logo

Tengsizliklarni isbotlashni ba’zi usullari

Yuklangan vaqt:

10.08.2023

Ko'chirishlar soni:

0

Hajmi:

325.1611328125 KB
“ Tengsizliklarni isbotlashni 
ba’zi usullari’’                   Mundare ja:
1-Bob.   SON LI  TEN GSIZLI KLA R
1.1.SoNLI TENGSIZLIKLAR VA ULARNING UMUMIY XOSSALARI.
1.2.SONLI TENGSIZLIKLARGA OID OLIMPIADA MASALALARI ISBOTI.
2-Bob.   O’RTA QIY MATLAR VA ULAR O’RTASIDAGI MUN OSA BATLA R
2.1.   O’rta qiymatlar orasidagi munosabatlarning  geometrik ma’noda isbotlari.  
2.2. Koshi tengsizligi va uning turli xil isbotlari .
2.3. Koshi tengsizligi yordamida olimpiada tengsizliklarini yechish.
3-Bob.   KOSHI-SHVARS TEN GSIZLI GI VA  N OSTAN DART TEN GSI ZLI KLAR
3.1. Koshi –Shvars tengsizligi va uning turli isbotlari 
3.2. Koshi –Shvars tengsizligi yordamida olimpiada masalalarini yechish
3.3.Nostandart tengsizliklar va ularning turli xil isbotlari
3.4. Mustaqil yechish uchun masalalar
  Xulosa.
Foydalanilgan adabiyotlar.                   Kirish
         Masalaning dolzarbligi . Ushbu malakaviy bitiruv ishi   tengsizliklar va                 
ularning turli xil isbotlarini o’rganish bilan bag’ishlanadi . Tengsizliklarni isbotlashning 
yangi samarali usullari va ularni qo’llanishiga doir turli  matematik olimpiadalardagi 
masalalar keltirilgan. Umumiy o’rta ta’lim maktablari, akademik litseylar va kasb–hunar   
kollejlarining iqtidorli o’quvchilari, matematika fani o’qituvchilari hamda    pedagogika oliy 
o’quv yurtlari talabalari uchun mo’ljallangan. Qo’llanmadan sinfdan tashqari 
mashg’ulotlarda, o’quvchilarni turli matematik      musobaqalarga tayyorlash jarayonida 
foydalanish mumkin.
 
Masalaning qo'y ilishi . Malakaviy bitiruv ishida Sonli tengsizliklar va ularning umumiy 
xossalari va ularga oida olimpiada tengsizliklari yechimlaridan namunalar ,O’rta qiymatlar 
va ular orasidagi bir nechta munosabatlar va Koshi tengsizligi uning isboti va unga oid bir 
nechta murakkab olimpiada masalalari ,                   Klassik  t engsizlik larning geomet rik  
manosi.
1.Masal a.  M   nuqta  O   markazli aylanadan tashqarida yotibdi.  OM   to‘g‘ri chiziq aylanani  A   va  B   nuqtalarda 
kesib o‘tadi.  M   nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq aylanaga  C   nuqtada urinadi. H   nuqta —  C   nuqtaning  AB   dagi 
proyeksiyasi,  AB   ga  O   nuqtada o‘tkazilgan perpendikulyar aylanani  P   nuqtada kesib o‘tadi.  MA   =a  va  MB   =b  
ekani ma’lum.  MO ,  MC ,  MH ,  MP   larni toping va o‘sish tartibida yozing.
Ye chish :  Aniqlik uchun a<b    deb qabul qilib olamiz .                   O   nuqta —  AB   kesmaning o‘rtasi, shuning uchun:     
2 2MA MB
a b
MO +
+
= =
Urinma va kesuvchi haqidagi teoremaga asosan:MC MA MB ab	= × =
CH   —bu  OCM   to‘g‘ri burchakli uchburchakning to‘g‘ri burchagi uchidan tushirilgan balandligi,shuning uchun 	
2	
2	
.	
2	
MC	ab ab	
MH	
a b a b	MO	
= = =	
+ +
MOP to’g’ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasi qo’llab,quyidagini topishimiz mumkin:
 	
2 2	2 2	2 2 2 2	
2 2 2	
a b b a a b	
MP MO OP MO OA	
æ ö æ ö	+ - +	÷ ÷	ç ç	÷ ÷	= + = + = + =	ç ç	÷ ÷	ç ç	÷ ÷	ç çè ø è ø
MH   kesma —  MC   gipotenuzali  MCH   to‘g‘ri burchakli uchburchakning kateti, shuning uchun 
MH  <MC                   MC   kesma —  MO   gipotenuzali  MOC   to‘g‘ri burchakli uchburchakning kateti, shuning uchun
MC  <  MO
MO   kesma —  MP   gipotenuzali  MOP   to‘g‘ri burchakli uchburchakning kateti, shuning uchun
MO  <  MP
Ya’ni,  MH  <  MC <  MO  <  MP , yoki2 2	2	
.	
2 2	
ab a b a b	
ab	
a b	
+ +	
< < <	
+                       aytaylik ,   ,  	a b c    sonlari musbat haqiqiy sonlar bo’lsin. U holda ushbu 	
3
2	
a b c	
b c a c a b	
+ + ³	
+ + +
Tengsizlikni isbotlang.
YECHI M:  Berilgan tengsizligimizni isbotlash uchun quyidagicha almashtirishlar 
olsak	
,   ,  	a b x b c y a c z	+ = + = + =
va bizda quyidagi 	
a b x
b c y
a c z	
ìï	+ =	ï
ï
ï	
+ =	í
ï
ï	
+ =	ï
ïî
  tenglamalar 
sistemasi xosil bo’ladi biz uni 	
,   ,  a b c
ga nisbatan yechib olsak (Albaniya -2004)                    a x z y	= + -	b x y z	= + -	c y z x	= + -	 ;	
;
  . yuqoridagi tengsizligimiz quyidagi ko’rinishga 
keladi 	
2 2 2	
a b c x z y x y z y z x	
b c a c a b y z x	
+ - + - + -	
+ + = + +	
+ + +
Endi 	
3	
2 2 2 2	
x z y x y z y z x	
y z x	
+ - + - + -	
+ + ³
ekanligini isbotlaymiz Buning uchun 	
1 1 1	
1 1 1	
2 2 2 2 2 2	
x z y x y z y z x x z x y y z	
y z x y y z z x x	
æ ö æ ö æ ö	+ - + - + -	÷ ÷ ÷	ç ç ç	÷ ÷ ÷	+ + = + - + + - + + -	ç ç ç	÷ ÷ ÷	ç ç ç	÷ ÷ ÷	ç ç çè ø è ø è ø
ekanligidan .	
1	
3	
2 2 2 2	
x z y x y z y z x x z x y y z	
y z x y y z z x x	
æ ö	+ - + - + -	÷	ç	÷	+ + = + + + + + -	ç	÷	ç	÷	çè ø                  ko’rinishga keladi .
Koshi tengsizligiga ko’ra 2
2
2	
x z
y y
x y
z z
y z
x x	
ìï
ï	+ ³	ï
ï
ï
ï
ïï	+ ³	í
ï
ï
ï
ï
ï	+ ³	ï
ï
ïî
tengsizlik doim o’rinli 
Demak tengsizlik	
(	)	
1 1 3	
3 2 2 2 3	
2 2 2 2 2 2	
x z y x y z y z x x z x y y z	
y z x y y z z x x	
æ ö	+ - + - + -	÷	ç	÷	+ + = + + + + + - ³ + + - =	ç	÷	ç	÷	çè ø
isbotlandi .                   3-$.  KOSHI -BUN YA KOV SKIY -SHVARTS TEN GSI ZLI GI VA  
N OSTA N DA RT TEN GSI ZLI KLAR.:	T eorema	         	a va b haqi qiy sonlar uchun
  :  	
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2	...... ..... .....	n n n n	a a a a b b b b a b a b a b	+ + + + × + + + + ³ + + +
yoki 	
(	)	(	)	(	)
2	2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2	...... ..... .....	n n n n	a a a a b b b b a b a b a b	+ + + + × + + + + ³ + + +	
2	
2 2	
1 1 1	
n n n	
k k k k	
k k k	
a b a b	
= = =	
æ ö æ ö æ ö	
÷ ÷ ÷	ç ç ç	÷ ÷ ÷	× £ ×	ç ç ç	÷ ÷ ÷	ç ç ç	÷ ÷ ÷	ç ç çè ø è ø è ø	
å å å
tengsizliklar ixtiyoriy haqiqiy 	,  	a b
  larda o’rinlidir .  Koshi- Bunyakovskiy  tengsizligi                   (Koreya -2000)  a, b, c haqiqiy musbat sonlar uchun  o'rinli bo'lsa, quyidagi 1	
¿	¿
Isbot : 
Koshi-Shvarz tengsizligi ga  moslab quyidagicha o’zgartirish kiritamiz	
1	
¿	¿
Koshi-Shvarz tengsizligi   va	
??????????????????	=	1
dan foydalansak,                   ≥	
(	
1
??????	
+	
1
??????	
+	
1
??????	)	
2	
¿	¿Isbot tugadi.                   , ,	a b cmusbat sonlar uchun	(	)	2001	X MO	-	
(	)	(	)	
2	
3 3 3	1 1 1	
a b c a b c	
a b c	
æ ö	
÷	ç	
÷	+ + + + ³ + +	ç	÷	ç	÷	çè ø
tengsizlikni isbotlang.	
:	I S B OT
Tengsizlikni isbotlash uchun quyidagi vektorlarni qaraymiz	
{	}	
1 1 1	
; ;   va  ; ;	m a a b b c c n	
a b c	
ì üï ï
ï ï	
= =	í ý
ï ï
ï ïî þ	
ur ur
u holda 	
3 3 3	1 1 1	
,	m a b c n	
a b c	
= + + = + +	
ur ur                   va m n a b c	× = + +	
ur ur	
????????????????????????	 ????????????????????????????????????????????????	 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????	 ??????????????????????????????????????????	
m n m n	× £ ×	
ur ur ur ur
bo’lganligi uchun berilgan tengsizligimiz quyidagicha isbotlanadi .	3 3 3	1 1 1	a b c a b c	a b c	+ + £ + + × + +	
3 3 3	1 1 1	
a b c a b c	
a b c	
+ + £ + + × + +
bu tengsizlikni kvadratga oshirib 	
(	)	(	)	
2	
3 3 3	1 1 1	
a b c a b c	
a b c	
æ ö	
÷	ç	÷	+ + + + ³ + +	ç	÷	ç	÷	çè ø
Yuqoridagi tengsizlikni isbotlaymiz                   X ULOSA
Tengsizliklarni isbot qilishda m а kt а b d а rslikl а rid а  v а  olimpi а d а l а rd а  uchr а ydig а n 
а sosiy tengsizlikl а r yechilish usull а rig а  nisb а t а n kv а lifikatsiyalanadi. Har bir yechilish 
usuliga oid turli qiyinchilikdagi  misollar yechib kursatiladi.
Malakaviy bitiruv ishida maktab darsliklaarida uchraydigan olimpiada masalalaridan 
bir nechtasi isbotlab ko’rsatilgan   va asosiy t e ngsilik lar o’rganilgan.
Maktab olimpiadasida uchraydigan bir nechta masala yechib ko’rsatildi.
Malakaviy bitiruv ishi kirish qismi, uchta bob va  to’qqizta   paragraf, xulosa va      foydalanilgan 
adabiyotlar ro’yxatidan iborat.
                    E’TIBORLARINGIZ UCHUN
RAHMAT!

“ Tengsizliklarni isbotlashni ba’zi usullari’’

Mundare ja: 1-Bob. SON LI TEN GSIZLI KLA R 1.1.SoNLI TENGSIZLIKLAR VA ULARNING UMUMIY XOSSALARI. 1.2.SONLI TENGSIZLIKLARGA OID OLIMPIADA MASALALARI ISBOTI. 2-Bob. O’RTA QIY MATLAR VA ULAR O’RTASIDAGI MUN OSA BATLA R 2.1. O’rta qiymatlar orasidagi munosabatlarning geometrik ma’noda isbotlari. 2.2. Koshi tengsizligi va uning turli xil isbotlari . 2.3. Koshi tengsizligi yordamida olimpiada tengsizliklarini yechish. 3-Bob. KOSHI-SHVARS TEN GSIZLI GI VA N OSTAN DART TEN GSI ZLI KLAR 3.1. Koshi –Shvars tengsizligi va uning turli isbotlari 3.2. Koshi –Shvars tengsizligi yordamida olimpiada masalalarini yechish 3.3.Nostandart tengsizliklar va ularning turli xil isbotlari 3.4. Mustaqil yechish uchun masalalar Xulosa. Foydalanilgan adabiyotlar.

Kirish Masalaning dolzarbligi . Ushbu malakaviy bitiruv ishi tengsizliklar va ularning turli xil isbotlarini o’rganish bilan bag’ishlanadi . Tengsizliklarni isbotlashning yangi samarali usullari va ularni qo’llanishiga doir turli matematik olimpiadalardagi masalalar keltirilgan. Umumiy o’rta ta’lim maktablari, akademik litseylar va kasb–hunar kollejlarining iqtidorli o’quvchilari, matematika fani o’qituvchilari hamda pedagogika oliy o’quv yurtlari talabalari uchun mo’ljallangan. Qo’llanmadan sinfdan tashqari mashg’ulotlarda, o’quvchilarni turli matematik musobaqalarga tayyorlash jarayonida foydalanish mumkin.   Masalaning qo'y ilishi . Malakaviy bitiruv ishida Sonli tengsizliklar va ularning umumiy xossalari va ularga oida olimpiada tengsizliklari yechimlaridan namunalar ,O’rta qiymatlar va ular orasidagi bir nechta munosabatlar va Koshi tengsizligi uning isboti va unga oid bir nechta murakkab olimpiada masalalari ,

Klassik t engsizlik larning geomet rik manosi. 1.Masal a. M nuqta O markazli aylanadan tashqarida yotibdi. OM to‘g‘ri chiziq aylanani A va B nuqtalarda kesib o‘tadi. M nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq aylanaga C nuqtada urinadi. H nuqta — C nuqtaning AB dagi proyeksiyasi, AB ga O nuqtada o‘tkazilgan perpendikulyar aylanani P nuqtada kesib o‘tadi. MA =a va MB =b ekani ma’lum. MO , MC , MH , MP larni toping va o‘sish tartibida yozing. Ye chish : Aniqlik uchun a<b deb qabul qilib olamiz .

O nuqta — AB kesmaning o‘rtasi, shuning uchun: 2 2MA MB a b MO + + = = Urinma va kesuvchi haqidagi teoremaga asosan:MC MA MB ab = × = CH —bu OCM to‘g‘ri burchakli uchburchakning to‘g‘ri burchagi uchidan tushirilgan balandligi,shuning uchun 2 2 . 2 MC ab ab MH a b a b MO = = = + + MOP to’g’ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasi qo’llab,quyidagini topishimiz mumkin:   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b a a b MP MO OP MO OA æ ö æ ö + - + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = + = + = + = ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç çè ø è ø MH kesma — MC gipotenuzali MCH to‘g‘ri burchakli uchburchakning kateti, shuning uchun MH <MC