Maxsus chiziqli tengsizliklar sistemasini yechish algoritmlari

Yuklangan vaqt:

12.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

466.701171875 KB

Ko'chirib olish

Mavzu:Maxsus chiziqli tengsizliklar sistemasini yechish algoritmlari.
Reja:
1.Bob.
1.Umumiy tushunchalar.CHiziqli tenglamalar sistemasi.
2.Kroneker-kapelli teoremasi.
3.CHiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer formulasi.
4.Gauss usuli.
5.Teskari matrissa usuli.
2.Bob.
1.Maxsus chiziqli tengsizliklar sistemasini yechish algoritmlari.
2.Kanonik masala.Bazis reja.
3.Masala echilmaydigan bo`lishining etarlilik sharti.
4.Geometrik usul.
5.Simpleks usul va uning birinchi fazasi.
3.Bob.
1.Ikkilanmalik nazariyasi.
2.Ikkilanma simpleks usul.
4.Bob.
1. Yakuniy xulosalar
2. Foydalanilgan adabiyotlar.

1.Bob.
1. UMUMIY TUSHUNCHALAR.
Matrissa va ular ustida amallar.
?????? × ?????? dona ??????
???????????? ( ?????? = 1, ?????? , ?????? = 1, ?????? ) elementlardan tuzilgan to’g’ri burchakli
jadval matritsa deyiladi va
yoki ko’rinishda yoziladi.
Matritsaning elementlari ikkita indekslar bilan belgilanadi. Elementning
birinchi ?????? indeksi satr nomini, ikkinchi ?????? indeks esa ustunning nomerini
bildiradi. Matritsaning ??????
???????????? elementi ?????? − satr va ?????? − ustun kesishgan joyda
joylashgan. Matritsalar odatda katta lotin harflari bilan belgilanadi: ?????? ,
?????? , , . . .
Agar matritsa ?????? ta satr va ?????? ta ustunga ega bo’lsa, u holda ta’rifga binoan,
bu matritsa ?????? × ?????? o’lchovga ega bo’ladi. Zaruriyat bo’lganida matritsani
??????
?????? ×
?????? ko’rinishda ham belgilaymiz. Agar matritsaning ??????
???????????? elementlari sonlar
bo’lsa, bunday matritsa sonli matritsa deyiladi; agar matritsaning ??????
????????????
elementlari funksiyalar bo’lsa, bunday matritsa funksional matritsa deyiladi;
??????
???????????? elementlar vektorlar bo’lganda esa, vektor matritsa deyiladi va hokazo.
Odatda A matritsani quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin: A=(a
i,j ),i=
,j= Bu yerda a
ij sonlar matritsaning elementlari deb ataladi. Agar a
i,j
( a
i,j ) bo‘lsa A matritsa haqiqiy (kompleks) elementli matritsa
deyiladi.
Agar ?????? va ?????? matritsalarning mos ??????
???????????? va ??????
???????????? elementlari bir-biriga teng,
ya`ni ??????
???????????? = ??????
???????????? bo’lsa, bunday ?????? va ?????? matritsalar teng matritsalar deyiladi.
Faqat bir xil o’lchovli matritsalargina bir-biriga teng bo’lishi mumkin. Har
xil o’lchovli matritsalarning bir-biriga teng bo’lishi yoki teng emasligi
tushunchalari kiritilmagan. Satrlarining soni ustunlarining soniga teng

bo’lgan ( ?????? = ?????? ) matritsalar kvadrat matritsalar deyiladi. Agar ?????? = 1 bo’lsa, u
holda satr-matritsaga ega bo’lamiz; agar ?????? = 1 bo’lsa, biz ustun-matritsaga
ega bo’lamiz. Ular mos ravishda satr-vektor va ustun-vektor ham deb
ataladi.
?????? − tartibli kvadrat matritsa berilgan bo’lsin:
?????? =
Agar ?????? matritsaning determinanti noldan farqli
?????????????????? ?????? =
bo’lsa, ?????? matritsaning barcha satr vektorlari chiziqli erkli bo`lsa
xosmas(aynimagan )matritsa deyiladi. Agar barcha satr vektorlari chiziqli
bog`langan ya’ni ?????????????????? ?????? = 0 bo’lsa, ?????? matritsa xos(aynigan )matritsa
deyiladi.
Matritsalarni qo’shish va ayirish
Bir xil o’lchovli matritsalar ustida bu amallarni bajarish mumkin. ?????? va ??????
matritsalarning yig’indisi (ayirmasi) ?????? + ?????? ( ?????? − ?????? ) bilan belgilanadi. ?????? va ??????
matritsalarning ?????? + ?????? ( ?????? − ?????? ) yig’indisi (ayirmasi) deb shunday ??????
matritsaga aytiladiki, ?????? matritsaning elementlari ??????
???????????? = ??????
???????????? ± ??????
???????????? dan iboratdir,
bu yerda ??????
???????????? va ??????
???????????? - mos ravishda ?????? va ?????? matritsalarning elementlari.
Matritsalarni ko’paytirish.
??????
?????? ×
?????? va ??????
?????? ×
k matritsalarning ko’paytmasi deb - shunday
?????? ×
k = ?????? ⋅ ?????? (sodda
qilib, ???????????? ) matritsaga aytiladiki, bu ?????? matritsaning elementlari ??????
???????????? = ??????
?????? 1 ??????
1
?????? +
??????
?????? 2 ??????
2
?????? + ??????
?????? 3 ??????
3
?????? +. . . + ??????
???????????? ??????
???????????? ko’rinishda bo’ladi, bu yerda ??????
???????????? va ??????
???????????? - mos
ravishda ?????? va ?????? matritsalarning elementlari. Bundan ko’rinadiki, ?????? va ??????
matritsalarning ko’paytmasi ma’noga ega bo’lishi uchun ?????? matritsaning
ustunlari soni ?????? matritsaning satrlari soniga teng bo’lishi zarur. Hosil

bo’lgan ???????????? ko’paytmaning satrlari soni ?????? matritsaning satrlari soniga,
ustunlari soni esa ?????? matritsaning ustunlari soniga teng.
1.Ta’rif. Berilgan A matritsaning satrlarini ustunlari, ustunlarini satrlari bilan
almashtirishdan hosil bo‘lgan matritsa A matritsaga transponirlangan
matritsa deyiladi va A T
kabi belgilanadi, ya’ni
A= bo`lsa, A T
= .
Xossa. Ixtiyoriy   , A va B matritsalar uchun quyidagilar o‘rinli:
a)   A  A ;
b) (  +  )  A   A   A ;
c) (   )  A   (  A );
d) 1  A  A  1  A ;
e)   (A  B)   A   B ;
g) (   A)  B  A  (  B)   ( A  B ).
2-Ta’rif.A matritsaning rangi, deb noldan farqli barcha matritsa osti
minorlarining eng katta tartibiga aytiladi va rang A yoki r( A) ko`rinishida
ifodalanadi. ?????? matritsadan yaralgan determinantlar ichidan noldan
farqlilarini ajratib olamiz. Ana shu noldan farqli determinantlar tartibining
eng kattasi ?????? matritsaning rangi deyiladi ( ?????????????????????????????? deb belgilanadi). Agar ??????
matritsadan yaralgan ?????? −tartibli determinantlarning hammasi nolga teng
bo’lsa, u holda ?????????????????????????????? < ?????? bo’ladi.
Teorema 1. Quyidagi elementar (oddiy) almashtirishlar bajarilganda
matritsaning rangi o’zgarmaydi:

1. Ixtiyoriy ikkita parallel qatorlarning o’rinlari almashtirilganda;
2. Qatorning har bir elementini bir xil ?????? ≠ 0 songa ko’paytirilganda;

3. Qatorning elementlariga ixtiyoriy boshqa qatorning mos elementlarini bir
xil songa ko’paytirib qo’shganda.
Agar berilgan matritsa kvadrat shaklda bo lsa, uning eng katta tartibli ʻ
minori o ziga teng. Agar berilgan matritsa m
ʻ  n chi tartibli bo lsa, u holda ʻ
uning eng katta tartibli minorining tartibi k = min( n,m) bo ladi. Agar
ʻ
berilgan matritsa m  n chi tartibli bo lsa, u holda bu matritsadan ajratish
ʻ
mumkin bolgan k tartibli minorlar sonini  formula bilan topiladi, bu
erda
va ,n yoki m ta elementdan k tadan
gruppalashlar soni.
3-Ta’rif: Bosh diagonali elementlari 1 ga teng bo‘lib, qolgan barcha
elementlari 0 ga teng bo‘lgan n -tartibli kvadratik matritsa birlik matritsa
deyiladi va birlik matritsa E kabi belgilanadi,
ya’ni
E= .

Agar biror matritsa boshqa matritsadan elementar almashtirishlar yordamida
hosil qilinsa, bunday matritsalar ekvivalent matritsalar deyiladi. ?????? va ??????
matritsalarning ekvivalentligi ?????? ∼ ?????? deb belgilanadi. Tartibi berilgan
matritsaning rangiga teng bo’lgan noldan farqli har qanday minor
matritsaning bazis minori deyiladi.
* Ixtiyoriy tartibli determinant tushunchasi
"n " -tartibli kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin:

A=(a
ij )
n,n(
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
)
)
)
¿
)
n-tartibli determinant, yoki A matritsaning determinanti deb, n  1 bo‘lganda
ushbu matritsa elementlaridan tashkil topgan quyidagi formula yordamida
hisoblanadigan songa aytiladi:
n ,n
¿
|
a11 … a12
a21 … a22
… … …
… a1n
… a2n
… …
an1 … an2 … ann
| =
bu erda yig‘indi o‘zaro turlicha bo‘lgan barcha o‘rinlashtirishlar bo‘yicha
olinadi,
s – yuqori satrdagi, t – esa quyi satrdagi inversiyalar soni.
Yig‘indidagi qo‘shiluvchilar determinantni tashkil etuvchi hadlari
deyiladi; determinantni tashkil etuvchi har bir hadi matritsaning har bir satr
va har bir ustunlardan bittadan olingan matritsaning n ta elementlaridan
iborat ko‘paytmasiga teng, bunda agar indekslar o‘rniga qo‘yishlari soni juft
bo‘lsa ushbu ko‘paytma o‘z ishorasi bilan olinadi, agar indekslari soni toq
bo‘lsa qarama-qarshi ishorasi bilan olinadi.
Birinchi tartibli determinant o‘zining yagona elementiga teng bo‘ladi.
ntartibli determinantni tashkil etuvchi barcha hadlari soni n! ga teng. A
matritsaning elementlari, satrlari, ustunlari va h.k. mos ravishda A
determinantning tashkil etuvchi elementlari, uning satrlari, ustunlari
elementlari hosil qiladi deyiladi.
Determinantlarning xossalari
Quyida keltirilgan xossalar 2- yoki 3-tartibli determinantlarni bevosita
hisoblashlar yordamida oson tekshiriladi va n -tartibli determinantlar uchun
ham o‘rinli bo‘ladi.
Avvalo zarur ta’riflarni kiritib o‘tamiz.

Bir xil uzunlikdagi bir nechta satrlarning yig‘indisi deb, har bir elementi
berilgan satrlarning mos elementlari yig‘indisiga teng satrga aytiladi.
Satrni songa ko‘paytmasi deb, berilgan satrning barcha elementlarini
berilgan songa ko‘paytirishdan keyin hosil bo‘lgan satrga aytiladi.
Bir xil uzunlikdagi bir nechta satrlarning chiziqli kombinatsiyasi deb,
ushbu chiziqli kombinatsiyaning koeffitsientlari deb ataluvchi qandaydir
sonlarga berilgan satrlar elementlarini ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng
satrga aytiladi. Agar bitta satr boshqa satrlarning chiziqli kombinatsiyasiga
teng bo‘lsa, u holda u satr boshqa satrlar orqali chiziqli ifodalangan deyiladi.
Masalan, (1,−1,−3,−5)=3(1,1,1,1)−2(1,2,3,4) ushbu tenglik o‘ng tomondagi
birinchi satr bilan ikkinchi satrning chiziqli kombinatsiyasi ekanligini
bildiradi. Quyida determinantlarning xossalarini keltiramiz:
1˚. Determinant transponirlanganda uning qiymati o‘zgarmaydi. Birinchi
xossa |A| determinantining satr va ustunlarining o‘zaro teng huqligini
bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, satrlar uchun isbotlangan determinant
xossalari ustunlar uchun ham o‘rinli va aksincha.
2˚. Ikkita ixtiyoriy satr(ustun)larning o‘rinlari almashtirilganda determinant
qiymatining ishorasi qarama-qarshisiga o‘zgaradi.
3˚. Ikkita bir xil satr(ustun)li determinantning qiymati doim 0 ga teng.
Ikkinchi xossaga asosan: satrlarning o‘rni almashganda ∆=−∆, ∆+∆=0 ,
2∆=0 ⇒ ∆ =0.
4˚. Ixtiyoriy satr(ustun)ning umumiy ko‘paytuvchisini determinant
belgisidan tashqariga chiqarish mumkin. Bu xossani boshqacha qilib ham
ifodalash mumkin: |A| determinantning qandaydir satr(ustun)ining barcha
elementlarini k songa ko‘paytirish determinantni ushbu songa ko‘paytirishga
teng kuchli ekanligini bildiradi, masalan,

5˚. Agar |A| determinantning qandaydir satr(ustun)ining barcha elementlari
nolga teng bo‘lsa, u holda determinantning o‘zi ham nolga teng. Bu xossa
avvalgi xossadan k = 0 bo’lganda kelib chiqadi.
6˚. Agar determinant bir satri (ustun)ning barcha elementlari boshqa satr
(ustun)ning mos elementlariga proporsional bo‘lsa, u holda bu determinant
nolga teng.
7˚. Agar ixtiyoriy satr (ustun)ning elementlari ikkita qo‘shiluvchidan iborat
bo‘lsa, u holda bu determinant ikki determinant yig‘indisiga teng bo‘ladi,
ularning birinchisining mos satr (ustun)ida birinchi qo‘shiluvchi,
ikkinchisida esa ikkinchi qo‘shiluvchi teng bo‘lib qoldiriladi, qolgan
elementlar esa saqlanib qolinadi, masalan,
8˚. Agar determinantning ixtiyoriy satr (ustun)i elementlariga boshqa bir
satri (ustuni)ning elementlarini biror o’zgarmas songa ko‘paytirib ularning
mos elementlariga qo‘shilsa, u holda determinantning qiymati o‘zgarmaydi.
a
ij elementning A
ij algebraik to‘ldiruvchisi deb , uning ( -1) i +j
ishorali
minoriga aytiladi, bu erda kesishmasida a
ij element bo‘lgan i – satr raqami, j
– ustun raqami, A
i j =(-1) i+j
M
ij , masalan,
n -tartibli |A| determinant uning ixtiyoriy satr (ustun) elementlarini ularga
mos algebraik to‘ldiruvchilari ko‘paytmalarining yig‘indisiga teng:
det A=

det A=
Ushbu formulalar determinantni i-satr yoki j-ustun bo‘yicha yoyishni
bildiradi. Masalan, uchinchi tartibli determinantlar uchun birinchi ustun
bo‘yicha yoyish quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:
+ -a
13 a
22 a
31 -a
21 a
12 a
33 -a
32 a
23 a
11 .
|A| determinantning ixtiyoriy satr (yoki ustun) elementlarini boshqa bir satr
(yoki ustun) elementlarining mos algebraik to‘ldiruvchisiga
ko‘paytmalarining algebraik yig‘indisi har doim nolga teng:
Bevosita hisoblashlar shuni ko‘rsatadiki, ushbu yig‘indiga ikkita bir
xil satr (ustun)li determinantlar mos keladi.
Matritsalar tarixi:
Matritsalar dastlab qadimgi Xitoy yozuvlarida uchraydi, ular matritsani
“Sehrli kvadratlar” deb atashgan. Ular matritsalardan chiziqli tenglamalarni
yechishda foydalanishgan. Keyinroq arab matematiklarining asarlarida ham
sehrli kvadratlar uchraydi, tahminan shu paytlarda matritsalarni qo’shish
qoidalari topilgan. Hindistonda paydo bo’lgan shaxmat o’yini ham sehrli
kvadratdir
XVII asrning oxirlarida determinantlar nazariyasi rivojlangandan so’ng
XVIII asrda Gabriel Kramer o’z nazariyasini yaratishga kirishdi va “Kramer
qoidasi”ni 1751 yilda e’lon qildi. Tahminan shu vaqt oralig’ida “Gauss
usuli” paydo bo’ldi. XIX asrning o’rtalarida Uilyam Gamilton va Artur
Kelining ishlarida matritsalar nazariyasi mukammal nazariya sifatida
shakllandi.

Veyershtrass, Jordan va Frobenius kabi olimlar matritsalar nazariyasida
fundamental natijalarni oldilar. “Matritsa” atamasini fanga Jeyms Silvestr
1850 yilda kiritgan.
CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASI.
1. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi va uning yechimi.
Ma’lumki, bir necha tenglamalar birgalikda qaralsa, ularga tenglamalar
sistemasi deyiladi. Quyidagi {a
11
x
1
+a
12
x
2
+...+a
1n
x
n
=b
1¿{a
21
x
1
+a
22
x
2
+...+a
2n
x
n
=b
2¿{.........................................¿¿¿¿ . (1)
sistemaga n noma’lumli m ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi
(yoki soddalik uchun chiziqli tenglamalar sistemasi) deyiladi. Bu yerda
a
11, a
12 , ,...., a
mn sonlar (1) sistemaning koeffitsiyentlari, x
1 , x
2 ,…, x
n lar
noma’lumlar, b
1 ,b
2 , ,..., b
m sonlar esa ozod hadlar deyiladi. Tenglamalar
sistemasi koeffisiyentlaridan tuzilgan
A=
(
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
)
)
)
¿
) (2)
matritsa tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi deyiladi.
Noma’lumlar vektorini,X = (x
1 ,x
2 ,..., x
n ) T
ustun vektor, ozod hadlarni
B=(b
1 ,b
2 ,… ,b
m ) T
ustun vektor shaklida ifodalaymiz. U holda tenglamalar
sistemasi quyidagi matritsa shaklida yozilishi mumkin: AX= B.
Bizga m ta tenglamadan iborat n ta noma’lumli chiziqli tenglamalar
sistemasi berilgan bo‘lsin:

{a
11
x
1
+a
12
x
2
+...+a
1n
x
n
=b
1¿{a
21
x
1
+a
22
x
2
+...+a
2n
x
n
=b
2¿{.........................................¿¿¿¿ (1)

bu yerda,
x1,x2,..,xn noma’lumlar. Tenglamalarni birinchi, ikkinchi, va
hokazo m-tenglama deb nomerlab chiqilgan deb hisoblaymiz.
aij
koeffitsient i-tenglamadagi
xj noma’lumning koeffitsientini, bi esa i-
tenglamaning ozod hadi. Noma’lumlar oldidagi koeffitsientlarni m ta satr va
n ta ustundan iborat matritsa ko‘rinishida yozish mumkin:

A=
(
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
)
)
)
¿
) (2)
Ushbu matritsa chiziqli tenglamalar sistemasining asosiy matritsasi
deyiladi. Quyidagi
¯A matritsa esa chiziqli tenglamalar sistemasining
kengaytirilgan matritsasi deyiladi:

¯A =
(
¿
¿
a11 a12 ... a1n b1
a21 a22 ... a2n b2
... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn bm
¿
)
)
)
)
¿
)¿ (3)
Agar (3) sistemaning barcha ozod hadlari 0 ga teng bo‘lsa, u holda (3)
sistema bir jinsli tenglamalar sistemasi deb ataladi.
Agar (3) sistemada m=n bo‘lsa, u holda ushbu sistema n - tartibli sistema
deyiladi.

Yechimga ega bo‘lgan chiziqli tenglamalar sistemasi birgalikda deyiladi.
Masalan, ixtiyoriy bir jinsli tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘ladi, chunki
barcha noma’lumlarni 0 ga teng qilib olinsa, u bir jinsli tenglamalar
sistemasining yechimi bo‘ladi.
1-ta’rif. Agar 
1 , 
2 ,…, 
n sonlar x
1 , x
2 ,…, x
n larning o rniga ʻ
qo yilganda (1) sistemadagi tenglamalarni to g ri tenglikka aylantirsa, bu
ʻ ʻ ʻ
sonlarga (1) sistemaning yechimlari tizimi, deb aytiladi va
X = ( 
1 , 
2 ,…, 
n ) T
kabi belgilanadi.
2-ta’rif. Chiziqli tenglamalar sistemasi kamida bitta yechimga ega
bo lsa, u holda bunday sistema birgalikda deyiladi.
ʻ
3-ta’rif. Bitta ham yechimga ega bo lmagan chiziqli tenglamalar
ʻ
sistemasi birgalikda bo lmagan sistema deyiladi.
ʻ
4-ta’rif. Birgalikda bo lgan sistema yagona yechimga ega bo lsa, aniq
ʻ ʻ
sistema va cheksiz ko p yechimga ega bo lsa aniqmas sistema deyiladi.
ʻ ʻ
3-misol.
sistema birgalikda, ammo aniqmas, chunki bu sistema x =  , y = − 1 + 
ko rinishdagi cheksiz ko p yechimga ega, bunda
ʻ ʻ  -ixtiyoriy haqiqiy son.
5-ta’rif. Birgalikda bo lgan tenglamalar sistemasilari bir xil yechimlar
ʻ
tizimiga ega bo lsa, bunday sistemalar ekvivalent sistemalar deyiladi.
ʻ
4-misol. Quyidagi ikkita tenglamalar sistemasini qaraymiz
(a) tenglamalar sistemasining yechimi ( x,y)=(1,1).

(b) tenglamalar sistemasining yechimi ( x,y)=(1,1).
(a) va(b) tenglamalar sistemasi ekvivalent tenglamalar sistemasi
deyiladi.
Izoh: Berilgan tenglamalar sistemasining birorta tenglamasini noldan farqli
songa ko paytirib, boshqa tenglamasiga hadma-had qo shish bilan hosil ʻ ʻ
bo lgan sistema berilgan sistemaga ekvivalent bo ladi.
ʻ ʻ
Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimga ega yoki ega emasligini
quyidagi teorema yordamida aniqlash mumkin.
2. Chiziqli algebraic tenglamalar sistemasining yechimi mavjudligining
zaruriy va yetarli sharti (Kroneker-Kapelli teoremasi)
. Ushbu mavzuda chiziqli tenglamalar sistemasini umumiy yechimini
topish usulini beramiz. Dastlab, bir jinsli tenglamalar sistemasini
qaraymiz.
Bizga

{a
11
x
1
+a
12
x
2
+...+a
1n
x
n
=0¿{a
21
x
1
+a
22
x
2
+...+a
2n
x
n
=0¿{........................................¿¿¿¿
bir jinsli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Ma’lumki, ushbu
sistemaning matritsasini A va matritsaning ustunlarini
v1,v2,...,vn deb olsak,
sistemani

x1v1+x2v2+...+xnvn=0
yoki
A
¿X=0

ko‘rinishlarda ham yozish mumkin, bu yerda X  noma’lumlardan iborat
bo‘lgan ustun vektor.
1-tasdiq. Agar Z1,Z2,...,Zk ustunlar bir jinsli chiziqli tenglamalar
sistemasining yechimi bo‘lsa, u holda ularning ixtiyoriy chiziqli
kombinatsiyasi ham yechim bo‘ladi.
Isbot. Haqiqatdan ham,
A⋅Zi= 0 ekanligidan
A⋅(c1Z1+c2Z2+...+ckZk=c1A⋅Z1+c2A⋅Z2+...+ckA⋅Zk=0
kelib chiqadi.
1-teorema. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining ixtiyoriy yechimi
n -r ta chiziqli erkli yechimlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat bo‘ladi,
bu yerda n  noma’lumlar soni, r= rang(A).
Isbot. Sistemani

x1v1+x2v2+...+xnvn=0
ko‘rinishida yozib olaylik.
r =rang(A) ekanligi uchun
v1,v2,...,vn ustunlar jamlanmasida r ta ustun bazis
bo‘ladi. Umimiylikka ziyon yetkazmagan holda, dastladki r ta
v1,vr,...,vr
ustunni bazis deb olish mumkin. Bu holda qolgan
vr+1,vr+2,...vn ustunlar
v1,v2,...vr
ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi,
ya’ni
vr+1=br+11v1
+ b
r + 12 v
2 + … b
r + 1 r v
r
vr+2=br+21v1
+ br+22v2+… br+2rvr
…………………………………………
vn=bn1v1
+ bn2v2+… bnrvr.
u tengliklardan quyidagi n  r ta ustunning yechim ekanligini
ko‘rish qiyin emas,

Z
r + 1 =( b
r + 11
… … …
b
r + 1 r
− 1
0
… .
0 ) , Z
r + 2 = ( b
r + 21
… … …
b
r + 2 r
0
− 1
… … ..
0 ) ,………. Z
n = ( b
n 1
… … …
b
nr
0
0
… .
1 )
 yechimlar chiziqli erkli ekanligi osongina kelib chiqadi,
chunki bu ustunlarning oxirgi n  r ta komponentalaridan tuzilgan
minorni qarasak, ushbu minor noldan farqli bo‘ladi.
Endi ixtiyoriy yechim bu yechimlar orqali chiziqli
ifodalanilishini ko‘rsatamiz. Aytaylik, X=
( x
1¿
, … . , x
r¿
, x
r + 1 ,¿
… … x
n¿ )
ustun sistemaning boshqa bir yechimi bo‘lsin.
U holda
Y=X+
xr+1¿ Zr+1+...+xn¿Zn
ustun ham sistemaning yechimi bo‘ladi. Ma’lumki, bu yechimda
( r  1)-komponentadan boshlab barcha komponentalar nolga teng,
ya’ni
Y= y
1¿
, … . , y
r¿
, 0 … … 0
)
Ushbu ustun sistemaning yechimi bo‘lganligi uchun
y1¿v1
+ y2¿v2 +…….. +yr¿vr =0
Ammo,
v1,v2,… ..,vr ustunlar chiziqli erkli ekanligidan ¿y1
¿ = y
2¿
=……..
¿ y
r¿
=0
kelib chiqadi. Demak, Y  0, ya’ni
X=− xr+1¿ Zr+1−...− xn¿Zn
Shunday qilib, Z
r + 1 , Z
r + 2 , … … Z
n chiziqli erkli yechimlar bo‘lib,barcha
yechimlar ularning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi.
Teorema isbotida keltirilgan , Z
r + 1 , Z
r + 2 , … … Z
n yechimlar jamlanmasi
bazis yoki fundamental yechim deb ataladi.
Sistemaning umumiy yechimi deb fundamental yechimning
umuniy chiziqli kombinatsiyasiga aytiladi. Ularning biror aniq chiziqli

kombinatsiyasi esa xususiy yechim bo’ladi.uniy chiziqli kombinatsiyasiga
aytiladi. Ularning biror aniq chiziqli kombinatsiyasi esa xususiy yechim
bo‘ladi.
Bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi yechimini
ham bir jinsli sistema yechimi orqali berish mumkin. Aytaylik, bir
jinsli bo‘lmagan

sistema berilgan bo‘lsin. Bu sistemaning asosiy va kengaytirilgan
matritsalarini qaraymiz, ya’ni
A=
Quyidagi teorema bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar
sistemasi yechimi mavjudligini uning matritsalari ranglari orqali
beruvchi teorema hisoblanadi.
2.KRONEKER-KAPELLI TEOREMASI.
2. Teorema. (Kroneker–Kapelli teoremasi) Chiziqli tenglamalar
sistemasi yechimga ega bo‘lishi uchun uning A asosiy matritsasining rangi
kengaytirilgan (A/B) matritsasining rangiga teng (ya’ni, rang ( A )  rang ( A /B
) bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Tenglamalar sistemasini quyidagicha yozib olamiz:

bu yerda B ozod hadlardan tuzilgan ustun.
Sistema yechimga ega bo‘lishi uchun B ustun
ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanishi zarur.
Bundan
esa, matritsalarning ranglari tengligi kelib chiqadi.
Agar matritsalarning ranglari bir hil bo‘lsa, dagi ,
bazis B ustunlar uchun ham bazis bo‘la oladi. Bundan esa
B ustun , ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi orqali
ifodalanishi kelib chiqadi.
Isbot. Zaruriyligi. Faraz qilamiz (1) sistema birgalikda bo‘lsin. U holda
uning biror yechimi mavjud va
x
1 = 
1 ,x
2 = 
2 ,…,x
n = 
n dan iborat bo‘lsin. Bu yechimni (1) chiziqli
tenglamalar sistemasidagi noma’lumlar o‘rniga qo‘ysak: a
i1 
1 +a
i2 
2 +L+a
in 
n = bi , i=1,2,…,m (2) ega bo‘lamiz.
Bu tengliklar majmuasi quyidagi tenglikka ekvivalent:
, i=1,2,…,m (3)
Bundan (1) sistemaning kengaytirilgan matritsasi oxirgi ustuni asosiy
matritsa ustunlari chiziqli kombinatsiyasidan iborat ekanligi kelib chiqadi.
Ma’lumki matritsaning rangi ustunlarning chiziqli kombinatsiyasidan iborat
bo‘lgan ustunni tashlab yuborilganda o‘zgarmaydi. Kengaytirilgan
matritsadan ozod hadlar ustunini olib tashlasak sistemaning asosiy
matritsasiga ega bo‘lamiz. Demak, asosiy va kengaytirilgan matritsalarning
ranglari teng. Shuni isbotlash talab etilgan edi.
Yetarlilig i. Aytaylik asosiy va kengaytirilgan matritsalarning ranglari teng,
r( A )=r (A /B)

A (asosiy) matritsaning r ta bazis ustunlarini ajratamiz, bular ( A/ B)
(kengaytirilgan) matritsaning ham bazis ustunlari bo‘ladi. Faraz qilamiz
birinchi r ta ustun bazis bo‘lsin.
Bazis minor haqidagi teoremaga asosan A matritsaning oxirgi ustuni
bazis ustunlarning chiziqli kombinatsiyasi sifatida tasvirlanishi mumkin. Bu
esa:
, i=1,2,…,m (3)
munosabatni qanoatlantiruvchi 
1 , 
2 ,…, 
r lar mavjudligini bildiradi. Oxirgi
munosabat quyidagi m ta tenglamalarga ekvivalent: a
i1 
1 +a
i2 
2 +L+a
in 
n =
bi , i=1,2,…,m
Agar (1) tenglamalar sistemasiga x
1 = 
1 ,x
2 = 
2 ,…,x
r = 
r ,x
r+1 =0,….,x
n =0.
qo‘ysak, u holda tenglamalar sistemasi (2) ga aylanadi. Bundan
noma’lumlarning (4) qiymati (1) sistemadagi barcha tenglamalarni
qanoatlantiradi, ya’ni sistema yechimga ega bo‘ladi. Teorema isbotlandi.
Kroneker - Kapelli teoremasiga ko‘ra birgalikda bo‘lgan tenglamalar
sistemasining asosiy A matritsasi rangi bilan uning kengaytirilgan ( A/ B)
matritsasining ranglari teng. r =r( A)= r (A /B) qiymatni berilgan
sistemaning rangi deb ataymiz. A matritsaning biror bazis minorini belgilab
olamiz. Bazis satrlarga mos bo‘lgan tenglamalarni berilgan sistemaning
bazis tenglamalari deb ataymiz. Bazis tenglamalar bazis sistemani tashkil
etadi. Bazis ustunlarda qatnashgan noma’lumlarni bazis o‘zgaruvchilar,
qolganlarini ozod o‘zgaruvchilar, deb ataymiz. Oldingi mavzularda berilgan
bazis minor haqidagi teoremadan quyidagi tasdiq o‘rinliligi kelib chiqadi.
2-teorema. Chiziqli tenglamalar sistemasi o‘zining bazis tenglamalar
sistemasiga ekvivalent.
Soddalik uchun (1) sistemada birinchi r ta tenglama bazis tenglama
bo‘lsin. Yuqorida keltirilgan teoremaga asosan:

a
i1 
1 +a
i2 
2 +L+a
in 
n = bi , i=1,2,…,r (5)
bazis tenglamalar sistemasi berilgan (1) sistemaga ekvivalent. Shuning
uchun (1) tenglamalar sistemasi o‘rniga uning rangiga teng bo‘lgan (5)
sistemani tadqiq etish yetarli.
O‘z-o‘zidan ko‘rinadiki matritsaning rangi ustunlar sonidan katta emas,
ya’ni r  n . Boshqacha aytganda birgalikdagi sistemaning rangi
noma’lumlar sonidan oshmaydi.
Bu yerda ikki hol bo‘lishi mumkin:
1) r = n;
r =n , ya’ni bazis sistemada tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng
bo‘lsin. Bazis sistemani quyidagicha ifodalaymiz A
b X= B
b. .Bunda A
b
bazis minorga mos matritsa. det(A
b )
 0bo‘lganligi sababli, A
b −1
mavjud
va
X= EX =A
b -1
A
b X = A
b -1
(A
b X)= B A
b -1
tenglik yagona yechimni ifodalaydi
2) r  n bo‘lsin. Tenglamalarda x
1 , x
2 ,…, x
r bazis noma’lumlar
qatnashmagan barcha hadlarni uning o‘ng tomoniga o‘tkazamiz. U
holda (5) sistema:
a
i1 
1 +a
i2 
2 +L+a
in 
n = bi –a
ir+1 x
r+1 − L- a
in x
. (5)
ko‘rinishni oladi.
Agar erki x
r , x
r+1 ,…,x
n noma’lumlarga biror 
r+1 ,…., 
n sonli qiymatlarni
bersak, u holda
x
1 ,……., x
r o‘zgaruvchilarga nisbatan tenglamalar sistemasini olamiz va bu
sistemada noma’lumlar soni asosiy matritsa rangiga teng bo‘lganligi
sababli u yagona yechimga ega. Erkli noma’lumlar qiymati ixtiyoriy
tanlanganligi sistemaning umumiy yechimlari soni cheksiz ko‘p.
Izoh: Shunday qilib:
1). rangA  rang bo‘lsa, tenglamalar sistemasi birgalikda emas;

2). rangA =rang =r= n bo‘lsa, tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega;
3). rangA =rang =r  n bo‘lsa, tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p
yechimga ega.
Fan va texnikadaning ko p sohalarida bo lganidek, iqtisodiyotning ham ʻ ʻ
ko p masalalarining matematik modellari chiziqli tenglamalar sistemasi
ʻ
orqali ifodalanadi.
15.4-teorema. Bir jinsli bo‘lmagan chiziqli tenglamalar
sistemasining umumiy yechimi, uning biror xususiy yechimi va xuddi
shu koeffitsientlardan tuzilgan bir jinsli tenglamalar sistemasining
umumiy yechimi yig‘indisiga teng.
Isbot. Aytaylik, ustun A  X  B bir jinsli bo‘lmagan chiziqli
tenglamalar sistemasining biror yechimi bo‘lsin. U holda A  X  B va
A   B ekanligidan, A  X  A   sistemaga ega bo‘lamiz.
Demak, berilgan sistema A  ( X  )  0 bir jinsli sistemaga
teng kuchli. Bir jinsli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi
 X   ekanligidan
. Ya’ni berilgan
tenglamaning umumiy yechimi biror xususiy yechim va bir jinsli
tenglamalar sistemasining umumiy yechimini yig’indilaridan iborat
n-noma’lumli m-ta CHTS
asosiy matritsa
rangi=r,kengaytirilgan matritsa
rangi=k.

CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING
KRAMER USULI.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer usuli
sistemadagi tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lgan hol
uchun o‘rinli bo‘ladi.
{
a1,1 x1+a1,2 x2+...+a1,nxn=b1
a2,1 x1+a2,2 x2+...+a2,n=b2
… … … … … … … … … … … … … …
an,1x1+an,2x2+...+an,nxn=bn
(3)r=k=n bo`lsa,CHTS
birgalikda va yagona
yechimga ega bo`ladi.
Yechish usullari: r=k<n bo`lsa,CHTS
birgalikda va
cheksiz ko`p
yechimga ega
bo`ladi. r =/=k bo`lsa,CHTS
birgalikda
bo`lmaydi.
Gauss usuli Kramer
formulalari
Teskari
matritsa usuli Gauss usuli

ko‘rinishdagi tenglamalar sistemalarini qaraymiz.
Tenglamalar sistemasi koeffitsientlaridan tuzilgan matritsa
determinantini d harfi bilan belgilaylik:
d=|
a11 … a1j
a21 … a2j
… … …
… a1n
… a2n
… …
an1 … anj … ann
|
berilgan determinantni satr yoki ustun bo‘yicha
yoyish xossalaridan quyidagilarga ega bo‘lamiz:
d=
a1,jA1,j + a2,jA2,j +…….+ a1,jAn,j (4)
Bundan tashqari

a1,iA1,j + a2,iA2,j… … … + a1,jAn,j i  j . (5)
Ya’ni, determinantning birorta ustunidagi hamma elementlarini
boshqa ustunning algebraik to‘ldiruvchilariga ko‘paytmalari yig‘indisi
nolga teng.
Agar d=
a1,jA1,j + a2,jA2,j +…….+ a1,jAn,j A yoyilmada j- ustunning
elementlarini ixtiyoriy n ta sonlar sistemasi
b1,b2,… ..,bn bilan
almashtirsak, hosil bo‘ladigan
b
1 A
1 , j + b
2 A
2 , j +…….+ b
n A
n , j (6)
ifoda d determinantning j -ustunini shu sonlar bilan almashtirish
natijasida hosil bo‘ladigan ushbu

d
j =|
a11 … a1j
a21 … a2j
… … …
… a1n
… a2n
… …
an1 … anj … ann
|
determinantning j -ustun bo‘yicha yoyilmasi bo‘ladi.
Teorema. Agar (3) sistemaning determinanti d noldan
farqli bo‘lsa, u holda bu sistema yagona yechimga ega bo‘lib, uning
ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi:
x
1 = d
1
d , x
1 = d
2
d ,…….., x
1 = d
n
d
(7)
Isbot. Aytalylik, d  0 bo‘lsin.

{
a
1,1 x
1 + a
1,2 x
2 + ... + a
1 , n x
n = b
1
a
2,1 x
1 + a
2,2 x
2 + ... + a
2 , n x
n = b
2
… … … … … … … … … … … … … …
a
n , 1 x
1 + a
n , 2 x
2 + ... + a
n , n x
n = b
n
sistemadagi birinchi tenglamaning ikkala tomonini 1, A
1 , j ga, ya’ni
a1,j
elementning algebraik to‘ldiruvchisiga ko‘paytiramiz. Ikkinchi
tenglamaning ikkala tomonini
A2,j ga va hokazo, oxirgi tenglamani An,j
ga ko‘paytiramiz. Bu tengliklarning chap va o‘ng tomonlarini
alohida-alohida qo‘shib, quyidagi tenglikka kelamiz:
¿ ¿
+
a2,1 A2,j +…….+ an,1An,j¿x1 + … … ..+¿¿ + a2,jA2,j +…….+
a
n , j A
n , j ¿ x
j +…………+ ¿ ¿
+
a2,nA2,j +…….+ a
n , n A
n , j ¿ x
n = ¿ ¿
+ b
2 A
2 , j +…….+ b
n A
n , j
Yuqorida qayd qilingan (4), (5) va (6)
munosabatlardan, ushbu tenglikda
xj oldidagi koeffitsient d ga,

qolgan koeffitsientlarning barchasi nolga teng ekanligini, ozod had esa dj
determinantga teng bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, yuqoridagi
tenglik quyidagi ko‘rinishga keladi :
d
xj  d
j , 1  j  n .
d  0 bo‘lganligi uchun,
xj = d
j
d 1  j  n kelib chiqadi
Endi
α1 = d
j
d ,α2 = d
2
d ,…… αn = d
n
d
 sonlar haqiqatdan ham
(3) tenglamalar sistemasini qanoatlantirishini ko‘rsatamiz. Buning
uchun sistemaning i -tenglamasiga
α1,α2, αn, noma’lumlarning
qiymatlarini qo‘yamiz. i -tenglamaning chap tomonini ,
∑
j = 1n
a
i , j x
j ,
ko‘rinishda yozish mumkinligi va ,
dj

∑
j = 1n
b
k A
i , j bo‘lganligi uchun:

∑
j = 1n
a
i , j d
j
d = 1
d ∑
j = 1n
a
i , j (
∑
k = 1n
b
k A
k , j )
= 1
d ∑
j = 1n
b
k (
∑
j = 1n
a
i , j A
k , j )
Bu almashtirishlarga 1
d
soni barcha qo‘shiluvchilarda umumiy
ko‘paytuvchi bo‘lib kelganligi uchun uni yig‘indi tashqarisiga

chiqarishimiz mumkin. Bundan tashqari, qo‘shish tartibi
o‘zgartirilgandan so‘ng, bk ko‘paytuvchi ichki yig‘indi belgisi
tashqarisiga chiqarildi, chunki u ichki yig‘indi indeksi j ga bog‘liq
emas.
Ma`lumki,
∑
j = 1n
a
i , j A
k , j =
ai,1Ak,1 + ai,1Ak,j +…….+ ai,nAk,n
bo‘lganda d ga, qolgan barcha k larda esa 0 ga teng. Shunday qilib, k
bo‘yicha tashqi yig‘indida faqat bitta qo‘shiluvchi qoladi va u
bi d ga
teng bo‘ladi, ya’ni

∑
j = 1n
a
i , j d
j
d = 1
d b
i d = b
i
Bundan α
1 , α
2 ,
α
n ,
sonlar haqiqatdan ham (3) tenglamalar
sistemasi uchun yechim bo‘lishi kelib chiqadi.
Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning ushbu usuliga
Kramer usuli deyiladi.
Demak, Kramer usuli determinanti noldan farqli bo‘lgan n ta
noma’lumli n ta tenglamadan iborat chiziqli tenglamalar sistemasini
yechimini topish imkonini beradi.
Sistema determinanti nolga teng bo‘lgan hollarda Kramer usulini
qo‘llash maqsadga muvofiq emas. Chunki bu holatda tenglamalar
sistemasi yoki yechimga ega emas yoki cheksiz ko‘p yechimga ega
bo‘ladi
1. Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi.
Ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasining
(1)
yechimini topish uchun determinantlar nazariyasidan foydalanamiz. Bu
yerda ?????? va ?????? noma’lum sonlar, qolgan barcha sonlar esa ma’lum.
Noma’lumlar oldidagi ko’paytuvchilar sistema koeffitsientlari, ??????
1 va ??????
2
sonlar esa ozod hadlar deb ataladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish, ?????? va ?????? sonlarning shunday
to’plamiki, ularni sistema tenglamalarining o’rniga qo’yilganda ular
ayniyatga aylanadi. Bunday sonlar to’plamini sistemaning yechimi deb
ataymiz.
Kamida bitta yechimga ega bo’lgan sistema birgalikdagi sistema
deyiladi. Bitta yechimga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniq sistema
deyiladi.
Cheksiz ko’p yechimlarga ega bo’lgan birgalikdagi sistema aniqmas
sistema deyiladi. Bitta ham yechimga ega bo’lmagan sistema birgalikda
bo’lmagan sistema deyiladi.
Sistema koeffitsientlaridan quyidagi ikkinchi tartibli determinantni
tuzib, uni ∆ bilan belgilaymiz va sistema determinant deb ataymiz:
∆=
So’ngra bu determinantda mos ravishda birinchi va ikkinchi ustunlarni
ozod hadlar bilan almashtirib, ∆ ?????? , ∆ ?????? bilan belgilanadigan ushbu
determinantni tuzamiz:
∆
?????? = , ∆
?????? =
Agar ∆≠ 0 bo’lsa, (1) sistemaning yechimi
?????? = , ?????? = (2)
formula yordamida topiladi.
Isbot. (1) Sistema birinchi tenglamasining ikkala qismini ( ??????
22 ) ga,
ikkinchisini esa (− ??????
12 ) ga ko’paytirib va so’ngra olingan tenglamalarni
qo’shib, quyidagini olamiz:
( ??????
11 ??????
22 − ??????
21 ??????
12 ) ?????? = ??????
1 ??????
22 − ??????
2 ??????
12 (3)

Shunga o’xshash, (1) sistema birinchi tenglamasining ikkala qismini
(− ?????? 21) ga, ikkinchisini esa ( ?????? 11) ga ko’paytirib, so’ngra olingan
tenglamalarni qo’shib, quyidagini olamiz:
( ??????
11 ??????
22 − ??????
21 ??????
12 ) ?????? = ??????
11 ??????
2 − ??????
21 ??????
1 (4)
(3) va (4) formulalarda turgan ayirmalar biz yuqorida kiritgan ikkinchi
tartibli determinantlardir.
??????
11 ??????
22 − ??????
21 ??????
12 = = ∆,
??????
1 ??????
22 − ??????
2 ??????
12 = = ∆
?????? ,
??????
1 ??????
21 − ??????
2 ??????
11 = = ∆
??????
Bu belgilashlarda (3) va (4) tenglamalar bunday yoziladi:
(6)
Uch hol bo’lishi mumkin.

a) Agar sistema determinanti ∆≠ 0 bo’lsa, u holda (6) formulalardan (1)
sistema birgalikda ?????? = , ?????? = (7)
formulalar bilan aniqlanadigan bitta yechimga ega ekanligi kelib
chiqadi. (2) formula isbot bo’ldi. (7) qoidaga Kramer qoidasi deyiladi.

b) Agar sistema determinanti ∆= 0, lekin ∆
?????? va ∆
??????
determinantlardan
kamida bittasi nolga teng bo’lmasa, u holda (6) formulalardan (1)
sistema birgalikda emas, ya’ni bitta ham yechimga ega emasligi kelib
chiqadi.
c) Agar sistema determinanti ∆= 0 va ∆
?????? = 0, ∆
?????? = 0 bo’lsa u holda (6)
formuladan (1) sistema aniqmas, ya’ni cheksiz ko’p yechimlarga ega
ekani kelib chiqadi.
1-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish: Determinantni hisoblaymiz:
∆ = =7, ∆
?????? = = 14, ∆
?????? = = 7
Kramer qoidasidan foydalanib ?????? va ?????? ni topamiz:
?????? = = = 2; y = = = 1.
2-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish. Determinantni hisoblaymiz:
∆ = = 0, ∆= 0 .
∆
?????? = = 1, ∆
?????? = = −3
Sistema birgalikda emas, yechimlari yo’q.

3-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish. Determinantni hisoblaymiz:
∆ = = 0, ∆
?????? = = 0, ∆
?????? = = 0
Sistema aniqmas, cheksiz ko’p yechimga ega. Agar ikkinchi tenglamani
2 ga qisqartirsak, sistema ushbu bitta tenglamaga keladi.
3 ?????? − ?????? =2.
No‘ma’lum ?????? ga ixtiyoriy qiymatlar berib, ?????? ning mos qiymatlarini hosil
qilish mumkin.
(1) sistemada ozod hadlar nolga teng bo’lsa sistema bir jinsli sistema
deyiladi.
Bunda ∆
?????? = = 0, ∆
?????? = = 0
bo’lganligi uchun bunday sistema ∆≠ 0 bo’lganda aniq yechimga ega
yoki ∆= 0 bo’lganda cheksiz ko’p yechimga ega.
CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI
YECHISHNING GAUSS USULI.
Bizga bir hil tartibli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan
bo‘lsin

∑
k = 1n
a
i , k x
k = b
i , i = 1 , m
(1)
va

∑
k = 1n
c
i , k x
k = d
i , i = 1 , m
(2)
2-t a’rif. Agar (1) sistemaning ixtiyoriy ikkita tenglamasini
o‘rinlari almashtirish natijasida (2) sistema hosil qilinsa, (2)
sistemani (1) dan I  tur elementar almashtirish natijasida hosil
qilingan deyiladi.
3-t a’rif . Agar (1) sistemaning biror tenglamasini biror
songa ko‘paytirib, boshqa biror tenglamasiga qo‘shish natijasida
(2) sistema hosil qilinsa, (2) sistema (1) sistemadan II  tur
elementar almashtirish natijasida hosil qilingan deyiladi.
I tur va II tur elementar almashtirishlarni qisqacha elementar
almashtirish deb yuritiladi.
Xar bir chiziqli tenglamalar sistemasiga uning kengaytirilgan
matritsasini mos qo‘ysak, u holda chiziqli tenglamalar sistemasi
ustidagi elementar almashtirishlarga uning kengaytirilgan matritsasi
ustida mos elementar almashtirishlar bajarilgan deb qarash mumkin.
Aksincha, kengaytirilgan matritsa ustidagi elementar almashtirishlarga
(elementar almashtirishlar ta’rifini to‘g‘ridan-to‘g‘ri matritsalar uchun
ham aytishimiz mumkin) tenglamalar sistemasi ustidagi elementar
almashtirishlar mos keladi.
4- ta’rif. Agar (1) va (2) sistemalar bir vaqtning o‘zida
birgalikda bo‘lmasa, yoki bir vaqtda birgalikda bo‘lib, bir hil
yechimlarga ega bo‘lsa, (1) va (2) sistemalar teng kuchli
sistemalar deyiladi va ( (2..1))  ((1..2) ) ko‘rinishda yoziladi
5-teorema. Agar (2) sistemaga (1) sistemadan
elementar almashtirishlar natijasida hosil bo‘lgan bo‘lsa, ular teng
kuchlidir.
Isbot. I tur elementar almashtirishlar uchun teoremaning isboti
to‘g‘ridan to‘g‘ri ko‘rinib turibdi. Endi (1) sistemaga II tur

elementar almashtirishlarni qo‘llaymiz, ya’ni (1) sistemaning birorbir
i -tenglamasini  ga ko‘paytirib, j -tenglamaga qo‘shsak, yangi
sistemaning j satrida qolganlari o‘zgarmagan holda

∑
k = 1n
( a
¿ ¿ i , k + λ a
i , k ) x
k = b
i ¿
+λbi
tenglama hosil bo‘ladi. Agar x
r0
, x
2 ,0
… …

xn,0 sonlar (13.8) sistemaning
yechimlari bo‘lsa, u holda

∑
k = 1n
( a
¿ ¿ i , k + λ a
i , k ) x
k0
¿
=
∑k=1
n
ai,kxk0 + λ
∑
k = 1n
a
i , k x
k0
= bi+λai
tenglamaning ham yechimi bo‘ladi va aksincha. Elementar
almashtirishlar natijasida hosil bo‘lgan (2) tenglamalar
sistemasining yechimi (1) tenglamalar sistemasining ham yechimi
bo‘ladi.
Endi biz sistemani yechishning eng qulay va ko‘p qo‘llanadigan
usullaridan biri bo‘lgan, noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish usulini
ya’ni, Gauss usulini keltiramiz.
1) Faraz qilaylik, (1) sistemada
a11  0 bo‘lsin. U holda
sistemaning birinchi tenglamasini ,
 a
i , j
a
1,1 , i = 2 , m ga ko‘paytirib mos
ravishda boshqa tenglamalarga qo‘shsak, hosil bo‘lgan sistemaning
birinchi tenglamasidan boshqa tenglamalarida x
i noma’lumi oldidagi
koeffitsientlari nolga aylanadi.
2) Agar
a1,1  0 bo‘lsa, xi ning a
1,1 koeffisientlari orasida noldan
farqli bo‘lgan tenglamasini izlaymiz va I tur elementar almashtirish
yordamida sistemaning birinchi tenglamasi bilan o‘rnini almashtirib,
birinchi holatga kelamiz.
3) Agar
xi oldidagi hamma ai,1 koeffitsientlar nollardan iborat

bo‘lsa, biz birinchi yoki ikkinchi holatlarni 2 x noma’lum uchun
qo‘llaymiz va hokazo, bu jarayonni davom ettirish natijasida biz
(1) sistemaga teng kuchli bo‘lgan sistemaga kelamiz. Hosil bo‘lgan
sistemaga qarab, quyidagi xulosalarni chiqazishimiz mumkin:
1. Agar sistemaning zinapoyali shaklida chap tomonida nol va
o‘ng tomonida noldan farqli hadlar qatnashuvchi tenglamalar hosil
bo‘lsa, bunday sistema birgalikda bo‘lmaydi.
2. Agar sistema uchburchaksimon{
a
1,1'
x
1 + a
1,2'
x
2 + ... + a
1 , n'
x
n = b
1'
a
2,2'
x
2 + ... + a
2 , n'
x
n = b
2'
… … … … … … … … … … … … …
a
n − 1 , n − 1'
x
n − 1 + a
n − 1 , n'
x
n = b
n − 1'
a
n , n'
x
n = b
n
shaklga kelib

a1,1' a2,2' an,n'  bo‘lsa, sistema birgalikda
bo‘lib, yechim quyidagi algoritm bo‘yicha topiladi.
Hosil bo‘lgan sistemaning oxirgi a
n , n'
x
n'

bn' tenglamasidan
xn0= bn'
ann'
noma’lumni topib, topilgan noma’lumni bitta yuqoridagi

tenglamaga qo‘yamiz. So‘ngra,x10
x20 … … … … xn0
noma’lumni topib, uni yuqoridagi
tenglamaga qo‘yamiz. Bu jarayonni davom ettirish natijada barcha
0 0 0
1 2 , , ..., n x x x noma’lumlarni aniqlaymiz.
3. Sistema zinapoyali shaklga kelib, zinapoya uchlarida turuvchi
noma’lumlar soni r ta 1  r  min( m , n ) bo‘lsin. U holda ularni
tenglamalarning chap tomonida qoldirib, qolgan n  r ta noma’lumni
tenglamalarning o‘ng tomoniga o‘tkaziladi va ularni ozod
o‘zgaruvchilar sifatida qabul qilinadi. Natijada tenglamalar sistemasi
r ta noma’lumli uchburchak shaklidagi sistemaga keladi. Endi
tenglamalarni o‘ng tomoniga o‘tgan n  r ta noma’lumga qiymatlar
berib, qolgan r ta noma’lumni topamiz. Demak, bu holatda sistema
cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. Ya’ni, bunday tenglamalar
sistemasi birgalikda aniqmas sistema bo‘ladi.
Bundan tashqari, qaralayotgan sistemada tenglamalar soni
noma’lumlar sonidan kichik bo‘lsa, u holda sistemani uchburchak
shakliga keltirish mumkin emas, chunki Gauss metodi bo‘yicha
o‘zgartirish jarayonida tenglamalar soni kamayishi mumkin, ammo
ortishi mumkin emas. Demak, bunday holatda sistema zinapoyasimon
shaklga keltiriladi va u aniqmas sistema bo‘ladi.
Misol 1. Ushbu tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan
yeching:
{
x
1 + 2 x
2 − x
3 + 3 x
4 = 5
2 x
1 + 3 x
2 − 4 x
3 + x
4 = 2
x
1 + x
2 − 3 x
3 − 2 x
4 = 3
Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasini yozib, uni elementar
almashtirishlar yordamida o‘zgartiramiz:

( 1 2 − 1 3
2 3 − 4 1
1 1 − 3 − 2 | 5
2
3 ) ( 1 2 − 1 3
0 − 1 − 2 − 5
0 − 1 − 2 − 5 | 5
− 8
− 2 ) ( 1 2 − 1 3
0 − 1 − 2 − 5
0 0 0 0 | 5
− 8
6 )
0  6 tenglamaga ega bo‘lgan sistemaga keldik, demak, berilgan
sistema yechimga ega emas.
Misol 2. Ushbu tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan
Yeching

{ x
1 − x
2 + 3 x
3 = 2
x
1 + 2 x
2 + 5 x
3 = − 9
2 x
1 − 5 x
2 − 4 x
3 = 23
Sistemaning kengaytirilgan matritsasi uchun elementar almashtirishlar
qo’llab
(
1 − 1 3
1 2 5
2 − 5 − 4 | 2
− 9
23 ) ( 1 − 1 3
0 3 2
0 − 3 − 10 | 2
− 11
19 ) ( 1 − 1 3
0 3 2
0 0 − 8 | 2
− 11
8 )
sistemaning matritsasini uchburchak shaklga keltiramiz. Demak, bu
sistema yagona yechimga ega va quyidagi tenglamalar sistemasiga
teng kuchli bo‘ladi:
{
x1− x2+3x3= 2
3x2+52 =− 11
−8x3=8
Bu sistemada pastdan yuqoriga qarab harakat qilib,
x
3 = − 1 , x
2 = − 3 , x
1 = 2
yagona yechimni topamiz.
Misol 3. Ushbu tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan
yeching:

{x
1 − 2 x
2 + 3 x
3 − 4 x
4 = − 2
2 x
1 − 4 x
2 + x
3 + 3 x
4 = 2
− x
1 + 2 x
2 + 2 x
3 − 7 x
4 = − 4
Sistemaning kengaytirilgan matritsasini qaraymiz:
(
1 − 2 3 − 4
2 − 4 1 3
− 1 2 2 − 7 | − 2
2
− 4 ) ( 1 − 2 3 − 4
0 0 − 5 11
0 0 5 11 | − 2
6
− 6 ) ( 1 − 2 3 − 4
0 0 − 5 11
0 0 0 0 | − 2
6
0 )
Sistemaning matritsasi zinapoyasimon shaklga kelganligi uchun
birgalikda va cheksiz ko‘p yechimga ega. x
1 va x
3 noma’lumlar
oldidagi koeffitsientlar uchburchak shaklni berganligi uchun
x1,x4
noma’lumlarini o‘ng tomonga o‘tkazib, ozod o‘zgaruvchilar sifatida
qabul qilamiz.

{
x1+3x3=−2+2x2+4x4
−5x3=6−11 x4
Bu yerda
x3= 6−11 x4
−5
hosil bo‘ladi. Bu ifodani yuqoridagi
tenglamaga olib borib qo‘ysak,
x
1 = 8 + 10 x
2 − 13 x
4
5

hosil bo‘ladi. Shunday qilib,
x
1 = 8 + 10 x
2 − 13 x
4
5
x
3 = − 6 + 11 x
4
5
berilgan tenglamalar sistemasi yechimlarining umumiy ko‘rinishi
bo‘ladi.
Bu formulada 2 x va 4 x larga ixtiyoriy qiymatlar berib, x1,,x3 larni topish
orqali xususiy yechimlarni hosil qilish mumkin. Masalan,
x
1  1,
x4  1 qiymatlar bersak, x
1  1, x
4  1, x
4  1 qiymatlar bersak, x
1  1, x4  1,
x
4  1 qiymatlar bersak, x
1  1,
x4  1,
topilib, (1, 1, 1, 1) xususiy
yechimga ega bo‘lamiz.
Chiziqli tenglamalar sistemasi. Gauss usuli
n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer qoidasi bo’yicha
yechish ?????? = 4 dan boshlab katta va mashaqqatli ishga aylanadi, chunki bu ish
to’rtinchi tartibli beshta determinantni hisoblash bilan bog’liq. Shu sababli
amalda Gauss usuli muvaffaqiyat bilan qo’llaniladi va u sistema birgalikda
hamda aniq bo’lsa, uni soddaroq ko’rinishga keltirish va barcha
noma’lumlarning qiymatlarini ketma-ket chiqarib tashlash, so’ngi
tenglamada faqat bitta noma’lumni qoldiradi. Quyidagi n ta chiziqli
algebraik sistemani qaraylik:
{
a
1,1 x
1 + a
1,2 x
2 + ... + a
1 , n x
n = b
1
a
2,1 x
1 + a
2,2 x
2 + ... + a
2 , n x
n = b
2
… … … … … … … … … … … … … …
a
n , 1 x
1 + a
n , 2 x
2 + ... + a
n , n x
n = b
n (1)
Bu sistemani Gauss usuli bilan yechish jarayoni ikki bosqichdan iborat.

1-bosqich. (1) sistema uchburchak ko’rinishga keltiriladi. Bu quyidagicha
amalga oshiriladi:
??????
11 ≠ 0 deb quyidagi nisbatlarni tuzamiz.

Sistemaning ?????? −tenglamasiga, 1-tenglamani ??????
?????? 1 ga ko’paytirilganini
qo’shamiz. Bunda biz sistemaning 2- tenglamasidan boshlab hammasida ??????
1
noma’lumni yo’qotamiz. O’zgartirilgan sistema quyidagi ko’rinishda
bo’ladi.
(2)
??????
22 (1)
≠ 0 deb faraz qilib quyidagi nisbatlarni tuzamiz:
(2)
sistemaning ?????? −tenglamasiga ( ?????? = 3, 4, … , ?????? ) uning 2-tenglmasini ??????
?????? 2 ga
ko’paytirib qo’shamiz va natijada quyidagi sistemani hosil qilamiz:
Yuqoridagidek jarayonni ?????? − 1 marotaba bajarib quyidagi uchburchak
ko’rinishdagi sistemani hosil qilamiz:

(3)
Shu bilan yechimni birinchi bosqichi yakunlandi. 2-bosqich uchburchak
ko’rinishidagi (3) sistemani yechishdan iborat. Oxirgi tenglamadan ??????
??????
topiladi. Undan oldingi tenglamaga ??????
?????? ning topilgan qiymati qo’yilib, ??????
?????? −1
topiladi. Shu mulohazani davom ettirib, ??????
1 topiladi.
1-misol. Ushbu
(4)
tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.
Yechish: Usulning birinchi qadami (4) sistemaning ikkinchi va uchinchi
tenglamalaridan ?????? noma’lum chiqarishdan iborat. Buning uchun bu
sistemaning birinchi tenglamasini (-2) ga ko’paytiramiz va olingan
tenglamani ikkinchi tenglamaga qo’shamiz, keyin esa birinchi tenglamani (-
3) ga ko’paytiramiz va olingan tenglamani uchinchi tenglamaga qo’shamiz.
Bu ishlar natijasida berilgan (4) sistemaga teng kuchli ushbu sistemani
olamiz:
(5)
Bu sistemaning uchinchi tenglamasini 2 ga qisqartirib,
(6)
hosil qilamiz. Ikkinchi qadam ?????? noma’lumni (3) sistemaning uchinchi
tenglamasidan chiqarishdan iborat. Buning uchun shu sistemaning ikkinchi

tenglamasini (− )ga ko’paytiramiz va uchinchi tenglamaga qo’shamiz.
Buning natijasida ushbu teng kuchli sistemani olamiz:
(7)
Bu sistemaning uchinchi tenglamasini − ga bo’lib, ushbuga ega
bo’lamiz:
(8)
(4) tenglamalar sistemasi uchburchakli deb ataladigan (8)
shaklni oldi. Uchinchi tenglamadan z=2 ni olamiz, bu qiymatni (8)
sistemaning ikkinchi tenglamasiga qo’yib, y=4 ni olamiz. z=2 va y=4
qiymatlarni (8) sistemaning birinchi tenglamasiga qo’yib, x=8 ni olamiz:
x=8, y=4, z=2 yechim olindi. Gauss usulining xususiyati shundaki, unda
sistemaning birgalikda bo’lishi oldindan talab qilinmaydi.
1. Agar sistema birgalikda va aniq bo’lsa, u holda usul birgina yechimga olib
keladi.
2. Agar sistema birgalikda va aniqmas bo’lsa, u holda biror qadamda ikkita
aynan teng tenglama hosil bo’ladi va tenglamalar soni noma’lumlar sonidan
bitta kam bo’lib qoladi.
3. Agar sistema birgalikda bo’lmasa, u holda biror qadamda chiqarilayotgan
noma’lum bilan birgalikda qolgan barcha noma’lumlar ham chiqariladi, o’ng
tomondan esa noldan farqli ozod had qoladi.
2-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.

Yechish: Birinchi tenglamani (-3) ga ko’paytiramiz va ikkinchi tenglamani
qo’shamiz, keyin esa birinchi tenglamani (-5) ga ko’paytiramiz va uchinchi
tenglamani qo’shamiz. Shu bilan ikkinchi va uchinchi tenglamalardan ??????
noma’lumni chiqaramiz:

Endi uchinchi tenglamadan z noma’lumni chiqarayotganimizda biz ??????
noma’lumni ham chiqaramiz, bu esa ziddiyatlikka olib keladi. Chunki 0 ≠ 4.
Shunday qilib Gauss usulini qo’llash berilgan sistemaning birgalikda
emasligini ko’rsatadi.
3-misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching:

Yechish: 2-misoldagi ishlarni takrorlab, sistemani
(9)
ko’rinishga keltiramiz, bu esa berilgan sistema
sistemaga teng kuchli ekanligini bildiradi. (9) sistemaning
so’ngi ikki tenglamasi bir xil. Bu sistema birgalikda bo’lsada, lekin aniqmas,
ya’ni cheksiz ko’p yechimga ega.
CHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING
TESKARI MATRITSA
USULI.

Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning teskari matritsa
usuli ham tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo‘lgan hol
uchun o‘rinli bo‘ladi.{
a
11 x
1 + a
12 x
2 + ... + a
1 n x
n = b
1
a
21 x
1 + a
22 x
2 + ... + a
2 n x
n = b
2
… … … … … … … … … … … … … …
a
n 1 x
1 + a
n 2 x
2 + ... + a
nn x
n = b
n
ko‘rinishdagi tenglamalar sistemasini qaraymiz.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz
A=
(
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… … … …
an1 an2 … ann
) X= (
x1
x2
…
xn
)
,B=
(
b1
b2
…
bn
)
Natijada yuqoridagi tenglamalar sistemasi quyidagi matritsaviy
tenglamaga teng kuchli bo‘ladi
A  X  B .
Kramer usulidan ma’lumki, agar det( A )  0 bo‘lsa, sistema
yagona yechimga ega. Bundan tashqari, det( A )  0 ekanligi A
matritsaning teskarilanuvchi bo‘lishini bildiradi. Yuqoridagi
matritsaviy tenglamaning ikkala tomonini chapdan A  
 ga
ko‘paytirsak,

A−1·A·X =¿ A−1 ·B E·X =¿ A−1 ·B
X = A − 1
· B
ekanligi kelib chiqadi.
Demak, tenglamalar sistemasining yechimi
X = A − 1
· B
ko‘rinishida bo‘ladi. Chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning
ushbu usuli teskari matritsa usuli deb ataladi.
Determinantlar va matritsalar nazariyalarida olingan natijalarni chiziqli
algebraik tenglamalar sistemasini yechishga qo’llaymiz.

Misol 4. ChATSni teskari matritsa usulida yeching

Yechish.
?????? = ,
?????? = , ?????????????????? ?????? = −8.
Teskari matritsa:
?????? −1
= .
Endi ?????? ni topamiz:X= A−1·B
= = = .
. Shunday qilib, sistemaning yechimini yozamiz:
??????
1 = 2, ??????
2 = 0, ??????
3 = −1.
Matritsalar va, umuman, chiziqli tenglamalar sistemalari iqtisodiyot, fizika,
kimyo va boshqa fanlardagi masalalarni yechishda keng qo’llaniladi.
Chiziqli tenglamalar sistemalarini yecha olish – bu murakkab amaliy
masalalarni yechish yo’lidagi bir usul xolos. Ana shunday masalalardan biri
– mahsulotlar ishlab chiqarishni rejalashtirish masalasi chiziqli tenglamalar
sistemasini yechishga keltiriladi.
2.Bob .

1.MAXSUS CHIZIQLI TENGSIZLIKLAR SISTEMASINI
YECHISH ALGORITMLARI.
1. Chiziqli prograммalashtirish мasalasi va uning kanonik shakli . Ushbun s s j x m k i b x a k i b x a
x c
j
n
j
i j ij
n
j
i j ij
n
j
j j
         

 

 

0, ,1 ,0 , ,1 , ) ( , ,1 ,
min(max),
1 1
1
сhiziqli prograммalashtirish мasalasini qarayмiz:
Siмpleks-мetod bunda asosiy yechish usuli hisoblanadi. Bu мetod chiziqli
prograммalash tirish ning kanonik shakldagi
) ,1 ,0 (, ,1 ,0 , ,1 , max,
1 1
m i b n j x m i b x a x c i j
n
j
i j ij
n
j
j j         
 
masalasi uchun aмerikalik oliм Dj.Dansig toмonidan ishlab chiqilgan.
Chiziqli prograммalashtirish мasalasini unga ekvivalent kanonik shakldagi
мasalaga keltirish мuмkin. Bu quyidagicha bajariladi:
a) agar мiniмallashtirish мasalasi berilgan bo’lsa,мaqsad funksiyasini -1 ga
ko’paytirib, мaksiмallashtirish мasalasini qarayмiz;
b) мanfiy ib
paraмetr qatnashgan bog’lanishni - 1 ga ko’paytiraмiz:
d )
   
 
n
j
n
j i j ji i j ji b b a b x a
1 1 , , ,
ko’rinishdagi tengsizliklar , мos ravishda ,
i in
n
j j ji
n
j i in j ji b x x a b x x a           1 , 1 , ,

tengliklar va

, , ,0 mi k i x in    
tengsizliklarga ekvivaliyentdir;
e) ishorasiga hech qanday cheklash qo’yilмagan
0 ,0 2 1   j j x x o’zgaruvchilar
bilan
2 1 j j j x x x   forмula yordamida alмashtiraмiz.
1 – мisol.
min, 5 2 3 2 1     x x x f

.0,0,953,62,122
3232132131  xxxxxxxxx
Shu мasalani kanonik shaklga keltiraмiz. Buning uchun , quyidagi ishlarni bajaraмiz:
a) max; 5 2 min 5 2 321321           x x x f x x x f
b)
12 2 12 2 3 1 3 1       x x x x
d ) ;0,6262
44321321  xxxxxxxx
e )
;0 ,9 5 3 9 5 3 55321321            x x x x x x x x
f )
.0 ,0 , 21 11 21 11 1     x x x x x
Natijada berilgan мasala quyidagi ekvivalent kanonik мasalaga keltiriladi:
5,2 ,0 ,0 ,0 ,9 5 3
,6 2 2 , 12 2
max, 5 2 2
2
11
15322
11
1 4322
11
132
11
1 322
12
1
         
       
   
i x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
i
Quyidagi chiziqli prograммalashning kanonik мasalasi uchun
)0 ( 0 , max, ) ,(     b x b Ax x c
(1)
vektor – мatrisali belgilashdan foydalanaмizb bu yerda
), ,..., (1 nc c c
n j i a A b b b x x x ji m n ,1 , ), ( ), ,..., ( ), ,..., ( , 1 1    
2. Bazis reja . Siмpleks – мetodda reja, optiмal reja tushunchalari bilan bir qatorda
bazis reja tushunchasi asosiy hisoblanadi.
1-ta’rif . Faraz qilaylik, (1) мasalada
m rankA n m   , bo’lsin. Agar x rejaning
m n
ta koмponentalari nolga teng bo’lib,qolgan jmj x x ,..., 1
koмponentalariga A
мatrisaning chiziqli bog’lanмagan jmj aa ,...,
1
ustun-vektorlari мos kelsa,
)1(x
мasalaning bazis rejasi deyiladi.
Quyidagi belgilashlardan foydalanaмiz :
      , / , , ,...,2,1 , ,...,2,1
,...,1 БnmБ J J J j j J n J m I    
 Б j Б J j a A   ,
-bazis мatrisa, } , { H j H J j a A   - nobazis мatrisa,
 . , }, , { }, , { }, , {
}, , { }, , { }, , {
НБНБHjHБjБ HБHjHБjБ
А А А С C C J j c C J j c C
X X X J j x X J j x X
     
    
2-ta’rif . Barcha bazis qzgaruvchilari мusbat
) ,0 ( Б j J j x   bo’lgan bazis rejaga
aynan bo’lмagan bazis reja deyiladi.

2- м isol. 5,1 ,0 ,8 2 ,4 ,3
max, 5 3 ) (
5 2 1 4 2 3 1
5 3 2 1
        
    
j x x x x x x x x
x x x x x f
j
x = (0 , 0,3,4,8) - bu мasalaning bazis rejas i bo’ladi. U nga
b azis мatrisa мos keladi.
0 )8,4,3( 6   X . Deмak, )8,4,3,0,0( X
a ynan bo’lмagan bazis reja dir.
3. Optiмallik kriteriysi .
бА bazis мatrisali x bazis reja uchun

n j c a A C j j Б Б j ,1 , ) , ( 1      (2)
s onlarni hisoblayмiz, bu yerda
A аj мatrisaning j – ustuni.

n j ,1 ,   , sonlarga x bazis reja ning baholari deyiladi. бJ j j    ,0 bo’lishi
ravshan.
1-teoreмa. x bazis reja ning optiмal bo’lishi uchun ,
Hj
J j   ,0

tengsizliklarning bajarilishi yetarli, x - aynan bo’lмagan bazis reja bo’lgan holda esa
zarur haмdir.
4. Masala yechiмga ega bo’lмasligining yetarli sharti. x - bazis reja , БА
-
unga мos bazis мatrisa bo’lsin.
H j Б j J j a A d    , 1 , vektorning koordinatalarini
Б ij J i x ,
deb belgilayмiz.
2- teoreмa. Agar biror
HJ j uchun ,0 j bo’lib, Б ij J i x   ,0 0
.
tengsizliklar bajarilsa , (1) мasalaning мaqsad funksiyasi x bazis planning 0j
х
koordinatasi oshishi bilan cheksiz o’sadi.
5. Siмpleks-iterasiya. Agar x bazis rejaning har bir мanfiy
,0 j bahosiga
мos keluvchi jБj
a A d 1 0
vektor мusbat ,0 0 ijx koмponentalarga ega bo’lsa,
) ,( ) ,( x c x c 
shartni qanoatlantiruvchi х bazis rejani qurish мuмkin. x dan х ga
o’tish (siмpleks-inersiya) qo’yidagicha bajariladi: 




100 010 001
),,(
5 4 3 aaaA Б

$a) eng kichik мanfiy bahoni topaмiz: ,0 , min 0      j j j b) jБj a A d 1 0 vektorning мusbat koмponentlari Б ij J i x   ,0 0 uchun 0ij i i x x   sonlarni hisoblayмiz; d ) i  sonlarning eng kichigini aniqlayмiz: 00 0 0 0)0 min 0 min ji i ij i x Jiii x x x x ij Б       e ) х planni quraмiz: )3( , ,,0, 0 00 00 00 0 00 ,0      Б ij ij i i ijiii Hi ji i ij Jix x x xxxx Jijix x x x   х - bazis plandir.    0 0} {\ j i J J Б Б   - uning bazis indekslar to’plaмi ,    0 0} {\ i j J J H H   - nobazis indekslar tuplaмi. f) х -bazis planga мos keluvchi бА bazis мatrisaga teskari 1 6  А мatrisaning iju eleмentlarini hisoblayмiz: )4( , , , , , 0 , 00 0 0 00 0               I j J i j i x u x u u I j x u u Б ji ji ij ij ij ji ji ji Bu yerda 1  б ij A u мatrisani eleмentlari. 6. Siмpleks-algoritм. Faraz qilaylik, x - boshlang’ich bazis reja, бА - unga мos bazis мatrisa, бJ - bazis komponewntalar indekslari to’plaмi, Б H J J J \  bo’lsin. 1) (2) forмula bo’yicha x bazis reja ning Hj J j  , baholarini hisoblayмiz. 2) optiмallik kriteriysini tekshiraмiz: agar H j J j   ,0 , bo’lsa , yechish jarayoni tugaydi: x -optiмal reja bo’ladi: aks holda navbatdagi bandga o’taмiz.$ $3) har bir мanfiy 0 j bahoga мos keluvchi j Б j а A d 1  vektorning , , Б ij J i x  koмponentalarini hisoblayмiz. 4) мasala yechiмga ega bo’lмasligining yetarli shartini tekshiraмiz: agar biror мanfiy 0 * j bahoga мos keluvchi , ,* Б ij J i x  sonlar orasida мusbatlari topilмasa, мasalani yechish jarayoni tugaydi: мaqsad funksiyasi chegaralanмagan; aks holda navbatdagi bandga o’taмiz. 5) siмpleks-interasiyani bajaraмiz : (3) forмula yordaмida yangi х bazis rejani va uning bazis komponentalari indekslar to’plaмi      0 0 \ j i J J Б Б   va nobazis indekslar to’plaмi      0 0 \ i j J J H H   ni quraмiz; (4) forмula bo’yicha х ga мos keluvchi бА bazis мatrisaga teskari 1 6  А мatrisa eleмentlarini hisoblayмiz. 6) boshlang’ich x bazis rejani х bazis reja bilan, бJ ni ,бJ HJ ni .HJ ni бА ni бА bilan alмashtirib , 1) bandga qaytaмiz. I z o h. Agar (1) мasalaning bazis rejalari aynan bo’lмagan bazis rejalar bo’lsa, siмpleks-algoritм chekli bo’ladi. 7. Boshlang’ich bazis reja . Siмpleks-мeto d ning birinchi fazasi. Siмpleks- algoritм uchun biror boshlang’ich bazis reja m a’lu m bo’lishi va rank A=m,m<n shartlarning bajarilishi zarur. Agar (1) мasalaning asosiy bo g’ lanishlar мatrisasi A ning mj j j ,....... , 2 1 noмerli ustunlari mxm o’lch ov li      1...00 ...... 02..10 0...01 E birlik мatrisani tashkil etsa,     , ,0 , ,1 , 0 , E A j j x m i b x x b x x Б i j i j H Б i           bazis мatrisali boshlang’ich bazis reja bo’ladi. Uмuмiy holda esa, (1) мasalani yechishni quyidagi yordaмchi )5(0,0,max,),(  ccc xxbxAxxe мasalani tuzishdan boshlayмiz: bu yerda    m e )1 ,...,1( vektor, ) ,..., ( 1 mn n c x x x    - sun’iy o’zgaruvchilar m –vektor.$

Eslatмa. (5) мasalani tuzish paytida sun’iy o’zgaruvchilarni (1) мasalaning
bazis o’zgaruvchilar qatnashмagan bog’lanishlariga kiritish мaqsadga мuvofiqdir.
Leммa. (1) мasalaning rejalar to’plaмi bo’sh bo’lмasligi uchun (5)
мasalaning yechiмi  * *, cx x da sun’iy o’zgaruvchilarning nolga teng bo’lishi  0 *cx
zarur va yetarlidir.
(5) мasalani yechish siмpleks-мetodning birinchi fazasini tashkil etadi.
 2.Kanonik masala.Bazis reja.
 Klassik simpleks usul chiziqli programmalashtirishning kanonik masalasi
uchun ishlab chiqilgan bo`lib,u m ta chiziqli

 (1)

 tengsizliklarni va n ta chiziqli

 (2)
 tengsizliklarni qanoatlantiradigan n ta
o`zgaruvchilarning
 chiziqli funksiyasi maksimumini topish haqidagi
 (3)
 masaladan iborat.
 Yangi belgilashlarda (1)------(3) kanonik masala ushbu
 (4)
 Ixcham yozuvga keladi.
 c vektorni qiymat vektori , b - vektorni cheklash vektori , A matritsani esa
shartlar matritsasi ( xarajatlar matritsasi ), ustunlarni – shartlar
vektorlari deb atash qabul qilingan . funksiya masalaning maqsad
funksiyasi, (5) tenglik kanonik masalaning asosiy cheklashi,
 tengsizlik masalaning to`g`ri cheklashi deb ataladi.

 1Ta’rif: Masalaning barcha cheklashlarini qanoatlantiruvchi har bir n-vektor
 X shu masalaning rejasi deb ataladi.
 2Ta’rif: (4) masalaning yechimi bo`lgan , ya’ni

 xossaga ega bo`lgan reja optimal reja deyiladi.
 3Ta’rif: Agar x rejaning n-m ta komponentasi nolga teng bo`lib,qolgan
 (6)
 Komponentalariga chiziqli erkli (7)
 (7)
 Shartlar vektorlari mos bo`lsa,u bazis reja deb ataladi.
 to`plamni bazis indekslar to`plami , ni esa
 nobazis indekslar to`plami deb ataymiz.3- ta’rif quyidagiga teng kuchli:

 bo`lsa, basis reja bo`ladi.
 4-Ta’rif: Agar bazis rejaning barcha bazis o`zgaruvchilari (6) musbat
 ( ) bo`lsa, bazis reja buzilmagan deyiladi.
 Optimallik alomati. Faraz qilaylik,x bazis reja bo`lib, uning bazis
matritsasi bo`lsin.(4) masalani echishda savol tug`iladi:berilgan reja optimal
bo`ladimi?
 1-Teorema.(optimallik alomati). Qaralayotgan x bazis rejaning optimal
bo`lishi uchun
(15)
tengsizlikning bajarilishi yetarli,x reja buzilmagan(aynimagan) holda
zarur hamdir.
 3.Masala echilmaydigan bo`lishining etarlilik sharti
 Faraz qilaylik,qaralayotgan x bazis rejada optimallik alomati (15)
bajarilmasin,ya’ni biror uchun ( <0) baho manfiy bo`lsin.
 vektorning komponentalari musbat bo`lmagan holni qaraymiz:

 Bu holda (22) ga ko`ra ,barcha

 lar uchun komponenta manfiy bo`lmaydi,ya’ni
vektor ixtiyoriy uchun (4) masalaning rejasi bo`ladi.
 (23) dan ko`rinadiki ortishi bilan
rejada maqsad funksiyasining qiymati cheksiz ortadi.Shunday qilib ,biz
quyidagi teoremani isbotladik:
 2-Teorema.x bazis rejaning baholari orasida manfiy baho mavjud bo`lsa
 ( )
 va unga musbat bo`lmagan komponentalarga ega vektor mos
bo`lsa,u holda (4) masalaning maqsad funksiyasi x bazis rejaning
o`zgaruvchisi ortishi bilan cheksiz o`sadi.
 4.Geometrik usul.
CHekli sondagi yarimfazolar va gipertekisliklarning kesishuvi natijasida
hosil bo ` lgan to ` plam ko ` pyoqli to ` plam deb ataladi . Demak , chiziqli
programmalashtirish masalasining rejalar to ` plami – ko ` pyoqlikdir . Ko ` pyoqli
to ` plamda bazis rejaga chetki ( burchak ) nuqta ( uch ), ya ’ ni , to ` plamda to ` la
yotuvchi , noldan farqli hech bir chiziq kesmasining o ` rtasiga kiritish mumkin
bo ` lmagan nuqta mos keladi .
Geometrik usulni biz faqat ikki noma ’ lumli tenglamalar sistemasi uchun
qo ` llashimiz mumkin . Misollar orqali ko`rsatamiz:
1Misol.
Tengsizliklar sistemasini geometrik usulda yechamiz.
Bizda c qiymat vektorimiz ga teng.
 tenglamadan foydalanib,berilgan tengsizliklar sistemasining
 grafigini chizamiz:
 Demak , berilgan masalamiz minimum va maksimum qiymatiga , grafikda
hosil bo ` lgan uchburchakning uchlarida erishadi . Buni tekshirib ko ` ramiz :

 Uchburchak uchlaridagi nuqtalarni maqsad funksiyasiga qo ` yib masalaning
minimum va maxsimum qiymatlarini hisoblaymiz :
 Javob: max( )=10,min( )=0.
 5.Simpleks usul va uning fazalari.
SHunday maxsus misollar qurish mumkinki ,ular uchun simpleks usul
barcha bazis rejalarni saralab chiqishga keltiriladi,biroq simpleks usulni real
masalalarga qo`llash tajribasi ko`rsatadiki ,iteratsiyalar soni ,odatda, 2m dan
oshmaydi. Bu esa usulning juda yaxshi xarakteristikasidir,chunki bazis
rejalar soni n elementdan m tadan guruhlashlar soni
ga
yetishi mumkin.
Birinchi faza. Endi (4) masalani yuqorida keltirilgan qurishlarga asos
bo`lgan quyidagi xossalarsiz qaraymiz:
 1). rangA=m
 2). Masalaning cheklanishlari qarama-qarshi emas;
 3).Boshlang`ich bazis reja mavjud;
 Masalaning parametrlari yordamida yordamchi
 (37)
 masalani tuzamiz.Bu yerda - sun’iy
o`zgaruvchilarning m- vektori, birlardan tuzilgan m- vektor.
 Lemma: Berilgan (4) masalaning rejalar to`plami bo`sh bo`lmasligi uchun
 (37) masalaning ( ) yechimida komponentaning nolga teng
bo`lishi zarur va yetarli.
 Simpleks usul yordamida (37) masalani yechish (4) masalani yechishda
simpleks usulning birinchi fazasi deb,(37) masalaning o`zi esa birinchi faza
 masalasi deb ataladi.
 Minimallashtirishning ushbu chiziqli masalasi (38)
 maqsad funksiyasining ishorasini o`zgartirganda ,maksimallashtirish
masalasiga keltiriladi,ya’ni (38) masala quyidagi
 masalasiga ekvivalentdir.

 Agar asosiy cheklanishlarda biror tenglikning parametri manfiy
bo ` lsa , tenglikning har ikkala tomonini -1 ga ko ` paytirsak , masalaning
yechimi o ` zgarmaydi va cheklash kanonik ko ` rinishga keladi .
 Simpleks algoritmning chekliligini ko`rsatish uchun uning iteratsiyalarining
chekliligini ko`rsatish yetarlidir .
 Simpleks usulni yoritishda misollar ko`rib o`tamiz:
 Misol. Maxsus chiziqli tengsizliklar sistemasini yeching.
 Yechish. Bu masalani yechishda simpleks usuldan foydalanamiz.
 demak,masalani yechishimizda birinchi navbatda ushbu ishni amalga
oshiramiz:
 1.
 Ikkinchi qadam , A va b matritsalarimizni tuzib olamiz:
 2.
 ,
Uchinchi qadam esa,iteratsiyalar sonini aniqlaymiz:
,
To`rtinchi qadamda,birinchi iteratsiyaning bazis va nobazis vektorlarini
aniqlab ,birinchi simpleks jadvalimizni to`ldiramiz:
4.
 demak,masalani yechishimizda birinchi navbatda ushbu ishni amalga
oshiramiz:
 1.
 Ikkinchi qadam , A va b matritsalarimizni tuzib olamiz:
 2.
 ,
Uchinchi qadam esa,iteratsiyalar sonini aniqlaymiz:
,
To`rtinchi qadamda,birinchi iteratsiyaning bazis va nobazis vektorlarini
aniqlab ,birinchi simpleks jadvalimizni to`ldiramiz:
4.

 demak,masalani yechishimizda birinchi navbatda ushbu ishni amalga
oshiramiz:
 1.
 Ikkinchi qadam , A va b matritsalarimizni tuzib olamiz:
 2.
 ,
Uchinchi qadam esa,iteratsiyalar sonini aniqlaymiz:
,
To`rtinchi qadamda,birinchi iteratsiyaning bazis va nobazis vektorlarini
aniqlab ,birinchi simpleks jadvalimizni to`ldiramiz:
4.
 Ikkilanmalik nazariyasi.
 Ikkilanmalik nazariyasi deb , chiziqli programmalashning shunday bo ` limiga
aytiladiki , bu bo ` limda chiziqli programmalash masalalari yordamchi , ular
bilan uzviy bog ` liq bo ` lgan ikkilanma masalalar yordamida o ` rganiladi .
 Ikkilanma masala. Ushbu kanonik
 (1)
 masalani qaraymiz va bundan buyon uni chiziqli programmalashning to`g`ri
kanonik masalasi deb ataymiz.
 (5)
 (5) masala chiziqli programmalashtirishning ikkilanma(kanonik) masalasi
deb ataladi.
 Ikkilanmalik nazariyasi asosini mavjudlik teoremasi va ikkilanmalik
teoremasi hamda ulardan kelib chiqadigan to`g`ri va ikkilanma masalalar
yechimlari orasidagi ikkilanmalik munosabatlari tashkil qiladi.
 1-teorema. (Mavjudlik teoremasi). Chiziqli programmalashtirish
masalasining yechimi mavjud bo`lishi uchun uning to`g`ri va ikkilanma
rejalari to`plamlari-
 ning bo`sh bo`lmasligi zarur va yetarlidir.

 2-teorema.(Ikkilanmalik teoremasi) .CHiziqli programmalashtirish to`g`ri
masalasining yechimi mavjud bo`lishi uchun unga ikkilanma
masalaning
 yechimi mavjud bo`lishi zarur va yetarlidir.To`g`ri va ikkilanma maqsad
funksiyalarining , yechimlardagi qiymatlari o`zaro teng:
 Lemma. Agar --- kanonik masalaning buzilmagan optimal bazis rejasi
bo`lsa, unga mos ikkilanma masala rejaning potensiallar vektori bilan
ustma-ust tushuvchi yagona yechimga ega:
 Ikkilanma simpleks usul.
 Ikkilanma simpleks usul
 kanonik masalani unga ikkilanma bo`lgan ushbu
 masalaning rejalarini almashtirish yordamida yechishning maxsus usulidan
iborat.

Mavzu:Maxsus chiziqli tengsizliklar sistemasini yechish algoritmlari. Reja: 1.Bob. 1.Umumiy tushunchalar.CHiziqli tenglamalar sistemasi. 2.Kroneker-kapelli teoremasi. 3.CHiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Kramer formulasi. 4.Gauss usuli. 5.Teskari matrissa usuli. 2.Bob. 1.Maxsus chiziqli tengsizliklar sistemasini yechish algoritmlari. 2.Kanonik masala.Bazis reja. 3.Masala echilmaydigan bo`lishining etarlilik sharti. 4.Geometrik usul. 5.Simpleks usul va uning birinchi fazasi. 3.Bob. 1.Ikkilanmalik nazariyasi. 2.Ikkilanma simpleks usul. 4.Bob. 1. Yakuniy xulosalar 2. Foydalanilgan adabiyotlar.

1.Bob. 1. UMUMIY TUSHUNCHALAR. Matrissa va ular ustida amallar. ?????? × ?????? dona ?????? ???????????? ( ?????? = 1, ?????? , ?????? = 1, ?????? ) elementlardan tuzilgan to’g’ri burchakli jadval matritsa deyiladi va yoki ko’rinishda yoziladi. Matritsaning elementlari ikkita indekslar bilan belgilanadi. Elementning birinchi ?????? indeksi satr nomini, ikkinchi ?????? indeks esa ustunning nomerini bildiradi. Matritsaning ?????? ???????????? elementi ?????? − satr va ?????? − ustun kesishgan joyda joylashgan. Matritsalar odatda katta lotin harflari bilan belgilanadi: ?????? , ?????? , , . . . Agar matritsa ?????? ta satr va ?????? ta ustunga ega bo’lsa, u holda ta’rifga binoan, bu matritsa ?????? × ?????? o’lchovga ega bo’ladi. Zaruriyat bo’lganida matritsani ?????? ?????? × ?????? ko’rinishda ham belgilaymiz. Agar matritsaning ?????? ???????????? elementlari sonlar bo’lsa, bunday matritsa sonli matritsa deyiladi; agar matritsaning ?????? ???????????? elementlari funksiyalar bo’lsa, bunday matritsa funksional matritsa deyiladi; ?????? ???????????? elementlar vektorlar bo’lganda esa, vektor matritsa deyiladi va hokazo. Odatda A matritsani quyidagi ko‘rinishda ham yozish mumkin: A=(a i,j ),i= ,j= Bu yerda a ij sonlar matritsaning elementlari deb ataladi. Agar a i,j ( a i,j ) bo‘lsa A matritsa haqiqiy (kompleks) elementli matritsa deyiladi. Agar ?????? va ?????? matritsalarning mos ?????? ???????????? va ?????? ???????????? elementlari bir-biriga teng, ya`ni ?????? ???????????? = ?????? ???????????? bo’lsa, bunday ?????? va ?????? matritsalar teng matritsalar deyiladi. Faqat bir xil o’lchovli matritsalargina bir-biriga teng bo’lishi mumkin. Har xil o’lchovli matritsalarning bir-biriga teng bo’lishi yoki teng emasligi tushunchalari kiritilmagan. Satrlarining soni ustunlarining soniga teng

bo’lgan ( ?????? = ?????? ) matritsalar kvadrat matritsalar deyiladi. Agar ?????? = 1 bo’lsa, u holda satr-matritsaga ega bo’lamiz; agar ?????? = 1 bo’lsa, biz ustun-matritsaga ega bo’lamiz. Ular mos ravishda satr-vektor va ustun-vektor ham deb ataladi. ?????? − tartibli kvadrat matritsa berilgan bo’lsin: ?????? = Agar ?????? matritsaning determinanti noldan farqli ?????????????????? ?????? = bo’lsa, ?????? matritsaning barcha satr vektorlari chiziqli erkli bo`lsa xosmas(aynimagan )matritsa deyiladi. Agar barcha satr vektorlari chiziqli bog`langan ya’ni ?????????????????? ?????? = 0 bo’lsa, ?????? matritsa xos(aynigan )matritsa deyiladi. Matritsalarni qo’shish va ayirish Bir xil o’lchovli matritsalar ustida bu amallarni bajarish mumkin. ?????? va ?????? matritsalarning yig’indisi (ayirmasi) ?????? + ?????? ( ?????? − ?????? ) bilan belgilanadi. ?????? va ?????? matritsalarning ?????? + ?????? ( ?????? − ?????? ) yig’indisi (ayirmasi) deb shunday ?????? matritsaga aytiladiki, ?????? matritsaning elementlari ?????? ???????????? = ?????? ???????????? ± ?????? ???????????? dan iboratdir, bu yerda ?????? ???????????? va ?????? ???????????? - mos ravishda ?????? va ?????? matritsalarning elementlari. Matritsalarni ko’paytirish. ?????? ?????? × ?????? va ?????? ?????? × k matritsalarning ko’paytmasi deb - shunday ?????? × k = ?????? ⋅ ?????? (sodda qilib, ???????????? ) matritsaga aytiladiki, bu ?????? matritsaning elementlari ?????? ???????????? = ?????? ?????? 1 ?????? 1 ?????? + ?????? ?????? 2 ?????? 2 ?????? + ?????? ?????? 3 ?????? 3 ?????? +. . . + ?????? ???????????? ?????? ???????????? ko’rinishda bo’ladi, bu yerda ?????? ???????????? va ?????? ???????????? - mos ravishda ?????? va ?????? matritsalarning elementlari. Bundan ko’rinadiki, ?????? va ?????? matritsalarning ko’paytmasi ma’noga ega bo’lishi uchun ?????? matritsaning ustunlari soni ?????? matritsaning satrlari soniga teng bo’lishi zarur. Hosil

bo’lgan ???????????? ko’paytmaning satrlari soni ?????? matritsaning satrlari soniga, ustunlari soni esa ?????? matritsaning ustunlari soniga teng. 1.Ta’rif. Berilgan A matritsaning satrlarini ustunlari, ustunlarini satrlari bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan matritsa A matritsaga transponirlangan matritsa deyiladi va A T kabi belgilanadi, ya’ni A= bo`lsa, A T = . Xossa. Ixtiyoriy   , A va B matritsalar uchun quyidagilar o‘rinli: a)   A  A ; b) (  +  )  A   A   A ; c) (   )  A   (  A ); d) 1  A  A  1  A ; e)   (A  B)   A   B ; g) (   A)  B  A  (  B)   ( A  B ). 2-Ta’rif.A matritsaning rangi, deb noldan farqli barcha matritsa osti minorlarining eng katta tartibiga aytiladi va rang A yoki r( A) ko`rinishida ifodalanadi. ?????? matritsadan yaralgan determinantlar ichidan noldan farqlilarini ajratib olamiz. Ana shu noldan farqli determinantlar tartibining eng kattasi ?????? matritsaning rangi deyiladi ( ?????????????????????????????? deb belgilanadi). Agar ?????? matritsadan yaralgan ?????? −tartibli determinantlarning hammasi nolga teng bo’lsa, u holda ?????????????????????????????? < ?????? bo’ladi. Teorema 1. Quyidagi elementar (oddiy) almashtirishlar bajarilganda matritsaning rangi o’zgarmaydi: 1. Ixtiyoriy ikkita parallel qatorlarning o’rinlari almashtirilganda; 2. Qatorning har bir elementini bir xil ?????? ≠ 0 songa ko’paytirilganda;

3. Qatorning elementlariga ixtiyoriy boshqa qatorning mos elementlarini bir xil songa ko’paytirib qo’shganda. Agar berilgan matritsa kvadrat shaklda bo lsa, uning eng katta tartibli ʻ minori o ziga teng. Agar berilgan matritsa m ʻ  n chi tartibli bo lsa, u holda ʻ uning eng katta tartibli minorining tartibi k = min( n,m) bo ladi. Agar ʻ berilgan matritsa m  n chi tartibli bo lsa, u holda bu matritsadan ajratish ʻ mumkin bolgan k tartibli minorlar sonini  formula bilan topiladi, bu erda va ,n yoki m ta elementdan k tadan gruppalashlar soni. 3-Ta’rif: Bosh diagonali elementlari 1 ga teng bo‘lib, qolgan barcha elementlari 0 ga teng bo‘lgan n -tartibli kvadratik matritsa birlik matritsa deyiladi va birlik matritsa E kabi belgilanadi, ya’ni E= . Agar biror matritsa boshqa matritsadan elementar almashtirishlar yordamida hosil qilinsa, bunday matritsalar ekvivalent matritsalar deyiladi. ?????? va ?????? matritsalarning ekvivalentligi ?????? ∼ ?????? deb belgilanadi. Tartibi berilgan matritsaning rangiga teng bo’lgan noldan farqli har qanday minor matritsaning bazis minori deyiladi. * Ixtiyoriy tartibli determinant tushunchasi "n " -tartibli kvadrat matritsa berilgan bo‘lsin:

O'xshashlar

IKKI O’ZGARUVCHILI TENGSIZLIKLAR SISTEMASINI YECHISH USULLARI

Parametrga bog’liq chiziqli tenglamalar sistemasini yechish algoritmi.

Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini matritsaviy usulda yechish

C++ da chiziqli tenglamalar sistemasini yechish dasturini ishlab chiqish

ikki o'zgaruvchining chiziqli diofant tenglamalarni yechish algoritmi foydalanilgan adabiyotlar