylana kirmaydi;
h) koordinatalar boshidan o’tuvchi va musbat haqiqiy yarim o’q bilan va
burchaklar hosil qiluvchi nurlar hosil qilgan burchakning ichki qismi;
i) to’g’ri chiziqlar orasiga joylashgan polosa, bu to’g’ri chiziqlar ham kiradi;
j) u = 1 to’g’ri chiziqlar;
k) ikki to’g’ri chiziq;
l) to’g’ri chiziqlar orasiga joylashgan polosaichki qismi;
m) ellips;
29

n) giperbola;
o) u 2
= 8 x parabola;
p) mavhum o’qdan chapda yotuvchi ochiq yarimtekislik.
21. i .
22. .
23. a) kesmada, bu yerda A (-1,2), V (2,-1);
b) nuqtalar parabolaga joylashgan, bunda .
24. .
25. s = 7+ i , C (7,1).
26. a) argz
1 = argz
2; b) argz
1 = -argz
2 , .
27. Ko’rsatma . t ni z orqali ifodalang va bo’lishini isbotlang.
28. a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) ;
g) ; h) ;
i) ; j) ;
k) ; l) ;
m) yoki ;
modul uchun ikkinchi ifodani hosil qilish uchun
formulani qo’llash lozim;
n) ; o) ;
p) ; q) ;
r) ;
;
s) ;
29. a) ; b) ;
c) ; d) ;
e) .
30

30. a) ; b) .
31. Ayniyat geometriyadagi quyidagi teormeani ifodalaydi: parallelogram dioganallari
kvadratlarining yig’indisi tomonlari kvadratlarining yig’indisiga teng.
3-§.
32. a) ; b) ; c) - 64;
d) 2, agar n – juft bo’lsa, - 2, agar n – toq bo’lsa;
e) ; f) ; g) .
36. a) ;
b) ;
s) .
37. a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) ;
g) ;
h) ;
i) ; j) ;
k) ;
l) ;
m) ; n) ;
o) ; p) .
38.
a)

b) .
39. ;
41.
c) ;
31

b) .
42. .
43. , bu yerda shunday butun sonlarki,
.
44. toq bo’lganda
.
juft son bo’lganda
.
toq son bo’lganda .
juft son bo’lganda .
Ko’rsatma . larni qaraladi. Bu yerdan
kelib chiqadi. Keyin bir xil binomial umumiy ko’patuvchini qavsdan tashqariga chiqarish va
Muavr formulasidan foydalanish lozim.
45. a) ; b) ;
c) ; d) ;
e) ;
f) .
4-§.
46. ekanligini hisobga olinsa, a) va b) tengliklar 1-misolga keltiriladi.
47. a) va b) tenglamalarni 2-misoldagidek hosil qilish mumkin, bunda:
, .
48. 4-misolga qarang.
49. 5-misoldagi (*) ayniyatdan bo’lganda kelib chiqadi.
50. Yechish. Chap tomondagi ifoda quyidagi ko’phaddagi oldidagi koeffisiyentan
iborat:
32

.
Oxirgi ifodada oldidagi koeffisiyent ga tengligi ravshan.
51. 7-misoldan kelib chiqadi.
52. a) Yechish. ko’paytmani qaraymiz. natijada,
, shuning uchun
Avvalo faraz qilaylik , m – juft , ya ’ ni , bo ’ lsin . U holda
. Bu yerdan ni hosil qilamiz;
b) agar m – toq bo’lsa, deb olamiz.
tenglikning chap tomonidagi oldidagi koeffisiyent
ga teng. Lekin qaralayotgan tenglikning o’ng
tomonidan ko’rinadiki, bu koeffisiyent nolga teng bo’lishi kerak (chunki yoyilmasida x ning
toq darajali hadlari qatnashmaydi). Shuning uchun va tenglik isbot
bo’ldi.
53. a) 9-misolda ni ga almashtiring;
b) va s) lar ham 9-misol va a) ga o’xshash keltirib chiqariladi.
54. 10-misolga o’xshash.
55. a) ; b) .
56. . Ko’rsatma : formuladan foydalaning.
58. a) ;
b) . Ko’rsatma . ko’rinishdagi
yig’indini hisoblash uchun uni ga ko’paytirish foydali.
5-§.
59. a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ;
g)
60. a) -1; b) ; c) ; d) ; e) ;
33

f) .
61. a) belgilashni kiritib, quyidagilarni hosil qilamiz:
1 ko’rsatkichga tegishli;
2 ko’rsatkichga tegishli;
4 ko’rsatkichga tegishli;
8 ko’rsatkichga tegishli;
16-darajali boshlang’ich ildizlar
b) belgilashni kiritib, quyidagilarni hosil qilamiz:
1 ko’rsatkichga tegishli;
2 ko’rsatkichga tegishli;
4 ko’rsatkichga tegishli;
5 ko’rsatkichga tegishli;
10 ko’rsatkichga tegishli;
20-darajali boshlang’iya ildizlar
s) belgilashlarni kiritib, quyidagilarni hosil qilamiz:
1 ko’rsatkichga tegishli;
2 ko’rsatkichga tegishli;
3 ko’rsatkichga tegishli;
4 ko’rsatkichga tegishli;
6 ko’rsatikichga tegishli;
8 ko’rsatkichga tegishli;
12 ko’rsatkichga tegishli
24-darajali boshlang’ich ildizlar .
62. .
63. 0, agar bo’lsa.
64. , agar bo’lsa; , agar bo’lsa.
65. , agar bo’lsa;
, agar bo’lsa.
66. a) ; b) ;
67. a) 1; b) 0; c) -1.
68. Yechilishi: Agar z berilgan tenglamani qanoatlantirsa, u holda
bo’ladi. Berilgan ikki nuqtalargacha bo’lgan masofalar nisbati o’zgarmas bo’lgan nuqtalar
to’plami aylanadan iborat (xususiy holda, bo’lsa, bu to’plam to’g’ri chiziq bo’ladi).
69. a) ; b) ;
c) . K o’ rsatma .
34

tenglamani qarang;
d) .
70. Yechish. bo’lsin. U holda , bu yerda
.
Bundan .
71. Yechish. va larning umumiy ildizi; s - ildiz tegishli
bo’lgan ko’rsatkich bo’lsin. U holda s - a va v ning umumiy bo’luvchisi bo’ladi shuning
uchun faqat s= 1 va =1 bo’lishi mumkin. Teskarisi ko’rinib turibdi.
72. va  - 1 ning a va -darajali boshlang’ich ildizlari bo’lsin. bo’lsin.
U holda ; . Demak a ga bo’linadi, as ga bo’linadi. Natijada s ga
bo’linadi.  - 1 ning -darajali boshlang’ich ildizi bo’lsin. U holda (9-misolni
qarang). ildiz ko’rsatkichga tegishli bo’lsin. U holda , bu
esa mumkin emas. Xuddi shunday, - 1 ning b- darajali boshlang’ich ildizi bo’lishini
ko’rsatish mumkin.
73. 72-masaladan kelib chiqadi.
74. Yechish. Avvalo r 
dan oshmaydigan barcha r ga karrali sonlarni yozib olamiz.
Bular 1 × r , 2 × r ,…, r 
-1
r . Bunday sonlar ta. Natijada, Eyler funksiyasining ta’rifiga
ko’ra, . U holda 73-masalaga ko’ra
.
75. Yechish. Agar - birning -darajali boshlang’ich ildizi bo’lsa, u holda uning
qo’shmasi ham 1 ning -darajali boshlang’ich ildizi bo’ladi. Bunda ¹
± 1, chunki
.
76. a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) ; g)
;
h) ; i) ;
j) ;
k) ;
l) ; m) ;
77. .
78. . Ko’rsatma . ning barcha
ildizlari va faqat ular ning boshlang’ich ildizlari bo’ladi.
35

79. Yechish. - 1 ning n -darajali boshlang’ich ildizlari bo’lsin. U holda
(72-masalaga qarang) , sonlar 1 ning 2 n – darajali boshlang’ich
ildizlari bo’ladi.
,
yoki (75-masalaga qarang) .
80. Yechish. - 1 ning nd- darajali boshlang’ich ildizi bo’lsin,
ya’ni k va n o’zaro tub sonlar. k ni n ga bo’lib, k = nq+r , 0<r<n ni hosil qilamiz. Bu yerdan:
,
ya’ni - d darajali ildizning qiymatlaridan biri bo’ladi va ; - 1
ning n darajali boshlang’ich ildizi bo’ladi, chunki r va n ning har bir umumiy bo’luvchisi k va
n ning umumiy bo’luvchisi bo’ladi.
- 1 ning n- darajali boshlang’ich ildizi bo’lsin, ya’ni r va n
o’zaro tub sonlar. Quyidagi sonlarni qaraymiz
,
bu yerda - 1 ning nd darajali boshlang’ich ildizi bo’ladi. Haqiqatan,
agar va nd sonlar bir vaqtda r tub songa bo’linsa, n va r sonlar ham p ga bo’linar edi.
Bu esa mumkin emas.
81. Yechish. - 1 ning
darajali ildizlari bo’lsin. U holda
. - ning chiziqli
ko’paytuvchilarga yoyilmasi bo’lsin. U holda . 80-masalaga ko’ra
har bir chiziqli ko’paytuvchi yoyilmaga kiradi va aksincha. Bundan
tashqari, bo’lganligi uchun va larning darajalari teng.
82. Ko’rsatma . 77, 78, 72- masalalardan foydalaning va
1) r – tub bo’lsa, ,;
2) r – tub, > 1 bo’lsa, ;
3) a va b o’zaro tub bo’lsa, .
83. Yechish. 1 ning barcha n- darajali ildizlari yig’indisi 0 ga teng. 1 ning har bir n -
darajali ildizi n ning bo’luvchisi bo’lgan d ko’rsatkichga tegishli i obratno, to .
84. Yechish. ildiz n
1 ko’rsatkichga tegishli bo’lsin. U holda
x -
 ko’paytuvchi faqat shunday x d
-1 ikki hollarda qatnashadiki, d son n
1 ga bo’linadi. Bunda
d n ning n
1 karrali barcha bo’luvchilari to’plamida, esa ning barcha bo’luvchilari
36

to’plamida o’zgaradi. Shunday qilib, x -
ko’paytuvchi o’ng tomonda ko’rsatkich
bilan qatnashadi. Agar
bo’lsa, bu yig’indi 0 ga, n = n
1 bo’lganda esa 1 ga teng.
85. Yechish. Agar , r – tub son bo’lsa, bo’ladi. Agar
( – har xil tub sonlar) bo’lsa, u holda (81-masalaga qarang)
; bunda n /
= .
Endi n= ; bo’lsin. ning barcha bo’luvchilarini hosil
qilish uchun n ning barcha bo’luvchilariga ularning r
k ga ko’paytmalarini qo’shish yetarli.
Shuning uchun
.
Bu yerdan .
86. Yechish. 1) n – birdan katta toq son bo’lsin. U holda (79-masalaga qarang)
;
2) n = 2 
bo’lsin, u holda va k= 1 bo’lganda 0 ga, k> 1
bo’lganda 2 ga teng.
3) , - birdan katta toq son bo’lsin. U holda (79-masalaga qarang)
va natijada bo’lganda ( r – tub son) p ga,
bo’lganda 1 ga teng.
4) ,  >1, ( - har xil toq sonlar) bo’lsin. Bu
holda (81-masalaga qarang) , bunda . Bu
yerdan kelib chiqadiki, .
87. Yechish. - 1 ning boshlang’ich ildizlari bo’lsin:
.
1) m – toq son bo’lsin. Bu holda 1 ning n –darajali boshlang’ich ildizi va faqat
bo’lganda bo’ladi. Shuning uchun va
.
2) - toq son bo’lsin. Bu holda (72-masalaga qarang) 1 ning
darajali boshlang’ich ildizi bo’ladi va shuning uchun (1) ga qarang)
. Shunday qilib, bu holda .
3) , , - toq son bo’lsin. Bu holda ildiz ko’rsatkichga tegishli
bo’ladi. 80-masalaga ko’ra lar larning kvadrat ildizlaridan
37

iborat bo’ladi, bu yerda - 1 ning - darajali boshlang’ich ildizlari. Bu
yerdan kelib chiqadiki,
.
88. Yechish. y ning istalgan qiymatlarida ;
n ning toq qiymatlarida
.
n juft bo’lganda , chunki n ga bo’linmaydigan
uchun . Shunday qilib, , agar n – toq bo’lsa va , agar
n – juft bo’lsa.
6-§.
89. Yechish. ni trigonometrik shaklga keltiramiz va ning absolyut
qiymati va argumentining limitlarini topamiz. Natijada quyidagini hosil qilamiz:
,
bunda . deb hisoblab, ni hosil qilamiz. Shunday
qilib, .
90. Yechish.
formula formulaga, ya’ni bir xil asosli darajalarni ko’paytirish qoidasiga
aylanadi. Xuddi shunday, Muavr formulasi formulaga aylanadi.
91. a) ; b) ; c) ;
d) ; e) –1; f) ; g) .
92. .
93. Yechish. ni hosil qilamiz. bo’lsin. U h olda
.
Foydalanilgan adabiyotlar
38

1. B.L. Van der Varden. Algebra. M., Nauka, 1976.
2. Kostrikin A.I. Vvedeniye v algebru. M., 1977, 495 str.
3. Leng S. Algebra. M. Mir, 1968.
4. Faddeyev D.K. Leksii po algebre. M., Nauka, 1984, 415 st.
5. Faddeyev D.K., Sominskiy I.S. Sbornik zadach po vysshey algebre. M.,
Nauka, 1977.
6. Sbornik zadach po algebre pod redaksiyey. A.I. Kostrikina, M., Nauka,
1985.
7. Xojiyev J., Faynleb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi, Toshkent,
«O’zbekiston», 2001.
8. Narzullayev U.X., Soleyev A.S. Algebra i teoriya chisel. I - II chast,
Samarkand, 2002.
Mundarija
1-§. Algebraik shakldagi kompleks sonlar …………………….3
2-§. Kompleks sonning geometrik tasviri va
trigonometrik shakli……………………………….……..8
3-§. Darajaga ko’tarish va ildiz chiqarish ……..……………. 15
4-§. Yig’indi va ko’paytmalarni kompleks sonlar
39

yordamida hisoblash ………………………………….. 19
5-§. Birning ildizlari ………………………………………. 26
6-§. Kompleks o’zgaruvchining ko’rsatkichli va logarifmik
Funksiyalari …………………………………………….. 31
Javoblar. Ko’rsatmalar. Yechilishlar ………………………………… 32
Foyadalanilgan adabiyotlar ………………………………………46
40

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O‘RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI ALISHER NAVOIY NOMIDAGI SAMARQAND DAVLAT UNIVERSITETI Algebra va geometriya kafedrasi KOMPLEKS SONLAR NAZARIYASI «Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish uchun uslubiy tavsiyalar « 5 460100 MATEMATIKA » ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari uchun (Uslubiy qo‘llanma) SamDU o‘quv-uslubiy kengashi tomonidan 2011 yil ______da nashrga tavsiya etilgan. Samarqand – 2011 1

Kopmpleks sonlar. «Algebra va sonlar nazariyasi» fanidan amaliy mashg’ulotlar o’tkazish uchun uslubiy tavsiyalar. . Uslubiy qo‘llanma. – Samarqand: SamDU nashri, 2011. – 46 bet. Ushbu uslubiy qo‘llanma « Algebra va sonlar nazariyasi » fani bo‘yicha «5460100 – matematika» ta’lim yo‘nalishi bakalav r talabalari va «5A460100 – Matematik mantiq, Algebra va sonlar nazariyasi» mutaxassisligi magistrantlari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, unda shu fanning namunaviy o‘quv dasturidan kelib chiqib, kompleks sonlar nazariyasi ning usullariga oid qisqacha nazariy ma’lumotlar, bu usullarning taqbiqiga oid namunaviy misollar yechimlari, mustaqil ish topshiriqlari va boshqa tarqatma materiallar keltirilgan. Keltirilgan ma’lumotlar talabalarga shu fanni yanada chuqurroq o‘ zlashtir ishga yaqindan yordam beradi degan umiddamiz . Tuzuvchilar: U.X. Narzullaev. A.S. Soleev Mas‘ul muharrir fizika-matematika fanlari nomzodi, dotsent Nosirova H.N. Taqrizchilar : fizika-matematika fanlari doktori, professor Ikromov I.A. fizika-matematika fanlari nomzodi, dotsent Yaxshiboyev M.Y. 2

Tayanch iboralar: kompleks son; mavhum birlik; kompleks sonning haqiqiy va mavhum qismi; kompleks-qo’shma son; kompleks tekislik; haqiqiy va mavhum o’q; kompleks sonning absolyut qiymati va argumenti; kompleks sonning trigonometrik shakli; yig’indining absolyut qiymati haqidagi teorema; Muavr formulasi; kompleks sondan n-dara-jali ildiz chiqarish formulasi; birning n-darajali ildizlari; birning n-darajali boshlang’ich ildizlari; doiraviy ko’phad; Eyler formulasi; kompleks sonning ko’rsatkichli shakli. 1-§. Algebraik shakldagi kompleks sonlar Kompleks son deb haqiqiy sonlarning tartiblangan juftligiga aytiladi. ( a , o ) kompleks sonni haqiqiy sondan farqlamaydilar. Barcha kompleks sonlar to’plamini S orqali belgilanadi. (a,b) va (c,d) juftliklar ularning mos koordintalari teng bo’lgandagina teng deyiladi, ya’ni Kompleks sonlarni qo’shish va ko’paytirish amallari quyidagi tengliklar yordamida kiritiladi ( a , v )+( c , d ) = ( a + c , b + d ), ( a , b ) × ( c , d ) = ( ac - bd , ad + bc ) (0,1) kompleks soni i harfi orqali belgilash va uni mavhum bir deb atash qabul qilingan. i 2 + 1 = 0 bo’lishini ko’rsatish qiyin emas, ya’ni i soni x 2 + 1 = 0 tenglamaning ildizi bo’ladi. Har qanday z kompleks sonni a + bi algebraik shaklda yozish mumkin. Agar z = a + bi bo’lsa, a son z kompleks sonning haqiqiy qismi dyiladi va Re z orqali belgilanadi, b son esa z kompleks sonning mavhum qismi deyiladi va Im z orqali belgilanadi. z = a - bi kompleks son, z = a + bi kompleks sonning kompleks qo’shma si deyiladi. Agar a = c , b = d bo’lsa a + bi va c + di kompleks sonlar teng deyiladi. Algebraik shakldagi kompleks sonlar ustida arifmetik amallar quyidagi tengliklar yordamida aniqlanadi: ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i, ( a + bi ) - ( c + di ) = ( a - c ) + ( b - d ) i, ( a + bi ) ( c + di ) = ( ac - bd ) + ( ad + bc ) i, (c+di ¹ 0, ya’ni s 2 +d 2 ¹ 0). Boshqacha aytganda, agar i 2 = - 1 ekanligini hisobga olinsa, kompleks sonlar ustida barcha arifmetik amallar haqiqiy sonlar ustidagi xuddi shunday amalar kabi bajaradi. Agar kompleks sonlarning yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va bo’linmasidagi barcha sonlarni ularning kompleks-qo’shmasiga almashtirilsa, natija ham o’zining qo’shmasiga almashadi: 3

, , , Kompleks sonni darajaga ko’tarish amali quyidagicha aniqlanadi: . Agar z ¹ 0 bo’lsa: deb qabul qilinadi. Kompleks sonning butun ko’rsatkichli darajasi quyidagi xossalarga ega: Kompleks son z ning n -darajali ildizi deb shunday kompleks songa aytiladiki, . 1-m i s o l. Quyidagi tenglamadan x va y haqiqiy sonlarni toping: ( 5 x – 3 y ) + ( x – 2 y ) I = 6 + ( 8 – x + y ) i . Yechish. Kompleks sonlarning tenglik shartidan foydalanib, sistemani hosil qilamiz. Bu sistemadan x va y noma’lumlarni topamiz: . ■ 2-m i s o l. i ning darajalarini toping. Yechish. Ta’rifga ko’ra i 0 = 1, i 1 = i va i 2 = - 1. Shuning uchun i 3 = i 2 i = - i, i 4 = i 3 i = 1, i 5 = i 4 × i = i . Umuman olganda: i 4n = 1, i 4n+1 = i , i 4n+2 = - 1, i 4n+3 = - i , n Î N . ■ 3-m i s o l. Darajaga ko’taring: (1+ i ) 20 , (1- i ) 21 . Yechish. Bu masalani Nyuton binomi formulasidan foydalanib hal qilsa bo’ladi, lekin uni quyidagicha yozish qulayroq: (1+ i ) 2 = 2 i , (1- i ) 2 = - 2 i . U holda ■ Kompleks koeffisiyentli istagan kvadrat tenglamani yechish uchun, avvalo kompleks sonning kvadrat ildizini topa olish kerak. Ta’rifga ko’ra x + yi son a + bi sonning kvadrat ildizi bo’lishi: ( x + yi ) 2 = a + bi (*) tenglikning bajarilishiga teng kuchli. (*) tenglik quyidagi formulalar yordamida topiladigan ikkita har xil yechimlarga ega bo’ladi: , bu yerda radikal arifmetik ildizni bildiradi, agar b > 0 bo’lsa, x va y larning ishoralari bir xil qilib, b < 0 bo’lganda esa har xil qilib tanlanadi. 4-m i s o l. ildizning qiymatlari 5 - i va - 5 + i bo’ladi.■ 4

Kvadrat ildizni to’g’ridan to’g’ri topish ham mumkin. 5-m i s o l. Ildizdan chiqaring: Yechish. bo’lsin. Ildizning ta’rifiga ko’ra ( x + yi ) 2 = 5 + 12 i yoki ( x 2 - y 2 ) + 2 x y i = 5 + 12 i , bundan sistemani hosil qilamiz. Bu sistemadagi ikala tenglikni kvadratga ko’tarib va ularni qo’shib, ( x 2 + y 2 ) 2 = 25 + 144 va x 2 + y 2 = 13 larni hosil qilamiz. U holda sistemadan x va y noma’lumlarni topamiz: x = ± 3, y = ± 2. Oldingi sistemaning ikkinchi tenglamasidan x va y larning bir xil ishorali bo’lishi kelib chiqadi. Shuning uchun x 1 = 3, y 1 = 2; x 2 =-3, y 2 =-2. Shunday qilib, ildiz ikkita 3 + 2 i va - 3 - 2 i qiymatlarga ega.■ Endi kompleks sonning kvadrat ildizini topishni bilgan holda aynan maktab matematika kursidekdagi kompleks koeffisiyentli ax 2 + bx + c = 0 tenglamaning ildizlari formula yordamida topilishini ko’rsatish mumkin. 6-m i s o l. (3 - i ) x 2 - 2(2 - 3 i ) x - 4 i = 0 kvadrat tenglamaning ildizlari x 1 = 0,4 - 0,8 i va x 2 = 0,2 - 1,4 i sonlardan iborat. ■ 7-m i s o l. Sistemani yeching: . Yechish. Sistemadagi birinchi tenglamaning ikkala tomonini (1 - i ) ga, ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini esa (1 + i ) ga ko’paytirib ni hosil qilamiz. Bu tenglamalarni qo’shib, 4 z 1 = 4 i ga kelamiz. Bundan z 1 = i . Birinchi tenglamadan ikkalasini ayirib - 4 z 2 i = 4 - 4 i ni hosil qilamiz. Bundan .■ 8-m i s o l. a ning qanday haqiqiy qiymatlarida 4 i 4 - 3ai 3 + (2 - a ) i - 5 + a son haqiqiy bo’ladi? Yechish. i 4 = 1, i 3 = - i bo’lganligi sababli . 5

O'xshashlar

kompleks son

Son uslubiyati.

determinant uslubiy

matrisalar uslubiy

Son so‘z turkumi haqida