PASKAL UCHBURCHAGI. NYUTON BINOMI. BINOMIAL KOEFFITSIYENT
![Agar n toq son bo‘lsa, m= n−1
2 butun son bo‘lib,
n− m
m +1=
n− n− 1
2
n− 1
2 +1
= 2n− n+1
n− 1+2 = n+1
n+1= 1
munosabat o‘rinlidir. Demak,
Cnm+1= n−m
m+1Cnm
formuladan
m= n−1
2 bo‘lganda Cn
n−1
2 +1
=Cn
n−1
2 tenglik kelib chiqadi.
Binomial koeffitsientlarning 5- xossasi Paskal uchburchagining yuqorida
keltirilgan xossalari tasdig‘i bo‘lib, unga ko‘ra binomial koeffitsientlar oldin
Cn0=1
dan
Cn
[n2] gacha 11
o‘sadi, keyin esa Cnn=1 gacha kamayadi hamda n toq bo‘lganda
binomial koeffitsientlar qatorining o‘rtasidagi ikkita hadi tengdir va
n juft
bo‘lganda uning o‘rtadasigi hadi eng katta va yagonadir.
Quyidagi 6–8- xossalar o‘rinlidir.
6- x o s s a .
Cnn+Cn+1n +...+Cn+kn =Cn+k+1 n+1 .
7- x o s s a .
(C n0)2+(Cn1)2+...+(Cnn)2= C2nn .
8- x o s s a .
Cn0Cmk+Cn1Cmk−1+...+CnkCm0=Cn+mk .
Oxirgi tenglik Koshi 12
ayniyati deb aytiladi.
Endi bu uchta xossalarni isbotlaymiz. Dastlab 6- xossaning isbotini
keltiramiz. Birinchidan,
s=(1+x)n+(1+x)n+1+...+(1+x)n+k
ko‘phad uchun Nyuton binomi formulasini qo‘llab, quyidagi tenglikni hosil qilamiz:
s= ∑m=0
n
Cnmxm+∑m=0
n+1
Cn+1m xm+...+∑m=0
n+k
Cn+km xm
.
Bu yerdan,
s ko‘phaddagi xn ifoda ning koeffitsienti
Cnn+Cn+1n +...+Cn+kn
yig‘indiga tengligini aniqlash mumkin.
11
[a] yozuv a son ning butun qismini anglatadi.
12
Koshi (Cauchy Ogyusten Lui, 1789-1857) –fransuz matematigi.](/data/documents/3dde80ec-37cc-45f9-918e-dbcbb83377fc/page_8.png)
![Oxirgi tenglikning ikkala tomonini (−1 )ga ko‘paytirsak, uk+12 −u(k+1)−1u(k+1)+1=(−1)(k+1)+1
tenglik hosil bo‘ladi.
Matematik induksiya usulini qo‘llab
u1,u2,... Fibonachchi sonlarining
quyidagi 7–10- xossalarni ham isbotlash mumkin:
7- x o s s a .
u1u2+u2u3+u3u4+...+u2n−1u2n=u2n2 .
8- x o s s a .
u1u2+u2u3+u3u4+...+u2nu2n+1= u2n+1 2 −1 .
9- x o s s a .
nu 1+(n−1)u2+(n−2)u3+...+2un−1+un=
= un+4−(n+3)
.
10- x o s s a .
u1+2u2+3u3+...+nu n= nu n+2− un+3+2 .
Endi Fibonachchi sonlarining binomial koeffitsientlar (Paskal uchburchagi)
bilan bog‘lanishini ifodalovchi xossani o‘rganamiz.
11- x o s s a . Fibonachchi soni
un ( n∈N ) uchun un= ∑k=0
[n−12]
Cn−k−1 k tenglik
o‘rinlidir .
Bu xossani isbotlash uchun
un ( n=1,2 ,... ) sonlardan tuzilgan u1,u2,...,un,...
ketma-ketlikning Fibonachchi qatori bo‘lishini ko‘rsatish kifoya. Buning uchun esa
u1= ∑k=0
[1−12]
C1−k−1 k =∑k=0
0
C−kk=C00=1
,
u2= ∑k=0
[2−12]
C2−k−1 k = ∑k=0
0
C1−kk =C10=1
ekanligini ta’kidlab,
u1,u2,...,un,... ketma-ketlik uchun un+1=un+un−1 ( n≥2 ) rekurrent
tenglikning bajarilishini ko‘rsatamiz.
Agar
n juft son ( n=2s , s∈N ) bo‘lsa, u holda
un+1=∑k=0
[n2]
Cn−kk =∑k=0
s
Cn−kk
,
un= ∑k=0
[n−12]
Cn−k−1 k =∑k=0
s−1
Cn−k−1 k
,
un−1= ∑k=0
[n−22]
Cn−k−2 k =∑k=0
s−1
Cn−k−2 k
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Bu tengliklardan foydalanib,](/data/documents/3dde80ec-37cc-45f9-918e-dbcbb83377fc/page_14.png)
![un+un−1=∑
k=0
s−1
Cn−k−1 k +∑
k=0
s−1
Cn−k−2 k =1+∑
k=1
s−1
Cn−k−1 k +∑
p=1
s
Cn−p−1 p−1 =
=1+∑k=1
s−1
Cn−k−1 k +∑p=1
s−1
Cn−p−1 p−1 +Cn−s−1 s−1 =
=1+∑k=1
s−1
(Cn−k−1 k +Cn−k−1 k−1 )+Cn−s−1 s−1munosobatlarni hosil qilamiz . Binomial koeffitsientlarning
Cn−k−1 k +Cn−k−1 k−1 =Cn−kk
xossasiga binoan
un+un−1=1+∑k=1
s−1
Cn−k k +Cn−s−1 s−1 =1+∑k=1
s−1
Cn−k k +C2s−s−1 s−1 =
=1+∑k=1
s−1
Cn−k k +Cs−1s−1=Cn−k 0 +∑k=1
s−1
Cn−k k +Css=
=∑k=0
s−1
Cn−kk +Cn−ss =∑k=0
s
Cn−kk =un+1
tengliklarga ega bo‘lamiz .
n
toq son bo‘lganda ham, yuqoridagidek mulohazalar yuritib, un+1=un+un−1 (
n≥2
) tenglikning to‘g‘riligini ko‘rsatish mumkin. Demak, Fibonachchi qatorining
ta’rifiga asosan,
u1,u2,...,un,... ketma-ketligi Fibonachchi qatoridir.
Yuqorida ta’kidlanganidek,
un= ∑k=0
[n−12]
Cn−k−1 k tenglik Fibonachchi sonlari bilan
Paskal uchburchagi orasida bog‘lanishni ifodalayi. 1- shaklda tasvirlangan Paskal
uchburchagidagi shtrixli chiziqlar bo‘ylab joylashgan sonlar yig‘indisi Fibonachchi
sonlarini tashkil etadi.
12- x o s s a . Fibonachchi soni
un ( n∈N ) uchun
un= 1
√5[(
1+√5
2 )
n
−(
1− √5
2 )
n
]
tenglik o‘rinlidir .](/data/documents/3dde80ec-37cc-45f9-918e-dbcbb83377fc/page_15.png)
PASKAL UCHBURCHAGI. NYUTON BINOMI. BINOMIAL KOEFFITSIYENT FIBANACHI SONLAR Reja: 1. Paskal uchburchagi haqida umumiy ma’lumotlar. 2 . Nyuton binomi haqida umumiy ma’lumotlar. 3. Binomial koeffitsientlarning xossalari. 1. Paskal uchburchagi haqida umumiy ma’lumotlar. Berilgan n ta elementdan m tadan gruppalashlar soni Cnm uchun bir necha qatorlarni 1- jadvaldagidek yozamiz: 1- jadval n Gruppalashlar soni Cnm ( m=0,n ) 1 C10=1 , C11=1 2 C20=1 , C21=2 , C22=1 3 C30=1 , C31=3 , C32=3 , C33=1 4 C40=1 , C41=4 , C42=6 , C43=4 , C44=1 5 C50=1 , C51=5 , C52=10 , C53=10 , C54=5 , C44=1 … …………………………………………………………. Bu jadvalda gruppalashlar sonining quyidagi xossalarini kuzatish mumkin: – har bir qatorning chetlarida birlar joylashgan (bu tasdiq Cn0=Cnn= 1 formula bilan ifodalanadi, ushbu bobning 2- paragrafiga qarang); – har bir qatordagi Cnm sonlar qatorning teng o‘rtasiga nisbatan simmetrik joylashgan, ya’ni qatorning boshidan va oxiridan baravar uzoqlikda turgan sonlar o‘zaro teng ( Cnm=Cnn−m );
– ikkinchi qatordan boshlab har bir qatordagi birlardan tashqari ixtiyoriy son bu qatordan yuqorida joylashgan qatordagi biri shu son ustida, ikkinchisi esa undan chapda joylashgan ikkita gruppalashlar sonining yig‘indisiga teng (Cn+1m+1=Cnm+Cnm+1 ); – har bir qatordagi Cnm sonlar shu qator teng o‘rtasigacha o‘sib, so‘ng kamayadi (3.3 band, 5- xossaga qarang). Ta’rif sifatida C00=1 deb qabul qilinsa va bu son yuqoridagi jadvalning n=1 raqamli qatoridan oldin n=0 raqamli qatori sifatida joylashtirilsa, uchburchak figurasiga o‘xshash 1- shakldagi sonlar jadvalini hosil qilish mumkin. 1- shakldagi sonlar jadvali Paskal uchburchagi deb ataladi. Bu jadval arifmetik uchburchak nomi bilan ham yuritiladi. Uning Paskal nomi bilan atalishiga qaramasdan, bunday sonlar jadvali juda qadimdan dunyoning turli mintaqalarida, jumladan, sharq mamlakatlarida ham ma’lum bo‘lgan. Masalan, Erondagi Tus shahrida (hozirgi Mashhadda) yashab ijod qilgan Nosir at-Tusiy 1 XIII asrda bu jadvaldan foydalanib, berilgan ikkita son yig‘indisining natural darajasini hisoblash usulini o‘zining ilmiy ishlarida keltirgan bo‘lsa, g‘arbda Al-Kashi nomi bilan mashhur Samarqandlik olim Ali Qushchi 2 butun sonning istalgan natural ko‘rsatkichli arifmetik ildizi qiymatini taqribiy hisoblashda bu jadvaldan foydalana bilganligi haqida ma’lumotlar bor. Keyinchalik G‘arbiy Yevropada bu sonlar uchburchagi haqida M. Shtifel 3 arifmetika bo‘yicha qo‘llanmalarida yozgan va u ham butun sondan istalgan natural ko‘rsatkichli arifmetik ildizning taqribiy qiymatini hisoblashda bu uchburchakdan foydalana bilgan. 1556 yilda bu sonlar jadvali bilan N. Tartalya 4 , keyinroq logarifmik lineyka ijodkori U. Otred 5 (1631 yil) ham shug‘ullanganlar. 1654 yilga kelib B. Paskal o‘zining “Arifmetik uchburchak haqidagi traktat” nomli asarida bu sonlar jadvali haqidagi ma’lumotlarni e’lon qildi. 1 At-Tusiy (Nosir ad-Din-Muhammad ibn Muhammad ibn-al-Hasan, 1201-1274) – Eron astronomi va matematigi. 2 Ali Qushchi ( Jamshid ibn Ma’sud , tu g‘ ilgan yili noma’lum–taxminan 1436 yoki 1437 yilda vafot etgan) – o‘zbek matematigi va astronomi, 1420-30 yillarda Samar q andda Mirzo Ulu g‘ bek observatoriyasida ishlagan. 3 Shtifel Mixel (Michel, 1487-1567) – olmon matematigi. 4 Tartalya Nikkolo (Tartalia Nic-colo, 1499 yil atrofida tug‘ilgan-1557) – italyan matematigi va mexanigi. 5 Otred Uilyam (Outred William, 1574-1660) – ingliz matematigi. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1- shakl
Paskal uchburchagidagi qatorlar istalgancha davom ettirilishi mumkin. Shunisi qiziqki, Paskal uchburchagi yordamida istalgan n ta elementdan m tadan gruppalashlar sonini faqat qo‘shish amali yordamida hosil qilish mumkin (ushbu bobning 2- paragraf dagi Cnm sonni hisoblash Cn m= n! m!(n−m)! , Cnm= n(n−1)...(m+1) 1⋅2⋅...(n−m) va Cnm= n(n−1)...(n−m+1) 1⋅2⋅...⋅m formulalariga qarang). Bu amal Cnm=Cn−1m−1+Cn−1m formulaga asoslanadi. Paskal uchburchagi ko‘plab ajoyib xossalarga ega. B. Paskal yuqorida zikr etilgan traktatda: “Bu xossalarning haqiqatdan ham bitmas-tuganmasligi naqadar ajoyibdir” deb yozgan edi. Ushbu paragraf ning 3.3 bandida Paskal uchburchagining ba’zi xossalari keltirilgan. 2. Nyuton binomi haqida umumiy ma’lumotlar. O‘rta maktab matematikasi kursidan quyidagi ikkita qisqa ko‘paytirish formulalarini eslaylik: (a+b)2= a2+2ab +b2 – yig‘indining kvadrati; (a+b)3= a3+3a2b+3ab 2+b3 – yig‘indining kubi. Yig‘indining navbatdagi ikkita, ya’ni 4- va 5- darajalarini hisoblaymiz: (a+b)4=(a+b)(a+b)3=(a+b)(a3+3a2b+3ab 2+b3)= = a4+4a3b+6a2b2+4ab 3+b4 , (a+b)5=(a+b)(a+b)4= = a5+5a4b+10 a3b2+10 a2b3+5ab 4+b5 . Shunday qilib, yi g‘ indining bikvadrati ( ya ’ ni to‘rtinchi darajasi ) (a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab 3+b4 va yi g‘ indining beshinchi darajasi (a+b)5= a5+5a4b+10 a3b2+10 a2b3+5ab 4+b5 formulalariga ega bo ‘ lamiz . Yuqorida keltirilgan yig ‘ indining kvadrati , kubi , bikvadrati va beshinchi darajasi formulalari o ‘ ng tomonlaridagi ko ‘ p h ad koeffitsientlari Paskal
uchburchagining mos qatorlaridagi Cnm ( n=2,3,4,5 ) sonlar ekanligini payqash qiyin emas . 1- t e o r e m a . Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun (a+b)n=an+Cn1an−1b+Cn2an−2b2+...+Cnn−1ab n−1+bn formula o‘rinlidir. I s b o ti . Matematik induksiya usulini qo‘llaymiz. Baza: n=1 bo‘lganda formula to‘g‘ri: (a+b)1= a+b . Induksion o‘tish: isbotlanishi kerak bo‘lgan formula n=k uchun to‘g‘ri bo‘lsin, ya’ni (a+b)k=ak+Ck1ak−1b+Ck2ak−2b2+...+Ckk−1ab k−1+bk . Formula n=k+1 bo‘lganda ham to‘g‘ri ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatdan ham, Cn+1m+1=Cnm+Cnm+1 formuladan foydalanib, quyidagilarni hosil qilamiz: (a+b)k+1=(a+b)(a+b)k= =(a+b)(ak+Ck1ak−1b+Ck2ak−2b2+...+Ckk−1ab k−1+bk)= = ak+1+Ck1akb+Ck2ak−1b2+...+Ckkab k+ +Ck0akb+Ck1ak−1b2+...+Ckk−1ab k+bk+1= = ak+1+(Ck0+Ck1)akb+(Ck1+Ck2)ak−1b2+... ...+(Ckk−1+Ckk)ab k+bk+1= =ak+1+Ck+11 akb+Ck+12 ak−1b2+...+Ck+1k ab k+bk+1 . Ixtiyoriy a va b haqiqiy sonlar hamda n natural son uchun (a+b)n ifodaning ko‘phad shaklidagi yoyilmasi (tasvirlanishi) Nyuton 6 binomi deb ataladi. Umuman olganda, “Nyuton binomi” iborasiga tanqidiy nuqtai nazardan yondoshilsa, undagi ikkala so‘zga nisbatan ham shubha tug‘iladi: birinchidan, (a+b)n ifoda birdan katta natural n sonlar uchun binom (ya’ni ikkihad) emas; ikkinchidan, natural sonlar uchun bu ifodaning yoyilmasi Nyutongacha ma’lum edi 7 . 6 Isaak Nyuton (Newton, 1643-1727) –ingliz fizigi, mexanigi va matematigi. 7 Ushbu paragrafning 3.1 bandidagi xronologik ma’lumotlarga qarang.
Greklar (a+b)n ifodaning qatorga yoyilmasini n ning faqat n=2 bo‘lgan holida (ya’ni, yig‘indi kvadratining formulasini) bilar edilar. Umar Hayyom 8 va Ali Qushchi (a+b)n ifodani n>2 bo‘lgan natural sonlar uchun ham qatorga yoya bilganlar. Nyuton esa 1767 yilda yoyilma formulasini isbotsiz manfiy va kasr n son lar uchun ham qo‘llagan. L. Eyler 1774 yilda Nyuton binomi formulasini kasr n son lar uchun isbotladi, K. Makloren 9 esa bu formulani darajaning ratsional ko‘rsatkichlari uchun qo‘lladi. Nihoyat, 1825 yilda N. Abel 10 daraja ko‘rsatkichining istalgan kompleks qiymatlari uchun binom haqidagi teoremani isbotladi. Cnm sonlarni binomial koeffitsientlar deb ham atashadi. Bunday ta’rif bu koefitsientlarning Nyuton binomi formulasida tutgan o‘rniga qarab berilgan bo‘lib, Cnm son (a+b)n= ∑m=0 n Cnman−mbm yoyilmadagi an−mbm ifoda ning koeffitsientidir. 2- t e o r e m a . Barcha haqiqiy a va b hamda natural n sonlar uchun (a−b)n= ∑m=0 n (−1)mCnman−mbm formula o‘rinlidir. I s b o ti . Nyuton binomi formulasida b ni ( −b )ga almashtirsak kerakli formulani hosil qilamiz. 1- m i s o l . Oxirgi formuladan xususiy holda quyidagi qisqa ko‘paytirish formulalari kelib chiqadi: n=2 bo‘lganda ayirmaning kvadrati formulasi (a−b)2=a2−2ab +b2 ; n=3 bo‘lganda ayirmaning kubi formulasi (a−b)3=a3−3a2b+3ab 2− b3 . 8 Umar H ayyom G‘ iyosiddin Abul-Fatx ibn Ibro h im ( مایخ رمع, 1048 yil atrofida tug‘ilgan-1122 yildan so‘ng vafot etgan) – fors va tojik shoiri, matematigi va faylasufi. 9 Makloren Kolin (Maclaurin Colin, 1698-1746) – Shotlandiya matematigi. 10 Abel Nils Xenrik (Niels Henric, 1802-1829) – Norvegiya matematigi.