Zarracha, Shakl, Deformatsiya tushuchalari. Deformatsiyalanuvchi muhitning harakati. Moddiy va fazoviy koordinatalar . Tutash muhit harakatiga Lagranj va Eyler nuqtai nazarlari Reja: 1. Tutash muhit harakatini Langranj nuqtai nazarida o’rganish. 2. Tutash muhit harakatini o’rganishda Eyler nuqtai nazari. 3. Langranj o’zgaruvchilaridan Eyler o’zgaruvchilariga o’tish va aksincha Eyler o’zgaruvchilaridan Lagranj o’zgaruvchilariga o’tish masalasi. Tayanch iboralar: uzliksiz harakat, Lagranj o’zgaruvchilari, Eyler o’zgaruvchilari, inersial kordinatalar sistemasi, harakat qonuni, kontinium nuqta, tezlik, tezlanish, harakat. 1. Tutash muhit harakatini Langranj nuqtai nazarida o’rganish Har qanday harakat singari tutash muhitning harakati ham biror x 1 , x 2 , x 3 koordinat sistemasiga nisbatan o’rganiladi. Odatda, kuzatuvchi uchun bu koordinat sistemasi sanoq sistemasi bo’ladi; sanoq sistemasi kuzatuvchi uchun ixtiyoriy ravishda, likin imkoni boricha qulay qilib tanlanadi. Amalda bunday sistema yer, quyosh, yulduzlar, samolyot va hokazolar bilan bog’liq bo’ladi. Nyuton mehanikasida (Evklid fazosida o’rinli bo’lgan mehanika) bir-biriga nisbatan o’zgarmas (vaqt bo’yicha) tezlik bilan ilgarilanma harakat qiluvchi inersial koordinat sistemalari fizik nuqtai nazardan muhim. Odatda Nyuton fizikasining hamma fizik qonunlari inersial sanoq sistemalarida keltiriladi va ular inersial koordinat sistemasining tanlanishiga bog’liq emas. Xuddi ana shu narsa mashhur Galiley- Nyuton prinsipining mohiyatini tashkil qiladi. Amaliyotda inersial koordinat sistemasi Dekart koordinatalar sistemasini tanlash mumkin.

Faraz qilaylik, biror hajmga ega bo’lgan tutash muhit bazis vektorlari iэ bo’lgan x i koordinatalar sistemasi berilgan bo’lsin ( 6.1.-chizma). Agar x i sifatida Dekart koordinatalari sistemasi tanlansa x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z va k э j э i э          3 2 1 , , bo’ladi. Hajmi V 0 bo’lgan muhitning biror M 0 nuqtasining dastlabki t = t 0 paytdagi koordinatalari i lar bo’lsin. U holda, bu nuqtaning x i sanoq sistemasiga nisbatan radius- vektori 0r  dastlabki i koordinatalarning funksiyasi bo’ladi. Muhitning harakati natijasida biror 0t t paytda M nuqta variantni oladi. Bunda uning radius- vektori r boshlang’ich i  koordinatalarning va t vaqtning funksiyasi bo’ladi ), ( t r r i  . (6.1) Agar bu ifoda koordinatalar orqali yozilsa, 6.1- chizma

),,,( 321 txx ii    (6.2) ko’rinishni oladi va M nuqtaning harakat qonunidan iborat bo’ladi. Bu yerdagi ), ( t x i i funksiya uzluksiz va  1 hamda t lar bo’yicha keragicha differensiallanuvchi deb hisoblanadi. Muhitning harakati natijasida uning hajmi biror V qiymatga erishadi. Bunda  i koordinatalar ham o’zgaradi. Agar muhitni u bilan bog’langan, uning harakatini kuzatib boruvchi yoki unga yuldosh  i koordinatalar sistemasiga nisbatan qaralsa bu sistema ham o’zgaruvchi bo’ladi. Bu sistema muhit bilan birgalikda cho’ziladi, siqiladi, egiladi va h.k. Ma’lumki 0    j ix Det  , ya’ni (6.2) tengliklarni  i larga nisbatan yechib, ularni bir qiymatli uzluksiz funksiyalar ko’rinishida tasvirlash mumkin  i =  i (x 1 , x 2 , x 3 , t ) (6.3) Harakati qaralayotgan alohida nuqtaning (t – t 0 ) vaqt davomidagi ko’chishini  t u r ,i      bilan belgilaymiz. U holda fiksirlangan  i koordinatalar uchun alohida nuqtaning tezligi r – radius-vektordan vaqt bo’yicha olingan hususiy hosilaga teng bo’ladi, ya’ni: t r t r v t           0 lim . (6.4) Bu yerdan ko’rinadiki, tezlik sanoq sistemasiga nisbatan hisoblanadi. Yo’ldosh koordinat sistemaga nisbatan esa muhit tinch holatda bo’ladi va shuning uchun alohida nuqtaning yo’ldosh sistemasiga nisbatan tezligi 0 ga teng boladi. Ma’lumki ,iiэ x r   u holda

ii ii эvэ tx v     (6.5) bu yerdan iii tx v tx v tx v                     3 32 21 1 ,, (6.5 1 ) Yuqoridagi (6.5) tenglikni vaqt bo’yicha differensiallab tezlanishning ifodasini topamiz ii э w t v w i               . (6.6) Agar sanoq sistemasi sifatida Dekart koordinatalari sistemasini qabul qilsak 22 1 t x w tv w i ii     (6.7) Kontinuum nuqtasini alohidalashtiruvchi  1 ,  2 ,  3 koordinatalar va t vaqt Lagranj o’zgaruvchilari deyiladi. Uzluksiz muhit nuqtalarining harakatini alohida – alohida o’zgarish va zaruriy parametrlarni (tezlik, tezlanish, zichlik, temperatura, energiya, kuchlanish, deformatisiya va h.k.)  i va t larning uzluksiz funksiyalari deb qarash tutash muhitning harakatini o’rganishga Lagranj nuqtai nazarini tashkil etadi. 2. Tutash muhit harakatini o’rganishda Eyler nuqtai nazari Faraz qilaylik bizni muhit har bir zarrachasining harakati emas balki vaqtning har hil daqiqalarida fazoning muhit zarrachasi o’tayotgan geometrik nuqtasida nimalar sodir bo’layotganligi qiziqtirsin. Vaqt o’tishi bilan ana shu geometrik nuqtaga muhitning har xil zarrachalari kelib ketadilar. Boshqacha aytganda muhit qaralayotgan nuqtadan “oqadi”. Endi tutash muhitning har bir zarrachasi harakatini o’rganish o’rniga (Lagranj nuqtai nazari) bu zarrachalar

fazoning ma’lum nuqtasidan qanday parametrlarga (tezlik, tezlanish, energiya va h.k.) ega holda o’tishini o’rganish mumkin. Bu esa tutash muhit harakatini o’rganishga Eyler nuqtai nazarini tashkil qiladi. Fazoning geometrik koordinatalari x i va t vaqt Eyler koordinatalari deyiladi. Eyler nuqtai nazari buyicha tezlik, tezlanish, temperatura va boshqa parametrlar x i koordinatalar va t vaqtning funksiyalari sifatida berilgan bo’lsalar harakat aniq deb hisoblanadi. Vaqt t ning har hil va x i koordinatalarning fiksirlangan qiymatlarida )3,2,1 ( ) t, x( ), t, x( ),t, x( i i i     i T T w w v v     . Funksiyalar vaqt o’tishi bilan fazoning qaralayotgan nuqtasidan o’tayotgan zarrachalarning tezligi, tezlanishi, harorati va h.k. o’zgarishini aniqlaydilar. Agar t vaqt fiksirlangan bo’lib x i koordinatalar o’zgarsalar yuqoridagi funksiyalar vaqtning berilgan t daqiqasi uchun harakat parametrining fazodagi taqsimlanishini aniqlaydilar. Nihoyat, agar x i koordinatalar ham t vaqt ham o’zgarsalar bu funksiyalar vaqtning har hil daqiqasi uchun harakat parametrlarining fazoda taqsimlanishini, ya’ni tutash muhitning harakat parametrlarini ifodalaydi. 3. Langranj o’zgaruvchilaridan Eyler o’zgaruvchilariga o’tish va aksincha Eyler o’zgaruvchilaridan Lagranj o’zgaruvchilariga o’tish masalasi Endi Lagranj o’zgaruvchilaridan Eyler o’zgaruvchilarga va aksincha, Eyler o’zgaruvchilaridan Lagranj o’zgaruvchilarga o’tish masalasini qaraymiz. Faraz qilaylik muhitning harakati Lagranj o’zgaruvchilarida berilgan bo’lsin, ya’ni harakat qonuni (6.2) ko’rinishda berilgan bo’lsin. Bu sistemani i  larga nisbatan yechib (6.3) ko’rinishdagi harakat qonuniga ega bo’lamiz. Bu esa Eyler