MAVZU: Qovushoq kuchlanish tenzori. Stoks va Nyuto n suyuqliklari Reja: 1. Elastik jisimlar va qovushoq suyuqlik. 2. Guk va Nav'e - Stoks qonunlari. 3. Muhitning anizotropiya, izotropiya va girotropiya xossalari. 4. Girotrop muhit uchun Guk va Nav'e-Stoks qonunlari. 5. Yung moduli, Puasson koeffisienti va qovushoqlik koeffisienti.

Tayanch iboralar: elastik jism, qovushoq suyuqlik, kuchlanish, deformasiya, anizotropiya, izotropiya, qirotropiya, deformasiya tenzori, Puasson koeffisienti, Yung moduli, Lame koeffisientlari. 1. Elastik jisimlar va qovushoq suyuqlik Quyida biz tutash muhitning boshqa xususiy modellari ni qarab chiqamiz, bular: chiziqli elastik jism va chiziqli qovushoq suyuqlik modeli . Bu modellarni parallel ravishda qaraymiz, sababi ularni kiritish usullari formal ravishda o'xshash. Aslida bu ikki model ikkita har hil turdagi real muhitlarni ifodalaydi. Elastik jism deb shunday muhitga aytiladiki unda pki kuchlanish tenzori komponentasi har bir zarrachada εij deformasiya tenzori komponentalari, gij metrik tenzor komponentalari, T temperatura va boshqa fizik-ximik parametrlarning funksiyasidan iborat bo'ladi, ya'ni pij= fij(εαβ,gαβ ,T,X ,..,Xn). (16.1) Qovushoq suyuqlik deb shunday muhitga aytiladiki unda kuchlanish tenzori komponentasi pij=− pg ij+τij (16.2) ko'rinishda tasvirlanadi, shu bilan birga p= p(ρ,T,χ1,...,χn), τij=ϕij(eαβ,gαβ,T,χ1,...,χn), (16.3) bu yerda eαβ - deformasiya tezliklari komponentalari. Bu paragrafda biz fij ning εαβ va gαβ lardan va ϕαβ ning eαβ , gαβ lardan bog'liqliklarini o'rganib chiqamiz va shuning uchun T va χi parametrlarni hisobga olmaymiz. 2. Guk va Nav'e - Stoks qonunlari fij(εαβ ,gαβ ,T ,χi) va ϕij(ℓαβ ,gαβ ,T ,χi) funsiyalarning konkret ko'rinishi elastik va qovushoq muhitning har xil konkret modellari uchun har xil bo'ladi. Tajribalar shuni ko'rsatadiki, kuchlanish va deformasiyalar qattiq jismlarda , masalan, metallarda, oddiy sharoitlarda (unchalik katta bo'lmagan temperatura va kuchlanishlarda) bir biri bilan Guk qonuni deb ataluvchi qonun bilan bog'langan . Qovushoq kuchlanish va deformasiya tezliklari ko'pgina suyiq muhitlarda , masalan suv va havoda Nav'e-Stoks qonuni bilan o'zaro bog'langan . Bu qonunlarni (Guk qonuni uchun quyida kirilgan) quyidagi farazlar yordamida kiritish mumkin. Faraz qilaylik fij funksiyalar εαβ lar bo'yicha Teylor qatoriga yoyilgan bo'lsin va kuchlanishlar bo'lmaganda (pij=0) , deformasiyalar ham bo'lmasin (εαβ= 0) hamda teskarisi o'rinli bo'lsin. Bunday farazlarda pij= fij(εαβ ,gαβ )= Aijαβ εαβ+....

bo'ladi, bu yerda Aijαβ koeffisientlar T va χi larga bog'liq bo'lishi mumkin. Agarda deformasiyalar kichik bo'lsa, u holda pij ni qatorga yoyganda faqat chiziqli hadlarni qoldirish mumkin va bu holda pij= Aijαβ εαβ (16.4) bo'ladi. Xuddi shunday farazlarni ϕij funksiyalar uchun qilib quyidagi tenglikka kelamiz: τij= Bijαβ eαβ . (16.5) (16.4) munosanatlar Guk qonuni deyiladi, (16.5) esa Nav'e - Stoks qonuni yoki N'yuton qovushoqligining umumlashgan qonuni deyiladi. ( 16 .4) va ( 16 .5) larni biz mos ravishda εαβ va eαβ larni kichik deb hosil qildik. Ammo, takidlash kerakki, xususan, Nav'e-Stoks qonuni suv, havo va ba'zi bir boshqa suyuqliklar uchun deformasiya tezliklari tenzorlari kichik bo'lmagan holda ham qo'llanilishi mumkin. Umumiy termodinamik munosabatlardan kelib chiqadiki, Guk qonuni faqat kichik deformasiyalar uchun taqribiy qonun sifatida o'rinli. Guk qonuniga yoki umumiyroq bo'lgan (16.1) qonunga bo'ysinuvchi tutash muhitlar ni holatini o'rganadigan tutash muhit mexanikasining bo'limi elastiklik nazariyasi deyiladi. Nav'e-Stoks yoki umiyroq (16.2) - (16.3) qonunlarga bo'ysinuvchi tutash muhit harakati qaralayotgan bo'lim - qovushoq suyuqlik harakati nazariyasi deyiladi. (16.4) va (16.5) tengliklardagi Aijαβ va Bijαβ lar to’rtinchi rang tenzor komponentalaridan iborat. Ular berilgan tutash muhitning fizik harakteristikalaridan iborat. 4-rang tenzor 3 4 = 81 ta komponentiga ega , ammo kuchlanish tenzorining (klassik holda) simmetriyaligidan, hamda deformasiya va deformasiya tezliklari tenzorlarining simmetrik ligidan Aijαβ va Bijαβ larning komponentalaridan faqat 36 tasigina qoladi. 3. Muhitning anizotropiya, izotropiya va girotropiya xossalari Izotrop muhit deb barcha yo'nalishlar bo’yicha xususiyatlari bir xil bo'lgan muhitga aytiladi. Agarda muhit xususiyatlari har xil yo'nalishlar bo'yicha har xil yo'nalgan bo'lsa, u holda muhit anizotrop deyiladi. Anizotrop muhitlar har xil tipdagi simmetriyalarga ega. Simmetriyalik xossasining aniqroq matematik ta'rifini beramiz, xususan, izotropiya uchun. Muhit fizik va mexanik xususiyalarini ba'zi bir tenzorlar va tenzor tenglamalar yordamida ifodalash mumkin. Masalan, agarda Guk qonuni bajarilayotgan bo'lsa, elastik xususiyat va xossalar Aijαβ tenzor yordamida beriladi. Muhit simmetriyaga ega deyiladi, agarda shunday koordinatalarni almashtirish gruppasi mavjud bo'lsaki, muhitning xossalarini ifodalovchi tenzor komponentalari bu gruppaga taaluqli almashtirishlarda o'zgarmasa. Xususan muhit

izotrop deyiladi, agarda uning xususiyatlarini aniqlovchi tenzor komponentalari ixtiyoriy ortoqonal almashtirishlarda o'zgarmasa. Ortogonal almashtirishlarnigij '= gαβ ∂xα ∂xβ ∂yi∂ yj= gij metrik tenzor komponentalari o'zgarmasdan qoladigan almashtirish sifatida aniqlash mumkin. To'liq ortogonal gruppa aylanma almashtirishlariga (almashtirish determinanti + 1 ga teng) hamda teskari (oyna) akslantirish bilan birgalikdagi aylanma almashtirishga (determinanti - 1 ga teng) ega. Agarda muhit xossalari faqat aylanish gruppasiga nisbatan invariant bo'lib, teskari akslantirishga nisbattan invariant bo'lmasa, muhit girotrop deyiladi. Endi biz Guk qonuniga bo'ysinuvchi elastik jismlar uchun izotropik (girotropik) xususiyatlari nimani anglatilishini chuqurroq o'rganib chiqamiz. Bunday tutash muhitning biror bir nuqtasida ayni paytda ikkita dekart koordinatalar sistemasini olamiz. Bittasi x1,x2,x3 va ikkinchisi birinchisiga nisbatan burilishdan hosil bo'lgan, uni y1,y2y3 deb olamiz. x1,x2,x3 sistemada qaralayotgan tenzor komponentalarini shtrixsiz harflar bilan y1,y2y3 sistemada mos ravishda shtrixli harflar bilan belgilaymiz. Ayonki, A'ijαβ= дy i дx p⋅дy j дx q⋅дy α дx λ⋅дy β дx μ⋅Apqλμ . (16.6) Guk qonunini x1,x2,x3 sistemada yozishda Aijαβ koeffisientlardan, y1,y2y3 sistemada A'ijαβ koeffisientlardan foydalanamiz. Har xil xi va yi sistemalarda bir xil ko’rinishga ega bo'lgan tutash muhitning ikkita deformasiyalangan holatini qaraymiz, ya'ni εij= ε'ij . Ayonki, izotrop muhitda bu holda kuchlanganlik holat ham xi va yi sistemalarda bir xil tartibga ega. Agarda A'ijαβ= Aijαβ , ya'ni Guk qonunida koeffisientlar bir xil bo'lsa, u holda pij=p'ij . Tutash muhit bu holda izoprop yoki girotrop bo'ladi. Tajriba natijalariga ko'ra har xil yo'nalishlarda muhit xossalari har xil bo'lgan anizotrop muhitlarga misol qilib molekyla yoki atomlari to'g'ri tartibda joylashgan kristallik muhitni, tolali materiallarni qarash mumkin. Izotrop muhitga masalan suv va amorf tuzilishga ega boshqa muhitlar hamda xaotik ravishda joylashgan mayda elementar kristallardan iborat bo'lgan muhitlar kiradi. 4. Girotrop muhit uchun Guk va Nav'e-Stoks qonunlari Endi izotrop va girotrop jismlar uchun umumiy 81 ta Aijαβ tenzor komponentalaridan (ularning hammasi noldan farqli bo'lishi mumkin) faqat ikkitasi erkli ekanligini ko’rsatamiz. εij deformatsiya tenzori bosh yo'nalishi bo'ylab

koordinata o'qlarini yo'naltiramiz. Ayonki, bu holda Guk qonuniga faqat Aijαα ko'rinishdagi koeffisientlar kiradi. i≠ j da Aijαα= 0 ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan, tanlangan koordinatalar sistemasining i - chi o'qiga nisbatan 180 0 ga burish natijasida biz yangi koordinatalar sistemasini hosil qilamiz. Bu yangi sistemada i - chi o'q oldingi holatda qoladi, qolgan ikki o'q esa o'z yo'nalishlarini teskarisiga o'zgartiradi va tenzor komponentalarini (16.6) almashtirish qoidasiga ko'ra biz i≠ j da hamda ixtiyoriy α larda A'ijαα=− Aijαα ga ega bo'lamiz, ammo agar muhit izotrop yoki girotrop bo'lsa, u holda A'ijαα= Aijαα va, demak i≠ j da A'ijαα= 0 . Bundan esa i≠ j da bu koordinatalar sistemasida pij= 0 tengligidan deformasiya tenzori va kuchlanish tenzori bosh o'qlari Guk qonuniga bo'ysinuvchi izotrop hamda girotrop muhitlarda mos tushadi. Guk qonunining formulalarida bosh o'qlarda 81 ta Aijαβ koeffitsientlarda faqat 9 ta Aijαα koeffitsientlar ahamiyatga ega. Muhitning qirotropik xususiyatiga o'qlarning nomerlash tartibi ahamiyatli emas va shuning uchun A1111 = A2222 = A3333 = 2μ+λ, A1122 = A1133 = A2233 = λ, Aiiαα = Aαα ii bu yerda 2μ+λ va λ lar yuqoridagi A tenzorning ikkita har xil, noldan farqli komponentalari uchun yangi belgilashlar kiritilgan. Barcha keltirilgan farazlarni Nav'e-Stoks qonuniga bo'ysinuvchi girotrop va izotrop muhitlar uchun ham keltirish mumkin va Nav'e-Stoks qonuniga bo'ysinuvchi qirotrop muhit uchun deformasiya tezligi tenzori bosh o'qlari kuchlanish tenzori bosh o'qlari bilan mos tushadi, Bijαβ koeffisientlar esa λ1 va μ1 orqali ifodalanadi. Endi izotrop muhit uchun pij= Aijαβ εαβ (16.7) Guk qonuni deformasiya tenzori va kuchlanish tenzorining bosh o'qlarida quyidagi ko'rinishga ega bo’ladi p1= λ(ε1+ε2+ε3)+2με 1, p2= λ(ε1+ε2+ε3)+2με 2, p3= λ(ε1+ε2+ε3)+2με 3, ( 16 .8) bu yerdagi λ va μ lar Lame koeffisientlari deyiladi. Xuddi shunday izotrop muhit uchun Nav'e-Stoks qonuni deformasiya tezliklari tenzori va kuchlanish tenzorining bosh o'qlarida quyidagicha yoziladi: τ1=λ1(e1+e2+e3)+2μ1e1, τ2= λ1(e1+e2+e3)+2μ1e2, τ3=λ1(e1+e2+e3)+2μ1e3. ( 16 .9) ( 16 .8) formulalar quyidagi invariant tenzor ko'rinishda yozilishlari mumkin: