MATEMATIKAGA IXTISOSLASHTIRILGAN MAKTABLARDA PISA DASTURI ASOSIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISH METODIKASI
![g funksiyaga aytiladiki, u har bir y soniga ( f funksiya qiymatlar sohasidan) shunday
x sonni mos qo‘yadiki, uning uchun f ( x ) =y tenglik bajariladi". Agar y=f ( x )
funksiya teskari funksiyaga ega bo‘lsa (ba’zan u x=f − 1
( y ) bilan belgilanadi) , u
holda f ( x ) teskarilanuvchi deyiladi, y=f ( x ) va x=f−1 ( y ) funksiyalar – o‘zaro teskari
funksiyalar deyiladi. Masalan, y=kx va x= y
k ( k ≠ 0) ,
y = x 3
va
x= 3√y o‘zaro teskari
funksiyalar.
Mavjud algebra darsliklarida bo‘lakli funksiyalarga, ya’ni aniqlanish
sohasining turli oraliqlarida turli formulalar bilan berilgan funksiyalarga misollar
keltirilgan. Bunday funksiyalarning grafiklari o‘quvchilarga ma’lum bo‘lgan
funksiyalarning alohida "bo‘laklari" dan iborat bo‘lib, yaxlit tasvirni yaratadi va bu
ularning nomlanishga asos bo‘lib xizmat qilgan. Ko‘pgina hollarda, bo‘lakli
funksiyalar haqiqiy vaziyatlarning matematik modellari hisoblanadi. Bunday
funksiyalar faqat XIX-asrning o‘rtalarida, ya’ni funksiyaning ta’rifi
aniqlashtirilgandan boshlab qarala boshlandi. Ulardan ba’zilari o‘z nomlari va
belgilanishlariga ega: modul ( │x│ ), ishora (sign x ), butun qism ([ x ]), kasr qism
({ x }), Dirixle funksiyasi ( D ( x ) ). Ushbu turdagi funksiyalar elementar funksiyalar
deb hisoblanmaydi
Nazariya bilan bog‘liq oxirgi muhim savol: qanday funksiyalar teng
deyiladi? Ikki y=f ( x ) va y=g ( x ) funksiyalar berilgan bo‘lsin , ular teng bo‘ladi, agar
ular bir xil aniqlanish sohasiga ega bo‘lsa va aniqlanish sohasidagi istalgan x=a
uchun f ( a ) =g ( a ) tenglik o‘rinli bo‘lsa. B unday funksiyalar aynan teng, bir xil deb
ham ataladi.
Funksiyalar, ularning xossalari va grafiklari, qo‘llanilishini tizimli o‘rganish
7-9-sinflar algebra kursida boshlanib, so‘ngra 10-11-sinflar algebra va analiz
asoslari kursida davom ettiriladi, asosan sonli funksiyalar, ya’ni sonli to‘plamda
berilgan va shu sonli to‘plamdan qiymatlarni qabul qiladigan funksiyalar
o‘rganiladi. Sonli funksiyalar ham o‘rganish obyekti, ham "matematik analiz" ning
barcha asosiy tushunchalari quriadigan bevosita muhitdir. Maktabda ular, asosan,
elementar funksiyalarni o‘rganish va qo‘shni fanlarda differentsial va integral
9](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_9.png)
![ta’minlashi kerak, buning asosida funksiya tushunchasi va uning konkret turlarini
o‘rganishda keskin sifat o‘zgarish (sakrash) mumkin bo‘ladi.
1.2. Maktab ta’limida funksiyaning umumiy tushunchasini aniqlashga turli
yondashuvlar
Matematika o‘qitish metodikasi funksiya tushunchasini talqin qilishda uning
rivojlanishidagi alohida tarixiy bosqichlarni aks ettiruvchi ikkita asosiy yo‘nalish
mavjud: klassik (an’anaviy) va zamonaviy (nazariy-to‘plam tushunchasiga
asoslangan). Har bir yo‘nalish doirasida aniqlovchi (turdosh) tushuncha va tegishli
atamalarni tanlashda farq qiluvchi bir nechta yondashuvlar mavjud.
Yo‘nalishlardagi funksiyani ta’riflashga turli yondashuvlarini sxemada
quyidagicha ko‘rsatish mumkin: Zamonaviy yo‘nalishda yana bir yondashuv
mavjud bo‘lib, unga ko‘ra ta’rif funksiya tushunchasiga emas, balki faqat
funksional holatga beriladi. Bunday ta’rif uchun" u holda to‘plamda funksiya
berilgan" iborasi xarakterli hisoblanadi, A.N.Kolmogorov o‘z vaqtida funksiya
tushunchasini ta’riflanmaydigan tushunchalarga kiritishni tavsiya qilgan (uning
Kvant jurnalidagi maqolasiga qarang, 1970, №1,2). M.I.Bashmakov «ma’lum
ma’noda funksiya tushunchasi aniqlanmagan boshlang‘ich tushunchalarga yaqin
bo‘lgan asosiy tushunchalardan biridir» deb hisoblaydi [2, b. 133].
A.G.Mordkovich "funksiyaning birinchi paydo bo‘lishidagi rasmiy ta’rifni" rad
etadi va "funksional vaziyatning tushuntirish tavsifi" bilan cheklanadi.
Yuqorida aytilganlarning barchasi o‘rta maktab uchun funksiyaning optimal
ta’rifi masalasi hali ham dolzarb ekanligi haqidagi fikrni tasdiqlaydi. Muammoning
murakkabligi allaqachon algebra bo‘yicha mavjud bo‘lgan barcha darsliklarda
funksiyalarning ta’riflari mualliflarning yondashuvlari va uslubiy mulohazalaridan
birini aks ettiruvchi turli formulalar bilan berilganligidan dalolat beradi. Funksiya
yoki funksional vaziyatning ta’riflari o‘rta maktabda ham farqlanadi. Ikkita algebra
darsligida (M.I.Bashmakova; G.V.Dorofeyeva va boshqalar) o‘quvchilarga
matematikada funksiyaning ta’rifi bir necha usulda berilishi mumkinligi to‘g‘risida
aniq ma’lumot beriladi va atama (so‘z) ga turli xil izohlar beriladi. Ushbu ijobiy
11](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_11.png)
![Bunda x -argument yoki erkli o‘zgaruvchi, y -funksiya yoki erksiz
o‘zgaruvchi,
f -xarakteristika (qonun yoki qoida); X -to‘plam funksiyaning
aniqlanish sohasi ,
Y={y:y= f(x),x∈X } to‘plam esa, uning qiymatlari to‘plami
(o‘zgarish sohasi) deyiladi. Bundan keyin biz funksiyaning aniqlanish sohasini
D(f)
, qiymatlar to‘plamini esa, E(f) orqali belgilaymiz.
Funksiyaning aniqlanish sohasi.
Ta’rif. Argumentning funksiya ma’nosini yo‘qotmaydigan (ya’ni cheksiz
yoki mavhumlikka aylantirmaydigan) hamma qiymatlari to‘plami, shu
funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi.
1-misol.
f(x)= √4−x
lg(x−2) funksiyaning aniqlanish sohasini toping.
Yechilishi . Berilgan funksiyaning ko‘rinishini e’tiborga olganda, uning
mavjud bo‘lishi uchun, birinchidan,
4−x≥0 yoki x≤4 ikkinchidan, x− 2>0 yoki
x>2
uchinchidan, lg(x−2)≠0 yoki x≠3 shartlar bajarilishi kerak. Bu shartlarni
e’tiborga olsak, berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi
D(f)=(2;3)∪(3;4] bo‘ladi.
Funksiyaning o‘zgarish sohasi.
y= f(x) funksiya x∈X to‘plamda berilgan bo‘lsin.
Funksiyaning o‘zgarish sohasi diskret nuqtalardan, nuqtadan, oraliq,
segment, bir necha oraliqlardan va h.k. iborat bo‘lishi mumkin. Jadval yoki grafik
usulda berilgan funksiyalarning o‘zgarish sohalari o‘z-o‘zidan ma’lum. Analitik
usulda, ya’ni
y= f(x) shaklda berilganda funksiyaning o‘zgarish sohasini topish
uchun
y ning f(x)= y tenglama haqiqi yechimga ega bo‘ladigan barcha
qiymatlarini toppish talab qilinadi.
Funksiyaning o‘zgarish sohasini topishda quyidagi tasdiqlarni e’tiborga
olish lozim: Agar berilgan funksiya (bu erda uzluksiz funksiya nazarda tutiladi)
qaralgan sohada eng kichik va eng kata qiymatga erishsa,
f(x)
funksiyaning
o‘zgarish sohasi, uning eng kichik va eng kata qiymati hamda ular orasidagi barcha
sonlar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
18](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_18.png)
![2-misol. [0;√2] kesmada f(x)= x4+9 funksiyaning o‘zgarish sohasini
toping.
Yechilishi.
[0;√2] kesmada berilgan funksiyaning eng kichik qiymati
f(0)=9
, eng katta qiymati f(√2)=13 bo‘lgani uchun, uning o‘zgarish sohasi
E(f)=[9;13 ]
dan iborat.
Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi. Tekislikda ikkita
o‘zaro perpendikuliyar bo‘lgan
OX va OY o‘qlardan tashkil topgan sistema to‘g‘ri
burchakli koordinatalar sistemasi deyiladi.
OX -o‘qi abssisalar o‘qi, OY -
ordinatalar o‘qi deyiladi.
Tekislikda har qanday nuqtaning ikkita koordinatasi bo‘ladi.
A(x;y)
Masalan:
A(2;3),B(−3;2),C(4;0),D(0;−3),O(0;0) - koordinatalar boshi deyiladi.
Agar nuqta abssisalar o‘qida yotsa u holda uning ordinatasi nolga teng
bo‘ladi.
Agar nuqta ordinatalar o‘qida yotsa u holda uning abssisasi nolga teng
bo‘ladi.
Koordinatalar boshining abssisasi va ordinatalari nolga teng.
O(0;0) .
Ta’rif . Tekislikning
(x,f(x)) kabi aniqlangan nuqtalaridan iborat ushbu
{(x,f(x))}={(x,f(x)):x∈X ,y= f(x)∈Y}
to‘plam funksiyaning grafigi deb ataladi.
Funksiyaning berilish usullari.
Funksiya umumiy holda analitik, jadval, grafik va so‘z usullari bilan
berilishi mumkin.
Analitik usul. Ko‘pincha
x va y o‘zgaruvchilar orasidagi bog‘lanish
formulalar yordamida ifodalanadi. Bunda argument
x ning har bir qiymatiga mos
keladigan
y funksiyaning qiymati, x ustida analitik amallar - qo‘shish, ayirish,
ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish, ildizdan chiqarish, logarifmlash va h.k.
amallarni bajarish natijasida topiladi. Odatda bunday usul - funksiyaning analitik
usulda berilishi deyiladi.
Masalan,
x x y x y ln ,2 6 2 funksiyalar oshkor shaklda berilgan.
19](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_19.png)
![b) Tegishlilik funksiyasi:
Funksiyalarning formulalari haqida.
1) Maxsus belgilardan iborat: ,... , , ,
2) O‘zgaruvchili bitta ifoda
y= ax 2+bx +c
3) Bir nechta funksiyalarning kombinatsiyalari:
y=c1f1+c2f2+...+cnfn
4) Bir yoki bir nechta funksiyalarning superpozitsiyalari:
y= f(f(f(f(x....)))),y= fn(x),y= f(xn),y= fn(xn),n∈N ,n∈Z,n∈Q
5) Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalar
5. Funksiyaning grafigi:
) ( ), ( :) , ( ), ( x f y f D x y x x f y to‘plam
funksiyaning grafigi deyiladi. Grafiklar ustida amallar. Grafiklarni siljitishlar.
6.
) ( ), ( f D x x f y
funksiya orqali maxsus to‘plamlar qurish:
a)
c x f y x ) ( :) , (
b) c x f y x ) ( :) , (
c) B x f A y x ) ( :) , (
7. O‘zi bilan teskarisi teng bo‘lgan funksiyalar, teskarilanuvchilik.
8. Funksiyalaning berilish usullari o‘rtasida bog‘lanish:
1) Jadval ko‘rinishidan formula ko‘rinishiga o‘tish
2) Grafik ko‘rinishidan formula ko‘rinishiga o‘tish
3) Jadvaldan grafik va grafikdan jadvalga o‘tish
Tabiiy aniqlanish sohasi yagona:
R D x y , sin
Sun’iy aniqlanish sohasi cheksiz ko‘p:
].... 2;0[
] ; [
2
1
D
D
Grafikning
Ox o‘qidagi proyeksiyasi ) (f D
Grafikning
Oy o‘qidagi proyeksiyasi ) (f E
Aniqlanish sohasini topishga doir tipik misollar .
1.
).... ( ln ) ( ), ( ), ( ln ,) ( ,
) (
) ( 2 x P x Q y x arctgQ y x Q y x Q y
x Q
x P y n n
2. Qiymatlar sohasini topishning ayrim usullari.
33](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_33.png)
![) (x f y tenglamani x ga nisbatan yechish
3.Maxsus funksiyalar:
] [ , |, | x y x y x y
Dirixle funksiyasi, Riman funksiyasi,
x
y 1 sin
, x
x
y sin1 ,
x
x y 1 sin
x
x y 1 sin ,
x
x y 1 ,
) (
) (
x f
x f y
,
2 ,1
2 ,2 ,1
2
2
x x
x x x
x
x x y
4. Funksiyani aniqlanmaydigan formulalarga doir misollar:
x x
y x y x x y
3
1
2
1 ;5 cos ); ( log log
22
Har qanday chiziq ham biror funksiyaning grafigi bo‘lavermaydi.
5. Funksional tenglamalar orqali funksiyani aniqlash.
) (x f y
ning grafigi asosida
f
f f f 1, , ; 1 2 , larning grafigi.
6.
) (x f y
funksiyaning aniqlanish sohasidagi chekli (cheksiz) nuqtalarda
qiymatlarini o‘zgartirib yangi funksiya qurish:
Masalan:
D x x f y ), (
0 1
0
1 ); ( ) (
\) ( ), (
) (
X x x f x f
X f D x x f
x f
01 01
\)(),()( ),()(
XfDxxfxf Xxxfxf
7. Faqat bitta (ikkita) nuqtada aniqlangan funksiyalarga misollar
2 2 x x y
, 0 ) ( , 2;1 ) ( f E f D
8. Funksiyani davom ettirish (Davriy davom ettirish)
Juft va toq funksiyalar
34](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_34.png)
![1. Bitta to‘plamda aniqlangan juft funksiyalarning yig‘indisi, ayirmasi,
ko‘paytmasi va nisbati ham juft funksiya bo‘ladi(nisbatda maxraj noldan farqli
bo‘lganda).
2. Bitta to‘plamda aniqlangan toq funksiyalarning yig‘indisi va ayirmasi
toq funksiya bo‘ladi, ko‘paytmasi va nisbati esa juft funksiya bo‘ladi(nisbatda
maxraj noldan farqli bo‘lganda).
Davriy funksiyalar
Ta’rif. Agar shunday noldan farqli T son topilib, ∀ x∈D(f) uchun: 1) x+T∈D(f) .
1)
f(x+T)= f(x) shartlar bajarilsa, u holda f davriy funksiya, T uning davri
deyiladi.
Ta’rif. Agar
R da aniqlangan 2l davrli F(x) funksiya uchun [−l;l] kesmada
F(x)= f(x)
shart bajarilsa, u holda F(x) funksiya f(x) funksiyaning davriy davomi
deyiladi.
Davriy funksiyalarning xossalari:
1. Davriy funksiya ixtiyoriy qiymatini cheksiz marta qabul qiladi.
2. Agar
T va P sonlar f ning davrlari bo‘lsa, T+P ham davri bo‘ladi.
3. Agar
T son f ning davri bo‘lsa, nT , n∈Z ham davri bo‘ladi, va T
uning eng kichik davri deyiladi.
4. Agar musbat
T1 va T2 sonlar mos ravishda f va g funksiyalarning eng
kichik davrlari bo‘lsa, u holda ular umumiy davrga ega bo‘lishi uchun
T1:T2
nisbatning ratsional son bo‘lishi zarur va yetarlidir hamda ularning yig‘indisi va
ko‘paytmasi ham davriy bo‘ladi.
5. Agar
f davriy funksiya bo‘lsa, u holda ixtiyoriy F funksiya uchun
F(f(x))
murakkab funksiya ham davriy bo‘ladi.
6. Agar
f funksiyaning eng kichik davri T ga teng bo‘lsa, u holda
kf (ax +b)+l
(a noldan farqli) funksiya ham davriy bo‘lib, uning davri
T
a ga teng
bo‘ladi.
36](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_36.png)
![7. Agar f funksiya X to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi) bo‘lsa, u holda:
a)
a f ( x )
funksiya a >1 bo‘lganda X to‘plamda o‘suvchi (kamayuchi) bo‘ladi.
b)af(x) funksiya 0 < a <1 bo‘lganda X to‘plamda kamayuchi (o‘suvchi)
bo‘ladi.
v) log
a f ( x )
funksiya, f ( x )
>0 va a >1 bo‘lganda X to‘plamda
o‘suvchi(kamayuchi) bo‘ladi.
g)
log af(x) funksiya, f(x) >0 va 0 < a <1 bo‘lganda X to‘plamda kamayuchi
(o‘suvchi)bo‘ladi.
Ta’rif : ( nuqtada o‘sish va kamayish tushunchalari (Alimov 1-qism 222-
bet).
Funksiyaning ekstremumlari , eng katta va eng kichik qiymatlari.
Faraz qilaylik f funksiya X to‘plamda aniqlangan bo‘lsin.
Ta’rif . Agar
x0∈X nuqtaning shunday δ>0 , ( x
0 − δ , x
0 Qδ
) ∈ X
, atrofi
mavjud bo‘lib, bu atrofdagi barcha(ixtiyoriy) x lar uchun f(
x ) ≤ f( x0 ) tengsizligi
bajarilsa, u holda x
0 nuqta f funksiyaning lokal maksimum nuqtasi deyiladi.
Agar
x0∈X nuqtaning shunday δ>0 , ( x0−δ,x0Qδ ) ∈X , atrofi mavjud bo‘lib,
bu atrofdagi barcha (ixtiyoriy ) x lar uchun
f(
x ) ≥ f( x0 ) tengsizligi bajarilsa, u holda x0 nuqta f funksiyaning lokal
minimum nuqtasi deyiladi.
Funksiyaning lokal maksimum va lokal minimum nuqtalari uning lokal
ekstremum nuqtalari deyiladi. Funksiyaning lokal ekstremum nuqtalaridagi
qiymatlari uning ekstremal qiymatlari yoki ekstremumlari deyiladi.
Agar f( x
) ¿
f( x
0 ) (f( x
)
¿ f( x
0 )) x ≠ x
0 qat’iy tengsizliklar bajarilsa, u holda x
0
nuqta f funksiyaning qat’iy lokal maksimum(minimum) nuqtasi deyiladi.
Teorema : ( Lokal ekstremumning etarli sharti ). Agar y= f( x
), x ∈ X
funksiya qandaydir
δ>0 , ( x0−δ,x0]∈X oraliqda o‘suvchi (kamayuvchi) va δ>0 ,
¿ ¿
) ∈ X
oraliqda kamayuvchi(o‘suvchi) bo‘lsa, u holda x
0 nuqta f funksiyaning
qat’iy lokal maksimum (minimum) nuqtasi bo‘ladi.
39](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_39.png)
![3.y=log ax
funksiya va uning xossalari, grafigi.
4. Mustaqil yechish uchun masalalar
1. y= x n
funksiya va uning xossalari, grafigi.
y=x n
formula bilan berilgan funksiyani ko‘rib chiqamiz. Bunda
x-erkli o‘zgaruvchi n-esa natural son. Bunday formula natural ko‘rsatkichli darajali
funksiya deyiladi.
y=x, y=x 2
va y=x 3
darajali funksiyalarni ko‘rib chiqqan edik.
x n
ifoda istalgan x da ma`noga ega. Shuning uchun natural ko‘rsatkichli
darajali funksiyaning aniqlanish sohasi hamma haqiqiy sonlar to‘plami bo‘ladi.
Darajali funksiya xossalarini keltirish uchun daraja ko‘rsatkichi juft son bo‘lgan
holda xossalarni ko‘rib chiqamiz.
n juft bo‘lganda y=x n
funksiyaning xossalari:
1.Agar x=0 bo‘lsa, y=0 bo‘ladi.
2.Funksiyaning grafigi koordinatalar boshidan o‘tadi.
3. Agar x 0 bo‘lsa, y>0 bo‘ladi. (Funksiyaning grafigi). Bu musbat sonnig
ham manfiy sonning ham juft darajali musbatligi kelib chiqadi. Funksiyaning
grafigi birinchi va ikkinchi koordinata choraklarida joylashgan.
4. Funksiya juft bo‘ladi. Bu n juft bo‘lganda (-x) n
=x n
tenglik istalgan x
uchun to‘g`riligi kelib chiqadi. Funksiyaning grafigi ordinatalar o‘qiga nisbatan
simmetrik.
5. Funksiya [0;+ ¥ ) oraliqda o‘sadi va (- ¥ ;0] oraliqda kamayadi
5. Funksiyaning qiymatlari sohasi nomanfiy sonlar to‘plamidir.
y=x 2
va y=x 4
funksiyalarni grafiklari.
48Y
X Y
X](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_48.png)
![2. y=sin x funksiyaning qiym a tl a r s o h a si [-1;1] o r a liq yani:-1 sin x 1
3. y=sin x funksiya eng kichik musb a t d a vri 2 bo‘lg a n d a vriy funksiya.
4. y=sin x funksiya t o q funksiya.
5. y=sinx funksiya 0 ga teng qiymatni x= n, n Z larda qabul qiladi.
6. y=sinx funksiya 1 ga teng eng katta qiymatni x= /2+2 n, n Z larda
qabul qiladi.
7. y=sinx funksiya -1 ga teng eng kichik qiymatni x=- /2+2 n, n Z larda
qabul qiladi.
8. y=sinx funksiya musbat qiymatlarni (0; ) oraliqda va bu oraliqni
2 n(n= ± 1; ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul qiladi.
9. y=sinx funksiya manfiy qiymatlarni ( ;2 )oraliqda va bu oraliqni 2 n
(n= ± 1; ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul qiladi.
10. y=sin x funksiya [- /2; /2] k e sm a d a v a bu k e sm a ni 2 n (n= ± 1; ± 2,)
qadar siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a o‘s a di.
11.y=sin x funksiya [ /2;3 /2] k e sm a d a v a bu k e sm a ni 2 n (n= ± 1; ± 2,)
qadar siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a k a m a yadi.
12. y=sin x funksiyaning gr a figi 1.31 chizmada berilgan.
y=cosx funksiya
1.y=cosx funksiyaning aniqlanish sohasi barcha haqiqiy sonlar to‘plami,
ya’ni: R = (- ¥ ; + ¥ )
2. y=cos x funksiyaning qiym a tl a r s o h a si [-1;1] o r a liq yani: -1 cos x 1
3.y=cos x funksiya eng kichik musb a t d a vri 2 bo‘lg a n d a vriy funksiya.
4.y=cosxfunksiyajuftfunksiya.
5. y=cosxfunksiya 0 ga tengqiymatni x= /2+ n, n Z lardaqabulqiladi.
6. y=cosx funksiya 1 ga teng eng katta qiymatni x=2 n, n Z larda qabul
qiladi.
56](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_56.png)
![7. y=cosx funksiya -1 ga teng eng kichik qiymatni x= +2 n, n Z larda
qabul qiladi.
8. y= cosx funksiya musb a t qiym a tl a rni (- /2; /2) o r a liqd a v a bu o r a liqni
2 n
( n = ± 1; ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul qiladi.
9. y= cos x funksiya manfiy qiymatlarni ( /2;3 /2) oraliqda va bu oraliqni
2 n
( n = ± 1; ± 2,) qadar siljitish bilan hosil bo‘ladigan oraliqlarda qabul qiladi.
10.y= cos x funksiya [ ;2 ] kesmada va bu kesmani 2 n ( n = ± 1; ± 2,) qadar
siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a o‘s a di.
11.y= cosx funksiya [0; ] k e sm a d a v a bu k e sm a ni 2 n ( n = ± 1; ± 2,) qadar
siljitish bil a n h o sil bo‘lg a n k e sm a l a rd a k a m a yadi.
12.y= cosx funksiyaning gr a figi1.32 chizmada berilgan .
2. y=tgx ,y=ctgx funksiya va uning xossalari, grafigi.
y=tg x funksiya
1.y=tg x funksiyaning a niql a nish s o h a si x
/2+ n, n Z o‘lg a n b a rch a
h a qiqiy s o nl a r to‘pl a mi.
2. y=tgx funksiyaning qiymatlar sohasi barcha haqiqiy sonlar to‘plami,
ya’ni: R=(- ¥ ;+ ¥ )
3. y=tgx funksiya eng kichik musbat davri bo‘lgan avriy funksiya.
4 y=tgx funksiya toq funksiya.
5. y=tgx funksiya 0 ga teng qiymatni x= n, n Z larda qabul qiladi.
6. y=tgx funksiya musbat qiymatlarni ( n; /2+ n), n Z oral qlarda qabul
qiladi.
57](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_57.png)
![f
0
(x)=¿{b
1
,x=a
1¿{b
2
,x=a
2
a
1
≠a
2
≠a
3¿¿¿¿D(f ) q{ ,} E(f ) q{} f
1
(x)=¿{c
1
,x=a
1¿{c
2
,x=a
2 ¿¿¿¿
(f
0
+f
1)(x)=¿{b
1
+c
1
,x=a
1¿{b
2
+c
2
,x=a
2 ¿¿¿¿
Aniqlanish sohalarini turlicha, lekin kesishmasi bo‘sh bo‘lmagan chekli to‘plamlar
tanlab misollar tuzish va ular bilan amallar bajariis ga doir misollar keltirish,
grafiklarini yasash.
3) Cheksiz va chegaralangan to‘plamlarda aniqlangan pag‘onasimon
(zinasimon)funksiyalarning yig‘indisini(ayirmasini, ko‘paytmasini va
bo‘linmasini) topish:
g1(x)=¿{3,x∈[−3;0]¿{2,x∈(0;2] D(g1)=[−3;3]¿¿¿¿
, g2(x)=¿{−1,x∈[−2;0]¿{3,x∈(0;1] D(g2)=[−2;4]¿¿¿¿
(g
1
+g
2)(x)=¿{2,x∈[−2;0]¿{5,x∈(0;1] D(g
1
+g
2
)=[−2;3]¿{4,x∈(1;2] E(g
1
+g
2
)={2,3,4,5}¿¿¿¿
4) Cheksiz va chegaralangan to‘plamlarda aniqlangan bo‘lakli chiziqli
funksiyalarning yig‘indisini(ayirmasini, ko‘paytmasini va bo‘linmasini) topish:
g1(x)=¿{3x+2,x∈[−3;0]¿{−2x+1,x∈(0;2] D(g1)=[−3;3]¿¿¿¿
g2(x)=¿{2x−1,x∈[−2;0]¿{4x−3,x∈(0;1] D(g2)=[−2;4]¿¿¿¿
60](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_60.png)
![(g
1
+g
2)(x)=¿{3х+2+2х−1=5х+1, x∈[−2;0]¿{−2х+1+4х−3=2х−2,x∈(0;1] D(g
1
+g
2
)=[−2;3]¿{−2х+1+(−х+2)=−3х+3,x∈(1;2] E(g
1
+g
2
)=¿¿¿¿5) Berilgan f chiziqli funksiyadan faqat chekli nuqtalardagina farq qiluvchi
funksiya qurishga doir misol.
f(x)=3x+2 ,x∈[−2;3]
,
f(x)= f1(x),x∈[−2;3]{−1,0,1,2¿¿
,
f(x)≠ f1(x),x∈{−1,0,1,2}
6) Segmentda chegaralanmagan funksiyalarga doir misollar
f1(x)= ¿{
1
x
, x∈[− 1;0)∪ (0.1]¿¿¿¿
f
2
(x)=¿
{
tgx ,x∈(−
π
2
,
π
2
)¿
{
−1, x=−
π
2
,D(f
2
)=[−
π
2
,
π
2
]¿¿¿¿
.
O‘tkaziladigan tajriba sinovlaridan olingan natijalar.
1. Savol. (Samarqand viloyati Ishtixon tumani XTBga qarashli
91-maktabi 10-sinf o‘quvchisi Shonazarova Surayyo)
g1(x)={
1,x∈[−2;3]
3,x∈(3;7)
D(g1)=[−2;7)
E(g1)={1;3]
g2(x)={
5,x∈[−3;0)
6,x∈(0;5]
D(g2)=(−3;5]
E(g2)={5;6]
a) funksiyalarni qo‘shing
(g1+g2)= ?
61
f
1
(x)=¿{3x+2,x∈[−2;3]{−1,0,1,2¿]¿{1,x=−1¿{−1,x=0¿{4,x=1¿¿¿¿](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_61.png)
![(g1+g2)(x)={
1+5, x∈[−3;0)
1+6,x∈(0;5] , (g1+g2)(x)={
3+5, x∈[0;3]
3+6,x∈[3;5]
D (g1+g2)= [− 2;5]
E(g1+g2)=[6;9] .
b) funksiyalarni ayiring.
(g1− g2)=?
(g1− g2)(x)={
1−5,x∈[−2;0]
1−6,x∈[0;3]
(g1− g2)(x)={
3−5,x∈[0;3]
3−6,x∈[3;5]
D(g1− g2)=[−2;3]
E(g1−g2)=[−1;−2] .
c) funksiyani ko‘paytiring.
(g1⋅g2)(x)= ?
(g1⋅g2)(x)= {
1⋅5,x∈[− 2;1]
1⋅6,x∈[0;3]
(g1⋅g2)(x)= {
3⋅5,x∈[0;3)
3⋅6, x∈[3;5)
D (g1⋅g2)(x)= [− 2;5]
E(g1⋅g2)(x)=[6;18 ] .
d) funksiyani bo‘ling.
(
g1
g2)(x)=?
(
g1g2)(x)=
{
1
5 x∈[− 2;3]
1
6 x∈[0;1]
(
g1
g2)(x)=
{
3
5 x∈[0;2]
3
6 x∈[− 2;0]
D(
g1
g2)(x)=[−2;5]
E(
g1
g2)(x)=[2,16 ;0,2 ] .
2.3 . Funksiya tushunchasining mazmunini o‘zlashtirishga doir
savollar, masalalar va testlar
Akslantirishlarning shakllari:
1. Chekli to‘plamni → chekli to‘plamga
2. Sanoqli to‘plamni → chekli to‘plamga
3. Sanoqli to‘plamni → sanoqli to‘plamga
4. Sanoqsiz to‘plamni → chekli to‘plamga
5. Sanoqsiz to‘plamni → sanoqli to‘plamga
62](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_62.png)
![23. O‘zi teskarisiga teng bo‘lgan funksiyalarga misollar keltiring.
24. Berilgan chiziqli funksiyadan:
a) faqat bitta nuqtada farq qiluvchi funksiyalarga misollar keltiring.
b) faqat p ta nuqtada farq qiluvchi funksiyalarga misollar keltiring.
25. Pog‘onasimon funksiyalarga misollar keltiring.
Akslantirishlarga doir o‘z-o‘zini nazorat qilish uchun savollar:
1. Akslantirishlar va ularning turlari. Funksiya tushunchasi, berilish
usullari va uning asosiy xossalari.
2. Aniqlanish va qiymatlar sohalarining turlari (quvvatlari) bo‘yicha
funksiyalarning turlari.
3. Funksiyalar ustida arifmetik amallar. Funksiyalarning tengligi.
4. Bir-biridan cheklita nuqtalardagina farq qiluvchi funksiyalar.
5. Biektiv akslantirishning ta’riflari ?
6. [a;b]va [c;d] kesmalar o‘rtasida biektiv moslik o‘rnating.
7.
[ a ; b ] va ( − ∞ , + ∞ )
- o‘rtasida biektiv moslik o‘rnating.
8.
(− ∞ ,+∞)→ {a;b} akslantirishni toping?
To‘plamlarga doir o‘z-o‘zini nazorat qilish uchun savollar:
1. To‘plam tushunchasi. Berilish usullari. To‘plamlar ustida amallar
(qism to‘plam, bo‘sh to‘plam, to‘ldiruvchi to‘plam) To‘plamlarning dekart
ko‘paytmasi.
2 Sanoqli va sanoqsiz to‘plamlar
3.Chegaralangan to‘plamlar, to‘plamning aniq quyi va aniq yuqori
chegaralari. 4.Chegaralangan to‘plamning aniq chegaralarga erishish haqidagi
teorema.
5.Sanoqli va chegaralangan,
6.Sanoqli va chegaralanmagan,
7.Sanoqsiz va chegaralangan,
8.Sanoqsiz va chegaralanmagan to‘plamlarga misollar.
65](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_65.png)
![9.(
n
n+1,n+1
n+2) intervalga tegishli bo‘lgan chekli, sanoqli va sanoqsiz qism
to‘plamlarga misollar keltiring.
10. To‘plamning aniq chegaralarini toping?
To‘g‘ri tasdiqlarni belgilang:
1) To‘plamning chegaralari albatta o‘zining elementlari bo‘ladi.
2) A Chekli to‘plam bo‘lsa,
max {ai}=sup {A} , A={a1,a2,a3,....,an}
3)
sup {[0,1 ]}=1;inf {(0,1 )}=0;
4)
sup {[0,1 ]}=sup {(0;1)}.
5) Yuqoridan chegaralangan to‘plam faqat bitta yuqori chegaraga ega
bo‘ladi.
6) Quydan chegaralangan to‘plamning quyi chegaralari cheksiz ko‘p
bo‘ladi.
TESTLAR :
1. Chegaralanmagan to‘plamlarni toping:
A)
N,(−∞;0],{n2},[0;+∞);(−∞;+∞)
B)
Z ,[a ;b ],{2 n + 1 }{
n + 1
n },Q
C)
Z,N,I,Q,R,[0;1];
D)
[−1;1],{x:|x|≤5},{
n+1
n },{1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 }.
2. To‘g‘ri munosabatlar keltrilgan javobni belgilang.
A)
N ⊂Z ⊂Q ⊂R ;Q∩ I= ∅
B)
N ⊂Z ⊂Q ⊂I⊂1R
C)
N∪ Z=Q ;N∩ Z= Z;
D)
Q∩ I≠ ∅ ;Q ¿= N .
3.To‘g‘ri ta’riflarni toping:
66](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_66.png)
![1. Funksiyaning aniqlanish sohasini toping.y=√3x+4+ 1
ln (2−5x)
A)
[−0,5 ;9
5)∪(
9
5;2) B) (− 1
2;2) C) [−0,5 ;9
5)∪(2;+∞) D)
∅
2.
y= 1
x2+1 funksiyaning qiymatlar sohasini toping.
A)
(0;1] B) (
1
2;+∞) C) [0;1) D) (−∞;+∞)
3.
f(x)={
x2, − 2≤ x≤1
2x+1, 1<x≤4 va
g(x)={
1−2x2, [−1;2]
−x−1 (2;3] funksiyalarning
yig‘indisini toping.
A)
{
1−x2, −1≤x<1
2x2+2x+2, 1<x<2
¿¿¿¿ B)
{
1− x2, −1≤ x≤1
x, 2<x≤3
4. Quyidagi ikkita formula bilan berilgan qonuniyat funksiyani aniqlaydimi?
f(x)={
x2, [−1;1]
x+1, [1;2]
A) Yo‘q, chunki x=1 da u
1 =1; u
2 =2
B) Ha ,
D(f)=[−1;2] , E(f)=[0;2]
C) Yo‘q, chunki
E(f)⊂D(f)
D) Ha ,
D(f)=[−1;2] , E(f)=[0;1]∪[2;3]
5. Chegaralangan funksiyalarni toping:
1) u=x 2
, 2)u=sinx, 3) y=lnx, 4)y=cosx 5)
y= 1
1+x2 6) D(x)={
0, x∉I
1, x∈Q
68](/data/documents/11bcf7e0-cda9-4f60-b8df-1e330fb667e2/page_68.png)
MATEMATIKAGA IXTISOSLASHTIRILGAN MAKTABLARDA PISA DASTURI ASOSIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISH METODIKASI MUNDARIJA KIRISH ……………………………………………………………………. 3 I BOB UMUMTA’LIM MAKTABLARINING MATEMATIKA CHUQURLASHTIRIB O‘QITILADIGAN KURSLARIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISHNING NAZARIY ASOSLARI ……………………………………………………………………. 7 1.1. Matematikada funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanishi tarixi ………………………………………………… 7 1.2. Umum ta’lim maktablarida funksiya tushunchasini shakllantirishdagi turli yondoshuvlar ……………………............. 14 1.3 Funksiya tushunchasini shakllantirishda PISA dasturiga mos masalalar tizimini yaratish……………………………………….. I BOB BO‘YICHA XULOSA ………………………….……… 27 II BOB UMUMTA ’ LIM MAKTABLARINING MATEMATIKA CHUQURLASHTIRIB O ‘ QITILADIGAN KURSLARIDA FUNKSIYA TUSHUNCHASINI SHAKLLANTIRISHNING METODIK ASOSLARI …………………………………….…. 2.1. Funksiyalarning asoasiy xossalari va sinflari hamda ularning ma z muni va o‘qitish metodikasi ……………………. 29 2.2. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalarni o‘rganishning metodik loyihasi …………………………………………………. 38 2.3. Funksiya tushunchasining mazmunini o‘zlashtirishga doir savollar, masalalar va testlar……………………………………... 48 II BOB BO‘YICHA XULOSA ………………………………. 57 III BOB TAJRIBA-SINOV ISHLARINI TASHKIL ETISH VA UNING NATIJALARI 59 3.1. Tajriba-sinov ishlarini tashkil etish……………………………. 59 3.2. Tajriba-sinov ishlarining natijalari tahlili……………………… 66 III BOB BO‘YICHA XULOSA ……………………………… 79 XULOSA VA TAKLIFLAR ………………………………………………. 81 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI …………………… 84 1
K I R I SH Dolzarblik. O‘quvchilarning o‘zlashtirish darajalarini xalqaro darajada o‘lchab, qiyoslab baholaydigan tashkilotlar (PISA, TIMSS) tomonidan tayyorlangan nazorat o‘lchov materiallariga kiruvchi savollar va testlar tarkibida funksional bog‘lanishlarga doirlari salmoqli qismni tashkil etadi. Mashur nemis matematigi F.Kleyn (1849-1925) funksiya tushunchasi haqida shunday degan edi: “Zamonaviy matematikaning qaysi tushunchasi eng asosiysiysi bo‘lib hisoblanadi? So‘zsiz, bu funksiya haqidagi tushunchadir. Funksiya haqidagi tushuncha o‘rta maktab matematika kursida eng asosiy va boshqaruvchi vazifani bajarishi kerak. Bu tushuncha o‘quvchilarga juda erta tushuntirilishi kerak hamda undan algebra va geometriyani o‘qitishda ham unumli foydalanish zarur”. Bugungi kunga kelib funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasiga oid ijobiy tajribalar to‘plangan bo‘lishiga qaramasdan matematika o‘qituvchilari funksiya tushunchasini amaliyotga tadbiq etish borasida bir qancha qiyinchiliklarga duch kelmoqdalar. Oliy o‘quv yurtlariga kirish testlarini topshirgan abituriyentlarning natijalari taxlillari ham ularda funksional bog‘lanishlarni to‘liq tushunmaganliklarini ko‘rsatmoqda. Bularning barchasi, funksiya tushunchasini sifatli o‘zlashtirish zarurligi bilan bu tushunchani shakllantirish metodikasining etarli darajada ishlab chiqilmaganligi o‘rtasidagi ziddiyatlarning mavjudligini ko‘rsatadi. Tadqiqot obyekti. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan makrablarda matematikani o‘qitish jarayoni. Tadqiqod predmeti. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan makrablarda funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasi. Tadqiqot maqsadi. Matematika chuqurlashtirilib o‘qitiladigan makrablarda funksiya tushunchasini shakllantirishning maxsus o‘ziga xos jihatlarini aniqlash va shakllanish metodikasini tajriba-sinovlarda tekshirish. Tadqiqot vazifalari: 1. Funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanish tarixini o‘rganish. 2
2. Maktab matematikasi mazmunida funksional bog‘lanishlar mavzular tizimining maqsadi, vazifalari va o‘quvchilarning matematik tayyorgarligiga qo‘yilgan talablarni aniqlashrirish. 3. Funksiya tushunchasini shakllantirishdagi turlicha yondashuvlarni qiyosiy o‘rganish. 4. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha masalalar tizimini ishlab chiqish. 5. Amaldagi maktab matematika darsliklarini tadqiqot predmeti bo‘yicha qiyosiy tahlil qilish. 6. Bir nechta formulalar bilan berilgan funksiyalarni o‘rganishning metodik loyihasini tayyorlash. Pedagogik tajriba-sinov ishlarini o‘tkazish. Tadqiqod farazi. Agar quyidagi shartlar bajarilsa, u holda o‘quvchilar tomonidan funksiya tushunchasini o‘zlashtirish sifati oshadi: 1) funksiya tushunchasini shakllantirishdagi o‘ziga xos maxsusliklari aniqlansa; 2) aniqlangan maxsusliklarni inobatga olib, funksiya tushunchasini shakllantirish metodikasi ishlab chiqilsa. Tadqiqod metodlari: - muammolarga bag‘ishlangan nazariy va ilmiy-uslubiy adabiyotlarning DTM sinovlarida tushgan masalalarning nazariy taxlili; - pedagogik tajribalarni umumlashtirish va o‘rganish; - so‘rovnoma va suhbatlar o‘tkazish. Tadqiqotning ilmiy yangiligi: 1. Funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanish tarixining yoritilishi. 2. Darsliklarda funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha bayon qilingan yondashuvlar qiyosiy tahlil etib berilgan. 3. Funksiya tushunchasini shakllantirish jarayonidagi maxsus jihatlari aniqlangan. 3
4. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha PISA ko‘rsatkichlariga mos masalalar tizimi ishlab chiqilgan. 5. Funksiya tushunchasini shakllantirish jarayonidagi maxsus jihatlarini inobatga olib yangi metodik tizim tavsiya etilgan. Tadqiqot natijalarining nazariy va amaiy ahamiyati. 1. Funksiya tushunchasini shakllantirish uchun ilmiy-uslubiy adabiyotlarning tahlil etilgan majmuasidan amaliyotda foydalaniladi. 2. Funksiya tushunchasini shakllantirish bo‘yicha masalalarning mazmuni va turlari haqida to‘liq ma’lumotga ega bo‘linadi. 3. O‘quvchi va o‘qituvchilar uchun metodik qo‘llanma sifatida foydalanish mumkin. 4
I BOB. Umumta’lim maktablarining matematika chuqurlashtirib o‘qitiladigan kurslarida funksiya tushunchasini shakllantirishning nazariy asoslari 1.1. Matematikada funksiya tushunchasining paydo bo‘lishi va rivojlanishi tarixi. Funk s ional yo‘nalish – arifmetikadan oliy matematik a nin g barcha bo‘limlari ni qamrab olgan asosiy tayanch bo‘lib, uning atrofida barcha maktab algebrasi, boshlang‘ich matematik analiz va ma ’ lum darajada geometriya ham birlashtirilgan. Mavjud namunaviy dastur XX asrning 70-yillarida olib borilgan matematik ta’limni isloh qilishdan so‘ng funksional mazmundagi ma’lumotlarning sezilarli darajada ko‘paytirilgan hajmini o‘z ichiga oladi. Matematik tahlil elementlarini kiritishgacha bo‘lgan kontseptual apparatning kengayishi o‘quvchilarning funksional tasavvurlarini yangi sifat darajasiga ko‘tardi. Bunday hal qiluvchi qadamga pedago-matematiklar F.Klein, A.Ya.Xinchin, A.N.Kolmogorov, A.I.Markushevich, A.G.Mordkovich va boshqalarning funksiya tushunchasining bevosita real borliq bilan bog‘liq matematika fanida va matematika o‘qitishdgi etakchi roliga amin bo‘lgan g‘oyalari sezilarli ta’sir ko‘rsatdi. Unda real olamning o‘zgaruvchanligi va dinamikligi, real narsa va hodisalarning sababiy bog‘liqligi va shartliligi, zamonaviy matematik tafakkurning dialektik xususiyatlari aniq ifodalangan. Ko‘pgina real vaziyatlarning matematik modeli bo‘lgan funksiya miqdorlar orasidagi turli munosabatlarni tavsiflash va o‘rganish, atrofdagi dunyoni bilish imkonini beradi. Shu sababli, o‘quvchilarni funksional material bilan tanishtirish juda muhim, chunki bu ham predmetlar ichidagi, ham fanlararo aloqalarni (ko‘plab tushunchalar va qonunlar funksional asosga ega), maktab matematikasining amaliy yo‘nalishini amalga oshirishga imkon beradi. Matematikada funksiya tushunchasi turli xil amaliy masalalardan kelib chiqqan holda, ularni yechishning umumiy usullari topilganda (masalaning konkret mazmunidan abstraktatsiya qilish orqali) asta-sekin rivojlandi. 5