Hilbert fazolarida o’z-o’ziga qo’shma
![Kirish
Masalaning qo'yilishi. d-o'lchamli Zd
; d �3; kubik panjarada ^ v
tashqi maydonidagi ikkita zarrachalarning o'zaro ta'sirini tasvirlovchi b
H b
V (
k ) =
b
H 0(
k ) + b
V Schr�odinger operatorlarning keng sin�ni tadqiq qilish. Ikki
zarrachali b
H b
V (0) Schr�odinger operatorining xos qiymatlarini mavjudligi
yoki yo'qligi ^ vpotentsialga va Zd
; d �3; panjaraning o'lchamiga bog'liq
holda o'rganish hamda b
H b
V (0) Schr�odinger operatorining
�
ess (b
H b
V (0)) muhim
spektridan quyida xos qiymatlari mavjudligi yoki yo'qligi uchun teore-
malarni isbotlash. Mavzuning dolzarbligi. Ikki zarrachali diskret Schr�odinger operator-
larining spektral xossalari keyingi yillarda faol o'rganilmoqda (masalan [1]{
[5] va [6]{[11] larni qarang).
Uzluksiz Schr�odinger operatori muhim spektrning chapida yotuvchi disk-
ret spektri (xos qiymatlari)ning mavjudligi faqat zarrachalar ta'sir ener-
giyasi �b
V ; � > 0 ga bog'liq bo'ladi ([6],[7],[8],[13]).
Ammo, ikki zarrachali diskret Schr�odinger operatorlari uchun xos qiy-
matlarning mavjudligi va soni faqatgina ta'sir potentsiali �b
V ga bog'liq
bo'lmasdan balki sistema kvazi-impulsiga ham bog'liqdir. O'lchami d� 3 bo'lgan panjarada ikkita ixtiyoriy zarrachali sistemaga
mos diskret Schr�odinger operator b
H (k ) ning diskret spektri mavjudligi sis-
tema kvazi-impulsining barcha qiymatlari uchun [1] da o'rganilgan. Uch o'lchamli panjaradagi Schr�odinger operatorlari uchun xos qiymat-
larning mavjudligi va xos qiymatlar o'rnining kontakt va qo'shni tugun-
larda juft-jufti bilan o'zaro ta'sirlashuvchi potentsialga bog'liqligi [10] da
keltirilgan. Schr�odinger operatori b
H (k ) ning xos qiymatlari soni uchun chegaralar
[3] va [4] maqolalarda keltirilgan. Xususan, b
H (k ) operatorning muhim
spektridan chapda xos qiymatlarning mavjudligi ko'rsatilgan.
Dissertatsiya ishining maqsadi va vazifalari. Ushbu magistrlik dis-
sertatsiya ishida d-o'lchamli Zd
; d �3; kubik panjarada ^ vtashqi may-
donidagi ikkita zarrachalarning o'zaro ta'sirini tasvirlovchi b
H b
V (
k ) = b
H 0(
k )+ b
V Schr�odinger operatorining muhim spektri o'rni, Zd
; d � 2](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_2.png)
![Misol 1.1.1. Z
1
� butun sonlar to'plami yordamida Zd
= Z1
� Z1
� � � Z1
| {z }
d marta
ya'ni uning dmarta o'z-o'ziga Dekart ko'paytmasini aniqlaymiz. Bu to'plam
d o'lchamli butun qiymatli panjara deyiladi. Demak,
Z d
= fs = ( s
1; s
2; :::; s
d) :
s
k 2
Z1
; k = 1 ; :::d g:
Z d
panjarada selementning moduli deb js j = d
P
k =1 j
s
kj
songa aytiladi.
Quyidagi shartni qanoatlantiruvchi barcha f:Z d
! Cfunksiyalar fazosini
qaraymiz: X
s 2 Zd j
f (s )jp
< 1;
bunda pbiror tayinlangan musbat son. Ushbu fazoda qo'shish va songa
ko'paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz: 1.8f ; g uchun
(f + g)( x) = f(x ) + g(x );
2. 8� 2 C va fuchun
(�f )(x) = �f(x ):
Nol element �(x) � 0:f (�) ga qarama-qarshi element �f(�) kabi aniqlanadi.
Hosil bo'lgan fazo `
p(
Z d
) kabi belgilanadi va chiziqli fazo bo'ladi.
Darhaqiqat, agar f2 `
p(
Z d
) bo'lsa, yaqinlashuvchi qatorning xossalariga
binoan ixtiyoriy �2 C uchun �f2`
p(
Z d
) bo'ladi. 8f ; g 2`
p(
Z d
) uchun
f + g2 `
p(
Z d
) ekanligi Minkovskiy tengsizligiga asoslanadi. Demak `
p(
Z d
)
fazo qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq. Misol 1.1.2. Faraz qilamiz,
T1
= ( ��; � ]bo'lsin. T1
da qo'shish va
songa ko'paytirish amallarini haqiqiy sonlarni 2� modul bo'yicha qo'shish
va songa ko'paytirish sifatida kiritamiz, masalan
� 2
+
�= 3
� 2
=
�� 2
(
mod 2� );
6 �� 5
= 2
�� 4
� 5
=
�4
� 5
(
mod 2� ):
Ushbu to'plam bir o'lchamli tor deb ataladi.Td
bilan do'lchamli tor,
ya'ni Td
= T1
� T1
� � � T1
| {z }
d marta
ni belgilaymiz. 5](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_5.png)
![d
o'lchamli tor Td
da aniqlangan, Haar ma'nosida o'lchovga ega va
Z
T d j
f (q )jp
dq < 1
shartni qanoatlantiruvchi barcha f:T d
! Cfunksiyalarning chiziqli fa-
zosini qaraymiz, bunda integralda o'lchov Haar ma'nosida olinadi va p
tayinlangan musbat son. Elementlarni qo'shish va songa ko'paytirish odatdagi
funksiyalarni qo'shish va songa ko'paytirish kabi, ya'ni 1.1.7 misoldagidek
kiritiladi. Hosil bo'lgan fazo L
p(
T d
) kabi belgilanadi. Demak, bu fazoning
elementlari Rd
da aniqlangan va har bir o'zgaruvchisi bo'yicha 2� davrga
ega bo'lgan funksiyalardir. Bu yerda ham ushbu fazo qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nis-
batan yopiq: agar f2 Td
bo'lsa, integralning xossalariga ko'ra ixtiyoriy
8 � 2 C uchun �f2L
p(
T d
) bo'ladi. 8f ; g 2L
p(
T d
) uchun f+ g2 L
p(
T d
)
ekanligi esa Minkovskiyning integral tengsizligidan kelib chiqadi. Nol ele-
ment �(x) � 0kabi, f(�) ga qarama-qarshi element �f(�) kabi aniqlanadi.
Demak, L
p(
T d
) ham chiziqli fazo bo'ladi. Misol 1.1.3. [
a; b ]da aniqlangan va shu segmentdagi hamma kritik nuq-
talari aynimagan bo'lgan funksiya Morse funksiyasideyiladi.[a; b ]da
aniqlangan Morse funksiyalari to'plami M[a; b ]kabi belgilanadi. Biroq,
qo'shish va songa ko'paytirish amallari odatdagidek kiritilsa, M[a; b ]chiz-
iqli fazo bo'lmaydi. Xususan, M[� 1;1] da x2
va �x2
funksiyalar Morse
funksiyalari bo'ladi, ammo uning yig'indisi x2
+( �x2
) = 0 Morse funksiyasi
emas.
Vchiziqli fazo bo'lsin. Agar p:V ! Rakslantirish 1. p
(x ) � 0; 8x 2 V va p(x ) = 0 !x= 0 , 2. p
(�x ) = j� jp (x ); 8 x 2 V va 8� C , 3. p
(x + y) � p(x ) + p(y ); 8x; y 2V
munosabatlarni qanoatlantirsa, unga Vfazoda aniqlangan normadey-
iladi. Norma aniqlangan fazolar normalangan fazolardeyiladi. Bitta
chiziqli fazo normaning aniqlanishiga ko'ra bir necha xil normalangan fa-
zolarga aylantirilishi mumkin. Odatda norma k � kkabi belgilanadi. Misol 1.1.4. `
1
1 (
Z d
); `
0(
Z d
) va `
p(
Z d
); p > 0fazolarda normani
k f k = sup
x2 Zd j
f (x )j
funksional yordamida kiritish mumkin. 6](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_6.png)
![1.2.1 Hilbert fazosida qism to'plamlar
Faraz qilamiz, H- Hilbert fazosi bo'lsin. Ushbu
B (x
0; r
) = fx 2 H :kx � x
0k
< r g
to'plam Hdagi markazi x
0 nuqtada va radiusi
rga teng bo'lgan ochiq
shar deyiladi. Xuddi shunday
B[x
0; r
] = fx 2 H :kx � x
0k �
rg
to'plam Hdagi markazi x
0 nuqtada va radiusi
rga teng bo'lgan yopiq
shar deyiladi. x
0 2
H nuqtaning atro� deganda markazi shu nuqtada
bo'lgan ixtiyoriy ochiq sharni tushunamiz. x
0 2
H nuqtaning "atro�
deganda esa B(x
0; "
) sharni tushunamiz. Ta'rif 1.2.2. Agar
M�H to'plam biror B(x
0; r
) sharda saqlansa, u
chegaralangan to'plam deyiladi.Ta'rif 1.2.3. M
to'plam Hning biror qism to'plami bo'lsin. Agar har bir
x 2 M nuqta biror atro� bilan Mga tegishli bo'lsa, bu to'plam Hfazoda
ochiq to'plam deyiladi.
Agar x
0 2
H nuqtaning istalgan atro�da Mning biror elementi mavjud
bo'lsa, u holda bu nuqta Mning urinish nuqtasi deyiladi.Mto'plam-
ning barcha urinish nuqtalari to'plami uning yopig'ideb ataladi va [ M]
kabi belgilanadi. Tushunarliki, M�[M ] . Ta'rif 1.2.4. Agar
M= [M]bo'lsa, Myopiq to'plam deyiladi.
Faraz qilamiz, H� Hilbert fazosi, MvaNuning qism to'plamlari bo'lsin.
Agar M�[N ] munosabat ba jarilsa, Nto'plam Mda zich deyiladi. Misol
uchun irratsional sonlar to'plami ratsional sonlar to'plamida zich. Xususan,
agar M= [H] bo'lsa, Mto'plam Hda zich deyiladi. Agar Mto'plam
H dagi birorta ham sharda zich bo'lmasa bu to'plam Hning hech qay-
erida zich emas deyiladi. Misol uchun butun sonlar to'plami Z1
haqiqiy
sonlar fazosi R1
ning hech qayerida zich emas. Ta'rif 1.2.5. Agar Hilbert fazosida hamma yerda zich sanoqli to'plam
mavjud bo'lsa, u separabel Hilbert fazosi deyiladi.Misol 1.2.1. L
2(
T d
) separabel Hilbert fazosi bo'ladi. Bu fazoda qiymatlari
to'plami chekli yoki sanoqli bo'lgan kompleks qiymatli funksiyalar to'plami 11](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_11.png)
![zich. Haqiqatan ham haqiqiy qiymatli
g(x ) funksiya uchun barcha x2 Td
larda g(x ) � 1 n
�
[
ng (x )] n
�
g(x )
va demak lim
n !1 [
ng (x )] n
=
g(x )
munosabatlar bajariladi, bunda [q ]� q ning butun qismi. Endi agar istalgan
f 2 L
2(
T d
) uchun
fn(
x ) = [
nRef (x )] n
+
i[
nI mf (x )] n
ketma-ketlikni aniqlasak, bu ketma-ketlikning qiymatlari to'plami chekli yoki
sanoqli va shuningdek, f
n(
x ) ! f(x ); n ! 1 . Qiymatlari chekli yoki
sanoqli bo'lgan funksiyalar odatda sodda funksiyalardeyiladi. Sodda
funksiyalar esa sanoqlidir.
Demak, L
2(
T d
) separabel Hilbert fazosi bo'ladi. Misol 1.2.2. `
2(
Z d
) ham Hilbert fazosidir. Bu fazoda ushbu to'plamni
aniqlaymiz:
Pn =
f^
f 2 `
2(
Z d
) : ^
f (s ) = 0 ;agar js j > n g;
bunda nchekli natural son.
U= [
n 2 N ;n< 1P
n
bo'lsin. Tushunarliki, U`
2(
Z d
) da zich. Chunki ixtiyoriy " >0va istalgan
^
f 2 `
2(
Z d
) uchun shunday n
0 2
N mavjudki, 8n > Nlarda
X
s 2 Zd
;j s j>n j
^
f (s )j2
< "
munosabat bajariladi. Bundan foydalanib, ^
f n(
s ) = �
^
f (s ); agar js j � 0;
0 ; agar js j > n:
funksiyalar ketma-ketligini qursak, u holda ^
f n 2
U va
lim
n !1 k
^
f n � ^
f k = 0
ya'ni, Uning `
2(
Z d
) da zichligi kelib chiqadi. Agar U
q deb
Udagi rat-
sional qiymatli funksiyalar to'plamini belgilasak, unda U
q to'plam
Uda
va demak `
2(
Z d
) da zich. U
q to'plam sanoqli ekanligidan
`
2(
Z d
) ning sep-
arabel ekanligi kelib chiqadi. 12](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_12.png)
![Teorema 1.10.1. k
A k = max fjm j; jM jg.
Ma'lumki, �(A ) kA k radiusli doira ichida saqlanar edi. O'z-o'ziga qo'shma
operatorlar uchun esa bu baholash yanada aniqroq. Teorema 1.10.2. �
(A )� [m; M ]. Shuningdek, m; M2�(A ) . Natija 1.10.1. Har qanday chegaralangan o'z-o'ziga qo'shma operatorning
spektri bo'sh emas. Teorema 1.10.3. O'z-o'ziga qo'shma operatorning har xil xos qiymatlariga
mos keluvchi xos vektorlari ortogonal. Teorema 1.10.4. A
o'z-o'ziga qo'shma operator bo'lsin. zsoni Aoper-
ator uchun xos qiymat bo'lishi uchun R
(A � zI )6
= H bo'lishi yetarli va
zarur. Natija 1.10.2. z
xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar fazosi R(A �
zI )ning ortogonal to'ldiruvchisidan iborat.
O'z-o'ziga qo'shma operatorning spektrini quyidagicha tavsi
ash ham
mumkin: agar R(A � zI)6
= R
(A � zI ) bo'lsa, zsoni Aoperatornng
uzluksiz spektriga tegishli bo'ladi. Va agar R
(A � zI )6
= H bo'lsa, zsoni
A operatorning nuqtali spektriga tegishlidir. Teorema 1.10.5. Faraz qilamiz,
A2L(H )� o'z-o'ziga qo'shma operator,
M �H ning biror qism fazosi. Agar A(M )� M bo'lsa, u holda
� H (
A ) = �
M (
A )[ �
M ?
(A ):
Bu yerda �
X (
A ) A :X �! Xoperatorning spektri. Teorema 1.10.6. Faraz qilamiz,
A� H Hilbert fazosidagi o'z-o'ziga qo'shma
operator bo'lsin. U holda Aqoldiq spektrga ega emas.
1.11 Kompakt operatorning spektri H Hilbert fazosi, A2L(H )� o'z-o'ziga qo'shma operator bo'lsin. Teorema 1.11.1. Kompakt operatorning nolmas
zxos qiymatiga mos
keluvchi X
z xos fazosi chekli o'lchamli. Teorema 1.11.2. Istalgan
� >0son uchun kompakt operator xos qiymat-
larining moduli �dan katta bo'lganlari soni chekli. 34](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_34.png)
![2.2 Impuls tasviri
Faraz qilaylik, Td
; d �3 -o'lchamli tor bo'lsin, ya'ni, ( ��; � ]d
- qarama-
qarshi chegaralari bitta nuqtani ifodalovchi kub, va L2
(T d
; � ); Td
da kvadrati
bilan integrallanuvchi funksiyalarning Hilbert fazosi bo'lsin hamda �esa
tordagi (normallangan) Haar o'lchovi: �= d
d
p (2
�)d
:
Faraz qilaylik,
F:`2
(Z d
) ! L2
(T d
; � ); (F ^
f )( p) = X
x 2 Zd e
i(
p;x )
^
f (x )
odatdagi Fourier almashtirishi va F�
1
esa uning teskarisi bo'lsin:
F �
1
:L 2
(T d
; � )! `2
(Z d
); (F �
1
f )( x) = Z
T d e
�
i(p;x )
f (p )� (d p):
Fourier almashtirishi yordamida H
V(
k ) := Fb
H b
V (
k )F �
1
Schr�odinger op-
eratorining L2
(T d
; � ) fazoda impuls tasvirini quyidagicha aniqlaymiz:
HV(
k ) = H
0(
k ) + V :
Bu yerda, H
0(
k ) := Fb
H 0(
k )F �
1
operator funksiyaga ko'paytirish oper-
atori sifatida aniqlanadi:
(H
0(
k )f )( p) = E
k(
p )f (p ); f 2L2
(T d
; � );
bu yerda E
k(
p ) = "(p ) + "(k � p);
" (p ) = ( F^
" ) ( p) = X
x 2 Zd e
i(
p;x )
^
" (x ); p 2Td
;
shuningdek, "(�) funksiya Td
da aniqlangan haqiqiy qiymatli uzluksiz funksiya.
Integral operator V:= Fb
V F�
1
quyidagicha aniqlanadi:
( V f )(p) = Z
T d v
(p � t) f (t) � (d t) ; f 2L2
(T d
; � );
bu yerda v(�) funksiya, ^ v(�) funksiyaning Fourier tasviri ya'ni:
v (p ) = ( F^
v ) ( p) = X
x 2 Zd e
i(
p;x )
^
v (x ); p 2Td
:
Yuqoridagi V:= Fb
V F�
1
operatorni quyidagicha hosil qilamiz:
b
V :`
2(
Z d
) �! `
2(
Z d
); (b
V ^
f )( n) = ^ v(n ) ^
f (n ); ^
f 2 `
2(
Z d
) bunda ^ vfunksiya 43](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_43.png)
![BOB 3
b
H
b
V (
k ) Schr�odinger operatorining
spektral xossalari
b
H b
V (
k ) operatorning muhim spektri
H 0(
k ) k2 Td
operator, Td
da aniqlangan uzliksiz haqiqiy qiymatli
E k(
�) funksiyaga ko'paytirish operatori bo'lganligi uchun H
0(
k ) operatorn-
ing spektri faqat muhim spektrdan iborat bo'ladi va quyidagi munosabatlar
o'rinli bo'ladi:
�(H
0(
k )) = �
ess (
H
0(
k )) = [ E
min (
k ); E
max (
k )] ; (3.0.1)
bu yerda
Emin (
k ) � min
p 2 Td E
k(
p ); E
max (
k ) � max
p 2 Td E
k(
p ):
H 0(
k ) operator b
H 0(
k ) operatorga unitar ekvivalent operator bo'lganligi
uchun �( b
H 0(
k )) = �(H
0(
k ))
bo'ladi. b
H 0(
k ) operator o'z-o'ziga qo'shma operator va qo'zg'alish operatori b
V
kompakt operator ekanligidan muhim spektri turg'unliga haqidagi Weyl
teoremasiga ko'ra b
H b
V (
k ) operatorning �
ess (b
H b
V (
k )) muhim spektri b
H 0(
k )
operatorning �
ess (b
H 0(
k )) muhim spektri bilan ustma-ust tushadi, ya'ni
� ess (b
H b
V (
k )) = �
ess (b
H 0(
k )) = �(H
0(
k )) : (3.0.2)
Min-max prinsipiga ko'ra va ^ v� 0 bo'lganligi uchun b
H b
V operatorn-
ing barcha chekli karrali xos qiymatlari �
ess (b
H b
V ) muhim spektrning
E
min
bo'sag'asidan quyida yotadi.
Biz shuningdek potensialning ishorasini o'zgarganda Rd
dagi Schr�odinger
operatorlardan farqli o'laroq, diskret Schr�odinger operatorlarining muhim
spektrdan o'ngda yotuvchi xos qiymatlari mavjud bo'lishini ta'kidlaymiz. 45](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_45.png)
![3.1
b
H b
V (0)
operator uchun Birman-Schwinger prin-
sipi.
Faraz qilaylik, ^
E 0(
�) � dispersiya funksiyasi va Zd
panjarada aniqlangan
^
v potentsial chegaralangan bo'lsin. Istalgan z <E
min (0) uchun
`2
(Z d
)
fazoda musbat Bb
V (
z ) := jb
V j1
=2
b
R 0(
z ) jb
V j1
=2
(3.1.1)
Birman-Schwinger operatorini aniqlaymiz. Bu yerda,b
R 0(
z ) = F�
1
R 0(
z )F
ya'ni b
H 0(0) operatorning
zdagi rezolventasi, R
0 esa
H
0(0) operatorning
z 2 Cn[E
min (0)
;E
max (0)] nuqtadagi rezolventasi,
jb
V j1
=2
operator bilan jb
V j
noman�y operatorning (yagona) noman�y kvadrat ildizi belgilangan, ya'ni
[j b
V j1
= 2
^
' ]( x) = j^
v j1 2
(x ) ^' (x ); ^
' 2 `2
(Z d
) : (3.1.2)
Birman-Schwinger operatorining yadrosi B
b
V (
z ;�; �) ; z < E
min (0) quyidagi
formula bilan aniqlanadi
Bb
V (
z ;x; y ) = j^
v j1 2
(x )b
R 0(
z ;y � x)j^
v j1 2
(y ); x ; y 2Zd
: (3.1.3)
Bunda b
R 0(
z ;x ) := Z
T d e
i
( p;x ) E
0(
p ) � z�
(d p); x 2Zd
: (3.1.4)
Bu B
b
V (
z ) operatori Hilbert-Schmidt sin�ga qarashli, xususan u kom-
pakt bo'ladi. Kubik Zd
panjaradagi ikki zarrachali Schr�odinger operatorlari uchun
quyidagi teorema Birman-Schwinger prinsipini ifodalaydi. Teorema 3.1.1. (Birman-Schwinger prinsipi)
Faraz qilaylikZd
pan-
jarada aniqlangan ^
v (�) funksiya juft noman�y va ^
v (�) 2 `1
(Z d
) bo'lsin. U
holda barcha z <E
min (0)
lar uchun (i){(iv) tasdiqlar o'rinli. (i) Agar
b
H b
V (0) ^
'= z^
' tenglamaning yechimi ^
' 2 `2
(Z d
) bo'lsa, u holda
^
= B
b
V (
z ) ^
tenglamaning yechimi ^
:= jb
V j1
= 2
^
' 2 `2
(Z d
) bo'ladi. (ii) Agar
^
= B
b
V (
z ) ^
tenglamaning yechimi ^
2`2
(Z d
) bo'lsa, u holda
b
H b
V (0) ^
'= z^
' tenglamaning yechimi ^
' := b
R 0(
z )j b
V j1
=2
2`2
(Z d
)
bo'ladi. (iii) Berilgan
z <E
min (0)
soni b
H b
V (0)
operatorning Mkarrali xos qiy-
mati bo'lishi uchun 1soni B
b
V (
z ) operatorning Mkarrali xos qiymati
bo'lishi zarur va etarli. 46](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_46.png)
![(iv) Karraliklari bilan qo'shib hisoblaganda
b
H b
V (0)
ning zdan kichik xos
qiymatlari soni B
b
V (
z ) ning 1dan katta xos qiymatlari soniga teng. Proof.
(i) Faraz qilaylik,
z <E
min (0) soni b
H b
V (0) operator uchun
Mkarrali xos
qiymat bo'lsin va f^
'
ig M
i =1 �
ortonormal bazis zxos qiymatga mos xos
vektorlar bo'lsin.
Quyidagi sistemani quramiz:
^
1 :=
jb
V j1 2
^
'
1; : : : ; ^
M :=
j^
V j1 2
^
'
M :
(3.1.5)
^
'
i2
`2
(Z d
); u holda ^ '
i;
Zd
da chegaralangan va ^ v2 `1
(Z d
) ekanligidan
biror musbat C
i>
0 uchun quyidagilarga ega bo'lamiz:
X
x 2 Zd �
�
� ^
i(
x )�
�
� 2
= X
x 2 Zd �
�
� j
^
v j1 2
(x ) ^'
i(
x )�
�
� 2
=
X
x 2 Zd j
^
v (x )j j ^
'
i(
x )j2
� C2
i X
x 2 Zd j
^
v (x )j < 1;
ya'ni ^
i2
`2
(Z d
); i = 1
; M :
Quyidagi munosabatlar o'rinli:
b
H b
V (0) ^
'
i=
z^
'
i ) h
b
H 0(0) + b
V i
^
'
i=
z^
'
i )
h b
H 0(0)
�zI i
^
'
i=
j^
V j^
'
i )
h b
H 0(0)
�zI i
^
'
i=
jb
V j1 2
�
jb
V j1 2
^
'
i�
)
h b
H 0(0)
�zI i
^
'
i=
jb
V j1 2
^
i )
^
'
i= h
b
H 0(0)
�zI i
� 1
j^
V j1 2
^
i )
(3.1.6)
j b
V j1 2
^
'
i=
jb
V j1 2
h
b
H 0(0)
�zI i
� 1
jb
V j1 2
^
i )
^
i=
B
b
V (
z ) ^
i; i
= 1
; M :
(i) tasdiq isbotlandi. (ii) Faraz qilaylik 1 soni
B
b
V (
z ) operatorning Mkarrali xos qiymati bo'lsin
va f^
ig L
i =1 �
`2
(Z d
)� ortonormal bazis 1 xos qiymatga mos xos vektorlar
bo'lsin. Quyidagi sistemani quramiz:
^
'
1 := [ b
H 0(0)
�zI ]�
1
j b
V j1 2
^
1; : : : ;
^
'
L := [ b
H 0(0)
�zI ]�
1
j b
V j1 2
^
L:
(3.1.7) 47](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_47.png)
![[
b
H 0(0)
�zI]�
1
j b
V j1 2
operatorning chegaralangan ekanligidan ^ '
i 2
`2
(Z d
);
i = 1
; L; ekanligini hosil qilamiz. Shartga ko'ra quyidagi munosabat o'rinli:
jb
V j1 2
h
b
H 0(0)
�zI i
� 1
jb
V j1 2
^
i= ^
i; i
= 1
; L:
U holda ( ??)ni qo'llash orqali quyidagilarga ega bo'lamiz:
jb
V j1 2
^
'
i= ^
i; i
= 1
; L:
U holda jb
V j^
'
i=
jb
V j1 2
^
i; i
= 1
; L: (3.1.8)
( ?? ) tenglikdan quydagilarni hosil qilamiz:
hb
H 0(0)
�zI i
^
'
i=
jb
V j1 2
^
i; i
= 1
; L: (3.1.9)
( ?? ) va ( ??) munosabatlarning o'rinli ekanligidan quyidagilarni hosil
qilamiz: hb
H 0(0)
�zI i
^
'
i=
jb
V j^
'
i ) h
b
H 0(0) +
jb
V ji
^
'
i=
z^
'
i:
Shuningdek, b
H b
V (0) ^
'
i=
z^
'
i; i
= 1
; L (3.1.10)
(ii) tasdiq isbotlandi. (iii) f
b
'
ig M
i =1 sistemaning chiziqli bog'lanmaganligidan va
[ b
H 0(0)
�zI ]�
1
j b
V j1 2
operatorning chegaralangan ekanligidan ( ??) sisteman-
ing chiziqli bog'lanmagan ekanligini hosil qilamiz. Teskarisidan faraz qiladigan bo'lsak, ya'ni agar ( ??) sistema chiziqli
bog'langan bo'lganida u holda
B=fb
i 2
C; i = 1
; M :jb
1j
+ jb
2j
+ : : : +jb
M j 6
= 0 g
sistema topiladiki, quyidagi munosabatlar o'rinli bo'ladi:
b1 ^
1+
b
2 ^
2+
: : : +b
M ^
M =
�:
[ b
H 0(0)
�zI ]�
1
j b
V j1 2
operatorning chegaralangan ekanligidan va ( ??) teng-
likka ko'ra quyidagilarni hosil qilamiz:
k[b
H 0(0)
�zI ]�
1
j b
V j1 2
�
b1 ^
1+
b
2 ^
2+
: : : +b
M ^
M �
k2
` 2
(Z d
) =
= kb
1[ b
H 0(0)
�zI ]�
1
j b
V j1 2
^
1+
: : : +b
M [b
H 0(0)
�zI ]�
1
j b
V j1 2
^
M k2
` 2
(Z d
)
= kb
1 ^
'
1+
: : : +b
M ^
'
M k2
` 2
(Z d
) =
jb
1j2
+ jb
2j2
+ : : : +jb
M j2
= 0 : 48](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_48.png)
![Lemma 3.1.1. Faraz qilaylik,
d� 3va ??- Shart o'rinli bo'lsin. U holda
quyidagi tasdiqlar o'rinli: (i) b
R 0(
E
min (0);
�) funksiya Zd
da aniqlangan;
(ii) b
B b
V (
E
min (0);
�; �) yadro funksiyasi Zd
� Zd
da kvadrati bilan jamlanu-
vchi. Proof. (i) Faraz qilaylik
E
o(
�) ?? , shartni qanoatlantirsin, ya'ni E
o(
�) funksiya
yagona aynimagan minimumga ega va p= 0 2Td
bo'lsin.
Parametrik Mors lemmasiga ko'ra, p2 Td
nuqtaning shunday U
1(
p ) �
T d
atro
ari, markazi q= 0 ga va radiusi
>0 bo'lgan W
(0) shar va
C (1)
(W
(0)) fazoga tegishli
�
1(
�) : W
(0)
!U
1(
p ) di�eomor�zm mavjudki,
W
(0) sharda
E
0(
�
1(
y )) funksiyani quyidagi ko'rinishda tasvirlash mumkin.
E 0(
�
j(
y )) = E
min (0) +
y2
= E
min (0) +
y2
1 +
::: +y2
d :
(3.1.16)
� 1 funksiyaning Yakobiani
J
1(
�
1(
y )) , W
(0) da uzluksiz va
J
1(0)
>0 .
Shuning uchun ixtiyoriy x2 Zd
, uchun b
R 0(
E
min (0);
x) funksiyani quyidagi
ko'rinishda tasvirlash mumkin b
R 0(
E
min (0);
x) = b
R (1)
0 (
E
min (0);
x)+ b
R (2)
0 (
E
min (0);
x);
bu yerda
b
R (1)
0 (
E
min (0);
x) = Z
U 1(
p ) e
i
( p;x )
� (d p) E
0(
p ) � E
min (0) ;
(3.1.17)
b
R (2)
0 (
E
min (0);
x) = Z
T d
n [U
1(
p )] e
i
( p;x )
� (d p) E
0(
p ) � E
min (0) :
(3.1.18)
Albatta, b
R (2)
0 (
E
min (0);
x) , Zd
da aniqlangan. ( ??) da p= �
1(
y ) o'zgaruvchini
almashtirib va ( ??) ni hisobga olsak quyidagi tenglik kelib chiqadi
b
R (1)
0 (
E
min (0);
x) = Z
U 1(
p ) e
i
( �
1(
y );x ) d
P
n =1 y
2
n J
1(
�
1(
y )) �(d y); (3.1.19)
bu yerda J
1(
�
1(
y )) , �
1(
y ) funksiyaning Yakobiani.Yuqoridagi ifoda y=
r! , sferik koordinatalar orqali quyidagicha yozish mumkin
b
R (1)
0 (
E
min (0);
x) =
Z
0 r
d
� 3
dr Z
d� 1 e
i
( �
1(
r! );x )
J 1(
�
1(
r! ))d! (3.1.20)
bu yerda
d� 1 ,
Rd
fazodagi birlik shar d!uning elementi. 50](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_50.png)
 := [ jb
V j1 2
b
R 0(
E
min (0))
jb
V j1 2
^
](x) =
= X
y 2 Zd b
B b
V (
E
min (0);
x; y)^
(y ); (3.1.21)
bu yerda [b
R 0(
E
min (0)) ^
']( x) := X
y 2 Zd b
R 0(
E
min (0);
x� y) ^' (y ); ^
' 2 `1
(Z d
): (3.1.22)
Quyidagi teorema Birman-Schwinger prinspini z= E
min (0) ga davom
ettirilganidir. Teorema 3.1.2. (umumlashgan Birman-Schwinger prinsipi)
Faraz
qilaylik, ??-Shart o'rinli bo'lsin. U holda quyidagi tasdiqlar o'rinli:
(i) d� 3bo'lsin. Agar ^
f 2 `1
(Z d
) funksiya b
H b
V (0)
^
f = E
min (0) ^
f
tenglamaning yechimi bo'lsin, u holda ^
= b
B b
V (
E
min (0)) ^
tenglamaning
yechimi ^
:= jb
V j1
= 2
^
f 2 `2
(Z d
) bo'ladi.
(ii) d= 3 ;4 bo'lsin. Agar ^
2`2
(Z d
) funksiya ^
= b
B b
V (
E
min (0)) ^
;
tenglamaning yechimi bo'lsa, u holda ^
f := b
R 0(
E
min (0))
jb
V j1
= 2
^
2`
0(
Z d
)
funksiya b
H b
V (0)
^
f = E
min (0) ^
f tenglamani qanoatlantiradi.
(iii) d� 5bo'lsin. Agar ^
2`2
(Z d
) funksiya ^
= b
B b
V (
E
min (0)) ^
;
tenglamaning yechimi bo'lsa, u holda ^
f := b
R 0(
E
min (0))
jb
V j1
= 2
^
2`2
(Z d
)
funksiya b
H b
V (0)
^
f = E
min (0) ^
f tenglamani qanoatlantiradi. 51](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_51.png)
![(iv)
d� 3bo'lsin. Karraliliklari bilan qo'shib hisoblaganda b
H b
V (0)
oper-
atorning E
min (0)
dan kichik xos qiymatlari soni b
B b
V (
E
min (0))
operatorning
1 dan katta xos qiymatlari soniga teng. Proof. Aytaylik
d� 3 va ^ v2 `1
(Z d
; R �
0 ) bo'lsin.
(i) ^
f 2 `1
(Z d
) va ^ v2 `1
(Z d
; R �
0 ) munosabatlar ^
= jb
V j1 2
^
f 2 `2
(Z d
)
ekanini ko'rsatadi. Aytaylik ^
f 2 `1
(Z d
) , �
b
H b
V (0)
�E
min (0)
I�
^
f = 0 ;
tenglamaning yechimi bo'lsin,ya'ni �b
H 0(0)
�E
min (0)
I�
^
f = �b
V ^
f : (3.1.23)
ba jarilsin. ^ vga quyilgan ??shart b
V ^
f 2 `1
(Z d
) ekanini ko'rsatadi.
b
R 0(
E
min (0)) va
H
0(0)
�E
min (0)
Ilarning ta'ri� hamda Fourier almshtirishin-
ing xossalariga ko'ra biz quyidagi tenglikni ko'rsatishimiz mumkin.
[b
R 0(
E
min (0))][ b
H 0(0)
�E
min (0)
I] = I ;
ya'ni , b
R 0(
E
min (0)) , b
H 0(0) ning
z= E
min (0) threshold nuqtadagi rezol-
ventasi bo'ladi. (?? ) tenglik quyidagi munosabatlatni ko'rsatadi
b
R 0(
E
min (0)) �
b
H 0(0)
�E
min (0)
I�
^
f = �b
R 0(
E
min (0)) b
V ^
f = b
R 0(
E
min (0)) �
� b
V �
� ^
f
va �
� b
V �
� 1 2
^
f = [ �
� b
V �
� 1 2
b
R 0(
E
min (0)) �
� b
V �
� 1 2
]�
� b
V �
� 1 2
^
f ;
ya'ni, ^
= �
� b
V �
� 1 2
^
f funksiya b
B b
V (
E
min (0)) ^
= ^
tenglamaning yechimi.
(ii) Faraz qilaylik d= 3 ;4 bo'lsin. ^ v2 `1
(Z d
; R �
0 ) , bo'lganligidan
ixtiyoriy ^
2`2
(Z d
) , uchun Cauchy-Schwarz tengsizligi �
� b
V �
� 1 2
^
2`1
(Z d
)
ni keltirib chiqaradi. 1 E
0(
�) � E
min (0) funksiya
Td
da integrallanuvchi ya'ni, 1 E
0(
�) � E
min (0) 2
L 1
(T d
; � ) ekanligi va Riman-Lebeg lemmasi
b
R 0(
E
min (0);
x) := Z
T d e
i(
p;x )
� (d p) E
0(
p ) � E
min (0) !
0 as jx j ! 1 :(3.1.24)
ekanligini ko'rsatadi. Toeplitz teoremasi [ ?] va jb
V j1 2
^
2`1
(Z d
) munosabat
ko'rsatadiki
^
f (x ) = X
y 2 Zd b
R 0(
E
min (0);
y� x)j^
v (y )j1 2
^
(y ) ! 0 as jx j ! 1 ;(3.1.25) 52](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_52.png)
![ya'ni
^
f 2 `
0(
Z d
): bo'ladi.
^
2`2
(Z d
) funksiya
[�
� b
V �
� 1 2
b
R 0(
E
min (0)) �
� b
V �
� 1 2
] ^
= ^
: (3.1.26)
tenglikning yechimi bo'lsin. ^
f = b
R 0(
E
min (0)) �
� b
V �
� 1 2
^
(3.1.27)
belgilash orqali biz ^
f 2 `
0(
Z d
) egamiz. ( ??) tenglama
�
� b
V �
� 1 2
^
f = ^
; �
� b
V �
� ^
f = �
� b
V �
� 1 2
^
: (3.1.28)
tengliklarni keltirib chiqaradi. ( ??) va ( ??) tengliklar ko'rsatadiki,
� b
H 0(0)
�E
min (0)
I�
^
f = �
b
H 0(0)
�E
min (0)
I�
b
R 0(
E
min (0)) �
� b
V �
� ^
f (3.1.29)
ya'ni ^
f 2 `
0(
Z d
) funksiya b
H b
V (0)
^
f = E
min (0) ^
f tenglamaning yechimidir.
(iii) Faraz qilaylik d� 5 va ^
2`2
(Z d
) bo'lsin. 1 E
0(
�) � E
min (0) 2
L 2
(T d
; � ); munosabat va Plansherel teoremasi
b
R 0(
E
min (0);
x) := Z
T d e
i(
p;x )
� (d p) E
0(
p ) � E
min (0) 2
`2
(Z d
): (3.1.30)
ni keltirib chiqaradi. Agar K(�) 2 `2
(Z d
) va g2 `1
(Z d
); bo'lsa u holda
( K �g)( x) := X
y 2 Zd K
(x � y)g (y )
` 2
(Z d
) ga tegishli ya'ni
kK �gk
2 � k
Kk
2k
g k
1:
(3.1.31)
j b
V j1 2
^
2`1
(Z d
) va ( ??) ko'rsatadiki
^
f (x ) = h
b
R 0(
E
min (0))
jb
V j1 2
^
i
(x ) = X
y 2 Zd b
R 0(
E
min (0);
y� x)j^
v (y )j1 2
^
(y ); ^
2`2
(Z d
);
` 2
(Z d
) ga tegishli.
(iv) Bu tastiqning isbotini [ ?] 6 teoremaning isboti kabi ko'rsatish
mumkin. 53](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_53.png)
![Shuning uchun boror
s2 Zd
uchun quyidagilarni hosil qilamiz:
( b
R 1 2
0 (
E
min (0))
jb
V jb
R 1 2
0 (
E
min (0))
�
s; �
s)
`2
(Z d
)
= ( jb
V jb
R 1 2
0 (
E
min (0))
�
s; b
R 1 2
0 (
E
min (0))
�
s)
= X
x 2 Zd j
^
v (x )j( b
R 1 2
0 (
E
min (0))
�
s)(
x) (
b
R 1 2
0 (
E
min (0))
�
s)(
x)
= X
x 2 Zd j
^
v (x )j �
�
� ( b
R 1 2
0 (
E
min (0))
�
s)(
x)�
�
� 2
= X
x 2 Zd j
^
v (x )j �
�
�
�
�
� X
y 2 Zd Z
T d e
i(
p;y �x)
� s(
y )� (d p) p
E
0(
p ) � E
min (0) �
�
�
�
�
� 2
= X
x 2 Zd j
^
v (x )j �
�
�
�
�
� Z
T d (cos(
p; s�x) + isin( p; s �x)) �(d p) p
E
0(
p ) � E
min (0) �
�
�
�
�
� 2
= X
x 2 Zd j
^
v (x )j �
�
�
�
�
� Z
T d cos(
p; s�x)� (d p) p
E
0(
p ) � E
min (0) �
�
�
�
�
� 2
> 1:
Demak, sup
k ^
f k
`2
(Z d
)=1 (
b
R 1 2
0 (
E
min (0))
jb
V jb
R 1 2
0 (
E
min (0)) ^
f ; ^
f )
`2
(Z d
) >
1;
ya'ni, o'z-o'ziga qo'shma kompakt b
R 1 2
0 (
E
min (0))
jb
V jb
R 1 2
0 (
E
min (0)) operator 1 dan
katta xos qiymatga ega. Chegaralangan Ava Boperatorlar uchun ABoperatorning har bir
nolmas xos qiymatlari BAoperatorning ham bir xil karraliliklari bilan
xos qiymati bo'ladi ([ ?]ga qarang). Shuning uchun
b
B b
V (
E
min (0)) =
jb
V j1 2
b
R 0(
E
min (0))
jb
V j1 2
operator ham 1 dan katta xos qiymatga ega bo'ladi. U holda ??-Teoremaning
(iv)-tasdiqiga ko'ra b
H b
V (0) operator (
�1;E
min (0)) intervalda
z
^
v xos qiy-
matga ega bo'ladi. Teorema ??ning isboti. Cauchy-Bunyakovsky tengsizligini qo'llash
orqali quyidagilarga ega bo'lamiz:
(b
B b
V (
E
min (0)) ^
f ; ^
f )
`2
(Z d
) = Z
T d "
P
y 2 Zd j
^
v (y )j1 2
j ^
f (y )j#
2
�(d p) E
0(
p ) � E
min (0) 56](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_56.png)
![FOYDALANILGAN
ADABIYOTLAR [1] S. Albeverio, S. N. Lakaev, K. A. Makarov, Z. I. Muminov:
The Threshold E�ects
for the Two-particle Hamiltonians on Lattices, Comm.Math.Phys. 262(2006), 91{115 [2] Albeverio, S.N. Lakaev and A.M. Khalkhujaev:
Number of Eigenvalues of the
Three-Particle Schrodinger Operators on Lattices, 18(2012), 18pp. 387-420 [3] V. Bach, W. de Siqueira Pedra, S. Lakaev
:Bounds on the Discrete Spectrum of
Lattice Schr�odinger Operators Preprint mp-arc 10-143. [4] V. Bach, W. de Siqueira Pedra, S. Lakaev:
Bounds on the Pure Point Spectrum of
Lattice Schr�odinger Operators, Preprint mp-arc/c/11/11-161. [5] Faria da Veiga P. A., Ioriatti L., and O'Carroll M.:
Energy-momentum spectrum
of some two-particle Hamiltonians, Phys. Rev. E (3) 66, 016130, 9 pp. (2002). Poincar�e
Phys. Theor. 67, 91{107 (1997). [6] Klaus M.
andB.Simon: Coupling constants thresholds in non-relativistic quantum me-
chanics. I. Short range two body case. Ann. Phys. 130, 251{281 (1980). [7] M.Klaus
andB. Simon: Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum me-
chanics. I. Short-range Two-body case. Annals of Physics, 108,251-281(1977). [8] S.N.Lakaev:
The E�mov e�ect in a system of three identical quantum particles. Funct.
Anal. Appl. 27, 166{175 (1993). [9] S.N.Lakaev, Sh.M. Tilavova: Merging of eigenvalues and resonances of a two-particle
Schr�odinger operator. Theoret.and Math. Phys., 101,1320 -1331,(1994) [10] S. N. Lakaev, I.N. Bozorov:
The number of bound states of a one-particle Hamiltonian
on a three-dimensional lattice, Theoretical and Mathematical Physics, 1582009, pp. 360-
376. [11] A.A.Pankov:
Lecture notice operators on Hilbert space. New York: Nova Science Publish-
ers, 2007. [12] M.Reed
andB.Simon: Methods of modern mathematical physics. IV: Analysis of Oper-
ators, Academic Press, New York, 1979. [13] S.N.Lakaev, S.X.Abduxakimov: Panjaradagi ikki fermionli sistemaga mos diskret
Schrodinger operatori xos qiymatlari mavjudligi, SamDU ilmiy axborotnomasi.3, (2017). [14] S.N.Lakaev, I.N.Bozorov: The number of bound states of a one-particle Hamiltonian on a
three-dimensional lattice, Theoretical and Mathematical Physics, . 158, 2009, pp.360-376. 59](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_59.png)
![[15] J.I. Abdullayev, S.N. Lakaev.
Asymptotics of the discrete Spectrum of the three-particle
Schr�odinger di�erence operator on a lattice // Theor. and Math. Phys.136:3, 231{245
(2003). [16] S. Albeverio, S.N. Lakaev, K.A. Makarov, Z.I. Muminov.
The threshold e�ects for the two-
particle Hamiltonians on lattices // Comm. Math. Phys.262:1, 91{115 (2006). [17] S. Albeverio, F. Gesztesy, R. H�egh-Krohn.
The low energy expansion in nonrelativistic
scattering theory // Ann. Inst. H. Poincar�e sect. A. 37:1, 1{28 (1982). [18] S. Albeverio, R. H�egh-Krohn, T.T. Wu.
A class of exactly solvable three-body quantum
mechanical problems and universal low energy behavior // Phys. Lett. A.83:1, 25{27 (1971). [19] S. Albeverio, S.N. Lakaev, Z.I. Muminov.
Schr�odinger operators on lattices. The E�mov
e�ect and discrete spectrum asymptotics // Ann. Henri Poincar�e.5, 743{772 (2004). [20] S. Albeverio, S.N. Lakaev, A.M. Khalkhujaev.
Number of eigenvalues of the three-particle
Schr�odinger operators on lattices // Markov Proc. Relat. Fields.18:3, 387{420 (2012). [21] V. Bach, W. de Siqueira Pedra, S.N. Lakaev.
Bounds on the discrete spectrum of lattice
Schr�odinger operators // J. Math. Phys.59:2, 022109 (2017). [22] P.A. Faria da Veiga, L. Ioriatti, M. O'Carroll.
Energy-momentum spectrum of some two-
particle Hamiltonians // Phys. Rev. E.66:3, 016130 (2002). [23] M. Klaus.
On the bound state of Schr�odinger operators in one dimension // Ann. Phys.
108 :2, 288{300 (1977). [24] M. Klaus, B. Simon.
Coupling constants thresholds in nonrelativistic quantum mechanics.
I. Short-range two-body case // Ann. Phys.130:2, 251{281 (1980). [25] Yu.G. Kondratiev, R.A. Minlos.
One-particle subspaces in the stochastic X Ymodel // J.
Statist. Phys. 87:3-4, 613{642 (1997). [26] S.N. Lakaev.
The E�mov e�ect in a system of three identical quantum particles // Funct.
Anal. Appl. 27:3, 15{28 (1993). [27] S.N. Lakaev, Sh.M. Tilavova.
Merging of eigenvalues and resonances of a two-particle
Schr�odinger operator // Theor. and Math. Phys. 101:2, 235{252 (1994). [28] S.N. Lakaev, I.N. Bozorov.
The number of bound states of a one-particle Hamiltonian on a
three-dimensional lattice // Theor. and Math. Phys. 158:3, 425{443 (2009). [29] S.N. Lakaev, Sh.U. Alladustov.
Positivity of eigenvalues of the two-particle Schr�odinger
operator on a lattice // Theor. and Math. Phys. 178:3, 390{402 (2014). [30] D.C. Mattis.
The few-body problem on a lattice // Rev. Modern Phys.58, 361{379 (1986). [31] R.A. Minlos, Y.M. Suhov.
On the spectrum of the generator of an in�nite system of inter-
acting di�usions Comm. Math. Phys. 206, 463{489 (1999). [32] A. Mogilner.
Hamiltonians in solid state physics as multi-particle discrete Schr�odinger op-
erators : Problems and results. Many{Particle Hamiltonians: Spectra and Scattering , Ad-
vances in Soviet Mathematics, 5, eds. R. A. Minlos, AMS, Providence, RI, 139{194 (1991). [33] Yu.N. Ovchinnikov, I.M. Sigal.
Number of bound states of three-particle systems and E�-
mov's e�ect // Ann. Phys. 123, 274{295 (1989). 60](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_60.png)
![[34] M. Reed, B. Simon.
Methods of modern mathematical physics. IV: Analysis of Operators ,
Academic Press, New York, 1979. [35] B. Simon.
The bound state of weakly coupled Schr�odinger operators in one and two dimen-
sions // Ann. Phys. 97, 279{288 (1976). [36] A.V. Sobolev.
The E�mov e�ect. Discrete spectrum asymptotics // Comm. Math. Phys.
156 :1, 101{126 (1993). [37] H. Tamura.
The E�mov e�ect of three-body Schr�odinger operators: Asymptotics for the
number of negative eigenvalues // Nagoya Math. J.130, 55{83 (1993). [38] V. Hoang, D. Hundertmark, J. Richter, S. Vugalter.
Quantitative bounds versus existence
of weakly coupled bound states for Schr�odinger type operators // arXiv:1610.09891v2 [math-
ph], 22 May (2017). [39] D.R. Yafaev.
On the theory of the discrete spectrum of the three-particle Schr�odinger oper-
ator // Math. USSR-Sb. 94(136):4(8), 567{593 (1974). [40] P.R. Xalmosh.
Gilbertovo prostranstvo v zadachax , Izd. Mir. MOskva, (1979).[41] G.M. Fixtengols.
Kurs di�erensialnogo i integralnogo ischisleniya. II , Nauka, Moskva,
(1968). 61](/data/documents/804490b6-f5a5-4f3e-8927-06e5ad6a736d/page_61.png)
MUNDARIJA
Kirish Masalaning qo'yilishi. d-o'lchamli Zd ; d �3; kubik panjarada ^ v tashqi maydonidagi ikkita zarrachalarning o'zaro ta'sirini tasvirlovchi b H b V ( k ) = b H 0( k ) + b V Schr�odinger operatorlarning keng sin�ni tadqiq qilish. Ikki zarrachali b H b V (0) Schr�odinger operatorining xos qiymatlarini mavjudligi yoki yo'qligi ^ vpotentsialga va Zd ; d �3; panjaraning o'lchamiga bog'liq holda o'rganish hamda b H b V (0) Schr�odinger operatorining � ess (b H b V (0)) muhim spektridan quyida xos qiymatlari mavjudligi yoki yo'qligi uchun teore- malarni isbotlash. Mavzuning dolzarbligi. Ikki zarrachali diskret Schr�odinger operator- larining spektral xossalari keyingi yillarda faol o'rganilmoqda (masalan [1]{ [5] va [6]{[11] larni qarang). Uzluksiz Schr�odinger operatori muhim spektrning chapida yotuvchi disk- ret spektri (xos qiymatlari)ning mavjudligi faqat zarrachalar ta'sir ener- giyasi �b V ; � > 0 ga bog'liq bo'ladi ([6],[7],[8],[13]). Ammo, ikki zarrachali diskret Schr�odinger operatorlari uchun xos qiy- matlarning mavjudligi va soni faqatgina ta'sir potentsiali �b V ga bog'liq bo'lmasdan balki sistema kvazi-impulsiga ham bog'liqdir. O'lchami d� 3 bo'lgan panjarada ikkita ixtiyoriy zarrachali sistemaga mos diskret Schr�odinger operator b H (k ) ning diskret spektri mavjudligi sis- tema kvazi-impulsining barcha qiymatlari uchun [1] da o'rganilgan. Uch o'lchamli panjaradagi Schr�odinger operatorlari uchun xos qiymat- larning mavjudligi va xos qiymatlar o'rnining kontakt va qo'shni tugun- larda juft-jufti bilan o'zaro ta'sirlashuvchi potentsialga bog'liqligi [10] da keltirilgan. Schr�odinger operatori b H (k ) ning xos qiymatlari soni uchun chegaralar [3] va [4] maqolalarda keltirilgan. Xususan, b H (k ) operatorning muhim spektridan chapda xos qiymatlarning mavjudligi ko'rsatilgan. Dissertatsiya ishining maqsadi va vazifalari. Ushbu magistrlik dis- sertatsiya ishida d-o'lchamli Zd ; d �3; kubik panjarada ^ vtashqi may- donidagi ikkita zarrachalarning o'zaro ta'sirini tasvirlovchi b H b V ( k ) = b H 0( k )+ b V Schr�odinger operatorining muhim spektri o'rni, Zd ; d � 2
3 ; panjaraning o'lchamiga bog'liq ravishda, ^ vpotentsial ma'lum bir xos- salarga ega bo'lganda b H b V (0) operatorning muhim spektridan quyida xos qiymatlari mavjudligini hamda yo'qligini isbotlash. Ilmiy yangiligi. d-o'lchamli Zd ; d �3; kubik panjaradagi ikkita kvant zarrachaning tashqi potensial maydon ^ vdagi ikkita zarrachaning o'zaro ta'sirini ifodalovchi ikki zarrachali sistemaga mos diskret Schr�odinger operatori b H b V (0) ning � ess (b H b V (0)) muhim spektridan quyida xos qiymat- larini mavjudligi yoki yo'qligi ^ vpotentsialga va Zd ; d �3; panjaraning o'lchamiga bog'liqligi haqida teoremalar isbotlangan. Tadqiqot usullari. Matematik �zika va funksional analiz usullaridan, hamda Birman-Schwinger prinspidan foydalanildi. Dissertatsiyaning tuzilishi. Magistrlik dissertatsiyasi kirish, uchta bob, xulosa va adabiyotlar ro'yxatidan tashkil topgan. Kirish qismida masalaning qo'yilishi, qo`yilgan masalaning dolzarbligi va olingan natijalarning ilmiy yangiligi asoslangan. Birinchi bobda asosiy natijalarni olishda zarur bo'lgan tushuncha, ta'rif va teoremalar, jumladan chiziqli fazo, ichki ko`paytmali fazo, Hilbert fazo- lari hamda, Hilbert fazolarida aniqlangan chiziqli chegaralangan, o'z-o'ziga qo'shma operatorlarning ba'zi xossalari keltirilgan. Ikkinchi bobda d-o'lchamli Zd ; d �3; kubik panjaradagi ikkita kvant zarrachaning tashqi potensial maydon ^ vdagi o'zaro ta'sirini ifodalovchi ikki zarrachali sistemaga mos diskret Schr�odinger operatori b H b V ( k ) ning ko- ordinata va impuls ko'rinishlari keltirilgan, hamda uning `2 (Z d ) Hilbert fa- zosida chiziqli chegaralangan, o'z-o'ziga qo'shma operator ekanligi ko'rsatilgan. Uchinchi bobda b H b V (0) operatori uchun Birman-Schwinger prinsipi hamda d � 3 uchun umumlashgan Birman-Schwinger prinsipi keltirilgan va isbot- langan. Shuning bilan birgalikda d-o'lchamli Zd ; d �3; kubik panjaradagi ikki zarrachali sistemaga mos diskret Schr�odinger operatori b H b V (0) ning � ess (b H b V (0)) muhim spektridan quyida xos qiymatlarini mavjudligi yoki yo'qligi ^ vpotentsialga va Zd ; d �3; panjaraning o'lchamiga bog'liqligi haqida teoremalar isbotlangan. 3
BOB 1 Hilbert fazolarida o'z-o'ziga qo'shma operatorlarning ba'zi xossalari 1.1 Ichki ko'paytmali Vektor fazolar Faraz qilamiz, Vto'plamda elementlarni qo'shish va kompleks (haqiqiy) songa ko'paytirish amallari kiritilgan bo'lsin. Agar Vto'plamda kiritilgan qo'shish amali uchun ushbu 1. Yopiqlik: 8x; y 2V uchun, x+ y2 V, 2. Kommutativlik: 8x; y 2V uchun, x+ y= y+ x, 3. Assotsiativlik: 8x; y; z 2V uchun, ( x+ y) + z= x+ ( y+ z) , 4. Neytral yoki nol element mavjudligi: 9� 2V :8x 2 V ; x + � = � + x= x, 5. Qarama-qarshi element mavjudligi: 8x 2 V uchun 9�x2 V :x + ( � x) = � , va ko'paytirish amali uchun 1. Yopiqlik: 8� 2 C(R ) va 8x 2 V uchun �x2V, 2. Assotsiativlik: 8�; � 2C(R ) va 8x 2 V uchun �(� x ) = ( ��)x , 3. 1 x = x; 8x 2 V, 4. ( � + �)x = �x +� x; 8�; � 2C(R ) va 8x 2 V, 5. � (x + y) = �x+� y; 8� 2 C(R ) va 8x; y 2V munosabatlar ba jarilsa, Vto'plam vektor fazo yokichiziqli fazo deb ataladi. Sonlar maydonining kompleks Cyoki Rhaqiqiy bo'lishiga qarab, vektor fazolar mos ravishda kompleksyokihaqiqiy vektor fazolar deb yuritiladi. 4
Misol 1.1.1. Z 1 � butun sonlar to'plami yordamida Zd = Z1 � Z1 � � � Z1 | {z } d marta ya'ni uning dmarta o'z-o'ziga Dekart ko'paytmasini aniqlaymiz. Bu to'plam d o'lchamli butun qiymatli panjara deyiladi. Demak, Z d = fs = ( s 1; s 2; :::; s d) : s k 2 Z1 ; k = 1 ; :::d g: Z d panjarada selementning moduli deb js j = d P k =1 j s kj songa aytiladi. Quyidagi shartni qanoatlantiruvchi barcha f:Z d ! Cfunksiyalar fazosini qaraymiz: X s 2 Zd j f (s )jp < 1; bunda pbiror tayinlangan musbat son. Ushbu fazoda qo'shish va songa ko'paytirish amallarini quyidagicha kiritamiz: 1.8f ; g uchun (f + g)( x) = f(x ) + g(x ); 2. 8� 2 C va fuchun (�f )(x) = �f(x ): Nol element �(x) � 0:f (�) ga qarama-qarshi element �f(�) kabi aniqlanadi. Hosil bo'lgan fazo ` p( Z d ) kabi belgilanadi va chiziqli fazo bo'ladi. Darhaqiqat, agar f2 ` p( Z d ) bo'lsa, yaqinlashuvchi qatorning xossalariga binoan ixtiyoriy �2 C uchun �f2` p( Z d ) bo'ladi. 8f ; g 2` p( Z d ) uchun f + g2 ` p( Z d ) ekanligi Minkovskiy tengsizligiga asoslanadi. Demak ` p( Z d ) fazo qo'shish va songa ko'paytirish amallariga nisbatan yopiq. Misol 1.1.2. Faraz qilamiz, T1 = ( ��; � ]bo'lsin. T1 da qo'shish va songa ko'paytirish amallarini haqiqiy sonlarni 2� modul bo'yicha qo'shish va songa ko'paytirish sifatida kiritamiz, masalan � 2 + �= 3 � 2 = �� 2 ( mod 2� ); 6 �� 5 = 2 �� 4 � 5 = �4 � 5 ( mod 2� ): Ushbu to'plam bir o'lchamli tor deb ataladi.Td bilan do'lchamli tor, ya'ni Td = T1 � T1 � � � T1 | {z } d marta ni belgilaymiz. 5