Nyuton binomi. Binomial koeffietsientlarning xossalari Reja: 1. Nyuton binomi . 2. Nyuton binomi formulalari. 3. Nyuton binomi haqida tushunchalar va masalalar. 4. Binomial koeffietsientlarning xossalari. 5. Xulosa.

1. Nyuton binomi - ikki qo shiluvchi yig indisining ixtiyoriy butun musbatʻ ʻ darajasini qo shiluvchilar darajalari yig indisi ko rinishda ifodalovchi ʻ ʻ ʻ formula. Binomial koeffitsiyentlari arifmetik uchburchak tashkil qiladi. Nyuton binomi formulasi Nyutondan ancha avval ham ma lum bo lgan. ʼ ʻ Mac, Umar Xayyom (11 — 12-asrlar), Jamshid Koshiy (14—15- asrlar) binomial koeffitsiyentlarni hisoblash qoidasini bilganlar. Nyuton esa binom yoyilmasini ixtiyoriy ko rsatkich uchun umumlashtirgan. ʻ Ko'pincha matematika va tabiiy fanlarda biz kabi binomial darajalarni hisoblashimiz kerak. (x + 3) 2 yoki (2x - 7) 5 (Binomial (x + a) ga o'xshash narsa, bu kamida bitta o'zgaruvchini o'z ichiga oladi.) Birinchi misol, binomial kvadratlar juda oddiy, biz buni doimo bajaramiz. Ikkinchi variant esa, xatolarga yo'l qo'ymaslik uchun biroz ishlab chiqishni talab qiladi. Yaxshi yangilik shundaki, ushbu kengaytmalar har doim ma'lum bir naqshlarga ega va biz ularni oson bajarilishini ta'minlash uchun foydalanishimiz mumkin. Kvadrat: (x + a) 2 Umumiy nuqtai nazar uchun kvadratik binomiyaning kvadratik funktsiyaga ajralishi quyidagicha ko'rinadi. Ba'zida biz ko'paytirishimiz kerak bo'lgan barcha juftlarni eslab qolish uchun "birinchi, tashqi, ichki, oxirgi" ma'nosini anglatuvchi Fo-l mnemonikasidan foydalanamiz. Natijada har doim faqat bitta x, bitta y va bitta aralash a'zo, ikkalasini ham o'z ichiga oladi.

kengaytirilgan atamalar (x + a) 4 orqali chapdan o'ngga o'qishda koeffitsientlar 1, 4, 6, 4 va 1 ga teng. Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi. Hosil qiluvchi funksiyalarning ta’rifi uchun zarur bo‘lgan ayrim tushunchalarni matematik analiz kursidan keltiramiz. Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: , ,., ,.. u 1 u 2 u n . Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan. Quyidagi chekli sonlarning cheksiz ketma-ketligi berilgan bo‘lsin: , ,..., ,... u 1 u 2 un . Shu ketma-ketlik yordamida tuzilgan U 1 +U 2 +…+Un+…=   __k=1 u k ifoda sonli cheksiz qator yoki, qisqacha, qator deb ataladi. Sn= u 1 + u 2 +…+ u n yig‘indiga qatorning xususiy yig‘indisi deyiladi . Agar qatorning xususiy yig‘indilaridan tuzilgan S 1 , S 2 ,…,Sn,… ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsa, u holda qator yaqinlashuvchi va bu limitning qiymati yaqinlashuvchi qator yig‘indisi deb ataladi. Agar xususiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa, u holda qator uzoqlashuvchi deyiladi. 2. Qisqartirilgan ko'paytirish formulasida a+b2=C20·a2+C21·a1·b+C22·b2=a2+2ab+b2 Nyuton binomi formulasi ko'rinadi, chunki bu n=2uning maxsus ishi. Binomning birinchi qismi parchalanish deb ataladi (a+b)nСnk·an- k·bk(k+1)va bu erda parchalanishning birinchi a'zosi k=0,1,2, …,n. Nyuton binomial koeffitsientlari, binom koeffitsientlarining xususiyatlari, Paskal uchburchagi Turli n uchun binomial koeffitsientlarni taqdim etish Paskalning arifmetik uchburchagi deb ataladigan jadval yordamida amalga oshiriladi. Jadvalning umumiy ko'rinishi: Darajasi ko'rsatkichi Binominal koeffitsientlar 0 C 00 1 C 10 C 11 2 C 20 C 21 C 22

3 C 30 C 31 C 32 C 33 ⋮ … … … … … … … … … N C n0 C n1 … … … … … C nn-1 C nn Tabiiy holdan, Paskalning bunday uchburchagi dürbün koeffitsientlari qiymatlaridan iborat: Darajasi ko'rsatkichi Binominal koeffitsientlar 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 ⋮ … … … … … … … … … … … … … N C n0 C n1 … … … … … … … … … C nn-1 C nn Uchburchakning tomonlari birliklarning qiymatiga ega. Ichkarida qo'shni tomonlarning ikki raqamini qo'shganda olingan raqamlar mavjud. Qizil rangda ta'kidlangan qiymatlar to'rtta va ko'k oltitasi sifatida olinadi. Qoida uchburchakning bir qismi bo'lgan barcha ichki sonlar uchun amal qiladi. Koeffitsientlarning xususiyatlari Nyuton dürbünü yordamida tushuntiriladi. Nyuton binomi formulasini isbotlash Nyuton binomi stavkalari uchun adolatli bo'lgan tenglik mavjud:  koeffitsient boshidan va oxiridan teng ravishda ajratiladi va quyidagi formuladan ko'rinib turganidek tengdir C np =C nn-pp =0, 1, 2, …, n;  C np =C np+1 =C n+1p+1 ;  binom koeffitsientlari 2 binomial darajasi ko'rsatkichi darajasida, ya'ni C n0 +C n1 +C n2 +...+C nn =2n;  binominal koeffitsientlarni teng tartibga solishda ularning summasi g'alati joylarda joylashgan binomial koeffitsientlar yig'indisiga teng. Turlarning tengligi a+b n =C n 0a*n +C n1*an-1*b +C n2*an-2*2b +...+C nn-1*a*bn +C nn*bn adolatli hisoblanadi. Uning mavjudligini isbotlaymiz. Buning uchun matematik indüksiyon usulini qo'llash kerak. Dalil uchun bir nechta fikrlarni bajarish kerak:

1. Qachon degradatsiyasi tenglik tekshirish n=3. Bizda shunday (a+b) 3 =a+ba+ba+b=a 2 +ab+ba+b n a+b==a 2 +2ab+b 2 a+b=a 3 +2a 2 b+ab 2 +a 2 b+2 ab+b 3 ==a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 =C 30 a 3 +C 31 a 2 b+C 32 ab 2 +C 33 b 3 2. Agar tengsizlik to'g'ri bo'lsan-1, unda turning ifodasi a+b n-1 =C n-10 ·a n-1 ·C n-11 ·a n -2·b·C n- 12 ·a n-3 ·b 2 +...+C n-1n -2·a·b n-2 +C n-1n-1 ·b n-1 bu adolatli hisoblanadi. 3. a+b n-1 =C n-10 ·a n-1 ·C n-11 ·a n-2 ·b·C n-12 ·a n-3 ·b 2 +...+C n-1n-2 ·a·b n-2 +C n-1n-1 ·b n-12 -bandga asoslangan tenglik isboti. Ishonchli Ifoda a+b n =a+ba+b n-1 ==(a+b)C n-10 ·a n-1 ·C n-11 ·a n-2 ·b·C n-12 ·a n-3 ·b 2 +...+C n-1n-2 ·a·b n-2 +C n-1n-1 ·b n-1 Qavslarni ochish kerak, keyin biz olamiza+bn=Cn-10·an+Cn-11·an-1·b+Cn-12·an- 2·b2+...+Cn-1n-2·a2·bn-2++Cn-1n-1·a·bn-1+Cn-10·an-1·b+Cn-11·an-2·b2+Cn- 12·an-3·b3+...+Cn-1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn Mahsulotlar va etkazib beruvchilarning lentasini yanada aniqroq qurish uchun a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn- 1n-2·a·bn-1+Cn-1n-1·bn Bizda shunday Cn-10=1va Cn0=1keyin Cn-10=Cn0. Agar Cn-1n- 1=1va Cnn=1keyin Cn-1n-1=Cnn. Kombinatsiyalarning xususiyatlarini qo'llashda Cnp+Cnp+1=Cn+1p+1biz turlarning ifodasini olamiz Cn-11+Cn-10=Cn1Cn-12+Cn-11=Cn2 ⋮ Cn-1n-1+Cn-1n-2=Cnn-1 Olingan tenglik bilan almashtiramiz. Buni olamiz a+bn==Cn-10·an+Cn-11+Cn-10·an-1·b+Cn-12+Cn-11·an-2·b2+...++Cn-1n-1+Cn- 1n-2·a·bn-1=Cn-1n-1·bn Keyin Nyutonning bioniga o'tishingiz mumkin a+bn=Cn0·an+Cn1·an-1·b+Cn2·an- 2·b2+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn. Dürbün formulasi isbotlangan. Nyuton Binomi-misollar va muammolarni hal qilishda foydalanish Formuladan foydalanishning to'liq tushunchasi uchun misollarni ko'rib chiqing. Misol 1 (a+b) 5 Nyuton Binomi formulasidan foydalanib , ifodani kengaytirish. Qaror Paskal uchburchagida beshinchi daraja bilan binominal koeffitsientlar aniq 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ya'ni, a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5biz kerakli ajralish nima ekanligini bilib olamiz. Javob:   a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 Misol 2