Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

554.9970703125 KB

Ko'chirib olish

1

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI
OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI

FIZIKA MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA
YO’NALISHI 3 -KURS M3 GURUH TALABASI
NO’MONOV HOSILJON NING MATEMATIK
ANALIZ FANIDAN

Elementar funksiyalarni
dar ajali qatorga yoyish

Andijon -20 15

2

Mavzu: Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish

Reja:
I. Kirish.
II . Asosiy qism :
1. Teylor qatori
2. Funksiyani Teylor qatoriga yoyish
3. Eyler fo’rmulalari
III. Xulosa.

3

Kirish

“Men bu davlatning bugungi boyligiva tez rivoj topishi, eng nufuzli
va eng qudratli davlatlar safigakirish sabablarini, avvalo, shu
mamlakatning, shu xalqlarning o’z intelektual boyligidan oqilona
foydalanishi, bu mamlakatlarda yashayotgan insonlarning o’z burchiga,o’z
vazifasiga vijdonan va masuliyat bilan qarashida deb bilaman”

I.A. Karimov.

Us hbu kur ishini “ Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish ” deb
nomlangan bo’lib, bu mavzu ichida asosan Elementar funksiyalarni darajali
qatorga yoyish va eyler formulalarini yoritish ko’zda tutilgan.
Mavzuning dolzarbligi. Mavz u asosan bo’lajak o’qituvchining o’rgangan
bilim, ko’nikma, malakalarini umumlashtirish, Elementar funksiyalarni darajali
qatorga yoyish va eyler formulalarini yoritish, va o’rganishdan iborat.
amaliyotda foydalanishi to’g’risida yoritib b erishdir.
Mavzuning o’rganish jarayoni . Elementar funksiyalarni darajali qatorga
yoyish ga doir masalalar o’rganib chiqildi.
Bunda avvalo nazariy qismi berildi. So’ngra misollar va ularni yechilishlari
berligan.
Ishning maqsad va vazifala ri. Nazariy bilimlarni amaliyotga tadbiqi va
undan foydalanishni ko’rsatish.
Ob’yekti va predmeti. Mavzuni Elementar funksiyalarni darajali qatorga
yoyish va eyler formulalari , ba’zi elementar funksiyalarni darajali qatorga
yoyish hisobla sh tashkil etadi. Predmenti o’quv adabiyotlari, darsliklardagi
ma’lumotlarni tashkil etadi.

4

Amaliy ahamiyati. Kurs ishi mavzusi Talabalarga uslubiy qo’llanma sifatida
foydalanish mumkin.
Ishning tuzilishi. Kurs ishiga Reja ,kirish, 3 ta b ob, xulosa va adabiyotlar
ro’yxati berilgan.
I Teylor qatori
II Funksiyani Teylor qatoriga yoyish
III Eyler fo’rmulalari

5

1- § Teylor qatori
Ilgari ko’rgan misollarda x ning darajalari bo’yicha us hbu
(1)
ko’rinishdagi darajali qatorlarni uchratgan edik.
Ikki had x ning (x ning o’rniga) darajalari bo’yicha yozilgan
umumiyroq ko’rinishli darajali qator
(2)
ni ham qaraydilar. Bunday qator (1) ko’rinishdagi qatordan uncha
farq qilmaydi, chunki (o’zgaruvchini belgilash aniqligicha) unga
o’zgaruvchini oddiy x=x 0 =y almashtirish bilan keltiriladi.
Keyinchanli k darajali qatorlarning xossalarini to’liq o’rganamiz, ular
ko’p jihatdan, ko’p xadlarning xossalariga o’xshaydi. Darajali qatorning
kesmalari ko’p xad lardan iboratdir, shuning uchun darajali qatorlar
taqribiy hisoblashlar uchun qul ay vosita bo’la oladi.Bularning hammasi,
avvaldan berilgan funktsiyani x→x 0 ning (xususan x ning ) darajalari
buyicha yeyish mumkinligi xakidagi masalaning ya’ni uni (2) yoki (1)
ko’rinishdagi qator yigindisi sifatida yozish mumukinligi haqidagi
masalaning qanchalik katta aham iyatga ega ekanligini ko’rsatadi.
Biz bu yerda elementar funksiyalarning shunday yoyilmalari bilan
shug’ullanamiz. Qo’yilgan bu masalaning qanday hal qilish mumkinligini
to’liq o’rganilgan Teylor fo’rmulasi ko’rsatib beradi. Haqiqatdan,
ko’rilayotgan f(x) funksiya yoki (H>0) oraliqda
istalgan tartibli xosilalariga ega (shu bilan ularning hammasi -uzluksiz) ... ...       


n
n n
n
n x a x a x a a x a 2
2 1 0 0 0x        ... ... 0 20 1 0 0 0         


n n n
n n x x a x x a a x x a   H x x  0  0 0 ,x H x 

$6 deb faraz qilaylik. U holda aytilganga ko’ra, x ning bu oraliqdagi barcha qiymatlari uchun (3) fo’ rmula o’rinli bo’ladi, bu yerda to’ldiruvchi (qoldiq) had keltirilgan ko’rinishlardan biri bilan tasvirlanishi mumkin. Bunda biz, n ni har qancha katta qilib olishimiz, ya’ni bu yoyilmani x-x0 ning istalgan yuqori darajalari u chun ham yozishimiz mumkin. Tabiiyki, bu aytilgan cheksiz yoyilma (4) bo’lsin. Bu qatorning qol diq hadini deylik : . (5) 1-teorema. (5) darajali qator da ga yaqinlashishi uchun ushbu Teylor formula sida , uchun bo’lishi zarur va yetarli . ◄ Zarurligi . Aytaylik , ( 5) darajali qator da yaqinlashuvchi , yi \indisi bo’lsin . Ta’rifga binoan               x r x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n          0 0 2 0 0 0 0 0 ! ... !2 '' !1 '            ... ! ... !2 '' !1 ' 0 0 2 0 0 0 0 0         n n x x n x f x x x f x x x f x f  x rn          x r x n f x f x f f n n n      ! 0 ... !2 0'' !1 0' 0 2  r r,   x f            x r n f x f x f f x f n n n      ! 0 ... !2 0'' !1 0' 0 2  r r x ,      0 lim   x rn n  r r,   x f$

7

bo’ladi , bunda
.
Ravshanki , da bo’ lishidan

bo’lishi kelib chiqadi .
Etarliligi . Aytaylik , da bo’lsin . U holda

bo’lib , undan

bo’lishi kelib chiqadi . Dema k,

bo’ladi . ►
Odatda , bu munosabat o’rinli bo’lsa , funktsiya Teylor qatoriga
yoyilgan deyiladi .
2- § Funktsiyani Teylor qatoriga yoyish
Faraz qilaylik , funktsiya biror da istalgan tartibdagi ho sila -
larga ega bo’lsin .
2-teorema . Agar da

bo’lsa , funktsiya da Teylor qatoriga yoyiladi :         r r x x f x Sn n , , lim              n n
n n
f x f x f f x S
!
0 ...
!2
0''
!1
0' 0 2     r r x ,       x f x Sn n  lim       0 lim ] [ lim      x r x S x f n n n n  r r x ,      0 lim   x rn n       0 lim ] [ lim      x r x S x f n n n n    x f x Sn n  lim           ...
!
0 ...
!2
0''
!1
0' 0 2     
n n
n
f x f x f f x f  x f  x f  r r,    0 0        n r r x M , , ,   M x f n   x f  r r, 

8

(3)
◄ Ma’lumki , funktsiyaning Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor
formulasi quyidagicha bo’ladi :
,
bunda ,
.
Teoremaning shartidan foydalanib topamiz:
.
Ravshanki ,
.
De mak , da

bo’lib , undan qaralayotgan funktsiyaning Teylor qatoriga yoyilishi kelib
chiqadi . ►
a) Ko’rsatkichli va giperbolik funktsiyalarni Teylor qatorlarini
topamiz.
Aytaylik ,

bo’lsin . Ravshanki , bo’lib , da

 
        

...
!
...
!2
0''
!1
0' 0
!
0 0 2
0
      


n
n
n
n
x
n
f
x f x f f
n
f x f  x f         

 x r x
n
f
x f x f f x f n
n
n
    
!
...
!2
0''
!1
0' 0 0 2  
 
 
 1 0 .
! 1
1  

    n n
n x
n
x f x r  
 
   
    r r x
n
r M x
n
x f x r
n n n
n , .
! 1 ! 1
1 1  

 


    
0
! 1
lim
1



 n
rn
n  r r x ,      0 lim   x rn n  x f   xe x f        N n f f n    1 0 1 0 ,     ,   x  0         e x f e x f n     0 0 ,

9

bo’ladi . Binobarin , 2-teoremaga ko’ra funktsiya da Teylor
qatoriga yoyiladi va (3) formulada foydalanib topamiz :
. (4)
ixtiyoriy musbat son. Dema k, (4) darajali qatorning yaqinlashish radiusi
bo’ladi .
(4) munosabatda ni ga almashtirib topamiz:

Ma’lumki giperbolik sinus hamda giperbolik kosinus funktsiya lari
quyidagicha

ta’riflanar edi .
Yuqoridagi
,

formulalardan foydalanib topamiz :
,
.
Bu funktsiyalarining Teylor qa torlari bo’lib , ular ifodalangan
darajali qatorlarning yaqinlashish radiuslari bo’ladi .
b) Trigonometrik funktsiyalarning Teylor qatorlarini topamiz.
  xe x f      ,  ...
!
...
!2 !1
1
!
2
0
       

 n
x x x
n
x e
n
n
n x  1 !0  0    r x x    ...
!
1 ...
!2 !1
1
!
) ( 2
0
          



n
x x x
n
x e
n n
n
n x 2 2
x x x x e e chx e e shx
      , ...
!
...
!2 !1
1
2
     
n
x x x e
n x   ...
!
1 ...
!2 !1
1
2
       
n
x x x e
n n x     


 

 

   
0
1 2 1 2 3
! 1 2
...
! 1 2
...
!3 !1 n
n n
n
x
n
x x x shx     


      
0
2 2 4 2
! 2
...
! 2
...
!4 !2
1
n
n n
n
x
n
x x x chx chx shx ,  r

10

Aytaylik , bo’lsin . Ravshanki , da

bo’lib , bo’ladi . Demak , 2-
teoremaga ko’ra funktsiya Teylor qatoriga yoyiladi va (3) formulaga
binoan
(5)
bo’ladi .
Aytaylik ,

bo’lsin . Bu funktsiya uchun da

bo’lib ,

bo’ladi . Unda 2–teoremaga ko’ra funktsiya Teylor qatoriga yoyiladi
va (3) formulaga binoan
(6)
bo’ladi.
(5) va ( 6) darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi bo’ladi.
v) Logarifmik funktsiyaning Teylor qatorini topamiz.

Aytaylik ,

bo’lsin . Ma’lumki ,   x x f sin  N n R x     ,     1 1   x f x f n ,               N n f f f f n n n       1 0 ,0 0 ,1 0' , 0 1 2 2   x x f sin   
 
...
!5
1
!3
1
! 1 2
1 sin 5 3
0
1 2    

  


 x x x x
n
x
n
n n   x x f cos  N n R x     ,     1 1   x f x f n ,               N n f f f f n n n        0 0 , 1 0 ,0 0' ,1 0 1 2 2   x x f cos   
  ... !4
1
!2
1 1 ! 2
1 cos 4 2
0
2      


x x x n x
n
n n  r    x x f   1 ln

11

bo’lib ,

bo’ladi. Bu funktsiyaning Teylor formulasi
(7)
ko’rinishga ega.
funktsiyani Teylor qatoriga yoyishda 1-teoremadan
foydalanmiz. Buni ng uchun ( 7) formulada ning 0 ga intilishini ko’rsatish
yetarli bo’ladi.
Aytaylik, bo’lsin. Bu holda Lagranj ko’rinishida yozilgan

qoldiq had uchun

bo’ladi va

tenglik bajariladi.
Aytaylik, bo’lsin, bunda .
Bu holda Koshi ko’rinishida yozilgan

qoldiq had uchun      
 
  N n
x
n x f n
n n 

  

1
! 1 1 1    
n n
f n n 1 1
!
0         x r
n
x x x x x x n
n n          1 4 3 2
1 ...
4 3 2
1 ln    x x f   1 ln  x rn ], [ 1 0 x    
   1
1
1 1
1


 
  n
n n
n x n
x x r
  1 0     
1
1


n
x rn   0 lim   x rn n ] , [ 0  x 1 0         
 
 1 0
1
1 1
1 1
1
1 1  

    




n
n n n
n x
x x r

12

bo’lib ,

bo’ladi .
Demak ,
.
Unda 1-teoremaga ko’ra

(8)
bo’ladi.
(8) darajali qatorning yaqinlashish radiusi ga teng.
Agar yuqorida gi ning yoyilmasi da ni ga almashtirilsa, unda

formula kelib chiqadi.
g) Darajali funktsiyaning Teylor qatorini topamiz.
Aytaylik ,

bo’l sin . Ma’lumki ,

bo’lib ,

bo’ladi. Bu funktsiyaning Teylor formulasi ushbu
 





1
1n
n x r   0 lim   x rn n ], ( 11  x   0 lim   x rn n       ... 1 ...
3 2
1 1 ln 1 3 2
1
1
           


 n
x x x x x
n
x
n n n
n
n 1r  x 1 ln x x    ... ...
3 2
1 ln
3 2
1
          

 n
x x x x
n
x x
n
n
n      R x x f      1         n n x n x f             1 1 ... 2 1   N n       1 2 1 0      n f n     ...          x r x
n
n x x x n
n          
!
1 ...1 ...
!2
1
!1
1 1 2       

13

ko’rinishga ega .
Endi da bo’lishini ko’ rsatamiz .
Ma’lumki , Teylor formulasidagi qoldiq hadning Koshi ko’rinishi
quyidagicha

bo’lar edi .
Aytaylik , bo’lsin . Bu holda :
1) bo’ladi ,
chunki , limit ishorasi ostidagi ifoda yaqinlashuvchi ushbu

qatorning umumiy hadi;
2) ;
3)
bo’ladi. Bu munosabatlardan foydalanib, da

bo’lishini topamiz. 1-teor emaga ko’ra
(9)
bo’ladi.
Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lganda 1 ga teng:
.
(9) munosabatda deb olinsa , unda ushbu   n   0  x rn           
n
n n x
x x x
n
n x r 






         

      
1
1 1
!
] 1 1 ...[ 2 1 1  1 0     11,  x        0 ] 1 1 ...[ 2 1
!
1 lim       
n
n x n
n
      



   
1
1 1 1
n
nx
n
n
!
...          1 1 1 1 1 1                   x x x x x x 1
1
1
1
1 

 


x x
n



  11,   x   0 lim   x rn n         ...
!
1 ...1 ...
!2
1
!1
1 1 2            nx
n
n x x x        N     ,0 1r 1  

14

formula hosil bo’ladi. Bu formulada ni ga almashtirib topamiz:

3- § Eyler formulalari
Hozirgina topilgan ajoyib yoyilmalar kayfitsentlarining ko’rinishi ular
orasida qandaydir bog’lanish borligi fikfini tug’diradi, lekin – agar haqiqiy
sonlar sohasida qolsak – bunday bog’lanishni topib bo’lmaydi. Eyler bu
bog’lanishni mavhum ko’rsatkichli darajaga kiritish yo’li bilan topgan.
Bayon qilayotga kursimizda f aqatgina haqiqiy sonlar va haqiqiy
o’zgaruvchilar qaralsada, biz bu yerda – asosiy yo’ldan chetnanib – Eyler
formulalarini keltiramiz. Bu formulalar haqiqiy argumentli triganametrik
funksiyalarni sof mavhum argumentli ko’rsatkichli funksiya orqali
ifodalanadi.
Agar

da haqiqiy son x o’rniga mavhum son yi ni qo’ysak, ushbu

munosabatni hosil qilamiz yoki haqiqiy va mavhum qismlarini ajratib
yozs ak,

bo'ladi.     


          
 0
4 3 2 1 1 1
1
1
n
n n n n x x x x x x
x
... ... x x    


       
 0
2 1 1
1
1
n
n n n x x x x
x
... ... ...
!
...
!2 !1
1
2
     
n
x x x e
n x                  !5 !4 !3 !2 1
5 4 3 2 yi yi yi yi yi eyi        i y y i y y yi !5 !4 !3 !2 1
5 4 3 2 




    




       !5 !3 !4 !2 1
5 3 4 2 y y y i y y eyi

15

Qavslardagi ifodalar cos y va sin y funksiyalarning bizga ma’lum
bolgan yoyilmalarning huddi o’zi . Shunday qilib,
(14)
bu yer da y ni - y ga almashtirib,

ekanligini topamiz.
Bu ikki munosabatni hadma – had qo’shib va ayirib Eylerning
mashhur formulalarini hosil qilamiz.
(15)
(14) va (15) formulalar analizda ken g qo’llaniladi.
Endi aytilganning mantiqiy ma’nosini tushinishga harakat qilaylik.
Natural ko’rsatgich n ga bo’gliq bo’lgan kompleks o’zgaruvchi

ni qarashdan boshlaylik. Bunday o’zgaruvchilarning limiti haqiqiy
o’zgaruvchining limiti kabi ta’riflanadi; komleks son c = a + ib va
o’zgaruvchi berilgan bo’lsin. Agar, avvaldan har qanday musbat son
berilganda ham, hamma vaqt shunday no’mer N ni t oppish mumkin
bo’lsaki, n > N bo’lganda tengsizlik o’rinli bo ’lsa , c = a+ib
kompleks son o’zgaruvchan ning limiti deyiladi.

bo'lgani uchun
Ravshanki ning c = a+ib ga intilishi uchun, uning haqiqiy va
mavhum tashkil etuvchilari xn va yn lar mos ravishda, a va b larga
intilishlari, yani va bo’lishi zarur va yetarlid ir. y i y e yi sin cos    y i y e yi sin cos    i
e e y e e y
yi yi yi yi
2 sin , 2 cos
      n n n iy x z   nz   c zn nz        2 2 b y a x b yi a x c z n n n n n          nz a xn b yn

16

Endi kompleks qator
(C)
ni ko’raylik. Agarr bu qatorning hususiy yig’indisi

n ning o’sishi bilan biror kompleks son C ga intilsa, unga yaqinlashuvchi,
qator deyiladi. C esa qatorning yig’indisi deyiladi. Bu yerda qatnashgan
hamma sonlarni ularning haqiqiy va mavhum tashkil etuvchilarga ajrataylik;
C = A + iB , ,
bu yerda
,
Yuqorida aytilganiga ko’ra, Cn ning C ga intilishi uchun An va Bn
larning mos ravishda A va B larga bir vaqtda intilishi zarur va yetarli, yani
komple ks qator ( C ) ning C yig’indiga yaqinlashishi, haqiqiy qatorlar

ning mos ravishda A va B yig’indilariga ayrim – ayrim yaqinlashishiga teng
kuchlidir. Bunday, xususan, yaqinlashuvchi kompleks qatorlarning – haqiqiy
qatorlarga o’xshash – guruppalash hossalariga ega ekanligi kelib chiqadi.

qator hadlarining mo’dullaridan tuzilgan

qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

tengsizl iklar o’rinli bo’lgani sababli, 

1n nc n n c c c с      2 1 n n n ib a с   n n n iB A С   n n a a a A      2 1 . 2 1 n n b b b B      ) ( ) (
1 1
B b va A a
n n n n  



 

1n nc 

1 nс n n n n c b c a   ,

17

qatorlar ham yaqinlashuvchi bo’ladi, bundan ( A) va ( B) qatorlarning va,
demak, ( C) qator ham yaqinlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi. Bu holda ( C)
ga absalyut yaqinlashu vchi qator deyiladi. Masalan, ushbu
(16)
qator z ning istalgan kompleks qiymatida absalyuut yaqinlashuvchi bo’ladi,
chunki bu qator hadlarining mo’dullaridan tuzulgan haqiqiy qator
yaqinlashuvchidir;

Absolyut yaqinlashuvchi ( C) qator o’rin almashtirish xossalalariga ega,
chunki bu hossaga ( A) va ( B) qatorlar egadir. Nihoyat, absalyut
yaqinlashuvchi kompleks qatorlarga nisbatan qatorlarni ko’paytirish haqi dagi
teorema ham o’rinlidir; haqiqiy qator bo’lgan hol uchun keltirilgan isbot
yuqorida aytilgan ko’rsatmalardan so’ng – bu yerda so’zma – so’z qaytarilishi
mumkin.
Endi umumiy holda z kompleks bo’lganda, da rajani ta’riflash
haqidagi masalani qo’yaylik. z haqiqiy bo’lgan hol uchun bu daraja ilgari
ta’riflangan edi; avvalgi no’merda uning

yoyilma o’rinli ekanligini isbotlagan edik. Ko’rsatgich z mavhum bo’lga nda
daraja hali ta’riflangan emasl; eslatilgan yoyilma o’xshatib, hozirgi hol
uchun, ta’rif bo’yicha , ni (16) qatorning yig’indisiga teng deb olamiz . ,
1 1  
 
n n b a ... ! ... !2 !1 1
2
     n
z z z n ... ! ... !2 !1 1
2
     n
z z z n ze ...
!
...
!2 !1
1
2
     
n
x x x e
n x ze ze

18

(yig’indining mavjudligi avvaldan ma ’lum ) shu bilan birga bunda,
ko’rsatkichli funksiyaning asosiy hossasi

ning saqlanishi g’oyat muhimdir, bunga va la rni beruvchi qa torlarni
ko’paytirib ishonch ho sil qilish oson.
Shunday qilib yuqorida ( 11) yoyilmada x ni yi ga almashtirib, biz ,
daraja tushuncgasining ko’rsatib o’tilgan kengaytirilishidan foydalandik.
bayonimizning ohirida quidagini qayd qilib ketaylik; agar z = x + i y bo’lsa,
u holda ko’rsatkichlar qoidasiga ko’ra , va, demak ( 14) ni
etirofga olib
( 17)
Ekanini topamiz.
Ark tangenisning yoyilmasi . y = arctg x funksi yaga yuqorida
isbotlangan teoremani tadbiq qilib bo’lmaydi. Haqiqatdan, uning n hosilasi
uchun topilgan
( 18)
ifoda, hamma lar uchun umumiy chegaraning mavjud bo’lishini
taminlaydi.
Tegishli teylor qatori

faqat oraliqda yaqinlashuvchi bo’lgani sababli, bu oraliqdan tashqarida
arctg x funksiyani shu qator bilan ifodalash haqida sozlashning hojati yo’q.
Aksincha, bo’lganda Lagranj fo’rmulasi (8) ga ko’ra (18) ni hisobga
olib va deb, zz z z e e e    ze ze yi x z e e e   ) sin (cos y i y e e x iyx        
 
     2 sin cos!1  y n y n y n n ny            
 
1 2 1 5 3
1 2 1 5 3
k
x x x x
k k  1;1 1 x x arctg y  

19

ga ega bo’lamiz.
Bundan ravshanki, rn ( x) 0 va , demak, x ning dagi barcha
qiymatlari uchun ushbu,
(19)
yoyilma o’rinlidir.
Garchi arctg x funksiyasi bu oraliqdan tashqarida ham aniq ma’noga
ega bo’lsada, u yerda (19) yoyilma , qator yig’indiga ega bo’lmaganligi
sababli o’rinli emasligini yana bir bor takidlaymiz.
x = 1 bo’lganda (19) qatordan , xususan, Leybnitsning mashhur
(20)
qatori kelib chiqadi. Bu qator analiz tarixida sonining yoyilmasini
ifodalovchi qatordir.
1-misol. Ushbu

funktsiya Teylor qatoriga yoyilsin.
◄Ma’lumki,

bo’ladi.
Biz y uqorida
 
 
1
1
1
2 1 sin cos
1
  

 
   
 

n x n
y n y
x r n
n
n

    1;1             
 
1 2 1 5 3
1 2 1 5 3
k
x x x x arctgx
k k             
1 2
1 1 5
1
3
1 1 4
1
k
k    
x
x x f

 
1
1 ln    x x
x
x    

 1 ln 1 ln
1
1 ln     ... 1 ...
3 2
1 ln 1 3 2
        
n
x x x x x
n n

20

bo’lishini ko’rgan edik . Bu munosabatlardan foydalanib topamiz :

Demak ,
.
(10 ) darajali qatorning yaqinl ashish radiusi bo’lib, yaqinlashish to’plamsi
bo’ladi.►

2-misol . Ushbu

funktsiya Teylor qatoriga yoyilsin .
◄ Ma’lumki ,
.
Unda

bo’ladi . Bu darajali qatorni hadlab integrallab topamiz :   ... ...
3 2
1 ln
3 2
      
n
x x x x x
n      
...
1 2
2 ...
5
2
3
2 2 ... ...
3 2
... 1 ...
3 2
1 ln 1 ln
1 2 5 3 3 2
1 3 2


    





      
         


n
x x x x
n
x x x x
n
x x x x x x
n n
n n 







    

 
...
1 2
...
5 3
2
1
1 ln
1 2 5 3
n
x x x x
x
x n 1r  11,     
x
dt
t
t x f
0
sin  
 
...
! 1 2
1 ...
!5 !3
sin
1 2 1 5 3


     
 
n
t t t t t
n n  
 
...
!1 2
1 ...
!5 !3
1 sin 2 2 1 4 2


     
 
n
t t t
t
t n n

21

Keyingi darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’ladi .►
3-misol . Ushbu

funktsiya Teylor qatoriga yoyilsin va bu qatorning yaqinlashish radiusi topilsin .
◄ Avvalo funktsiyani quyidagicha yozib olamiz :

Ma’lumki ,
,

.
Bu formulalardan foydalanib topamiz :
,

Demak ,  
 
 
  
...
1 2 ! 1 2
1 ...
5!5 3!3
...
! 1 2
1 ...
!5 !3
1 sin
1 2 1 5 3
0
2 2 1 4 2
0

  
  



 
 







     
 
 
 
n n
x x x x
dt
n
t t t dt
t
t
n n
x n n x  r  
6
1 2
2  
 
x x
x x f  x f  


 

 



 

 





 
 
x x x x x x
x x f
3
1 1 3
1
2
1 1 2
1
3
1
2
1
6
1 2
2   


  
 0
1
1
1
n
n n x
x 



 0 1
1
n
nx
x    
 

 


  

 

  


 

  0 1 0 2
1
2
1 1
2
1
2
1 1 2
1
n
n
n
n
n
n n x x
x  2 r  

 


 

 

 


 

  0 1 0 3
1
3
1
3
1
3
1 1 3
1
n
n
n n
n
x x
x  3 r

22

bo’ladi .
Bu darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’ladi . ►

Xulosa

Ushbu kurs ishi matematik analiz kursidagi o’zining ko’plab tadbiq lariga ega
bo’lgan Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish va eyler formulalariga
bag’ishlangan bo’lib, u kirish qismi, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan
adabiyotlar ro’yhatidan iborat Asosiy qismning birinchi punktida Teylor qator va
unin g hossalari haqida tushuncha berilgan va ularni hisoblash yo’llari va misollar
keltirilgan. Ikkinchi punktida esa elementar funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish
haqida ma’lumotlar berilgan va misollari bilan keltirilgan. Uchinchi punktida Eyler
formulalar i haqida tushuncha berilgan. Bu punktida har bir elementar
funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish ko’rib fo’rmulalari berilgan va ular
misollar orqali mustahkamlangan v a har bir bob ohirida berilgan ma’lumotlarni
mustahkamlovchi misollar keltirilg an .
Mazkur Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish va eyler
formulalari kurs ishidan matematika ta’lim yo’nalishi bakalavrlari matematik
analiz fanidan o’tkaziladigan ma’ruza va amaliy mashg’ulotlarida foydalanishlari
mumkin.

   
  

  

 

  





     
 

0 1 1 0 1 0 1 2 3
1
2
1
3
1
2
1
6
1 2
n
n
n n
n
n
n n
n
n n
n
x x x
x x
x 2 r

23

Adabiyot lar
1. Azlarov T., Mansurov H . Matematik analiz, 1-tom, Toshkent, «O`zbekiston»,
1994, 1995.
2. Xudoyberganov G., Varisov A., Mansurov H . Matematik analiz, 1 va 2
qismlar, Q arshi, «Nasaf», 2003.
3. Arxipov G., Sadovnichiy V., CHubarikov V. Lektsii po matematicheskom u
analizu, Moskva, «Visshaya shkola», 1999.
4. Il’in V., Sadovnichiy V., Sendov B. Matematicheskiy analiz, Moskva
«Nauka», 1979.
5. Kudryavtsev L. Kurs matematicheskogo analiza TT, 1, 1973.
6. Rudin U. Osnovi matematicheskogo analiza, Moskva «Mir», 1976.
7. Dorogovtsev A. Matematicheskiy analiz, Kiev, «Visshaya shkola», 1985.
8. Fixtengol’ts G. Kurs differentsial’nogo i integral’nogo ischisleniya, TT, I, II,
Moskva “fizmat -lit”, 2001 .
9. Sa`dullaev A., Mansurov H ., Xudoyberganov G., Varisov A., G` ulomov R.
Matemati k analiz kursidan misol va masalalar to`plami, 1 va 2 - tomlar,
Toshkent, «O`zbekiston», 1993, 1996.
10. Demidovich B. Sbornik zadach i uprajneniy po matematicheskomu analizu,
Moskva, «Nauka», 1990.

1 O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI ANDIJON DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA YO’NALISHI 3 -KURS M3 GURUH TALABASI NO’MONOV HOSILJON NING MATEMATIK ANALIZ FANIDAN Elementar funksiyalarni dar ajali qatorga yoyish Andijon -20 15

2 Mavzu: Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish Reja: I. Kirish. II . Asosiy qism : 1. Teylor qatori 2. Funksiyani Teylor qatoriga yoyish 3. Eyler fo’rmulalari III. Xulosa.

3 Kirish “Men bu davlatning bugungi boyligiva tez rivoj topishi, eng nufuzli va eng qudratli davlatlar safigakirish sabablarini, avvalo, shu mamlakatning, shu xalqlarning o’z intelektual boyligidan oqilona foydalanishi, bu mamlakatlarda yashayotgan insonlarning o’z burchiga,o’z vazifasiga vijdonan va masuliyat bilan qarashida deb bilaman” I.A. Karimov. Us hbu kur ishini “ Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish ” deb nomlangan bo’lib, bu mavzu ichida asosan Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish va eyler formulalarini yoritish ko’zda tutilgan. Mavzuning dolzarbligi. Mavz u asosan bo’lajak o’qituvchining o’rgangan bilim, ko’nikma, malakalarini umumlashtirish, Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish va eyler formulalarini yoritish, va o’rganishdan iborat. amaliyotda foydalanishi to’g’risida yoritib b erishdir. Mavzuning o’rganish jarayoni . Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish ga doir masalalar o’rganib chiqildi. Bunda avvalo nazariy qismi berildi. So’ngra misollar va ularni yechilishlari berligan. Ishning maqsad va vazifala ri. Nazariy bilimlarni amaliyotga tadbiqi va undan foydalanishni ko’rsatish. Ob’yekti va predmeti. Mavzuni Elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish va eyler formulalari , ba’zi elementar funksiyalarni darajali qatorga yoyish hisobla sh tashkil etadi. Predmenti o’quv adabiyotlari, darsliklardagi ma’lumotlarni tashkil etadi.

4 Amaliy ahamiyati. Kurs ishi mavzusi Talabalarga uslubiy qo’llanma sifatida foydalanish mumkin. Ishning tuzilishi. Kurs ishiga Reja ,kirish, 3 ta b ob, xulosa va adabiyotlar ro’yxati berilgan. I Teylor qatori II Funksiyani Teylor qatoriga yoyish III Eyler fo’rmulalari

5 1- § Teylor qatori Ilgari ko’rgan misollarda x ning darajalari bo’yicha us hbu (1) ko’rinishdagi darajali qatorlarni uchratgan edik. Ikki had x ning (x ning o’rniga) darajalari bo’yicha yozilgan umumiyroq ko’rinishli darajali qator (2) ni ham qaraydilar. Bunday qator (1) ko’rinishdagi qatordan uncha farq qilmaydi, chunki (o’zgaruvchini belgilash aniqligicha) unga o’zgaruvchini oddiy x=x 0 =y almashtirish bilan keltiriladi. Keyinchanli k darajali qatorlarning xossalarini to’liq o’rganamiz, ular ko’p jihatdan, ko’p xadlarning xossalariga o’xshaydi. Darajali qatorning kesmalari ko’p xad lardan iboratdir, shuning uchun darajali qatorlar taqribiy hisoblashlar uchun qul ay vosita bo’la oladi.Bularning hammasi, avvaldan berilgan funktsiyani x→x 0 ning (xususan x ning ) darajalari buyicha yeyish mumkinligi xakidagi masalaning ya’ni uni (2) yoki (1) ko’rinishdagi qator yigindisi sifatida yozish mumukinligi haqidagi masalaning qanchalik katta aham iyatga ega ekanligini ko’rsatadi. Biz bu yerda elementar funksiyalarning shunday yoyilmalari bilan shug’ullanamiz. Qo’yilgan bu masalaning qanday hal qilish mumkinligini to’liq o’rganilgan Teylor fo’rmulasi ko’rsatib beradi. Haqiqatdan, ko’rilayotgan f(x) funksiya yoki (H>0) oraliqda istalgan tartibli xosilalariga ega (shu bilan ularning hammasi -uzluksiz) ... ...          n n n n n x a x a x a a x a 2 2 1 0 0 0x        ... ... 0 20 1 0 0 0            n n n n n x x a x x a a x x a   H x x  0  0 0 ,x H x 

O'xshashlar

Uzluksiz signallarni Fure qatoriga yoyish. Fure to‘g‘ri va teskari almashtirishlari.

MS Excelda matematik amallar va funksiyalarni qo'llash usullari

YUQORI DARAJALI ALGEBRAIK TENGLAMALAR SISTEMALARINI GRYOBNER BAZISLARI YORDAMIDA YECHISH.

C++ dasturlash tilida elementar matematik funksiyalar grafiklari bilan ishlash dasturiy tizimini yaratish

C++ asosida dasturni yaratish bosqichlari sxemasi, funksiyalarni loyihalash va qo‘llash tamoyillari.