Mavzu:Sonli funksiyalar. Natural son bo’luvchilari soni va yig’indisi.

Sonli funksiyalar S o n n i n g b u t u n q i s m i x sonning butun qismi , ya’ni [ x ] qo’sh tengsizlik bilan [x]≤ x≤ [x]+1 yoki x− 1<[x]≤ x ; yoki x= [x]+α ,0≤ α≤ 1 tenglik bilan aniqlanadi va ant’ye funksiya deyiladi. Agar x 1 va x 2 sonlardan birortasi butun bo’lsa, [ x 1 + x 2 ] = [ x 1 ] + [ x 2 ] o’rinli bo’ladi. [ x m ]= [ [x] m ] o’rinli bo’ladi. m ! ko’paytmaning kanonik yoyilmasiga p tub son [ m p ]+[ m p2]+...+[ m pS] darajada keladi, bu yerda S son pS≤ m < pS+1 tengsizlikdan aniqlanadi. 1-m i s o l. 3− 2cos 90 π 181 sonning butun qismini toping. Yechish. a  Z va x kasr son uchun [ a – x ] = a + [- x ] formula o’rinli. Bu formulani qo’llab [3− 2cos 90 π 181 ]= 3+[− 2cos 90 π 181 ]= 3+(− 1)= 2 ni hosil qilamiz.  2-m i s o l. [ x+ y n ] ni [ x n]+[ y n] yoki [ x n ]+[ y n ]+1 ga tengligini isbotlang. Yechish. x+ y n = [ x n ]+ α+[ y n ]+ β

bo’lib, bu yerda 0≤ α<1, 0≤ β<1 . Demak, [ x+ y n ]= [ x n ]+[ y n ]+ [α+ β ] . 0≤ α + β< 2 bo’lganligi sababli [α+ β] 0 yoki 1 ga teng bo’ladi.  n dan katta bo’lmagan va p 1 , p 2 ,..., p k tub sonlar bilan o’zaro tub bo’lgan sonlar sonini quyidagi formula bilan hisoblash mumkin: B(n;p1,p2,...,pk)= [n]− [ n p1]− ....− [ n pk]+[ n p1p2]+....+ +[ n pk−1pk]− [ n p1p2p3]− ....− [ n pk−2pk−1pk]+....+(− 1)k [ n p1p2....pk]. 3-m i s o l. 180 dan katta bo’lsagan va 5, 7, 11 larga bo’linmaydigan sonlar sonini toping. Yechish. n = 180 va p 1 = 5, p 2 = 7, p 3 = 11 lar uchun B (180 ;5,7,11 )= [180 ]− [ 180 5 ]− [ 180 7 ]− [ 180 11 ]+[ 180 5⋅7 ]+[ 180 5⋅11 ]+ +[ 180 7⋅11 ]− [ 180 5⋅7⋅11 ]= 180 − 36 − 25 − 16 +5+3+ 2− 0= 113 .  4-m i s o l. 2002! son nechta 0 bilan tugaydi. Yechish. Misol yechimi 2002! Ning kanoniy yoyilmasiga 5 nechanchi daraja bilan kirishini aniqlash masalasiga keltiriladi: [ 2002 5 ]+[ 2002 25 ]+[ 2002 125 ]+[ 2002 625 ]+[ 2002 3125 ]= = 400 +80 +16 + 3+0= 499 . Demak, 2002! son 499 ta 0 bilan tugaydi.  5-m i s o l. (2 m )!! ning kanonik yoyilmasiga p tub son nechanchi darajada kirishini aniqlang. Yechish. (2 m )!! = m ! 2 m bo’lganligi sababli p = 2 ga teng bo’lsa,

m +∑ i=1 k [ m 2i],2k≤ m <2k+1 . p > 2 bo’lsa, ∑ i=1 s [ m pi], ps≤ m < ps+1 ga teng bo’ladi.  H a q i q i y s o n n i n g k a s r q i s m i Haqiqiy x sonning kasr qismi { x } quyidagi formula bilan aniqlanadi: { x } = x – [ x ]. 6-m i s o l. {-4,35} ni toping. Yechish. {-4,35} = –4,35 – (–5) = 0,65.  N a t u r a l s o n n i n g b o’ l u v ch i l a r s o n i v a u l a r y i g’ i n d i s i Ixtiyoriy natural a son uchun  ( a ) va S ( a ) funksiyalar mos ravishda a sonning natural bo’luvchilari soni va ularni yig’indisini ifodalaydi. Bu funksiyalar uchun quyidagi formulalar o’rinli: ∏ p|12 ( 1− 1 p ) = ( 1− 1 2 )( 1− 1 3 ) = 1 2 ⋅ 2 3 = 2 6 = 1 3 bu yerda a= p1 α1p2 α2...pn αn= ∏i=1 n pi αi− a sonning kanonik yoyilmasi. Bu funksiyalar multiplikativ, ya’ni agar ( a,b ) = 1 lar uchun

 ( ab ) =  ( a )  ( b ) va S ( ab ) = S( a )S( b ) o’rinli. 1-m i s o l. 2002 sonni bo’luvchilar soni va ularni yig’indisini toping. Yechish. 2002 = 2  7  11  13, bundanτ(2002 )= (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)= 16 , S(2002 )= 21+1− 1 2− 1 ⋅71+1− 1 7− 1 ⋅11 1+1− 1 11 − 1 ⋅13 1+1− 1 13 − 1 = 3⋅8⋅12 ⋅14 = 4032 .  2-m i s o l. 2002 sonni barcha bo’luvchilarini toping. Yechish. 2002=2  7  11  13 – kanonik yoyilmasidan foydalanamiz: (1+2)(1+7)(1+11) (1+13)=1+2+7+11+13+14+22+26+77+91+143+154+182+286+1001+2001 – 2002 ning barcha bo’luvchilari yig’indisi va demak har bir qo’shiluvchi izlanayotgan bo’linmalarni beradi.  3-m i s o l. Natural a sonning barcha natural bo’luvchilarining ko’paytmasi funksiyasi  ( a ) bo’lsa, δ(a)= √aτ(a) tenglik to’g’riligini isbotlang. Yechish. d 1 , d 2 ,..., d  (a) – a sonning barcha natural bo’luvchilari bo’lsin. U holda δ(a)= ∏i=1 τ(a) di= d1d2...dτ(а) . a d1 ,a d2 ,..., a dτ(a) − sonlar a ning bo’luvchilaridir, bundan δ(a)= ∏i=1 τ(a)a di = aτ(a)∏i=1 τ(a)1 di .  ( a ) uchun hosil bo’lgan tengliklarni ko’paytirib δ2(a)= aτ(a) ni hosil qilamiz, bundan δ(a)= √aτ(a) .  4-m i s o l. 2002 sonining barcha natural bo’luvchilari ko’paytmasini toping. Yechish. δ(2002 )= √2002 16= 2002 8 .  5-m i s o l. Barcha natural bo’luvchilari ko’paytmasi 5832 ga teng bo’lgan natural sonni toping.