IKKI O’ZGARUVCHILI TENGSIZLIKLAR SISTEMASINI YECHISH USULLARI
![I BOB. « BIRo’zgaruvchili TENGSIZLIKLARNI O’QITISH METODIKASI »
1.1 BIRo’zgaruvchili TENGSIZLIKLAR,CHIZIQLI TENGSIZLIKLAR VA
KVADRAT TENGSIZLIKLAR. O’QITISH METODIKASI
A(x)>B(x), A(x)<B(x), A(x) B(x), A(x) B(x) munosabatlarga xo’zgaruvchili
tengsizliklar deyiladi .. x ning tengsizlikni chin sonli tengsizlikka aylantiruvchi har
qanday qiymati tengsizlikning yechimi deyiladi.
1- miso1. I) 4x- 8 0 tengsizlik x 2 qiymatlarda bajariladi. Demak,
tengsizlikning yechimi: (- ; 2];
2) x 2
0 (a Z) tengsizlik x ning har qanday qiymatida bajariladi. Yechim
butun son o’qidan iborat;
3) x 2
<0 (a Z) tengsizligi x ning hech bir qiymatida bajarilmaydi: X= .
A(x) < B(x) tengsizlikdagi A(x) va B(x) ifodalar birgalikda aniqlangan x
qiymatlarining X to’plami, ya’ni shu ifodalar mavjudlik sohalarining X kesishmasi
x o’zgaruvchining A(x)<B(x) tengsizlik uchun joiz qiymatlari sohasi deb ataladi.
Bunga qaraganda tengsizlikning T yechimi X ning qism-to’plamidan iborat: T X.
Endi tengsizliklarni yechish jarayonida bajariladigan ayniy almashtirishlar
masalasiga o’tamiz.
1-teorema. Agar C(x) ifoda barcha x X larda aniqlangan bol sa, A(x)<B(x)
va
A(x) +C (x) < B(x) + C (x) tengsizliklar teng kuchlidir.
2- teorema. Agar barcha x X larda C(x)>0 bolsa, A(x)<B(x) va A(x)C(x) <
B(x)C(x) tengsizliklar teng kuchli bo’ladi.
Teoremaning isboti C( ) > 0 dan A ( ) C( )<B ( ) C ( ) ning kelib chiqishiga
asoslanadi.
13](/data/documents/905a273f-db10-4428-985f-213ee99db348/page_13.png)
![Shu oraliqlardan, ixtiyoriy ikkita go’shni oraliqni, masalan, (a
k ; a
k+] ) va (a
k+l ; a
k+2 )
oraliqni ajratib olaylik.
(1) tengsizlikning chap tomonidagi ko’paytma bu oraliqlarning biridan
ikkinchisiga o’tganda o’z ishorasini o’zgartiradi.
Haqiqatan ham, agar x (a
k ; a
k+l ) bo’lsa, x-a
k+1 <0 va agar x (a
k+l ; a
k+2 ) bo’lsa,
x-a
k+l >0 bo’ladi, ya’ni x-a
k-1 ikkihad (a
k ; a
k+l ) va (a
k+1 ; a
k+2 ) oraliqlarda har xil ishorali
bo’ladi. (1) tengsizlikning chap tomonidagi qolgan ko’paytuvchilar ko’paytmasi bu
oraliqlarda bir xil ishoraga ega.
Shu sababli (1) ning chap tomonidagi ko’paytmaning ishorasi bu oraliqlarda
har xil bo’ladi. Bu esa (1) tengsizlikni yechishning quyidagi usulini beradi. (1)
tengsizlik ( a
n ; +∞) oraliqda o’rinli bo’lgani uchun (a
n-1 ; a
n ) oraliqda o’rinli emas; (a
n-
1 ; a
n ) oraliqda o’rinli bo’lmagani uchun (a
n- 2 ; a
n-1 ) oraliqda o’rinli va hokazo.
8- m i s o 1. 2(2x- 5)(3x- 8)(5- 4x) < 0 tengsizlikni yeching.
Yechish. Tengsizlikni >0 ko’rinishga
keltiramiz. va nuqtalar son o’qini
oraliqlarga ajratadi (24-a- rasm). Oxirgi tengsizlik
, oraliqlarda o’rinli.
Javob: U .
9-misol. tengsizlikni yechamiz.
Yechish. x=2, x=4 sonlari tengsizlikning yechimi emas. x 2, x 4 bo’lganda
(x-2) 2
•(x-4) 2
>0 bo’ladi. Shu sababli tengsizlikning har ikki tomonini (x - 2) 2
• (x - 4) 2
25](/data/documents/905a273f-db10-4428-985f-213ee99db348/page_25.png)
![Birinchi sistemadan 2 ≤ x ≤ 3, ikkinchi sistemadan 1 <x< 2. Bu ikkala
yechimlarni birlashtirsak: (1; 2)U[2; 3) = (1; 3).
11-misol. |2x-l < tengsizlikni yeching.
Yechish. Tengsizlikning ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak: (2x- 1) 2
≤ (3x+
1) 2
yoki x(x+2) ≥ 0. Bundan (- ;-2]U[0; + ),
12- m i s o 1. tengsizlikni yeching.
Yechish. Modul ishorasi ostida turgan ifodalar x=0 va x= 1 da nolga aylanadi.
Bu nuqtalar son o’qini (- ; 0],[0; 1],[1; + ) oraliqlarga ajratadi. Ifodalarning bu
intervallardagi ishoralari jadvalini tuzamiz:
Ifodalar (- ;0) (0;1) (1; )
X - + +
x-1 - - +
Berilgan tengsizlik birinchi (- ; 0] oraliqda -x +1 ≤ -2(x - 1) + 3x ko’rinishga
keladi. Ixchamlashtirishlardan so’ng, -2x≤ 1 tengsizlik hosil bo’ladi, bundan -0,5
≤x≤0 ni topamiz. Ikkinchi intervalda berilgan tengsizlik x + 1 ≤ - 2(x-l) +3x ga yoki
ayniy almashtirishlardan so’ng 0≤ x ≤1 ko’rinishga keladi. Bu oraliqda ham
tengsizlik bajariladi. Uchinchi intervalda tengsizlik x + 1 ≤ 2(x-l) + 3x yoki x≥ 0,75
ko’rinishga keladi. Lekin uchinchi interval (1;+ )edi. [0,75;+ ) [l; + ) = [1; +
). Topilgan uchta natijani umumlashtirib, berilgan tengsizlikning yechimini
yozamiz: 0,5≤x<+x.
27](/data/documents/905a273f-db10-4428-985f-213ee99db348/page_27.png)
IKKI O ’ ZGARUVCHILI TENGSIZLIKLAR SISTEMASINI YECHISH USULLARI Mundarija KIRISH … …………………………………… ……………. I - BOB . « BIRo’zgaruvchili TENGSIZLIKLARNI O’QITISH METODIKASI » § 1.1 Biro’zgaruvchili tengsizliklar,chiziqli tengsizliklar va kvadrat tengsizliklar. § 1.2 Ratsional tengsizliklarni oraliqlar usuli yordamida yechish , modul belgisi qatnashgan tengsizliklarni yechish II - BOB. DARSNI LOYIHALASH VA AMALGA OSHIRISH IKKIo’zgaruvchili TENGSIZLIKLARNI YECHISH METODIKASI ........... ................................................................... §2.1 .Bir o’zgaruvchili-chiziqli tengsizliklar sistemasi §2.2 Ikkio’zgaruvchili tengsizliklar sistemasini yechish usullari ni qo’llash. ……………………………. ................ .. ............ ..... Xulosa ....................................................................................... Foydalanilgan adabiyotlar............................................................................... 1
KIRISH Bitiruv ishining dolzarbligi : "Ikkio’zgaruvchili tengsizliklar sistemasini yechish usullari" matematika ta’limida muhim dolzarb mavzularidan biridir. Bu mavzu, matematikning algebra bo’limiga tegishli bo’lib, tenglamalar va tengsizliklar haqida umumiy tushunchalar va qoidalar bilan bog’liqdir. Tenglama, matematikada o’zgaruvilarni ifodalash uchun ishlatiladigan bir qavramdir. "Qavram" asosan ma lumot, ideya, konsept yoki narsalarni ifodalash va tushuntirishʼ uchun ishlatiluvchi bir so’zdir. Qavramlar, bilim, matematika, filosofiya, psixologiya, inson resurslari, sotsiologiya va boshqa sohalar kabi turli ilmiy, akademik va amaliy sohalarda muhim ahamiyatga ega bo’ladigan ideya va ma lumotlar to plami ʼ ʻ hisoblanadi. Tenglama o’zgaruvchanlar, operatorlar va qiymatlar yordamida ifodalangan algebraviy ifodalardir. Noma’lum daraja ko’rsatkichida ishtirok etadigan tenglama ko’rsatkichli tenglama deyiladi. Eng sodda ko’rsatkichli tenglama deb ko’rinishdagi tenglamalarga aytiladi. Bunda a>0 va a≠1, b - ixtiyoriy haqiqiy son. Bu tenglamani yechishda ikki holat yuz berishi mumkin: agar b 0 bo’lsa, tenglama yechimga ega emas. Chunki tenglamaning chap qismi ko’rsatkichli funktsiya bo’lganligi uchun x ning barcha qiymatlarida faqat musbat qiymatlar qabul qiladi. O’ng qismi esa manfiy son. Musbat son manfiy songa teng bo’lishi mumkin emas. Yuqoridagi matematik mulohazani grafik orqali ham ko’rishimiz mumkin (1-rasm): 2
1-rasm. Agar b>0 bo’lsa, tenglama yechimga ega. Haqiqatdan ham buni grafik orqali ko’rish mumkin (2- va 3-rasmlar). 2-rasm. 3
3-rasm. x1 va x2 lar mos ravishda tenglamaning a>1 va 0<a<1 bo’lgandagi yechimlari bo’ladi. Ko’rsatkichli tenglamalarni yechishda asosan quyidagi ikki teoramadan foydalaniladi. 1-teorema. Agar a>0 va a 1 bo’lib am = an bo’lsa, u holda m = n bo’ladi, ya`ni ikkita teng darajalarning asoslari musbat va birdan farqli bo’lib ular teng bo’lsa, u holda bu darajalarning ko’rsatkichlari ham teng bo’ladi. Isboti. m=n+c bo’lsin. U holda an+c=an yoki an ac=an. Bundan an 0 bo’lganligi uchun tenglikning ikkala qismini an ga qisqartirsak, ac=1 bo’ladi. an 1 bo’lganligi uchun oxirgi tenglik faqat c=0 bo’lgandagina bajariladi. Demak, m=n ekan. 2-teorema. Agar a>0, a 1, b>0, b 1 bo’lib, am=bm (m 0) bo’lsa, a=b bo’ladi. 4
Isboti. bm 0 bo’lganligi uchun tenglikning ikkala qismini bm ga bo’lsak, yoki bo’ladi. m 0 bo’lganligi uchun oxirgi tenglik faqat a=b bo’lganda bajariladi. Ko’rsatkichli tenglamalarni yechishda asosan quyidagi formulalardan foydalanamiz: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Ko’rsatkichli tenglamalarni asosiy turlari quyidagilardan iborat. I. Bir xil asosga keltirib yechiladigan tenglamalar. Bunday tenglamalarni yechishda asosan (1) teoremadan foydalaniladi. Misollar: 5