Uzluksiz signallarni Fure qatoriga yoyish. Fure to‘g‘ri va teskari almashtirishlari.
![d(ω)
d(ω)/2π
=F(jω )= ∫−∞
∞
S(t)e−jωt dt .( 9 . 2 )
Bu formuladagi
F(jω ) Fure integrali yoki oddiygina Fure tasviri (ko‘rinishi)
deb ataladi.
F(jω ) ni haqiqiy va mavhum qismlari yig‘indisi shaklida quyidagicha
ifodalash mumkin, agar
F (jω )= Re (jω )+ jIm (jω )=|F (jω )|ejϕ(ω)
, ( 9 . 3 )
bo‘lsa, u holda
|F (jω )|= [Re 2(jω )+Im 2(jω )]
1/2 ( 9 . 4 )
bo‘ladi va bu kattalik voltda emas V/Hz larda baholanadi.
F(jω ) ni amplituda
zichligi, ba’zan esa amplituda spektri zichligi yoki amplituda spektri deb ataladi.
Amplituda spektriga mos ravishda faza siljishi
ϕ(ω) quyidagicha aniqlanadi
ϕ(ω )= arctg [Im (jω )/Re (jω )]
. (9.5)
|F(jω )|2
qiymati V 2
/ Hz 2
shaklida baholanadi. Normallashtirilgan elektr quvvati,
ya’ni qarshiligi 1 Om bo‘lgan qarshilikda ajralib chiqayotgan quvvat V 2
larda
baholanadi, bu Dj/s yoki Dj·Hz (Djoul bu energiya birligi)ni anglatadi, u holda
V 2
/ Hz 2
kattalik DjHz·Hz -2
= Dj·Hz -1
ga teng bo‘ladi. Demak
|F(jω )|2 bir taqsim Hz
energiyani, ya’ni
|F(jω )|2 – spektr energiyasining zichligini anglatadi. |F(jω )| ning
f
ga bog‘liqligi grafigi ostidagi yuza asosi f0−df va f0+df polosa f0
chastotasi o‘rtacha kuchlanishini ifodalaydi.
|F(jω )|2 ning f ga bog‘liqligi grafigi
ostidagi yuza
f0 chastotadagi energiya o‘rtacha qiymatiga teng bo‘ladi. Bundan](/data/documents/05532c05-9493-4cfc-ab1b-74fbc7becd01/page_31.png)
![olingan bo‘lsin {x(nT )}= x(0),x(t),...,x[(N − 1)T ] , bunda n – olingan oniy qiymat
tartib raqami bo‘lib,
n= 0 dan n= N − 1 gacha qiymatlarni qabul qiladi. x(nT )
qiymati faqat kuchlanish spektriga tegishli vaqt qatoriga tegishli qiymatlarni
ifodalaganda haqiqiy kattalik bo‘ladi.
Shuning uchun signalning vaqt bo‘yicha haqiqiy bo‘lgan
N ta qiymatlari
FDAning chastota bo‘yicha
N ta kompleks qiymatlariga aylanadi
( 9 . 8 )
bunda
FD orqali Fure diskret almashtirishi belgilangan.
Teskari Fure diskret almashtirishi (TFDA) quyidagicha aniqlanadi
( 9 . 9 )
bunda
FD
−1 orqali teskari Fure diskret almashtirishi belgilangan.
Veyvlet almashtirishi
Geyzenberg noma’lumlik (noaniqlik) fizik prinsipiga asosan, bir vaqtning
o‘zida
x zarrachaning holati va uning impulsi p ni aniq bilish mumkin emas.
Amalda
xp ≥ h= 6.626 × 10 −34 , J⋅s
( 9 . 2 6)
bunda
h – Plank doimiysi. Eynshteynning E= mc 2 tenglamasi asosida bu
prinsipni signallarga ishlov berish sohasida ham qo‘llash mumkin. Bunda
Geyzenberg prinsipi quyidagicha ta’riflanadi: bir vaqtning o‘zida har qanday
aniqlik bilan vaqt va chastotani aniqlash mumkin emas, ya’ni
( 9 . 27 )](/data/documents/05532c05-9493-4cfc-ab1b-74fbc7becd01/page_34.png)
![Agar s(t) va ^s¿(t) Gilbert o‘zgartirish juftligi orqali bir-biriga bog‘liq
bo‘lsa,
s(t) signal analitik signal deb ataladi, ya’ni
^s¿(t)= 1
π ∫−∞
∞ s(τ)
t− τdτ
s(t)=− 1
π ∫−∞
∞ ^s¿(τ)
t− τ dτ }
( 9 . 37 )
shaklida bog‘langan bo‘lsa, bunday signal analitik signal hisoblanadi. ( 9 .27)
ifodalardagi integrallar Koshining asosiy qiymati sifatida qabul qilinadi.
^s¿(t)
funksiya bilan Gilbert bo‘yicha moslashgan hisoblanadi.
s(t) va ^s¿(t) ni Gilbert
sharti asosida tanlangan bo‘lsa, u holda signal o‘rovchisi va fazasi quyidagicha
aniqlanadi:
u(t)= √[s(t)]2+[^s¿(t)]
2,
( 9 . 3 8)
ψ(t)= arctg ^s¿(t)
s(t)
.
( 9 . 3 9)
Agar
s(t) signal spektri kengligi o‘zining o‘rtacha chastotasi ω0 dan kichik
bo‘lsa, u holda bu signalning amplitudasi va fazasi signal
s(t) ning o‘ziga nisbatan
sekin o‘zgaradi. Gilbert to‘g‘ri va teskari bir juft o‘zgartirishlari asosida
s(t)= cos ωt
signalga ^s¿(t)= sin ωt signal va s(t)=sin ω0t signalga
^s¿(t)=− cos ω0t
sigal kompleks moslashganligini tasdiqlash mumkin. Xuddi
shunga o‘xshash
s(t)=∑
k
(akcos kω 0t+bksin kω 0t) signal bilan
^s¿(t)= ∑
k
(aksin kω 0t− bkcos kω 0t)
signal kompleks moslashgan bo‘ladi.
Shunday qilib
s(t)= Acos ωt oddiy garmonik tebranish signalga
^s¿(t)= Acos ωt + jA sin ωt = Ae jωt
analitik signal mos keladi.](/data/documents/05532c05-9493-4cfc-ab1b-74fbc7becd01/page_40.png)
![Agar signal Fure integrali ko‘rinishida bo‘lsa:s(t)= 1
2π ∫−∞
∞
S(jω )ejωt dω
( 9 . 40 )
Uning chastota spektri quyidagicha ifodalanadi:
s(jω )= ∫
−∞
∞
s(t)e−jωt dt = Г[s(t)]
( 9 . 41 )
s(t)
va ^s¿(t) sigallarning spektri o‘zaro quyidagi bog‘lanishga ega:
^Г [s(t)]= [− jsgn (ω)]S(jω )
, (9.42)
bunda
sgn (ω )=
{
+1, agar ω >0;
0, agar ω = 0 ;
− 1, agar ω < 0.
Shunday qilib, Gilbert o‘zgarishini
s(t) signalning hamma spektral tashkil
etuvchilarini
− π
2 ga suruvchi elektr zanjiridan o‘tishi deb hisoblash kerak. Ushbu
elektr zanjirining chastota va faza tavsiflari quyidagicha bo‘ladi:
K (jω )= − jsgn (ω ), h(t)= 1
πt
.
( 9 . 4 2) ifodani ( 9 . 3 5) ifodaga kiritish natijasi
^S¿(t) signalning spektri S(jω )
ning “bir tomonlama” ekanini ko‘rsatadi:
˙S (jω )=
{
2 S(jω ), agar ω > 0;
S(0), agar ω = 0 ;
0, agar ω <0.
( 9 . 43 )
Bu analitik sigalning juda muhim hossasi hisoblanadi.
Davriy signal
s(t) ning Gilbert sharti bo‘yicha moslashgan ^s¿(t) funksiyasi
ham
s(t) signal davriga teng bo‘ladi. s(t) va ^s¿(t) sigallar ularning davri T
oralig‘ida o‘zaro ortogonal bo‘ladi, ya’ni](/data/documents/05532c05-9493-4cfc-ab1b-74fbc7becd01/page_41.png)
![Bx¿(τ)=− Bx¿(τ)= 1
π∫
0
∞
G x(ω )sin ωτ dω .(9.46)
Tasodifiy jarayon taqsimot qonuni bilan uning o‘rovchisi
s(t) va fazasi ψ(t)
taqsimot qonunlari bir-birlariga bog‘liq, tasodifiy jarayonning ehtimollik zichligi
taqsimot qonuni
P(x) orqali, uning o‘rovchisi va fazasi ehtimolligi zichligi
taqsimoti qonuni
P(s) va P(ϕ) ni aniqlash mumkin.
Amaliy mashg’ulotlar
D diskret Furye o'zgarishlari
FFT y[k] uzunlik N uzunligi - N x[n] ketma-ketligi quyidagicha aniqlanadi
y[k]=∑n=0N−1e−2 π jknNx[n],
va teskari konvertatsiya quyidagicha aniqlanadi
x[n]=1N∑k=0N−1e2 π jknNy[k].
Ushbu o'zgarishlarni quyidagi misolda ko'rsatilganidek, mos
ravishda fft va yordamida hisoblash mumkin . ifft
>>> from scipy.fft import fft , ifft
>>> x = np . array ([ 1.0 , 2.0 , 1.0 , - 1.0 , 1.5 ])
>>> y = fft ( x )
>>> y
array([ 4.5 +0.j , 2.08155948-1.65109876j,
-1.83155948+1.60822041j, -1.83155948-1.60822041j,
2.08155948+1.65109876j])
>>> yinv = ifft ( y )
>>> yinv
array([ 1.0+0.j, 2.0+0.j, 1.0+0.j, -1.0+0.j, 1.5+0.j])
FFT ta'rifidan shuni ko'rish mumkin
y[0]=∑n=0N−1x[n].](/data/documents/05532c05-9493-4cfc-ab1b-74fbc7becd01/page_43.png)
![>>> np . sum ( x )
4.5
mos keladigan y[0] . N juftlik uchun elementlar y[1]...y[N/2−1] musbat chastotali
atamalar va elementlarni o'z ichiga oladi y[N/2]...y[N−1] manfiy chastotali
atamalarni kamayib boruvchi manfiy chastotalar tartibida o'z ichiga oladi. N toq
uchun elementlar y[1]...y[(N−1)/2] musbat chastotali atamalar va elementlarni o'z
ichiga oladi y[(N+1)/2]...y[N−1] manfiy chastotali atamalarni kamayib boruvchi
manfiy chastotalar tartibida o'z ichiga oladi.Agar x ketma-ketligi haqiqiy qiymatga
ega bo'lsa, qiymatlari y[n] ijobiy chastotalar uchun qiymatlarning konjugati
hisoblanadi y[n] manfiy chastotalar uchun (chunki spektr simmetrik). Odatda, faqat
ijobiy chastotalarga mos keladigan FFT chiziladi.
Misolda ikkita sinus yig'indisining FFT grafigi berilgan.
>>> from scipy.fft import fft , fftfreq
>>> # Number of sample points
>>> N = 600
>>> # sample spacing
>>> T = 1.0 / 800.0
>>> x = np . linspace (0.0, N * T , N , endpoint =False)
>>> y = np . sin (50.0 * 2.0* np . pi * x ) + 0.5* np . sin (80.0 * 2.0* np . pi * x )
>>> yf = fft ( y )
>>> xf = fftfreq ( N , T )[: N //2]
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt . plot ( xf , 2.0/ N * np . abs ( yf [0: N //2]))
>>> plt . grid ()
>>> plt . show ()](/data/documents/05532c05-9493-4cfc-ab1b-74fbc7becd01/page_44.png)
![FFT kirish signali tabiatan kesilgan. Ushbu kesish to'rtburchak oyna funktsiyasi
bilan cheksiz signalni ko'paytirish sifatida modellashtirilishi mumkin. Spektral
sohada bu ko'payish signal spektrining oyna funksiyasi spektri bilan
konvolyutsiyasiga aylanadi. sin (x)/x . Ushbu konvolyutsiya spektral qochqin deb
ataladigan ta'sirning sababidir (qarang [WPW] ). Signalni maxsus oyna funksiyasi
bilan oynalash spektral oqishni kamaytirishga yordam beradi. Quyidagi misolda
scipy.signal dan Blackman oynasidan foydalaniladi va oynalash effektini ko'rsatadi
(fftning nol komponenti illyustrativ maqsadlar uchun qisqartirilgan).
>>> from scipy.fft import fft , fftfreq
>>> # Number of sample points
>>> N = 600
>>> # sample spacing
>>> T = 1.0 / 800.0
>>> x = np . linspace (0.0, N * T , N , endpoint =False)
>>> y = np . sin (50.0 * 2.0* np . pi * x ) + 0.5* np . sin (80.0 * 2.0* np . pi * x )
>>> yf = fft ( y )
>>> from scipy.signal import blackman
>>> w = blackman ( N )
>>> ywf = fft ( y * w )
>>> xf = fftfreq ( N , T )[: N //2]](/data/documents/05532c05-9493-4cfc-ab1b-74fbc7becd01/page_45.png)
![>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt . semilogy ( xf [1: N //2], 2.0/ N * np . abs ( yf [1: N //2]), '-b' )
>>> plt . semilogy ( xf [1: N //2], 2.0/ N * np . abs ( ywf [1: N //2]), '-r' )
>>> plt . legend ([ 'FFT' , 'FFT w. window' ])
>>> plt . grid ()
>>> plt . show ()
Agar x ketma-ketligi kompleks qiymatli bo'lsa, spektr endi simmetrik
bo'lmaydi. FFT funksiyalari bilan ishlashni soddalashtirish uchun scipy quyidagi
ikkita yordamchi funksiyani taqdim etadi.](/data/documents/05532c05-9493-4cfc-ab1b-74fbc7becd01/page_46.png)
Uzluksiz signallarni Fure qatoriga yoyish. Fure to‘g‘ri va teskari almashtirishlari. Reja: 1. Fure almashtirishi . 2. Fure tezkor almashtirishi . 3. Veyvlet almashtirishi .
Furye seriyasi. Yechim misollari.Matematik modeli. Hozirgacha biz turli funktsiyalarni quvvat seriyasiga kengaytirdik , ular allaqachon to'ygan. Va men nazariyaning strategik zaxiralaridan yangi konservalarni ajratib olish vaqti kelganini his qilyapman. Funktsiyani boshqa yo'l bilan bir qatorga kengaytirish mumkinmi? Masalan, to'g'ri chiziq kesimini sinus va kosinuslar bilan ifodalash uchun? Bu aql bovar qilmaydigan ko'rinadi, lekin bunday uzoq tuyuladigan funktsiyalarni "qayta birlashtirish" mumkin . Nazariya va amaliyotdagi tanish darajalardan tashqari, funktsiyani ketma-ketlikka kengaytirishning boshqa yondashuvlari ham mavjud. Ushbu darsda biz Furye trigonometrik qatorlari bilan tanishamiz, uning yaqinlashuvi va yig'indisi masalasiga to'xtalamiz va, albatta, funktsiyalarni Furye qatoriga kengaytirish uchun ko'plab misollarni tahlil qilamiz. Men chin dildan maqolani "Dummilar uchun Furye seriyasi" deb nomlashni xohlardim, ammo bu ayyorlik bo'lardi, chunki muammolarni hal qilish matematik tahlilning boshqa bo'limlarini bilish va ba'zi amaliy tajribalarni talab qiladi. Shuning uchun, muqaddima astronavtlarni tayyorlashga o'xshaydi =) Birinchidan, sahifa materiallarini o'rganishga mukammal shaklda yondashish kerak. Uyquchan, dam olgan va hushyor. Hamsterning singan panjasi haqida kuchli his-tuyg'ularsiz va akvarium baliqlarining hayotidagi qiyinchiliklar haqida obsesif fikrlarsiz. Furye seriyasi tushunish nuqtai nazaridan qiyin emas, ammo amaliy vazifalar shunchaki diqqatni jamlashni talab qiladi - ideal holda, tashqi ogohlantirishlardan butunlay voz kechish kerak. Yechim va javobni tekshirishning oson yo'li yo'qligi vaziyatni yanada og'irlashtiradi. Shunday qilib, agar sog'ligingiz o'rtacha darajadan past bo'lsa, unda oddiyroq narsani qilish yaxshiroqdir. Bu rostmi.
Ikkinchidan, kosmosga uchishdan oldin kosmik kemaning asboblar panelini o'rganish kerak. Mashinada bosilishi kerak bo'lgan funktsiyalarning qiymatlari bilan boshlaylik: Har qanday tabiiy qiymat uchun : 1) . Va aslida, sinusoid har bir "pi" orqali x o'qini "miltillaydi" :. Argumentning salbiy qiymatlari bo'lsa, natija, albatta, bir xil bo'ladi: . 2) . Lekin buni hamma ham bilmas edi. Kosinus "pi en" "miltillovchi chiroq" ning ekvivalentidir: Salbiy argument holatni o'zgartirmaydi: . Balki yetarli. Uchinchidan, aziz kosmonavtlar korpusi, integratsiyaga ega bo'lish kerak . Xususan, funktsiyani differensial belgisi ostida ishonch bilan keltiring , qismlarga bo'ling va Nyuton-Leybnits formulasiga mos keling . Parvoz oldidan muhim mashqlarni boshlaylik. Keyinchalik nol tortishish kuchida tekislanmaslik uchun uni o'tkazib yuborishni qat'iyan tavsiya etmayman: 1-misol Aniq integrallarni hisoblang
Bu erda tabiiy qadriyatlar olinadi. Qaror : integratsiya "x" o'zgaruvchisi ustida amalga oshiriladi va bu bosqichda "en" diskret o'zgaruvchisi doimiy hisoblanadi. Barcha integrallarda biz funktsiyani differentsial belgisi ostida keltiramiz : A) Nyuton-Leybnits formulasini qo'llashdan oldin , aqliy yoki qoralama tekshiruvida foydalidir. Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasidan foydalanib va buni unutmasdan - bu doimiy bo'lib, biz antihosilning hosilasini topamiz: - asl integratsiya olinadi, xuddi shunday bo'lishi kerak. Integratsiyadan so'ng, konstanta darhol qavslardan chiqariladi va standart almashtirish uning ishtirokisiz o'tadi: birinchi navbatda, "x" o'rniga biz yuqori chegarani (nol), keyin pastki chegarani ("minus pi") almashtiramiz. Nolning sinusi nolga teng va yuqorida aytib o'tilganidek, har qanday tabiiy "en" uchun. Aytgancha, natija bu erda darhol ko'rinadi - nolga nisbatan simmetrik segmentdagi toq funktsiyaning integrali nolga teng.
Antiderivativning oraliq tekshiruvini unutmang: Va oxirgi bosqichda, almashtirishni amalga oshirmaslik yaxshiroqdir , lekin kosinusning paritetini qo'llash yaxshiroqdir: Ongda ba'zi harakatlarni qanday bajarishni o'rganish va yechimni qisqartirilgan shaklda yozish juda ma'qul: Bu maqsadga muvofiqdir, chunki Furye seriyasida jel tayog'i usiz ham bo'sh bo'ladi. Keyingi ikki paragraf murakkab konstantada farqlanadi: Imtihon: Men almashtirishni batafsil yozaman: Bu erda, oxirgi bosqichda, ular qavsga "minus" qo'shdilar va javobni yanada ixcham qildilar, ushbu texnikaga e'tibor bering. Shuni ham yodda tutingki, Nyuton-Leybnits formulasini qo'llash natijasida raqam emas, balki sonli ketma- ketlik olinadi .