logo
  1. Bosh sahifa
  2. Slaydlar
  3. Umumiy
  4. Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari

Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari

Yuklangan vaqt:

10.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

1097.095703125 KB
Ko'chirib olish
Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar sinx > a, cosx > a, tgx > a, ctgx > a kabi ko’rinishdagi tengsizliklarni yechishda koordinatali birlik aylanadan yoki trigonometrik funksiya grafiklaridan foydalaniladi. 1-misol. a) sin α > 0; b) sin α > a, -1 a 1; ≤ ≤ c) sin α < a tengsizliklarni qaraylik. Yechish. a) sin α > 0 ning yechimlar to’plami sinusoidaning absissalar o’qidan yuqorida joylashgan bo’laklari bilan aniqlanadi (rasmga qarang). Eng sodda trigonometrik tengsizliklarni yechishga oid misollar Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  y=sinx Bu bo’laklardan biri absissalar o’qining (0; π ) oralig’iga, qolganlari undan 2 πk, k€Z uzoqlikda joylashgan oraliqlarga mos keladi. Demak, 2 πk < α < (2 k +1) π, k€Z ko’rinishidagi oraliqlarda yotuvchi α sonigina yechim bo’la oladi Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  b) sin α > a tengsizlikni yechamiz, bunda -1 a 1. Birlik aylananing ordinatalari ≤ ≤ a dan katta bo’lgan nuqtalari y=a to’g’ri chiziqdan yuqorida joylashadi. Ular MBN yoyni hosil qiladi (rasmga qarang). Eng sodda trigonometrik tengsizliklarni yechishga oid misollar  Bu yoyga M(α0) va N(π-α0) nuqtalar kirmaydi. Shunday qilib, sinα > a tengsizlikning yechimi (α0; π-α0) interval yordamida aniqlanadi. α0=arcsina va y=sinx funksiya davriy funksiya bo’lgani uchun berilgan tengsizlikning barcha yechimlari to’plamini arcsina + 2π k < α < π – arcsina + 2π k , k €Z ko’rinishida yozamiz. Eng sodda trigonometrik tengsizliklarni yechishga oid misollar  c) sin α < a tengsizlikni yechish α =- z o’rniga qo’yish orqali yuqorida qaralgan holga keladi: sin z > -a. Uning barcha yechimlarini yozamiz: arcsin(-m) + 2 πk < z < π -arcsin(-a) + 2 πk , k€Z. arcsin(-a) = -arcsina va z =- α bo’lgani uchun berilgan tengsizlikning barcha yechimlari quyidagicha bo’ladi: - π - arcsina + 2 π k < α < arcsina + 2 π k , k €Z Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  2-misol. a) cos α > a; b) cos α < a tengsizliklarni yechamiz.  Yechish. a) a 1 da tengsizlik ≥ yechimga ega emas, a < -1 da esa  α ning barcha qiymatlari tengsizlikni qanoatlantiradi. Biz -1 a < 1 bo’lgan ≤ holni qaraymiz. (rasmga qarang) Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  a < cos α 1 ga B2AB1 yoy mos keladi, ≤ bunda B1( α 0) va B2(- α 0) lar x=a to’g’ri chiziq bilan koordinatali aylananing kesishish nuqtalari, A(0) – hisob boshi nuqtasi. Demak, cos α > a tengsizlikning yechimi – α0 < α < α0 yoki arccosa < α < arccosa, yoki funksiya davri e’tiborga olinsa, -arccosa + 2 π k < α < arccosa + 2 π k , k €Z bo’ladi. Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  b) cos α < a tengsizlikni yechish α = π – z almashtirish orqali yuqorida qaralgan tengsizlikka keltiriladi: cos z > -a. Bundan – arccos(-a) + 2 πk < z < arcos(-a) + 2 πk , k€Z ni topamiz. z = π – α va arccos(-a) = π – arccosa bo’lgani uchun arccosa + 2 π k < α < 2( k + 1) π – arccosa, k €Z bo’ladi.  3-misol. tg α < a va tg α > a tengsizliklar yechimini topamiz. Yechish. arctga ta’rifidan foydalanamiz(rasmga qarang). Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  B1( α 0) nuqta EAC yarim aylanani EAB1 va B1C yoylarga ajratadi, bunda E(- π /2) va C( π /2). Undan E, B1, C nuqtalar chiqariladi. EAB1 yoyda tg α < a tengsizlikning yechimi - π /2 + k π < α < arct ga + k π , k €Z tg α > a tengsizlikning yechimi esa arct ga + k π < α < π /2 + k π , k €Z bo’ladi. Shu kabi ctg α < a, ctg α > a tengsizliklar yechimi mos ravishda arcct ga + π k < α < π + π k , k €Z va π k < α < arcct ga + π k , k €Z bo’ladi. Trigonomet rik t engsizlik larni int erv allar usuli bilan y echish.  f(t) > 0 yoki f(t) < 0 trigonometrik tengsizliklarni yechishda intervallar usulidan foydalanamiz. Shu maqsadda oldin f(t) funksiyaning T0 asosiy davri, f(t) = 0 tenglamaning [0; T0 ) oraliqda yotgan ildizlari va uzilish nuqtalari topiladi. Ular [0; T0 ) oraliqni bir necha intervalga ajratadi. Sinash nuqtalari usulini qo’llab, funksiyaning o’sha intervallardagi ishoralari aniqlanadi. juft-toqligidan foydalanish ishni osonlashtiradi. f(α) = cos2 α – cos3 α < 0 tengsizlikni yechamiz. Yechish. 1) cos2 α ning davri: cos(2 α + 2 π ) = cos( α + T1 ), bundan 2 α + 2 π = 2( α + T1 ), T1 = π ; shu kabi cos3 α ning davri T2 = 2 π /3. Bu sonlarning eng kichik umumiy bo’linuvchisi, ya’ni T0 = 2 π soni f(x) funksiyaning asosiy davri bo’ladi; Trigonomet rik t engsizlik larni int erv allar usuli bilan y echish. 2) f(α) = 0 tenglama ildizlari 2 α = ± 3 α + 2 πk , k€Z munosabat bo’yicha aniqlanadi. Bizga ular ichidan (0; T0 ) oraliqda yotganlarini aniqlash yetarli, qolganlari T0 davr bilan takrorlanadi. Oraliqning α = 0 chap uchida f(0) = 0, ya’ni f(x) < 0 tengsizlik bajarilmaydi. Demak, oraliqning chap uchi ochiq qoladi. Oraliqning ichida yotgan ildizlarini topamiz. Shu maqsadda munosabatdagi k ga ketma- ket 0, 1, 2,… qiymatlar berish va α ning qiymatlari ichidan (0; 2 π ) intervalda yotganlarini ajratish kerak. Ular: 2 π /5, 4 π /5, 6 π /5, 8 π /5.  3) f funksiya son o’qida uzluksiz;  4) (0; 2 π ) oraliq (0; 2 π /5], [2 π /5; 4 π /5], [4 π /5; 6 π /5], [6 π /5; 8 π /5], [8 π /5; 2 π ) intervallarga ajraladi;  5) (0; 2 π /5] oraliqdan sinash nuqtasi sifatida π /3 ni olaylik. Unda f ( π /3) = cos2 π /3 – cos3 π /3 = -1/2 + 1 > 0. Demak, bu oraliqda berilgan tengsizlik bajarilmaydi. Shu tarzda har bir oraliqlarda tekshirib chiqqach, tengsizlik [2 π /5; 4 π /5], [6 π /5; 8 π /5] oraliqlarda bajarilishini ko’rishimiz mumkin. Demak, umumiy yechim shu oraliqlar kesishmasidan iborat: (2 π /5 + 2 πk ; 4 π /5 + 2 πk ) (6 π /5 + 2 πk ; 8 π /5 + 2 πk ), k€Z E ’ t i b o r i n g i z u c h u n r a h m a t !!!

Trigonometrik tengsizliklarni yechish usullari

Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar sinx > a, cosx > a, tgx > a, ctgx > a kabi ko’rinishdagi tengsizliklarni yechishda koordinatali birlik aylanadan yoki trigonometrik funksiya grafiklaridan foydalaniladi. 1-misol. a) sin α > 0; b) sin α > a, -1 a 1; ≤ ≤ c) sin α < a tengsizliklarni qaraylik. Yechish. a) sin α > 0 ning yechimlar to’plami sinusoidaning absissalar o’qidan yuqorida joylashgan bo’laklari bilan aniqlanadi (rasmga qarang).

Eng sodda trigonometrik tengsizliklarni yechishga oid misollar

Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  y=sinx Bu bo’laklardan biri absissalar o’qining (0; π ) oralig’iga, qolganlari undan 2 πk, k€Z uzoqlikda joylashgan oraliqlarga mos keladi. Demak, 2 πk < α < (2 k +1) π, k€Z ko’rinishidagi oraliqlarda yotuvchi α sonigina yechim bo’la oladi

Eng sodda t rigonomet rik t engsizlik larni y echishga oid misollar  b) sin α > a tengsizlikni yechamiz, bunda -1 a 1. Birlik aylananing ordinatalari ≤ ≤ a dan katta bo’lgan nuqtalari y=a to’g’ri chiziqdan yuqorida joylashadi. Ular MBN yoyni hosil qiladi (rasmga qarang).

O'xshashlar

Trigonometrik tengsizliklarni yechish
Parametrli tenglama va tengsizliklarni yechish usullari
Irratsional tenglama va tengsizliklarni yechish usullari
MODULLI TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNI YECHISH USULLARI
Kvadrat tengsizliklarni yechish